第8章 排列組合（知識(shí)考點(diǎn)）-【中職專用】高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講與測(cè)（高教版2021·拓展模塊一下冊(cè)）解析版

第8第8章排列組合知識(shí)點(diǎn)一：計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理基本形式一般形式分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．注意：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各方法相互獨(dú)立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成．2．應(yīng)用兩個(gè)原理解題的一般思路注意：(1)明白要完成的事情是什么；(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系；(3)有無(wú)特殊條件的限制；(4)檢驗(yàn)是否有重復(fù)或遺漏．知識(shí)點(diǎn)二：排列與組合1．排列與排列數(shù)(1)一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Peq\o\al(m,n)表示．(3)排列數(shù)公式的兩種形式①Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.②Peq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).(4)全排列：把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，全排列數(shù)為Peq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.2．組合及組合數(shù)的定義(1)組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．(3)排列與組合的關(guān)系相同點(diǎn)兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素不同點(diǎn)排列問(wèn)題中元素有序，組合問(wèn)題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Peq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系:Peq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Peq\o\al(m,m)(4)組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.(5)組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).知識(shí)點(diǎn)三：二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理(1)定義一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：.這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式．式中的做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)(2)二項(xiàng)式的展開(kāi)式的特點(diǎn)：①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到0；字母升冪排列，次數(shù)從0到，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為；(3)二項(xiàng)展開(kāi)式的通頂公式公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；2．二頂式系數(shù)及其性質(zhì)(1)的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二頂式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離"的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且最大．(2)各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；(3)二項(xiàng)展開(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即．(4)二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式的系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)展開(kāi)式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開(kāi)式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等．考點(diǎn)一計(jì)數(shù)原理1．書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.【答案】9【解析】由題意，若從第一層取書，則有4種不同的取法，若從第二層取書，則有3種不同的取法，若從第三次取書，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種，故答案為：9.2．用1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．24【答案】B【解析】先排個(gè)位，有4種排法，再排十位，有3種排法，因此共有種排法，故選：B.3．如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過(guò)乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由圖可知，從甲村直接到到丙村的走法有種，從甲村到乙村再到丙村的走法有種，所以從甲村到丙村的走法共有種.故選:D.4．用數(shù)字0，1，2，3組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，其中比200大的有（

）A．24個(gè) B．12個(gè) C．18個(gè) D．6個(gè)【答案】B【解析】由題意可知，百位上的數(shù)字為2或3，十位上的數(shù)字可在剩余3個(gè)數(shù)字中選擇1個(gè)數(shù)字，個(gè)位上的數(shù)字再在剩下的2個(gè)數(shù)字中任選1個(gè)，故比200大的3位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選：B.5．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機(jī)航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（

）A．26B．60C．18D．1080【答案】A【解析】由分類加法計(jì)數(shù)原理知有（種）不同走法.故選：A6．3名大學(xué)生利用假期到2個(gè)山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只能去1個(gè)村，則不同的分配方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．10種【答案】C【解析】每個(gè)大學(xué)生都有種選擇方法，所以不同的分配方案共有種，故選：C.7．“誰(shuí)知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國(guó)的傳統(tǒng)美德．已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（

）A．13種 B．22種 C．30種 D．60種【答案】D【解析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有（種）不同的選取方法，故選：D．8．如圖，一條電路從A處到B處接通時(shí)，可以有_____________條不同的線路（每條線路僅含一條通路）．【答案】【解析】依題意按上、中、下三條線路可分為三類，上線路中有種，中線路中只有種，下線路中有（種．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有（種,故答案為：．考點(diǎn)二排列與組合9．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）210（2）840（3）210（4）720【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．10．下列問(wèn)題是排列問(wèn)題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮危还参帐侄嗌俅?？B．平面上有2022個(gè)不同的點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計(jì)算與次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；B中線段的條數(shù)計(jì)算與點(diǎn)的次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；C中子集的個(gè)數(shù)與該集合中元素的次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是2種不同的選法，因此是排列問(wèn)題．故選：D11．計(jì)算：（1）；（2）；【答案】（1）（2）330【解析】解：（1）原式．（2）原式．12．寫出從A，B，C，D，E5個(gè)元素中，依次取3個(gè)元素的所有組合．【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE．【解析】解：含A的三個(gè)元素有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE，不含A含B的三個(gè)元素有：BCD、BCE、BDE，不含A、B的三個(gè)元素有：CDE，所以取3個(gè)元素的所有組合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE．13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對(duì)剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B．14．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為．【答案】2880【解析】先把4名女生捆綁在一起，看成一個(gè)整體，有種，再把這個(gè)整體與另外4名男生進(jìn)行排列，有種，故不同的排法種數(shù)有種，故答案為：15．用數(shù)字組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字并且是的倍數(shù)的五位數(shù).【答案】【解析】若末位為，則可組成個(gè)滿足題意的五位數(shù)；若末位為，則可組成個(gè)滿足題意的五位數(shù)；共可組成滿足題意的五位數(shù)有：個(gè)，故答案為：.16．現(xiàn)有8個(gè)人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？【答案】（1）5040（2）4320（3）21600【解析】解：（1）根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，則甲必須站在排頭有種排法；（2）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個(gè)整體，考慮三人之間的順序，有種情況，將這個(gè)整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；（3）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在中間6個(gè)位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法.17．已知有6本不同的書.(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？【答案】(1)15(2)60【解析】解：（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理18．求展開(kāi)式中的前4項(xiàng).【答案】答案見(jiàn)解析【解析】解：展開(kāi)式的第1項(xiàng)為，第2項(xiàng)為，第3項(xiàng)為，第4項(xiàng)為.19．（1）求展開(kāi)式中的第8項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中的第7項(xiàng)．【答案】答案見(jiàn)解析【解析】解：（1）展開(kāi)式中的第8項(xiàng)為（2）展開(kāi)式中的第7項(xiàng)20．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）．【答案】7【解析】因?yàn)?，則其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以其常數(shù)項(xiàng)為.21．設(shè)，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；【答案】答案見(jiàn)解析【解析】解：（1）在中，令，得．（2）令，得

①，則．（3）令，得

②，聯(lián)立①②，得．22．已知，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得，所以，令，得，即．令，得，所以，故選：D．23．已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】【解析】）解：的展開(kāi)式的通項(xiàng)．因?yàn)檎归_(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，整理得，解得或．又因?yàn)?，所以，所以?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以二項(xiàng)式系數(shù)