高三年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)真題分類匯編（新高考）專題11空間幾何體及其內(nèi)切球外接球（十二大題型）

專題11空間幾何體及其內(nèi)切球、外接球

題型01斜二測(cè)畫(huà)法

I_________

I.（2022秋?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個(gè)水平放置的圖形的直

觀圖是一個(gè)等腰直角三角形048,斜邊長(zhǎng)08=1，那么原平面圖形的面積是（）

AODV2「叵n_L

A.2B.C.?D.、

242

【答案】B

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得原圖形"為直角三角形，運(yùn)算即可得解..

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得原圖形為如圖所示△O?*，

因?yàn)槭堑妊苯且?.角形，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得△04"為直角「角形，

?08=1,:.0B，=0B=\,OAf=2OA=41>

所以原平面圖形的面積是Lxlx應(yīng)

22

故選：B.

2.（廣東省河源市河源中學(xué)等校2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖

（斜二測(cè)畫(huà)法）是一個(gè)底角為45。、腰和上底長(zhǎng)均為2的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是

A.2+V2B.1+V2C.4+2滅D.8+4在

【答案】D

【詳解】如圖所示：由已知斜二測(cè)直觀圖根據(jù)斜二測(cè)化法規(guī)則畫(huà)出原平面圖形

???這個(gè)平面圖形的面積：4x（2+2+2二）=8+4立,

2

故選D.

3.（2022秋?福建南平?高三統(tǒng)考期中）水平放置的“8C的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，己知

AC=3,8。=2，則原三角形“BC的面積為.

【答案】6

【解析】先根據(jù)條件由斜二測(cè)畫(huà)法得出原平面圖形，從而得出其面積.

【詳解】根據(jù)條件由斜二測(cè)畫(huà)法得出原平面圖形，如圖.

則|。=3,閘=4

所以％（8C=：X4X3=6

故答案為：6

空間幾何體的表面積

4.（遼寧省撫順市六校協(xié)作體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在正三棱柱彳5。-力向弓中，E,F

分別是棱8a4G的中點(diǎn)，若異面直線與E尸所成的角是45。，則該三棱柱的側(cè)面積與表面積

的比值是（）

A3—V3D3—>/3「3-yf3n3-73

6432

【答案】D

【分析】取ZC中點(diǎn)O,連接產(chǎn)。，DE,通過(guò)。尸〃力4得到直線OF與所所成的角是45。，分別求

出側(cè)面積和底面積，則可求出側(cè)面積與表面積的比值

【詳解】取4C中點(diǎn)。，連接尸￡>,DE,

又在正三棱柱力8。-/4G中，E,尸分別是棱SC,4G的中點(diǎn)，

則DF/fAA,,且。尸工面ABC,

又直線AA,與E尸所成的角是45。，DFHAA.,

直線。產(chǎn)與E戶所成的角是45。

故Rt△。所為等腰直角三角形，

不妨設(shè)DE=DF=x,則AB=2x,

2

則S惻=（4B+BC+AC）xAAy=6xx=6x

S微_%_6-2_6_3-V3

~S^~S^+S^-6X2+2A/3X2-6+26~~

故選：D

5.（江蘇省無(wú)錫市江陰市第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的

對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半E多面體因其最早由阿

基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.某公園中設(shè)置的供市民休息的石髡如圖所示，它是一個(gè)

棱數(shù)為24的半正多面體，且所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，它也可以看成是由一個(gè)正方體截

去八個(gè)一樣的四面體所得的，若被截正方體的棱長(zhǎng)為0.5m,則該石凳的表面積為（）

A.6m‘B.3-T3m7C.3十6D.^m7

4

【答案】D

【分析】由己知得到石凳的各條棱都相等，并求得棱的長(zhǎng)度，然后分別計(jì)算6個(gè)正方形面的和，8

個(gè)等邊三角形面的面積的和，然后求和即得.

【詳解】由圖形可得該多面體的棱長(zhǎng)為正，則6個(gè)正方形的面積之和為6x交x變=3,8個(gè)等邊

4444

三角形的面積之和為=乎，所以該石凳的表面積為檸叵

故選：D.

6.（福建省福州市八縣（市、區(qū)）一中2023屆高三上學(xué)期期中）若圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三

角形，則它的側(cè)面積為.

【答案】2%

【分析】根據(jù)軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，可求出圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，從而可求出其側(cè)面

積.

【詳解】解：圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則底面圓的半徑為1,母線長(zhǎng)為2,

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，扇形半徑為2,弧長(zhǎng)為2兀，

由扇形的面積公式可得，側(cè)面積S=；x2兀x2=2兀.

故答案為：27c.

7.（江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣曹甸高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）將一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形

以其中一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為.

【答案】16百兀

【分析】根據(jù)正三角形繞一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個(gè)同底的圓錐求解.

【詳解】如圖所示，正三角形繞邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個(gè)同底的圓錐,

圓錐的底面半徑為-0。=26，母線長(zhǎng)為/=4C=4

則所得幾何體的表面積為S=2x7c”=27rx2后X4=16>/3JI.

故答案為：16\/J兀.

8.（黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在體積

為號(hào)的球。的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為.

【答案】8乃

【分析】先求出球的半徑，根據(jù)條件列由圓柱底面半徑和母線的關(guān)系式,即可得到側(cè)面積表達(dá)式.

然后用重要不等式即可求解.

【詳解】設(shè)球的半徑為R,圓柱的底面半徑為〃，母線為/,

則由題意知，K=—=—,解得火=2.

33

又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在體積為子32”的球。的球面上，則圓柱的兩個(gè)底面圓的圓心關(guān)于球心對(duì)

稱，且/+（1）=R2=4.

則圓柱的側(cè)面積S=2w/,/>0,

因?yàn)椋瑀2+->2rx-^=r/,當(dāng)且僅當(dāng)/?=即廠=&,/=2&時(shí)，等號(hào)成立.

所以“工4，s=2仃"8乃

故答案為：8乃.

題型03

9.（江蘇省南京市江寧區(qū)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖的后母戊鼎（原稱司母戊鼎）是迄今為止世

界上出土最大、最重的青銅禮器，有“鎮(zhèn)國(guó)之寶”的美譽(yù)，后母戊鼎雙耳立，折沿寬緣，直壁，深腹,

平底，下承中空“柱足”，造型厚重端莊，氣勢(shì)恢宏，是中國(guó)青銅時(shí)代輝煌文明的見(jiàn)證，如圖為鼎足

近似模型的三視圖（單位：cm）,經(jīng)該鼎青銅密度為〃（單位：kg/cn?）,則根據(jù)三視圖信息可得一

個(gè)柱足的重量約為（重量=體積x密度，單位：kg）（）

A.1250gB.5000t77rC.3750即D.1500。加

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出，鼎足是一個(gè)外半徑為10cm,內(nèi)半徑為5a〃的中空?qǐng)A柱體，然后利用體積的

計(jì)算公式即可求解.

【詳解】由三視圖得，鼎足可看成一個(gè)中空?qǐng)A柱體，

外半徑為10cm,內(nèi)半徑為，則其重量為（100兀-25冗”50a=3750M，

故選：C.

10.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）已知兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)均為6,它們的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成

一個(gè)半圓，若它們的側(cè)面積之比是1：2,則它們的體積之和是（）

A>/35+16x/2d32>/5+16>/2

A.----------nB.-----------冗

33

C.嗜〃D.（病+】6到

【答案】A

【分析】根據(jù)圓錐的母線長(zhǎng)和側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半圓得到兩個(gè)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)之和，再

結(jié)合側(cè)面積之比為1:2得到底面圓的周長(zhǎng)比也為1:2,即可得到底面圓的半徑，然后利用勾股定理得

到圓錐的高，最后求體積即可.

【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為6,側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半圓，所以兩個(gè)圓錐的底面圓的周

長(zhǎng)和為6冗，因?yàn)閭?cè)面積之比為1:2,所以底面圓的周長(zhǎng)比為1:2,則底面圓的周長(zhǎng)分別為2兀，4m

底面圓的半徑分別為1，2,所以兩個(gè)圓錐的高分別為后，4及，則體積之和為

屈+」x4乃乃

333

故選：A.

11.（2022秋?河北保定?高三河北省唐縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知某種裝水的瓶?jī)?nèi)芯近似為底面半

徑是4dm、高是8dm的圓錐，當(dāng)瓶?jī)?nèi)裝滿水并喝完一半，且瓶正立旋置時(shí)（如圖所示），水的高度

約為：）

（參考數(shù)據(jù)：過(guò)"44,四*1.59）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】由題意可知當(dāng)裝水的瓶正立放置時(shí)，圓錐上半部分的體積占圓錐體積的一半，設(shè)上半部分

小圓錐的底面半徑為rdm,則小圓錐的高為2?dm,然后列方程可求出「，從而可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槠績(jī)?nèi)裝滿水并喝完一半，

所以當(dāng)裝水的瓶正立放置時(shí)，圓錐上半部分的體積占圓錐體積的一半，

設(shè)上半部分小圓錐的底面半徑為,,dm,則由題意可得小圓錐的高為2廠dm,

則1;rr2.2r=1x:；rx42x8,解得/=32.

323

即r=2狎=3.18,2r*6.36.

則剩余的水的高度為8-2n1.64dm.

故選：B

12.（2022秋嘿龍江哈爾濱?高三哈爾濱七十三中?？计谥校┰诶忾L(zhǎng)為4的正方體中

M，N分別為3片，力B的中點(diǎn)，則三棱錐力-乂河。的體積為.

【答案】I

【分析】利用『A-NMDi=%-4WN計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)檎襟w48CQ—44aA的棱長(zhǎng)為4,M,N分別為48的中點(diǎn)，

所以*啊=%.岫=33川><"8""

11,一8

=-X—x2x2x4=—

323

Q

故答案為：--

13.（2022秋?河北石家莊?高三石家莊二中校考期中）斜三棱柱46C-44G中，側(cè)面58。。的面積

為S,側(cè)棱AA.到側(cè)面BBgC的距離為a,則該斜三棱柱的體積為

【答案】

【分析】根據(jù)題意，斜三棱柱補(bǔ)形為平行六面體，求平行六面體的體積即可得解.

在斜三棱柱48C-481G的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)三棱柱48-4GA，使之成為一個(gè)平行六面體

AAyD^D—BB^C^C,如圖，

顯然，它的體積為P=aS,所以斜三棱柱力BC-48c的體積為g/=gaS.

故答案為［aS

14.（湖北省武漢市黃陂一中盤(pán)龍校區(qū)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，四棱錐尸-48C。的

底面為直角梯形，AB//CD,4OC=90。，P/_L底面48C。，且尸力=/8=24。=2。。=2,M

是尸3的中點(diǎn).

（1）證明：PD1CD；

（2）求三棱錐P-4MC的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

*

【分析】（1）由線線垂直證OC1平面R1。，再證尸。18：

(2)—p-AMC=^P-ABC~^M-ABC-

【詳解】(1)證明：:尸4J■平面48C0,OCu平面44ah.?.E4_LOC.

又「/。，。。，PAc4D=4,AP,4)u平面E4O,■平面H。，

又POu平面內(nèi)￡),PD1CD.

PA

(2)是P8的中點(diǎn)，P4J.底面/BCD,，點(diǎn)M到平面48c的距離為二~=1.

A

工-pec=gs3BcP=[x2x，x2=：,Kw_^c=|xlxl=l

13、4)DJO

??^P-AMC=^P-ABC~^M-ABC=§?

最短路徑

15.（湖北省仙桃榮懷學(xué)校20222023學(xué)年高三下學(xué)期期中）如圖，在正三棱柱,中，

A%=AB=2,。在4c上，￡1是力田的中點(diǎn)，貝1］（［。+?！辏?的最小值是（）

A.6-77B.2x/7C.3+77D.5+5

【答案】C

【分析】將平面48r與平面44c翻折到同一平面上，連接,4E,記/Ec4C=戶，計(jì)算出4E以

及cos乙4力姿的值，分析可知當(dāng)A、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，4D+0E取得最大值，再結(jié)合余弦定理求

解即可.

【詳解】如圖，將平面48c與平面4/C翻折到同一平面上，連接4E,記“EC4C=E.

22

由題意可知4彳=力C=8C=2,4c=48=20,所以，AA^+AC=A}C1

所以，AA}lACt則44C=45°,

AB2+AC2-BC28+8-4_3

cos/34c=ii

2ARA?2x2>/2x2>/2-4

從而sinZ5J,C=Jl-cos2ZBA.C=—，

4

故CQSZ.AAB=cos（Z.AAC+Z.BAC）=cosZAACcosZ.BAC-s\nZ.AACsinNB4c=―.

Y}}ixy8

因?yàn)镋是48的中點(diǎn)，所以4七=&,

由余弦定理可得4爐=44；+4E2-〃4.4ECOS444=4+2-2X2X瓜逑XL3+<T-

8

因?yàn)?。?c上，所以4O+OE24E，當(dāng)A、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

則（/1O+OE）223+4.

故選：C.

16.（湖北省宜昌英杰學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知直三棱柱彳8。-4媯G中，AB1AC,

AB-AC-A.\-\,『為線段，4田上的動(dòng)點(diǎn)，則，4尸+尸G的最小值為（）

A.與B.粵C.V5D.&+0

【答案】D

【分析】利用空間幾何體的特征，將△448沿力/折起到△4/4的位置.使得平面4力上與平面

48G共面，然后兩點(diǎn)之間線段最短，再利用余弦定理即可得到答案.

【詳解】將△4/8沿折起到：的位置.使得平面AXAB與平面4BG共面，當(dāng)P為線段AC}與

4B的交點(diǎn)時(shí),/P+PG最小，即力尸+PG最小，則有4G=H4,

又AB=AC=AA[=\,所以易得△力/B與△4比1'均為等腰直角三角形，

4G=90°+45°=135°,

利用余弦定理可知最小值為Jl+l_2xlxlcosl350=3+也.

故選：D.

17.（河北省深州市長(zhǎng)江中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知正方體力44GA棱長(zhǎng)為1.一只螞

蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿正方體的表面爬到頂點(diǎn)G.則螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程為_(kāi)_____1

【答案】亞

【分析】由正方體對(duì)稱性，最短路線有6條，距離相等，把最短路線所過(guò)平面攤平后，由平面上兩

點(diǎn)間距離線段最短可得.

【詳解】由正方體的對(duì)稱性知從頂點(diǎn)A出發(fā)沿正方體的表面爬到頂點(diǎn)G的最短距離有6條，距離相

等.

把其中一條所在的兩個(gè)面攤平，如圖，

（皿="/=底

故答案為：逐.

18.（2022秋?黑龍江綏化?高三海倫市第一中學(xué)?？计谥校┰谥比庵?c-44G中，44=3,

AB=BC=1,AC=6,E是棱B用上的一點(diǎn),則A4CE的周長(zhǎng)的最小值為（）

A.Vn+3B.VH+2X/3C.VH+VBD.VH+VU

【答案】c

【分析】由側(cè)面展開(kāi)圖求解，

【詳解】由題意得反i=而，

將三棱柱的側(cè)面展開(kāi)如圖所示，當(dāng)4,瓦c三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)的最小，

此時(shí)4五+。七=J9+4=后,

即△4CE的周長(zhǎng)的最小值為而+9,

故選：C

19.（2022秋?江蘇南通?高三海安高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在直三棱柱44G中，44,=1,

AB=BC=4i，cosZABC=y尸是4A上的一動(dòng)點(diǎn)，則4尸4尸￡的最小值為（）

A.x/5B.幣C.l+x/3D.3

【答案】B

【分析】連接8G，以48所在直線為軸，將V48G所在平面旋轉(zhuǎn)到平面設(shè)點(diǎn)G的新位

置為。，連接4。，判斷出當(dāng)4、P、C'三點(diǎn)共線時(shí)，則4C即為彳尸+PG的最小值.分別求出

乙必。=120°=1,4C'=2，利用余弦定理即可求解.

【詳解】連接BG，得VABG,以48所在直線為軸，將v48G所在平面旋轉(zhuǎn)到平面

設(shè)點(diǎn)G的新位置為C,連接47,則有幺0+PGN力C'.

當(dāng)4P、C'三點(diǎn)共線時(shí)，則NC即為力尸+PG的最小值.

在三角形力6。中，AB=BC=5COSZ.45C-1,由余弦定理得：

AC=VAB2+BC2-2AB-BCcosB=，3+3-2x3x；=2,所以4G=2,即4C'=2

在三角形4/5中，AA{=1,AB=6,日勾股定理可得：4B=JAA：+4B?==2,且

Z-AAfi=60°.

同理可求：C,B=2

因?yàn)?8=8G=4C=2,所以V48G為等邊三角形，所以N84G=60。，

所以在三角形44。'中，=ZJJ,B+ABA.C=120°,AA,=1,4C*=2,

山余弦定理得；4C'=Jli42xlx2x（；）=".

故選B.

【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中的翻折（展開(kāi)）問(wèn)題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開(kāi)）過(guò)程中的不變量；

（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：

①幾何法：通過(guò)位置關(guān)系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；

②代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用代數(shù)法求最值.

20.（浙江省紹興戴山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，是底面圓O的直徑，點(diǎn)

C是圓。上異于4、8的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO=OB=l,BC=g,點(diǎn)E在線段

尸8上，則CE+OE的最小值為.

［答案］叵捶

2

【分析】首先求出心=&=PC，即有P8=PC=8C,將三棱錐展開(kāi)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，

可證￡為28中點(diǎn)，從而可求OC'=OE+EC,從而得解.

【詳解】在APOB中，PO=OB=\,NPOB=90°,

所以尸8=廬不=應(yīng)，同理PC=&，所以尸8=PC=BC，

在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BCP,

使之與平面4?尸共面，如圖所示，

當(dāng)。，E,t?共線時(shí)，CE+OE取得最小值，

又因?yàn)?。尸?8,CP=CB,

所以。C垂直平分尸6,即E為尸5中點(diǎn)，

從而QC=OE+EC'=—+—=五+",

222

亦即CE+OE的最小值為：&+?，

2

故答案為立士如

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中線段和最小值問(wèn)題，考查了空間想象能力、推理論證能力，考查了

數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

[蛙型05]截面問(wèn)題

21.（2022秋?浙江杭州?高三學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方體力8C。-中，點(diǎn)￡尸分別

是棱片8,用G的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱的中點(diǎn)，則過(guò)線段4G且平行于平面4M的截而圖形為（）

A.等腰梯形B.三角形C.正方形D.矩形

【答案】A

【分析】利用平行作出截面圖形，即可判斷形狀.

【詳解】取4c中點(diǎn)“，連接力〃，GH,4〃，0G.如下圖所示：

由題意得GH//E尸,4H//力/.又GHZ平面4EF,E產(chǎn)u平面4芯尸，

.?.G”〃平面4石/，同理力”//平面/.又G〃n4，=〃，G〃,力〃u平面4/G。，.?.平面

力"GQ〃平面4跖，故過(guò)線段力G且與平面4后尸平行的截面為四邊形/〃GR,顯然四邊形/"GR為

等腰梯形.

故選：A

22.（2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？计谥校┰诶忾L(zhǎng)為3的正方體48CD-44G。中，點(diǎn)P

是側(cè)面40。/上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到棱與到棱4。的距離均為1,用過(guò)點(diǎn)P旦與8。垂直的平面去截

該正方體，則截面在正方體底面48CO的投影多邊形的面積是（）

913

A.-B.5C.—D.8

22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出與5〃垂直的平面GJKLMM,作出其投影平面4OQCQ,已知正方體棱長(zhǎng)為

3,點(diǎn)P到棱44與到棱/O的距離均為1,所以點(diǎn)G,J,K,L,N,M均為各棱的三等分點(diǎn)，求出

投影的面積S即可得出答案.

【詳解】

由題意可以作出與6A垂直的平面％G,

利用面面平行可作出過(guò)點(diǎn)尸且平行于平面D4G的平面GJKLNM,

則平面GJKLNM與8。垂直，

作出點(diǎn)M,N的投影0,Q,

平面AOQCKJ的面積5即為所求，

已知正方體棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)P到棱與到棱4。的距離均為1，

所以點(diǎn)G,J,K,L,N,M均為各棱的三等分點(diǎn)

S=So?8a-J"K-Se80=3x3-；xlxl-；x2x2二￡，

故選：C.

23.（江蘇省蘇州市太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）（多選）用一個(gè)平面去截正

方體，截面形狀不可能是下列哪個(gè)圖形（）

A.五邊形B.直角三角形C.直角梯形D.鈍角三角形

【答案】BCD

【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合截面的性質(zhì)、余弦定理進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】如圖所示，截面“BC,

設(shè)4）=。，BD=b,CD=c,

??AC2=a2+c2BC2=Z>2+c2，AB2=a'+b2>

AB2+AC2-BC2i72+Z>2+a2+c2-ft2-c22a2

cosZDJC=-----------------------=------；；；；---=；---；；

2ABAC2（4+9）（"+/）2（"+沙）（4+￡?）

同理，cosZABC>0,cosZJCB>0,即/9C,NBC448c為銳角，

???MB。為銳角三角形，B,D都不可能，BD都要選；

如圖截面可以是五邊形月"G，〃,A可能.A不選

如圖截面MNP。可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要選.

故選：BCD

24.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）在正方體44。中，M,M。分別為棱28,48cA

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)”，M0作該正方體的截面，則所得截面的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】E,F,H分別為/D,DA，BC中點(diǎn),M,N,。確定平面。，證明六邊形的每條邊均在。內(nèi)，

得到答案.

【詳解】如圖所示：旦尸，〃分別為力。,?？?G中點(diǎn)，M,M。確定平面。，

NH〃MQ旦Nca,極NHua,Q^a,Hea,故QHua、

同理可得/。ua,EFua,EMua,故截面為六邊形.

故選：D.

25.（浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中期中）在三棱錐尸-48C中，

P8=6,/C=3,G為的重心，過(guò)點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線M和/C,

則截面的周長(zhǎng)為.

【答案】8

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作即〃4C,分別交刃，PC于點(diǎn)E,F.過(guò)點(diǎn)F作FM〃PB交BC于點(diǎn)

FP\4N9

過(guò)點(diǎn)、E作EN//PB交AB于點(diǎn)、N.可得四點(diǎn)EEWN共面，進(jìn)而得到三二K二：，根據(jù)比例可

ACAC3

求出截面各邊的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到周長(zhǎng).

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作跖〃/C,分別交RLPC于點(diǎn)E,F

過(guò)點(diǎn)F作FM//PB交BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作EN//PB交.AB于點(diǎn)、N.

由作圖可知：EN//FM,

???四點(diǎn)EFMN共面

可得MN〃AC〃EF,EN//PB//FM.

.EFMN二2

*'7C~^4C~3

可得EF=MN=2.

同理可得：EN=FM=2.

???截面的周長(zhǎng)為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理，

屬于中檔題.

26.（浙江省金華市東陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、東陽(yáng)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，已知三棱

^-ABC,點(diǎn)P是%1的中點(diǎn)，且4C=2,P8=4,過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)截面，使截面平行于跳和4C,

則截面的周長(zhǎng)為.

【答案】6

【解析】設(shè)力慶BC、PC的中點(diǎn)分別為。、E、F,連接。七、EF.PF、PD,則可證明截面切產(chǎn)力

就是所求平面，根據(jù)中位線的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】設(shè)48、BC、W的中點(diǎn)分別為E、F,連接?！辍F.PF、PD,如圖所示

因?yàn)镋分別為48、8C的中點(diǎn)，所以DE//AC,

同理入。分別為憶、48的中點(diǎn)，所以。尸|卜8,

DE,DPu平面EOZ）,VB,力。0平面￡/7。，

所以田。平面好了￡>,AC//平面EFPD,

所以截面EFPD就是所求平面，

因?yàn)?C=2,P8=4,所以DE=PF=1,PD=FE=2,

所以截面EFPD的周長(zhǎng)為2+2+1+1=6,

故答案為：6

線面垂直模型的外接球

27.（福建省福州文博中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在三棱錐尸-18C中，尸4_L平面

NBAC=gAB=AC=AP=2,則三棱錐外接球的表面積為（）

40

A.4冗B.127rC.—nD.16n

【答案】B

【分析】由題意可得48,AC,力。兩兩互相垂直且相等，則可將三棱錐尸-力5c補(bǔ)成為正方體，正

方體的對(duì)角線長(zhǎng)即為外接球的直徑，進(jìn)而可求解.

【詳解】如圖：

???P/_L平面49C,N84C=],

AB,AC,力尸兩兩互相垂直，AB=AC=AP-2,

把三棱錐尸-48。補(bǔ)成為正方體，則正方體的外接球即三棱錐尸-力8。的外接球,

正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為ylPA2+AB2+AC2=2V3，即其外接球直徑2R=2百，

???三棱錐外接球的表面枳為47rx=12TI.

故選：B.

28.（福建省寧德第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在四棱錐P-48co中，底面48C。為

矩形，P/_L平面力8CD,4=LZ8=2,/W=3,點(diǎn)E為8C上靠近8的三等分點(diǎn)，則三棱錐尸-4?！?/p>

外接球的表面積為（）

A.1litB.I2nC.14兀D.164

【答案】A

【分析】利用正弦定理可得三角形力瓦）的外接圓半徑為〃，根據(jù)勾股定理即訂求解外接球半徑，進(jìn)

而可求表面積.

【詳解】由題意可得8E=\,EC=2,AE=4AB2+BE2=4s,DE=>IDC2+CE2=2近，

所以在三角形力￡。中，由等面積法可得

-AD^iB-AE{EDs\nAEDsinAED=AD^B32_3

22AE^Dx/5,2V2710

設(shè)三角形力即的外接圓半徑為L(zhǎng)圓心為O',則由正弦定理得

2r

x/io

由于P4_L平面4EO,設(shè)三棱錐P-外接球的半徑為R，球心到平面力瓦）的距離為h,

過(guò)O作則?！倍?。京―，PO2=R2=OH2+（\-^）2二方2+,因此八R:曲,

22

故外接球的表面積為4兀心=11兀、

故選：A

29.（山東省臨沂第十八中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將

底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”.現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”（如圖所示），其中尸4_L底

面彳8CZ）,PA=3,AB=2,AD=\,則該“陽(yáng)馬”的外接球的表面積為.

【答案】14兀

【分析】以P4力8,40為棱作長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為外接球的直徑，從而求出外接球的半徑,

進(jìn)而求出外接球的表面積.

【詳解】如圖，以尸4月民力。為棱作長(zhǎng)方體，

則長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為該“陽(yáng)馬”的外接球的直徑，設(shè)直徑為R，

則（2及『=32+22+[2=]4,所以4R:14，

所以該“陽(yáng)馬”的外接球的表面積為4M2=9兀.

故答案為：14m

30.（2022秋?遼寧大連?高三大連市第十二中上學(xué)期期中）如圖，已知四棱錐P-/I8CO外接球。的

體積為36元，PA=3,側(cè)棱P4與底面48CQ垂直，四邊形43。為矩形，點(diǎn)M在球。的表面上運(yùn)

動(dòng).當(dāng)四棱錐V-ABCD體積的最大時(shí)，點(diǎn)X到面PBD的距離為.

7

【分析】根據(jù)給定條件，求出球。的半徑并確定球心O的位置，再求出四棱錐48co體積取最

大時(shí)，矩形486的特征，然后用等體積法求解作答.

4

【詳解】設(shè)球。的半徑為R,則§成3=36兀，解得R=3,連接ZC,

由4_L平面/8O8c4Cu平面力BCD,得尸4_1_3。,產(chǎn)力_1",由矩形/8CQ,得J.BC,

而尸4。48=4尸4%8U平面尸力8,則平面P4B,又尸8u平面P48,于是8c_LP8,同理

CDLPD,

取尸。中點(diǎn)O',連接?！?。50'。，則。力尸，因此點(diǎn)。是四棱錐尸一488的

外接球球心。，

^^AB2+AD2^AP2=AC2+AP2=PC2=6，而4尸=3,AB2+AD2=21

令4CcBO=q,連接則平面力BCQ,0a=3尸4=]，

要使四棱錐M-ABCD的體積最大，點(diǎn)M必為射線0,0與球。的表面的交點(diǎn)，

39

MO.=OO.+OM=-+3=-,

1122

?33R1

22

此時(shí)四棱錐M-ABCD的體積P=-SABCDMOX=-ABAD<-{AB^AD）=—,當(dāng)且僅當(dāng)

48=力。=地時(shí)取等號(hào)，

2

BD=41AB=3瓜PD=PB=>）PA2+AB2=辦叵，4PBD底邊BD上的高

2

設(shè)點(diǎn)A到平面P8D的距離為d,由右一的二〃.械,，得gS/m?d=￥"&/〉?4，

即=有3百.地］=3-3,解得4=缶亙，

22227

所以點(diǎn)力到面P8O的距離為迎.

7

故答案為：

7

31.（2022秋?山東德州?高三德州市第一中學(xué)上學(xué)期期中）已知三棱錐尸-/8。的體積為6,且

PA=2PB=3PC=6.則該三棱錐外接球的表面積為.

【答案】49兀

【分析】先利用題給條件求得尸4尸8,尸CT者間的位置關(guān)系，求得該三棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求

得該三棱錐外接球的表面積

【詳解】由題意得4=6,。8=3,尸。=2,

設(shè)點(diǎn)/到平面P8C的距離為九則

<—X—x2x3A<—X—x2x3x6=6,乂匕>_詠=6,

3232

則尸4瓶,尸。兩兩垂直，取8C中點(diǎn)連接PW并延長(zhǎng)至O,

使MD=PM,連接40,8,30,

則四校錐力-尸8DC中，尸/J.底面尸8DC,且尸80C為矩形，

故四棱錐4-P8QC可以補(bǔ)形為以尸8QC為底面的長(zhǎng)方體，

且40為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，AD中點(diǎn)即為外接球球心0,

又AD=\lPA2+PB2+PC2=\l62+32+22=7，

則該三棱錐外接球的表面積為4兀（g）=49兀

故答案為：49冗

題型07對(duì)棱相等、共斜邊模型的外接球

32.（2022秋?湖南株洲?高三炎陵縣第一中學(xué)上學(xué)期期中）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑

球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古

人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)

經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)43,CP.

4。=8。=4,4=2,4。_18。,/>4_1平面力8。，則該鞠（球）的表面積為（）

A.497rB.647rC.36兀D.16K

【答案】C

【分析】取5P的中點(diǎn)為O,連接O4X,可證O為外接球的球心，故可求半徑，從而可得球的表

因?yàn)镻/1平面48C,而48u平面力BC,故

故OP=OA=OB.

同理"_LBC,而C/J.8C,。口尸力=4,。4尸力（=平面"。，

故8CJL平面"C,而PCu平面力C,故BC上PC,

故OP=OC=OB,

綜上，。為三棱錐尸-718c外接球的球心，

而尸8=y/PA2+CA2+CB2=74+16+16=6，故外接球的半徑為3,

故球的表面積為4加x9=36兀，

故選：C

33.（2022秋?廣東東莞?高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)上學(xué)期期中）在三棱錐力8。中，對(duì)棱AB=CD=2g，

AD=BC=M，AC=BD=后,則該三棱錐的外接球體積為,內(nèi)切球表面積為.

【答案】京9嚀

【分析】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的值，可計(jì)算出該三棱錐

的外接球半徑，計(jì)算出彳-BC。的表面枳與體積，利用等體積法可求得該三棱錐內(nèi)切球的半徑，利

用球體的體積和表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橐?棱錐4-58每組對(duì)棱棱長(zhǎng)相等，所以可以把:棱錐18co放入長(zhǎng)方體中，

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為X、y、Z,如下圖所示：

則+=2\[2>\/x2+z2=Vs?+n?,解得x=y=2,z=1,

外接球直徑2H=必衣17=3,其半徑為氏='|，

114

三棱錐A-BCD的體枳P=---xyzx4=-xyz=-,

633

在AJBC中，4c=8C=逐，48=2夜，取力5的中點(diǎn)E,連接CE,如下圖所示：

則CE_Z48,RCE=dAC2-AE?=百，所以，S“Bc=gAB.CE=R

因?yàn)槿忮F力的每個(gè)面的三邊分別為石、由、2夜，

所以，三棱錐力-BC。的表面積為S=4S△.=4〃，

設(shè)三棱錐4—8CZ）的內(nèi)切球半徑為，則/=gs〃，可得〃=?=a=乎，

所以該三棱錐的外接球體積為:乃公=，內(nèi)切球表面積為41產(chǎn)=,乃.

sz3

Q2

故答案為：-7T;-71.

34.（2022秋?湖南張家界?高三統(tǒng)考期中）三棱錐S-/8C中，見(jiàn)_L平面力8C,AB1BC,

SA=AB=BC.過(guò)點(diǎn)A分別作4E_LS8,AFLSC交SB、SC于點(diǎn)E、F,記三棱錐S-Q1E的外接

球表面積為耳，三棱錐S-48C的外接球表面積為§2,則3=（）

A.BB.IC.—D.7

3322

【答案】B

【分析】取S4的中點(diǎn)。1，SC的中點(diǎn)。2,連&E,OF，O2A,O2Bt證明。2是三棱錐s—48c的

外接球的球心，SC為該球的直徑；01是三棱錐S-E4E的外接球的球心，S4為該球的直徑，設(shè)

SA=AB=BC=a,求出SC,根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.

【詳解】取S4的中點(diǎn)a，sc的中點(diǎn)。2,連QE,OF，o2A,O2B,

因?yàn)楸豞L平面力8C,48,8。,力。<3平面力8。，所以弘_L48,SAIBC,SA1AC,

因?yàn)镠BJ.BC,SAnAB=A,弘，力8u平面以8,所以8C/平面以8,

因?yàn)槌鮱'FiES48,所以8C_LS8,

在直角三角形"C中，。2是斜邊SC的中點(diǎn)，所以。2/=。2$=。2。，

在直角?:角形SBC中，。2是斜邊SC的中點(diǎn)，所以。避=。2$=。2。,

所以4矩三棱錐S-/BC的外接球的球心，SC為該球的直徑.

因?yàn)?E_LS8,01是斜邊S4的中點(diǎn)，所以。盧=o/=qs,

因?yàn)?/ISC,O1是斜邊S4的中點(diǎn)，廳以。尸=。第=。6,

所以。是三棱錐S-E4E的外接球的球心，S4為該球的直徑.

設(shè)弘=48=8。=。，則SC=J"2+4B2+8C2=小，

2222

則￡=4九?(-^-)=an,S2=4n-(^^)=4兀?(-^―)=3427t?

故選：B.

35.（山東省青島市青島中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知A,B,C,。四點(diǎn)在半徑為叵

2

的球面上，且4。=5。=后，AD=BC=5,AB=CD,則三棱錐。一力BC的體積是.

【答案】8

【分析】構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面上的對(duì)角線構(gòu)成三棱錐。力8c計(jì)算出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，求出長(zhǎng)方體

的體積，減去四個(gè)小三棱錐的體積即可求得.

【詳解】由題意構(gòu)造長(zhǎng)方體如圖示，其面上的對(duì)角線構(gòu)成三棱錐ZM8C

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為。、b、c,則有：

a2+b2+c2=29（a=3

+5J13,解得：,6=2,

a2+c2=25c=4

所以三棱錐0-43。的體枳是:

2x3x4-4x-x—x2x3x4=8.

(32

故答案為：8.

36.（2022春?河北石家莊?高三石家莊一中上學(xué)期期中）已知三棱錐力-BC￡＞中，AB=CD=g，

AC=BC=AD=BD=xf3,且各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為.

4

【答案】

【分析】根據(jù)已知，將三棱錐拓展為以4SC。為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體，三棱錐的各棱為長(zhǎng)方體面的對(duì)角

線，求出長(zhǎng)方體外接球的半徑，即可求解..

【詳解】二棱錐力-4co中.AB=CD=6.

AC=BC=AD=BD=5

將三棱錐拓展為以45C,3為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體，

如下圖所示，長(zhǎng)方體的上下底面的對(duì)角線長(zhǎng)

即邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)面的對(duì)角線