湖南省長沙市開福區(qū)長沙大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含答案及解析

2024年下學(xué)期長大附中高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考試范圍：必修部分；考試時間：120分鐘，滿分120分.注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（共40分）1.命題：的否定是（）A.使得B.使得C都有D.都有2.若：，：，則是的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.4.已知函數(shù)，且函數(shù)最小正周期為，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，①；②點是的一個對稱中心；③直線是函數(shù)的一條對稱軸；④函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是.其中正確的（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④5.已知實數(shù)，，，則，，這三個數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.6.在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點D為棱的中點，點M為面的一動點，則的最小值為（）A. B.6 C. D.7.已知中，設(shè)角、B、C所對的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（）A. B. C.1 D.28.已知銳角三角形中，角所對的邊分別為的面積為，且，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（共18分）9.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A.B.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與向量共線，則10.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的取值可以為（）A.-2 B.3 C.5 D.811.對于定義域為D的函數(shù),若同時滿足下列條件:①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域為.那么把稱為閉函數(shù).下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)是閉函數(shù)B.函數(shù)是閉函數(shù)C.函數(shù)是閉函數(shù)D.時,函數(shù)是閉函數(shù)E.時,函數(shù)是閉函數(shù)三、填空題（共15分）12.若函數(shù)具有性質(zhì)：①為偶函數(shù)，②對任意，都有，則函數(shù)的解析式是_____________．（只需寫出滿足條件的一個解析式即可）13.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．14.已知三棱錐外接球直徑為SC，球的表面積為，且，則三棱錐的體積為______.四、解答題（共77分）15.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸；（2）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，滿足，，且的面積為，求的值.16.如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)是的中點，棱上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.17.已知某科技公司某型號芯片的各項指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為I級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）若臨界值，請估計該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個Ⅱ級品中應(yīng)用于A型手機(jī)的芯片個數(shù)；（2）設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片I級品?Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)?B型手機(jī)各1萬部的生產(chǎn)：方案一：直接將該芯片I級品應(yīng)用于A型手機(jī)，其中該指標(biāo)小于等于臨界值K芯片會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；直接將該芯片Ⅱ級品應(yīng)用于B型手機(jī)，其中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片，會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；方案二：重新檢測芯片I級品，II級品的該項指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號，會避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測費(fèi)用共需要130萬元；請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計值（單位：萬元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．18.設(shè)A是符合以下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合，對任意的且在上是減函數(shù)。（Ⅰ）判斷函數(shù)及是否屬于集合A，并簡要說明理由；（Ⅱ）把（Ⅰ）中你認(rèn)為是集合A中的一個函數(shù)記為，若不等式對任意的總成立，求實數(shù)k的取值范圍。19.已知函數(shù).（1）若，，且在上的最大值為，最小值為，試求，的值；（2）若，，且對任意恒成立，求的取值范圍.（用來表示）

2024年下學(xué)期長大附中高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考試范圍：必修部分；考試時間：120分鐘，滿分120分.注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（共40分）1.命題：的否定是（）A.使得B.使得C.都有D.都有【答案】B【解析】【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可?！驹斀狻棵}：的否定是使得.故選：B【點睛】本題考查全稱命題的否定，是基礎(chǔ)題。2.若：，：，則是的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】解出命題為真時對應(yīng)的范圍，結(jié)合充分、必要性定義分析即可得答案.【詳解】由，得，即，由，得，即，所以是的既不充分也不必要條件，故選：D3.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用偶次根式被開方數(shù)非負(fù)，求得的定義域.【詳解】解：解得即函數(shù)的定義域為故選：【點睛】本題考查函數(shù)定義域的求法，注意偶次根式的含義和定義域含義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，①；②點是的一個對稱中心；③直線是函數(shù)的一條對稱軸；④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.其中正確的（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】由題得，所以，所以①正確；函數(shù)沒有對稱中心，對稱軸方程為，故②不正確，③正確；令，得單調(diào)遞增區(qū)間是，故④正確.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，所以，所以①正確；函數(shù)沒有對稱中心，且對稱軸方程為，所以當(dāng)k=1時，對稱軸方程為，故②不正確，③正確；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故④正確.故選：D5.已知實數(shù)，，，則，，這三個數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】由于，即，由，即，由，即，故.故選：C6.在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點D為棱的中點，點M為面的一動點，則的最小值為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直三棱柱、等腰直角三角形的性質(zhì)易證面，由面面垂直的判定有面面，進(jìn)而可確定關(guān)于平面對稱點E的位置，則有，應(yīng)用勾股定理即可求的最小值.【詳解】由題意知，，為直三棱柱，即面面，面面，面，∴面，又面，∴面面.∴易得關(guān)于平面對稱點E落在的延長線上，且，即，如下圖所示，的最小時，、、三點共線.∴.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用面面垂直確定關(guān)于平面對稱點位置，根據(jù)知當(dāng)、、三點共線時的最小.7.已知中，設(shè)角、B、C所對的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉(zhuǎn)化成邊得：，通過余弦定理可將等式化簡整理為，通過三角函數(shù)圖像可知，同時通過基本不等式可知，即得，通過取等條件可知，，將其代入問題中即可求解答案.【詳解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，兩邊同除得：，根據(jù)余弦定理得：，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.綜上所述：且，故得：，此時且，，.故選：B8.已知銳角三角形中，角所對的邊分別為的面積為，且，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面積公式，余弦定理和題干條件得到，結(jié)合正弦定理得到，由為銳角三角形，求出，從而求出，求出的取值范圍.【詳解】因為，所以，即，所以，整理得：，因為，所以，由正弦定理得：，因為，所以，因為為銳角三角形，所以為銳角，所以，即，由，解得：，因為，所以，解得：，故選：A【點睛】三角形相關(guān)的邊的取值范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)的值域等求出邊的取值范圍，或利用基本不等式進(jìn)行求解.二、多選題（共18分）9.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）AB.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與向量共線，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，，對于A：根據(jù)向量的夾角公式運(yùn)算求解；對于B：根據(jù)投影向量的定義分析運(yùn)算；對于C：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)向量共線的判定定理分析運(yùn)算.【詳解】由題意知，，對于選項A：，故A正確；對于選項B：在方向上的投影向量為，故B錯誤；對于選項C：設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，故C錯誤；對于選項D：因為向量與向量共線，所以若存在，使得，則，解得，故D正確．故選：AD.10.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的取值可以為（）A.-2 B.3 C.5 D.8【答案】CD【解析】【分析】由解析式可作出圖象，將所求不等式變?yōu)?，分別在、和三種情況下得到不等式的解，通過圖象觀察可確定1個整數(shù)解的值，由此確定臨界狀態(tài)得到取值范圍.【詳解】由解析式可得圖象如下圖所示，由得：，當(dāng)時，，不等式無解；當(dāng)時，由得：，若不等式恰有1個整數(shù)解，則整數(shù)解為，又，，，所以；當(dāng)時，由得：，此時有多個解，故舍去；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：CD.11.對于定義域為D的函數(shù),若同時滿足下列條件:①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域為.那么把稱為閉函數(shù).下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)是閉函數(shù)B.函數(shù)是閉函數(shù)C.函數(shù)是閉函數(shù)D.時,函數(shù)是閉函數(shù)E.時,函數(shù)是閉函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】依次判斷每個選項：根據(jù)單調(diào)性排除；在上的值域為B正確；根據(jù)閉函數(shù)定義得到，故D正確，E錯誤，得到答案.【詳解】因為在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)不是閉函數(shù)，A錯誤；在定義域上是減函數(shù)，由題意設(shè)，則，解得因此存在區(qū)間，使在上的值域為，B正確；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)，C錯誤；若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間，使函數(shù)的值域為，即，所以a，b為方程的兩個實數(shù)根，即方程有兩個不等的實根.當(dāng)時，有，解得；當(dāng)時，有，此不等式組無解.綜上所述，，因此D正確，E錯誤；故選：BD【點睛】本題考查了函數(shù)的新定義，單調(diào)性和值域，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.三、填空題（共15分）12.若函數(shù)具有性質(zhì)：①為偶函數(shù)，②對任意，都有，則函數(shù)的解析式是_____________．（只需寫出滿足條件的一個解析式即可）【答案】，，，（答案不唯一）【解析】【分析】若函數(shù)具有性質(zhì)：①為偶函數(shù)，說明②對任意，都有，說明，是周期函數(shù).【詳解】若函數(shù)具有性質(zhì)：①為偶函數(shù)，說明②對任意，都有，說明，是周期函數(shù).所以，或或，故答案為：，，，（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的周期性、對稱性、以及奇偶性，屬于開放性題，屬于中檔題.13.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．【答案】9【解析】【分析】首先將化為，再利用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】由得，又因，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為9．故答案為：9.14.已知三棱錐外接球直徑為SC，球表面積為，且，則三棱錐的體積為______.【答案】##【解析】【分析】求出外接球半徑，得到，，作出輔助線，求出⊥平面，由勾股定理求出各邊長，由余弦定理得到，進(jìn)而得到，求出，利用錐體體積公式求出答案.【詳解】設(shè)外接球半徑為，則，解得，故，由于均在球面上，故，由勾股定理得，取的中點，連接，則⊥，⊥，，又，平面，故⊥平面，其中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，故，故，故三棱錐的體積為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：取的中點，連接，證明出⊥平面，從而利用求出三棱錐的體積.四、解答題（共77分）15.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸；（2）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，滿足，，且的面積為，求的值.【答案】（1）最小正周期為，對稱軸為：；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)式可得即可求的最小正周期和對稱軸；（2）利用三角形面積公式、余弦定理有，即可求的值.【詳解】（1）解：，∴函數(shù)的最小正周期為；而對稱軸為，∴函數(shù)的對稱軸為：.（2）且，則，由，可知①，由余弦定理及，可知②；結(jié)合①②：.【點睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，利用三角恒等變換化簡函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求周期、對稱軸，并應(yīng)用三角形面積公式、余弦定理解三角形，屬于中檔題.16.如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)是的中點，棱上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】【分析】【詳解】（1）證明：在正方形中，可得，又，，，平面，所以平面，又平面,所以平面平面.（2）解：因為，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，分別取，上的點，使得，又因為，故四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，取中點，則，又，故四邊形是平行四邊形，所以，又因為，是的中點，故是的中位線，所以，又由平面，平面，所以平面，，平面所以平面平面，又由平面，所以平面，此時.【點睛】方法點睛：對于這類探索性問題，通常是利用面面平行，證得線面平行，并確定點的位置.17.已知某科技公司的某型號芯片的各項指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為I級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）若臨界值，請估計該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個Ⅱ級品中應(yīng)用于A型手機(jī)的芯片個數(shù)；（2）設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片I級品?Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)?B型手機(jī)各1萬部的生產(chǎn)：方案一：直接將該芯片I級品應(yīng)用于A型手機(jī)，其中該指標(biāo)小于等于臨界值K的芯片會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；直接將該芯片Ⅱ級品應(yīng)用于B型手機(jī)，其中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片，會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；方案二：重新檢測芯片I級品，II級品的該項指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號，會避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測費(fèi)用共需要130萬元；請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計值（單位：萬元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．【答案】（1）（2），應(yīng)選擇方案二【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，即可求解頻率，進(jìn)而可求解，（2）分別計算兩種方案的費(fèi)用，即可比較作答.【小問1詳解】臨界值時，I級品中該指標(biāo)大于60的頻率為，II級品中該指標(biāo)大于60的頻率為0.1故該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個II級品中應(yīng)用于型手機(jī)的芯片個數(shù)估計為：【小問2詳解】當(dāng)臨界值時，若采用方案一：I級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的概率為，可以估計10000部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯誤；II級品中該指標(biāo)大于臨界值的概率為，可以估計10000部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯誤；故可以估計芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用又采用方案二需要檢測費(fèi)用共130萬元故從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，應(yīng)選擇方案二18.設(shè)A是符合以下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合，對任意的且在上是減函數(shù)。（Ⅰ）判斷函數(shù)及是否屬于集合A，并簡要說明理由；（Ⅱ）把（Ⅰ）中你認(rèn)為是集合A中的一個函數(shù)記為，若不等式對任意的總成立，求實數(shù)k的取值范