函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題07函數(shù)的性質(zhì)—單調(diào)性、奇偶性、周期性

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)锳，區(qū)間。口A：

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值為，巧當(dāng)時(shí)，都有/（%）＜/-2），那么就說

/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù).

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值為，巧，當(dāng)$＜七時(shí)，都有/（%）＜/（々），那么就

說/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

②仁意兩個(gè)自變量X],々且演＜%2；

③都有/（%）＜i\x2）或/（X）＞f（x2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下

降的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)人幻在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)

間。上具有單調(diào)性，。稱為函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，

內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，當(dāng)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減

（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶

定義圖象特點(diǎn)

性

偶函如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有關(guān)于y軸對(duì)

數(shù)/(-X)=/(X),那么函數(shù)/⑺就叫做偶函數(shù)稱

奇函如果對(duì)于函數(shù)/⑶的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

數(shù)/(-x)=-f(X),那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)稱

判斷/(-幻與/*)的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果/(一了)一/(%)=0或

與R=l(/(x)w()),則函數(shù)/(%)為偶函數(shù)；如果/(-幻+/(幻=0或

與W=-l(/*)wO),則函數(shù)/。)為奇函數(shù).

fM

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域

內(nèi)的任意一個(gè)X,一X也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

3.函數(shù)的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)了=/(什。)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于工=?對(duì)稱.

(2)若函數(shù)y=為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(。，0)對(duì)稱.

(3)若/(x)=/(2a-A),則函數(shù)f(x)關(guān)于x=〃對(duì)稱.

(4)若/*)+"勿-幻=勸，則函數(shù)/。)關(guān)于點(diǎn)(。，〃)對(duì)稱.

4.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對(duì)于函數(shù)丁=/(幻，如果存在一個(gè)非零常數(shù)丁，使得當(dāng)J-取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

/u+n=/(X),那么就稱函數(shù))，=/(制為周期函數(shù)，稱7為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(X)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做/(.')的

最小正周期.

【方法技巧與總結(jié)】

1.單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)/，々是人幻定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且x<z；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形;

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與I的大小關(guān)系：

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論''進(jìn)行判

斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出

它們的單調(diào)區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若/(X)是增函數(shù)，則—f(x)為減函數(shù)；若八外是減函數(shù)，則一/(1)為增函數(shù)；

②若"X)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在"K)和g(x)的公共定義域上/(X)+g(X)為增

(或減)函數(shù)；

③若/(外>0且/(幻為墻函數(shù)，則函數(shù)小而為增函數(shù)，7/為減函數(shù)；

④若/(x)>0且f(x)為減函數(shù)，則函數(shù)J75為減函數(shù)，7/為增函數(shù).

2.奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特彳已

函數(shù)是偶函數(shù)=函數(shù)/*)的圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱；

函數(shù)/。)是奇函數(shù)O函數(shù)/*)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

(3)若奇函數(shù))，=/。)在x=0處有意義，則有/(0)=。；偶函數(shù))，=/(幻必滿足

/(x)=/(|x|),

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)"X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)人幻能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的

和的形式.記g(x)=；[/(x)+/(r)],皿幻=，/(外一/(一刈，則/*)=g(x)+〃*).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除四

則運(yùn)算所得的函數(shù)，如/(x)+g(x),/(x)-g(x),/a)xg*),/(x)+#0).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇±奇;奇：偶土偶二偶；奇士偶二非奇非偶；奇x(+)奇二偶:

奇、(+)偶=奇；偶、(+)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(X)=〃7("+1)(xw0)或函數(shù)/(.V)=切(三-).

a-\a+\

②函數(shù)/。)=±("-「).

③函數(shù)/(x)=log”上”=log“(14-上L)或函數(shù)f(x)=log“土”=log“(1一-也-)

x-mx-mx+mx+m

④函數(shù)f(x)=log“(>/函+1+X)或函數(shù)f(x)=log“(Vx2+1-X)-

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/(幻=〃?+學(xué)7(戶0)或函數(shù)/(x)=〃L07(/〃€R).

aa+\

偶函數(shù)：①函數(shù)/(“)=土(，+4).

②函數(shù)/")=1%(產(chǎn)+1)-￡.

③函數(shù)/(IN類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3.周期性技巧

函數(shù)式糠足大系(JIC*>用明

T

2T

小訂)■工九

2T

/(x)/(j>

2T

/(x*D■-/(<-D

2(A-<o

la

，(x)為儀用故

-/(a-x)

<*b-u)

<2a

/”)為奇畫故

“A-a)

/(ar)=/(ar)

4a

/(幻為金?收

/(<>?Jl)?

4u

/0)為輯函數(shù)

4.函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù))，=/5)有兩條對(duì)稱軸x=4，x=b(a<b),則函數(shù)/(X)是周期函數(shù)，且

T=2(b-a)；

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心3,c),S,c)(a<b)f則函數(shù)y=f[x｝是周期函

數(shù)，且7=2(人一“)；

(3)若函數(shù))，=/*)有一條對(duì)稱軸X和一個(gè)對(duì)稱中心S，O)(a<A),則函數(shù)y=/(x)是

周期函數(shù)，且7=4(〃-0.

5.對(duì)稱性技巧

(1)若函數(shù)丁=/(工)關(guān)于直線％對(duì)稱，則/(〃+》)=/(。一幻.

(2)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(mb)對(duì)稱,則/3+x)+/3-x)=2〃.

(3)函數(shù)y=/3+x)與y=/(a-%)關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)y=/(。+“)與丁=-/(。-1)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

【題型歸納目錄】

題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值

題型九：已知奇函數(shù)+M

題型十：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性

題型十一：類周期函數(shù)

題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合

【典例例題】

題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

例1.(2022?全國?高三專題練習(xí))若定義在R上的函數(shù)/G)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)小

b,總有>0成立,則必有()

a-b

A./(x)在R上是增函數(shù)B./(x)在R上是減函數(shù)

C.函數(shù)/(x)先增后減D.函數(shù)/(x)先減后增

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)條件可得當(dāng)"vb時(shí)，f(。)<f(b\或當(dāng)。乂時(shí)，/(?)從而可判斷.

【詳解】

rh/(")"")>0知/(a)-f(b)與a-b同號(hào)，即當(dāng)a<b時(shí)，/(a)<fCb),或當(dāng)a>b時(shí)，f

a-b

(a)>f(b),所以/(x)在R上是增函數(shù).

故選：A.

例2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)。，人都有(。一與[/(。)一/(〃)]>0,則不等式〃3X—1)>/(%+5)的解集為

().

A.(-00,3)B.(3,-KO)C.(f,2)D.(2,+00)

【答案】B

【解析】

由條件得到函數(shù)是單增的，然后把函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較，即可解得解

集.

【詳解】

不妨設(shè)因?yàn)?〃一〃)[/(〃)一/。)]>0,

所以/(。)>/(。),

故/(x)是R上的增函數(shù).原不等式等價(jià)于3x-l>x+5,解得x>3.

故選：B.

例3.(2022?全國?高三專題練習(xí))/(x)=5f—2x的單調(diào)增區(qū)間為()

A.6+8)B.卜吟(1A'1)

C.I--,+?>ID.-oo,__

1'、5J

例4.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2、—

(1)判斷/(x)在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；

(2)解關(guān)于x的不等式/(k)g2X)v/⑴.

【答案】(1)/⑴在R上是增函數(shù)，證明見解析；(2)(0,2).

【解析】

【分析】

(1)由題可判斷函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，利用定義法的步驟證明即可；

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即解?.

【詳解】

(1)f(-x)=2-￥-T=-(2v-^-)=-f(x),則函數(shù)/㈤是奇函數(shù)，

則當(dāng)工.()時(shí)，設(shè)a,xi<x2,

則/?)一/(%，)=2”2M+1=2巾_2?+^^

2內(nèi)2與272咫

2,J

=(2"_2咫）

2演2與

(),,X]<工2，

/.1?2"v2"2,即2"-2土<0，2"2電>1，

則/(玉)-J\x2)<0,即/(%)<f\x2),

則/"）在［0,+。）上是增函數(shù),

,/（幻是R上的奇函數(shù)，

???/*）在R上是增函數(shù).

（2）???/（X）在R上是增函數(shù),

不等式/（log2X）</（I）等價(jià)為不等式log2X<1,

即0cx<2.

即不等式的解集為（0,2）.

HY

例5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）討論函數(shù)/*）=—（。/0）在（-1,1）上的單調(diào)性.

1一1

【方法技巧與總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論“進(jìn)行判

斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出

它們的單調(diào)區(qū)間.

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

例6.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））函數(shù)）,=2.,+"2的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.B.（-CC,-1J

D.[-1,2]

【答案】c

【解析】

【分析】

先求出定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)/=-V+X+2在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，然后由復(fù)合函數(shù)

“同增異減”判斷單調(diào)性的方法可得答案

【詳解】

令一爐+工+220，解得

令/二-x2+x+2，則y=〃，

??,函數(shù)，=一犬+1+2在區(qū)間-i,g上單調(diào)遞增，在區(qū)間；，2上單調(diào)遞減，），=〃在

定義域內(nèi)涕增，

???根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)）,=2匚不嬴的單調(diào)遞增區(qū)間是-1，：?

故選：c

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)）'=1°gi（r2+4x+12）單調(diào)遞減區(qū)間是（）

3

A.（-oo,2）B.（2,+oo）C.（-2,2）D.（-2,6）

【答案】C

【解析】

【分析】

先求解原函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】

令y=〃=一［2+4*+12.由〃=一/+4”+12>0，得一2Vxe6.

3

因?yàn)楹瘮?shù)y=l0g/是關(guān)于〃的遞減函數(shù)，且X￡（—2,2）時(shí)?，〃=-2+4%+12為增函

數(shù)，所以y=i°g］（一/+4X+12）為減函數(shù)，

3

所以函數(shù)）'=bg］（一/+4x4-12）的單調(diào)減區(qū)間是（-2,2）.

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，較簡(jiǎn)單，解答時(shí)注意不要忽略原函數(shù)的定義域.

例8.(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/。)=(：了3-3的單調(diào)遞減區(qū)間是

A.(-oo,-K?)B.(fl)C.(3,+8)D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】

設(shè)t=x2-2x-3,則函數(shù)在(-8,1］上單調(diào)遞減，在［1,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)楹瘮?shù)(g)在定義域上為減函數(shù)，

所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1，+8).

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先

確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判

斷，判斷的依據(jù)是“同增異減

【方法技巧與總結(jié)】

討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的

單調(diào)性.一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)

合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

I.若〃=g(x),)，=/(〃)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=/［g(x)］

為增函數(shù)；

2.若〃=g(x),)，=/(〃)在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則

y=/Ig(x)］為減函數(shù).列表如下:

W=g(x)y=/(w)y=f[gM]

增增增

增減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增并減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減.

題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

例9.（2022?河南?新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））在人工智能領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，常用到在定

義域/內(nèi)單調(diào)遞增且有界的函數(shù)/（戈），gp3M>0,|/W|<M.則下列函數(shù)

中，所有符合上述條件的字號(hào)是

①②?。?汽7；③/（“二一二；

I+xe+ei+e

【答案】③④

【解析】

【分析】

根據(jù)定義考慮函數(shù)的單調(diào)性，且要是單調(diào)遞增函數(shù)，也可考慮函數(shù)的值域.

【詳解】

對(duì)于①,無界，不符合題意;

對(duì)于②,1+x21不單調(diào)，不符合題意;

XH—

X

-.Ve2x-le2x+l-22

對(duì)于③,?。?『=1一一。單調(diào)遞增，且

e+e2v+le2v+ll+e2x

/（力￡（—1,1）,則|/（刈<1,符合題意;

對(duì)于④，/（力=7二單調(diào)遞增，且/（力?0,1）,則|/'（刈<1,符合題意.

1"f"e

故答案為：③④

例10.（2022.全國?高三專題練習(xí)）定義在（0,+。）上的函數(shù)/（"對(duì)于任意的蒼），￡川,

總有〃x)+/(y)=/(孫),且當(dāng)x>l時(shí),〃x)<0且/(e)=-1.

(1)求/(1)的值；

(2)判斷函數(shù)在(0,+8)上的單調(diào)性，并證明；

(3)求函數(shù)/(x)在ke2上的最大值與最小值.

【答案】⑴0；(2)/｛力在(0,+力)單調(diào)遞減：⑶最大值1,最小值-2.

【解析】

(1)令x=y=l,代入計(jì)算：(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，設(shè)大>9>0,令

/\

盯二七，x=x2,則可判斷/(司)一/(.)=/—<0,即可判斷出函數(shù)/(力在

kX27

(0,+8)單調(diào)遞減；(3)根據(jù)/(e)=T,令x=)'=e,代入計(jì)算/(/),令x=e,

)，=：,計(jì)算/'(：)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減，直接寫出最大值與最小值.

【詳解】

解：(1)令x=y=l,

/⑴+/⑴=/⑴=/⑴=。.

(2)/(可在(0,+8)單調(diào)遞減

設(shè)%>9>0，令9=%，工=尤2，則)'='，所以F>1,/(y)<0

“2

/\/\

得/(&)+/-=/(-1)=>/(^1)-/(^2)=/—<。

\X27\X2/

即對(duì)任意所,9￡(。,-8)，若內(nèi)>電，則/(X1)</(9)，/(X)在(。，+動(dòng)單調(diào)遞減.

(3)因?yàn)?(e)=T,令x=y=e,/(e2)=/(e)+/(^)=-2

令x=e,y=l,/(l)=/(^)+/f-l=0./H=l

e\e)\eJ

因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，所以/（x）max=/（：）=1

小%=?。?2

（IX

例11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/*）=——（。=0）.

x-2

（1）判斷函數(shù)/*）在區(qū)間（-2,2）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；

（2）若"3）=3,求xe[Tl]時(shí)函數(shù)/（幻的值域.

【答案】（1）當(dāng)4〉0時(shí)，函數(shù)人幻在區(qū)間（-2,2）上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)。＜0時(shí)，函數(shù)f。）

在區(qū)間（-2,2）上是單調(diào)增函數(shù)，證明過程見解析；（2）

【解析】

（1）運(yùn)用單調(diào)性的定義進(jìn)行分類討論進(jìn)行判斷證明即用;

（2）根據(jù)/（3）=3求出。的值，結(jié)合（I）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：（1）當(dāng)。＞0時(shí)，函數(shù)/*）在區(qū)間（-2,2）上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)/*）在區(qū)

間（-2,2）上是單調(diào)增函數(shù).

當(dāng)。＞0時(shí)，證明如下：

任取一2＜玉＜々＜2,

貝|」/（內(nèi)）一/（超）=-^--^2a（x2-X1）

王一ZX-）-2.（內(nèi)-2）（%-2）

因?yàn)檠菀?＜0,￡-2＜0、2。（/一%）＞0,

故函數(shù)在（-2.2）上是單調(diào)減函數(shù):

所以嵩當(dāng)仇得”為）＞〃％）,

同理可證:當(dāng)。＜0時(shí),函數(shù)可幻在（-2,2）上是單調(diào)增函數(shù).

（2）由/（3）二—±二3n〃=l.

3-2

由（1）得/&）=」一在（-2,2）上是減函數(shù)，

x-2

X

從而函數(shù)〃幻二^在上也是減函數(shù)，

x-2

其最小值為了⑴=T,

最大值為=

由此可得，函數(shù)/(X)在［-1,1］上的值域?yàn)?

例12.(2022?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè)(理))已知。＜/?,函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镮,若存在

［。乃］口」,使得了⑶在上的值域?yàn)椋邸?句,我們就說f(x)是“類方函數(shù)”.下列四個(gè)函

數(shù)中是“類方函數(shù)''的是()

?/(%)=-2x4-1；②/(工)=%2；③〃x)=Jx—2+2；@f(x)=-

k2

A.①②B.②④C.②③D.??

【答案】C

【解析】

【分析】

f(a)=af(a)=b

根據(jù)新定義，確定函數(shù)的單調(diào)性，由,(增函數(shù))或＜有解(a1b),

［f(b)=bf(b)=a

不易求解時(shí)可根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.確定結(jié)論.

【詳解】

①中，假設(shè)/*)=-2工+1是“類方函數(shù)”，因?yàn)?(x)=-2x+l單調(diào)遞減，所以

/⑷=b=

,即f?又a＜b,方程無解，①不符合；

f(b)=a+1=a

②中，假設(shè)=/是，，類方函數(shù)，，，因?yàn)?(幻之0,所以團(tuán),加工［0,+8),所以。20,

所以/3)=/在口向上單調(diào)遞增，所以＜端;；即俗二j乂a〈b,所以

a=0,人=1,②符合；

③中，假設(shè)f(x)=Jx—2+2是“類方函數(shù)”,易知/(幻=Jx—2+2在［2,+8)上單調(diào)遞

增，且/")22,所以〃之2,且=所以卜巴三+2=Q,乂〃＜〃，解得

［f(b)=b,(VF^2+2=b

a=2,b=3,③符合:

假設(shè)/(x)=6J易知/“)=(；)

④中,是“類方函數(shù)”,在R上單調(diào)遞減，且

I.即

/(a)=bg=唾/’即方程

/(x)>0,所以。>0,且'所以

fW=aG)=10g^

。=1陶工有兩個(gè)正數(shù)解，由y=與y=l°g:的圖象可知兩圖象有一個(gè)公共

點(diǎn)，④不符合.

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.常用到下面的結(jié)論：

I.如果函數(shù)5=/*)在區(qū)間(。，切上是增函數(shù)，在區(qū)間［。，。)上是減函數(shù)，則函數(shù)

y=f(x)(xea，c)在x=b處有最大值f(b).

2.如果函數(shù))，=/(%)在區(qū)間(。，勿上是減函數(shù)，在區(qū)間⑸。)上是增函數(shù)，則函數(shù)

y=/(x)(xe。，c)在x=b處有最小值/S).

3.若函數(shù)y=/(x)在［。，加上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù),=/3)在口，加上一定有最大、

最小值.

4.若函數(shù)「=/(幻在區(qū)間必，以上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是/S),最小

值是/（。）.

5.若函數(shù)），=/（幻在區(qū)間必，句上是單調(diào)遞減函數(shù)，則>'=/"）的最大值是/（〃），最小

值是f(b).

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

例13.（2022河南濮陽一模（理））例41”是“函數(shù)〃>）=

[10g2（x3:片2°<X<0是在（-2,m）上的單調(diào)函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)/（力的在區(qū)間（-2,+8）上的單調(diào)性求得力的取值范圍，結(jié)合充分、必要條件的知識(shí)

確定正確選項(xiàng).

【詳解】

依題意，函數(shù)/（X）是在（-2,包）上的單調(diào)函數(shù)，

由于），=1。/（%+2）+力在（―2,0]上遞增，所以/⑴在（—2,田）上遞增,

所以〃>0且1+6K2,即OvWl.

所以是“函數(shù)/（%）=（2（無^2）^b-2<x<0是在（一2,y）上的單調(diào)函數(shù)”

的必要不充分條件.

故選：B

例14.（2022?全國?江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)/（%）=

2ig也普W祟0,A…4小）一/伍）>。,且

不一々

g（x）=/（x）-x-2僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范隹為（）

]_￡

A.B.C.-,1D.]—,1

4'el_eJke

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)增函數(shù)的定義可知函數(shù)/（x）在（-1,y）上單調(diào)遞增，利用分段函數(shù)的單調(diào)性求巴〃?

的取值范圍；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閂%、X2GR,有（））'（工2）＞（）,即（%一工2）［/（為）-/（/）］＞0,

為一々

即％-王與/（%）一/（工）同號(hào)，所以“X）在R上單調(diào)遞增，

即/（X）在（T,+o。）上單調(diào)遞增，則｛；:魯;"故;

因?yàn)閥=c*十4〃z在x=0處的切線方程為y（4〃"l）=x,即y=x+4優(yōu)+1,

又4m+1＞2＞所以1y=x+2與y=e'+4/n（x＞0）沒有公共點(diǎn)，

若函數(shù)g（x）=/0）—x—2僅有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)＞=/（外與曠=1+2圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，

則y=x+2與y=2-log,”（x+1）有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且為（0,2）,

所以），=2—108,“（大+1）在工=0處的切線的斜率卜大于等于1,

,11

而）'二—1rTTn-，得A二一;一＞u

（x+l）ln//7\nm

即也入0,解得L〃Z,

Inine

綜上,相的取值范圍為［-.1）.

3，=e"+47〃

尸2-log/+l)

故選：c.

例15.（2022?浙江?高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（X）=丁-2。/十人在區(qū)間（-8,1]是減函

數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[1,+oc）B.（-00,1]C.[-1,+co）D.（-co,-1]

【答案】A

【解析】

【分析】

由對(duì)稱軸與1比大小，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

/*）=工2-2al+人對(duì)稱軸為x=a,開口向上，要想在區(qū)間（-8,1]是減函數(shù)，所以

[1,+00）.

故選:A

or-l,x<1

例16.（2022.全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（1）=<是R上的單調(diào)函數(shù)，則

x2-2ax,,x>1

。的取值范圍（）

A.fo,|lB.10,|C.（0,1]D.（0,1）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)》=/-2辦的開口方向，確定分段函數(shù)/（X）在在R上的單調(diào)遞增，再根據(jù)分段函數(shù)

在R上的單調(diào)所要滿足的條件列出不等關(guān)系，求出。的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)榉侄魏瘮?shù)八處在上的單調(diào)函數(shù)，由于y=f-2ai?開口向上，故在工之1上單調(diào)遞

（Q>0

增，故分段函數(shù)/（x）在在R上的單調(diào)遞增，所以要滿足：|-^<1,解得：

la-1<1—2a

0<a<-

3

故選：B

例17.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/⑴二膽=（4〉0且〃工1）在區(qū)間[1,3）

上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值不可能是（）

A.-B.；C.-D.—

3236

【答案】D

【解析】

【分析】

本題可根據(jù)函數(shù)），=2-at的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定得出結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)。>0且awl時(shí)，函數(shù)y=2-ar單調(diào)遞減，

則要使“力在區(qū)間[1,3）上單調(diào)遞增，

0<a<12

I'/II要涌足2—a30,解得0vaW—,

.2-3a>03

結(jié)合選項(xiàng)易知，只有二不滿足，

6

故選：D.

x+5

例18.（2022.山東.濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/'（x）=x]a+3在（L+8）上是減

函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的范圍是.

【答案】（-2,4]

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化原函數(shù)為/。）=1+"+2利用反比例函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域，即得解

x-a+3

【詳解】

r4-5

函數(shù)f(x)=—~:—，定義域?yàn)閄￡(T?M-3)D(4-3,+CO)，

x-a+3

e「/、x-a+3+a+2,a+2

乂/(止…+3

因?yàn)楹瘮?shù)/（幻=上J在（Lx。）上是減函數(shù)，所以只需｝，=在qy）上是

x—。+3x—。+3

減函數(shù),

4+2>0

因此，_,，解得一2v。44.

tz-3<1

故答案為：—2＜。工4

例19.（2022全國高三專題練習(xí)）如果8550-44。＞7（833。-41130）,。€［0,2詞，

則0的取值范圍是

715兀

【答案】

一4，-4--J

【解析】

【分析】

先根據(jù)不等式的形式構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即

可

【詳解】

解：由已知得cos'9—7cos38>sin50—7sin30

令/（幻=??-7/，則r（x）=5,-2以2=f（5工2一21）＜0對(duì)任意恒成

立，于是/（X）在上單調(diào)減.

cos50-7cos30>sin>0-7sin?0即/(cos0)>/(sinO)

?vr

由/（X）在［T，1］上單調(diào)遞減得cosOvsinO,解得

所以夕的取值范圍是

(44

故答案為：

例2().(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/("滿足

/(x+y)=/(%)+/(yI-1(%,yeR)t當(dāng)x>0時(shí)，且/(1)=2.

(1)求/(O)J(-1)的值,并判斷/(/)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x?l,2］時(shí)，不等式/(加一3x)+/(x)<l恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)/(0)=1,/(-1)=0：/(X)在/?上為增函數(shù)；(2)

【解析】

(1)利用賦值法求出/(0),/(-1)的值，利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷了(力的單調(diào)性即

可；⑵利用已知等式把不等式/(加—3x)+/(x)<l轉(zhuǎn)化為/(加—2x)v/(—1),

利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合常變量分離法、配方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(1)令x=y=0,得/(0+0)=/(0)+/(0)_】，得

令x==得=+得/(_1)=()；

設(shè)中超是任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且凡<七，所以々一%>。，所以

f(X2)~fM=f(工2-與+5)-/(X)

=7(七-百)+/(石)-1-，。)=/(4-石)-1，

因?yàn)樗?(%一X)>1,所以/(工2—為)-1>。，

因此/(￡)-/(大)>0=/(馬)>/(王)

即/(x)在A上為增函數(shù)；

(2)因?yàn)?(ad-3x)+/(x)<1,即/(av?-2，+1v1,即/(av?-2x)<0,

又/(—1)=0,所以

又因?yàn)?（X）在R上為增函數(shù)，所以ad—2xv—l在天目1,2］上恒成立；

得ax2-2x+1v0在x￡口,2］上恒成立,

21

即々<-----r在不￡0,2］上恒成立，

XX

21rlY2133

因?yàn)開_L—1+1，當(dāng)工=2時(shí)，——7取最小值士，所以。<士；

xx-\xJxx~44

3

即〃〈一時(shí)滿足題意.

4

【方法技巧與總結(jié)】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)〃的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)。

的不等式，利用下面的結(jié)論求解.

1.若a>/（x）在［小，川上恒成立o〃>/（x）在［〃?，川上的最大值.

2.若av/（x）在［〃］，川上恒成立=a</（x）在［〃?，川上的最小值.

題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

例21.（2022?全國?高三階段練習(xí)（文））下列函數(shù)在（1,3）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=x2-4xB.>=2t",

C.），=歷D.>,=COSX+1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)選項(xiàng)的函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷即可

【詳解】

A：由二次函數(shù)性質(zhì)知，y=f—4x圖象開口向上，且在（-co,2）上單調(diào)遞減，在

（2,+8）上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)），=2"在A上單調(diào)遞增，將），=2'圖象向右平移I個(gè)

單位長(zhǎng)度得出y=2'T的圖象，其在（1,3）上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

C：由基函數(shù)的單調(diào)性知），=#，在［0,+"）上單調(diào)遞增，其在（L3）上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)

誤；

D：根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性知，y=cosx+l在（2左耳2攵4+乃）（AwZ）上單調(diào)遞減，當(dāng)

&=0時(shí),（2左萬,2公?+"）=（0,%）,又（1,3）=（0,乃），所以y=cosx+l在（1,3）上單調(diào)

遞減，故D正確.

故選：D.

例22.（2022.全國.高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是

A.y=e~xB.y=xyC.y=lnxD.y=|x|

【答案】B

【解析】

【分析】

分別求出詵項(xiàng)中各函數(shù)的定義域，并判斷其單調(diào)性，從而可得結(jié)論.

【詳解】

對(duì)于A,），=e-x=L，是R上的減函數(shù)，不合題意：

對(duì)于8,y=V是定義域是火且為增函數(shù)，符合題意；

對(duì)于C,y=lnx,定義域是（0,+8）,不合題意；

對(duì)于。，>=國，定義域是R,但在R上不是單調(diào)函數(shù)，不合題，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的定義域與單調(diào)性，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)

題.

例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知/⑴是奇函數(shù)，且2，〉（）對(duì)任意

?一七

%,工2￡A且工產(chǎn)工2都成立，設(shè)〃=，^=/（10§37）*C=/（48’），則

（）

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

根據(jù)已知不等式可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)司>工2時(shí)，由

X\~X2

當(dāng)時(shí)，由"')—'(』)>0=/⑺</(,),因此函數(shù)/。)是單調(diào)遞增函數(shù)，

百一工2

因?yàn)?“)是奇函數(shù)，所以/(0)=0,因此當(dāng)x>0時(shí)，有/(M>/(0)=0,

當(dāng)j<0時(shí),有/。)</(0)=0,

因?yàn)?")是奇函數(shù)，所以有C=/(-O.83)=—/(O.83)VO,

因?yàn)閘og37>log3a=2,所以f(log37)>/(1)>0,即〃〉〃>0,因此c<4<b.

故選：B

例24.(2022.山東.濟(jì)南一中模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)=|引+f,若。=/0n3),

/7=/(-log52),9)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則().

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函數(shù)/(x)的奇偶性與單調(diào)性判斷大小.

【詳解】

由題意可知，函數(shù)“X)為偶函數(shù),且在(0，+8)上單調(diào)詡增，又ln3>l,

1>>

0<log52<log5>/5=p^p所以〃1113)>/(9)>/(-1小2),故

a>c>b.

故選：D

【方法技巧與總結(jié)】

1.比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解

決.

2.求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)

合函數(shù)單調(diào)區(qū)間（同增異減）.

3.利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確

定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點(diǎn)間關(guān)系求參數(shù).同時(shí)注意函數(shù)定義域

的限制，遇到分段函數(shù)注意分點(diǎn)左右端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系.

題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

例25.（2022?北京通州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（幻=3、-（』］，則/*）（）

A.是偶函數(shù)，且在R是單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在R是單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)，且在R是單調(diào)遞減D.是奇函數(shù)，且在R是單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷可得；

【詳解】

/[且/㈠田出了=出13一⑺，

解：f(x)=3X——定義域?yàn)镽,

、3,

所以f（x）=3"U為奇函數(shù),

又），=3,與），=一0］在定義域上單調(diào)遞增，所以/。）=3］-門在R上單調(diào)遞增；

故選：B

例26.（2022?安徽?蒙城第中學(xué)高三階段練習(xí)（理）〉下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇

函數(shù)又是減函數(shù)的是（）

A.y=-B.y=-x-\nxC.y=-x3-xD.y=-xy+x