（一診）德陽市高中2022級(jí)（2025屆）高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)試卷（含官方答案）

德陽市高中2022級(jí)第一次診斷考試 數(shù)學(xué)試卷 2024.12.3說明： 1.本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1—2頁，第Ⅱ卷2—4頁，考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.2.本試卷滿分150分，120分鐘完卷.第Ⅰ卷(選擇題共58分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.設(shè)集合A=x|y=x,集合B=x∈Z|-2＜A.[0,1]B.{0}C.[0,1)D.{0,1}2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=|-i|,則z=A.12-12iB.12+12iC3.生物興趣小組在研究某種流感病毒的數(shù)量與環(huán)境溫度之間的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)在一定溫度范圍內(nèi)，病毒數(shù)量與環(huán)境溫度近似存在線性相關(guān)關(guān)系，為了尋求它們之間的回歸方程，興趣小組通過實(shí)驗(yàn)得到了下列三組數(shù)據(jù)，計(jì)算得到的回歸方程為y=-52溫度x(℃)6810病毒數(shù)量y(萬個(gè))3022mA.m=19B.m=20C.m=21D.m的值暫時(shí)無法確定4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=n2+kn,且a?=6,則數(shù)列A.910B.109C.10115.底面相同的圓柱和圓錐有相等的側(cè)面積，且圓柱的高恰好是其底面的直徑，則圓柱與圓錐的體積之比為A.2B.32C.155D6.設(shè)(1+ax5=a0+A.120B.-120C.40D.-40數(shù)學(xué)一診第1頁(共4頁)7.函數(shù)fx=2x,-1＜x＜1,3-m,x≥1單調(diào)遞增,且f(A.(-2,1]B.(-2,1)C.(0,1]D.(0,1)8.設(shè)F?,F?為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a＞0A.6B.5C.2D.3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是A.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B312,Y=B.數(shù)據(jù)x?,x?,x?,…,xn的平均數(shù)為2,則33C.數(shù)據(jù)2,4,6,8,10,12,14的第60百分位數(shù)是10D.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(5,σ2),且P(2＜X＜5)=a,則P(X＞8)=1-a10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足fxA.f(0)=2B.f(x)為奇函數(shù).C.6是f(x)的一個(gè)周期D11.已知函數(shù)fxA.當(dāng)m≤3時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值B.過點(diǎn)(0，1)且與曲線y=f(x)相切的直線有且僅有一條C.當(dāng)m=1時(shí),若b是a與c的等差中項(xiàng),直線ax-by-c=0與曲線y=f(x)有三個(gè)交點(diǎn)Px?y?,QD.當(dāng)m=0時(shí),若-1＜x＜第Ⅱ卷(非選擇題共92分)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某中學(xué)田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員28人，女運(yùn)動(dòng)員21人，按性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為14的樣本，如果樣本按比例分配，則男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)該抽取的人數(shù)為13.已知sinα+β=23,tanα=3tanβ,則c14.若關(guān)于x的方程lnx+|1+mx數(shù)學(xué)一診第2頁(共4頁)四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本題滿分13分)平面向量e?，e?滿足e?,e?|(1)若b在a上的投影向量恰為a的相反向量，求實(shí)數(shù)t的值；(2)若＜a，b＞為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.16.(本題滿分15分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=6,△ABC的面積(1)若cosA=14(2)求內(nèi)角C取得最大值時(shí)△ABC的面積.17.(本題滿分15分)已知函數(shù)fx=log54-x(1)若λ=34,求函數(shù)f((2)若D=mn,且g數(shù)學(xué)一診第3頁(共4頁)18.(本題滿分17分)甲袋裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，乙袋也裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，四個(gè)球除顏色外，其他均相同.現(xiàn)從甲乙兩袋中各自任取一個(gè)球，且交換放入另一袋中，重復(fù)進(jìn)行n次這樣的操作后n∈N*,，記甲袋中的白球數(shù)為Xn(1)求p?,p?;(2)求Pn(3)求E19.(本題滿分17分)若函數(shù)y=fx)與y=g(x)在各自定義域內(nèi)均能取得最大值，且最大值相等，則稱y=fx與y=g((1)證明函數(shù)y=2sinxcosx-(2)已知fx=lnxxa與①求實(shí)數(shù)a的值；②判斷命題：“?x?,x?,x?∈R,fx?=fx?=g數(shù)學(xué)一診第4頁(共4頁)德陽市高中2022級(jí)第一次診斷考試數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.D2.B3.B4.C5.D6.A7.C8.B二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分)9.AC10.ACD11.BD三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)12.813.79四、解答題(本大題共5小題，共77分)15.解:(1)由題意得a?b|a|2a=-a,從而a?b|a|2=-1,亦即(又a?b=所以t2+2t+1=0即l=-1…………(7分)(2)<a,b>為鈍角?a與b不可線?2t<0所以t的取值范圍為(-∞,-1)∪(-1,0)…………………(13分)16.解:(1)由S=c2sinA=12bc由于a=6,cos36=b2+c2-2bccosA=4c2+c2-c2=4c2,,從而c=3…(6分)即b=6…………(7分)(2)△ABC中有(cos(當(dāng)且僅當(dāng)32c=c8,即。此時(shí)，角C取到最大值π6,b=43S=12ab17.解:(1)因?yàn)棣?34,由-x2+令t=-x2+數(shù)學(xué)一診答案第1頁(共4頁)從而f（x）的值域?yàn)椋ī仭?2]??????????????????（6分）(2)由于D=(m,n),且△=4λ2+4>0,所以方程-x2+2λx+1=0的兩根分別為m，n且m+n=2λ,mn=-1???????????????????????（8分）又gm-gn亦即從而????????????????????????????（13分）所以，λ2-9≤0?-3≤λ≤3???????????????????????????????（15分）18.解：(1)記第n次交換后甲袋中恰有兩個(gè)白球的概率為qn，則第n次交換后甲袋中恰有零個(gè)白球的概率為1-pn-qn?????????????????????????????????（2分）p2=p(2)由(1)知p所以pn-2?????????????????????????????????（9分）所以p即???????????????????????????????（11分）(3)顯然Xn的所有可能取值為0,1,2且???????????????????????????????（12分q即從（15分）所以Xn的分布列為x,012P16—(-1)'.1(-12)"+1—1(-1)'所以EXn=0+1×19.解:1y=sin2x-3cos2x=2sin數(shù)學(xué)一診答案第2頁(共4頁)即x=kπ+5π12k∈Z時(shí)，y???=2;所以函數(shù)y=x-sinπxπ在[0，2]上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x=2函數(shù)y=2sinxcosx-3cos2當(dāng)a<0時(shí),若x∈0e1n,f'x<0;若上單調(diào)遞減，在e1當(dāng)a=0時(shí),f(x)=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無最大值;當(dāng)a>0時(shí),若x∈0e1a,f'x>0;若上單調(diào)遞增，在e1a+∞上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=e1ag因?yàn)閍>0,所以x∈(0,a)時(shí),,g'(x)>0;x∈(a,+∞)時(shí),g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a，+∞)上單調(diào)遞減，從而當(dāng)x=a時(shí)，gxmax=由于fx=lnxxa與gx=xaex即1將上式兩端取自然對數(shù)得-lna--1=alna-a,即ln令ha=ln所以h(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又h(1)=0,從而a=1…(10分)②命題為真命題，理由如下：先考察方程f(x)=g(x)的實(shí)根情況，令m由①知f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以m(x)=f(x)-g(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，又m所以存在唯--x?∈1e,使得m(x?)=0,即方程f(x)=g(x)在(1,e)上有唯一實(shí)根x?,且f其次考察方程f(x)=f(x?)|的實(shí)根情況，令n(x)=f(x)-f(x?)由①知n(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減,且數(shù)學(xué)一診答案第3頁(共4頁)

所以存在唯-一x?∈(e,+∞),使得n(x?)=0,即f(x?)=f(x?),由于fx0=gx0=x0ex0=lnex0ex0=fex0,最后考察方程gx=gx?由①知p(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,且p所以存在唯--x?∈0l,使得p(x?)=0由于gx0=fx0=由g(x)在(0,1)上的單調(diào)性知:x?=lnx?…………(15分)所以.x1x2=ex即x1x2②另解先考察方程f(x)=g(x)的實(shí)根