《線性代數(shù)》課件第4章

4.1線性方程組的消元解法4.2齊次方程組

4.3非齊次方程組

4.4線性方程組的應用

4.1.1線性方程組的矩陣表示

形如

(4.1.1)4.1線性方程組的消元解法的方程組，稱為線性方程組，若令其中A稱為系數(shù)矩陣，X稱為未知向量，b稱為常數(shù)向量，則方程組可用矩陣表示為稱為增廣矩陣。4.1.2線性方程組的消元解法——高斯消元法

例4.1.1

解線性方程組(每寫一個方程組，同時寫出對應的增廣矩陣)對應的增廣矩陣為B=(A

b)=

解對線性方程組做消元法(2)+(1)×-2，(3)+(1)×-3后，線性方程組及其增廣矩陣變例4.1.2

解下列線性方程組

解對增廣矩陣做初等行變換對應的同解方程組為

這就是原方程組的解。

例4.1.3

求解齊次線性方程組

解對系數(shù)矩陣A施行初等行變換即得與原方程組同解的方程組

(x3，x4可任意取值)

令x3=c1，x4=c2，把它寫成向量形式為4.2.1齊次方程組的解的判定

對于齊次線性方程組

(4.2.1)4.2齊次方程組

定理4.2.1

齊次線性方程組(4.2.2)有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩R(A)<n。

證先證必要性.設(shè)方程組(4.2.2)有非零解，要證R(A)<n.用反證法，設(shè)R(A)=n，則在A中應有一個n階非零子式Dn，從而Dn所對應的n個方程只有零解(根據(jù)克萊姆定理)，這與原方程組有非零解矛盾，因此R(A)=n不成立，即R(A)<n。

例4.2.1

求解齊次線性方程組解對系數(shù)矩陣A施以初等行變換，得因R(A)=2<4(方程組中未知數(shù)的個數(shù))，所以齊次線性方程組有無窮多個解.而它的同解線性方程組為選取x2，x4為自由未知量，令x2=k1，x4=7k2，得從而得4.2.2齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

若x1=ξ11，x2=ξ21，…，xn=ξn1是齊次方程組(4.2.1)的解，那么定義4.2.1

設(shè)ξ1，ξ2，…，ξt是齊次線性方程組(4.2.1)的t個解，如果

(1)ξ1，ξ2，…，ξt線性無關(guān)；

(2)齊次線性方程組任一個解都可由ξ1，ξ2，…，ξt線性表示；

則稱ξ1，ξ2，…，ξt為齊次線性方程組(4.2.1)的一個基礎(chǔ)解系。

表達式

X=k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt(k1，k2，…，kt∈R)

稱為齊次線性方程組(4.2.1)的通解。

例4.2.2

求齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系。解對系數(shù)矩陣A做初等行變換知R(A)=2<4.原方程組的同解線性方程組為其中，x3，x4是自由未知數(shù)，取x3=2k1，x4=k2，得原線性方程組的通解為所以，原線性方程組的基礎(chǔ)解系為

其通解可由基礎(chǔ)解系表示為

x=k1ξ1+k2ξ2(k1，k2∈R)

例4.2.3

設(shè)ξ1，ξ2是齊次方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，證明ξ1+ξ2，kξ2也是這個方程組的基礎(chǔ)解系，其中k≠0。

定理4.2.2

設(shè)n元齊次線性方程組(4.2.1)有非零解(即其系數(shù)矩陣的秩R(A)=r<n)，則它必有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含線性無關(guān)的解的個數(shù)等于n-r(這里n-r也是齊次線性方程組(4.2.1)的自由未知量的個數(shù))。

證不妨設(shè)齊次線性方程組(4.2.1)的系數(shù)矩陣A的前r個列線性無關(guān)，則A可以經(jīng)過有限次初等行變換化成行最簡形矩陣，從而得齊次線性方程組(4.2.1)的同解線性方程組為(4.2.3)其中，xr+1，xr+2，…，xn是n-r個自由未知數(shù)，取xr+1=k1，xr+2=k2，…，xn=kn-r，得若令得齊次線性方程組(4.2.1)的通解為

x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r(k1，k2，…，kn-r∈R)(4.2.4)

(1)當自由未知數(shù)xr+1，xr+2，…，xn分別取

(2)因為ξ1，ξ2，…，ξn-r后n-r個分量組成了n-r個n-r維的向量，這n-r個向量是線性無關(guān)的，從而ξ1，ξ2，…，ξn-r也線性無關(guān)；

(3)齊次線性方程組(4.2.1)任一解都可由ξ1，ξ2，…，ξn-r線性表示，這是因為

設(shè)

例4.2.4

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.

解對系數(shù)矩陣A做初等行變換，化為行最簡矩陣:得到原方程組的同解方程組

令，即得基礎(chǔ)解系并由此得到通解

例4.2.5

用基礎(chǔ)解系表示如下線性方程組的通解:

解

m=4，n=5，m<n，因此所給方程組有無窮多個解.對系數(shù)矩陣[WTHX]A施以初等行變換:即原方程組與下面方程組同解

其中x3，x4，x5為自由未知量.令自由未知量取

值，，，分別得方程組的解為

η1=(-2，1，1，0，0)T，η2=(-1，-3，0，1，0)T，

η3=(2，1，0，0，1)T

η1，η2，η3就是所給方程組的一個基礎(chǔ)解系。因此，方程組的通解為

η=c1η1+c2η2+c3

η3(c1，c2，c3為任意常數(shù))

例4.2.6

證明:若Am×nBn×l=O，則R(A)+R(B≤n。

證設(shè)B=(b1，b2，…，bl)，則

A(b1，b2，…，bl)=(0，0，…，0)

即

Abi=0(i=1，2，…，l)例4.2.7

求出一個齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系由下列向量組成:

解設(shè)所求的齊次線性方程組為Ax=0，矩陣A的行向量形如αT=(a1，a2，a3，a4)，根據(jù)題意,有

αTξ1=0，αTξ2=0

即

設(shè)這個方程組系數(shù)矩陣為B，對B進行初等行變換，得

這個方程組的同解方程組為

其基礎(chǔ)解系為，故可取矩陣A的行向量為

那么，所求齊次線性方程組的系數(shù)矩陣

所求齊次線性方程組為4.3.1非齊次方程組的解的判定

對于線性方程組

(4.3.1)

它的矩陣記法為

Ax=b(4.3.2)4.3非齊次方程組定理4.3.1

n元非齊次線性方程組(4.3.1)有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣B=(Ab)的秩。

證先證必要性。

設(shè)方程組Ax=b有解，要證R(A)=R(B).用反證法，設(shè)R(A)<R(B)，則B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾方程0=1，這與方程組有解相矛盾.因此，R(A)=R(B)。例4.3.1

下面非齊次線性方程組

是否有解？

解對增廣矩陣B施行初等行變換可見R(A)=2，R(B)=3，故方程組無解。

例4.3.2

解線性方程組

解對線性方程組的增廣矩陣B施行初等變換:矩陣R對應的線性方程組為將x3看成自由未知數(shù)，取x3=2k，k為任意實數(shù)，得

可寫成下列的解向量形式:即得

例4.3.3

設(shè)有線性方程組

解對增廣矩陣B=(Ab)做初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，有當λ=-3時，

由此便得通解

(x3可任意取值)

即

例4.3.4

已知試討

論λ取何值時，方程組無解？有唯一解？無窮多組解？解

4.3.2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

對非齊次線性方程組(4.3.2)

Ax=b

稱齊次線性方程組

Ax=0

(4.3.3)定理4.3.2

設(shè)η是非齊次線性方程組(4.3.2)的一個解(通常稱為特解)，ξ1，ξ2，…，ξn-r是其導出組(4.3.3)的一個基礎(chǔ)解系，則

x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η(k1，k2，…，kn-rR

是方程組(4.3.2)的解，又稱之為非齊次線性方程組(4.3.2)的通解。

例4.3.5

求解線性方程組

解對增廣矩陣做初等行變換可見R(A)=R(A

b)=2，故方程組有無窮多解，原方程組的同解方程組為

取x2，x4為自由未知數(shù)，并令x2=0，x4=0，代入上面方程組，得方程組的一個特解:原方程組的導出組的同解方程組為

令x2=k1，x4=k2，得導出組的通解為其中

是其導出組的一個基礎(chǔ)解系.所以原非齊次線性方程組的通解為

x=k1ξ1+k2ξ2+η

(k1，k2∈R)例4.3.6

已知α0，α1，α2，…，αn-r是Ax=b(b≠0)

的一組n-r+1個線性無關(guān)的解向量組，且R(A)=r，證明:α1-α0，α2-α0，…，αn-r-α0為Ax=0的基礎(chǔ)解系。

例4.3.7

設(shè)四元非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3，已知它的三個解向量為η1，η2，η3，其中

解依題意，方程組Ax=b的導出組的基礎(chǔ)解系含4-3=1個向量，于是導出組的任何一個非零解都可作為其基礎(chǔ)解系。

顯然是導出組的非零解，可作為其基礎(chǔ)解系。故方程組Ax=b的通解為例4.3.8

設(shè)四元齊次線性方程組AX=B的系數(shù)矩陣的秩為3，已知η1，η2，η3是它的三個解向量，其中η1=(2，0，5，-1)T，η2+η3=(1，9，8，7)T，求該線性方程組的通解。解本題需要求出對應的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(它含有4-R(A)=1個解向量),以及非齊次方程組的一個特解(已經(jīng)給出η1)。

由性質(zhì)1可知，任意兩個不同的非齊次線性方程組的解的差都是對應齊次線性方程組的非零解，所以

η2+η3-2η1=(η2-η1)+(η3-η1)=(-3，9，-2，9)T

是對應齊次線性方程組的一個非零解，故所求非齊次線性方程組的通解為4.4.1網(wǎng)絡(luò)流模型

網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應用于交通、運輸、通信、電力分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派以及計算機輔助設(shè)計等眾多領(lǐng)域。當科學家、工程師和經(jīng)濟學家研究某種網(wǎng)絡(luò)中的流量問題時，線性方程組就自然產(chǎn)生了。4.4線性方程組的應用圖4.1(a)、(b)分別說明了流量從一個或兩個分支流入聯(lián)結(jié)點。x1，x2和x3分別表示從其他分支流出的流量，x4和x5

表示從其他分支流入的流量。因為流量在每個聯(lián)結(jié)點守恒，所以有x1+x2=60和x4+x5=x3+80.在類似的網(wǎng)絡(luò)模式中，每個聯(lián)結(jié)點的流量都可以用一個線性方程來表示。圖4.1網(wǎng)絡(luò)流模型

例4.4.1

圖4.2的網(wǎng)絡(luò)給出了在下午一兩點鐘，某市區(qū)部分單行道的交通流量(以每刻鐘通過的汽車數(shù)量來度量).試確定網(wǎng)絡(luò)的流量模式。圖4.2交通流量網(wǎng)絡(luò)流模型

解根據(jù)網(wǎng)絡(luò)流模型的基本假設(shè)，在節(jié)點(交叉口)A，B，C，D處，我們可以分別得到下列方程:

A:x1+20=30+x2

B:x2+30=x3+x4

C:x4=40+x5

D:x5+50=10+x1

此外，該網(wǎng)絡(luò)的總流入量(20+30+50)等于網(wǎng)絡(luò)的總流出量(30+x3+40+10)，化簡得x3=20.把這個方程與整理后的前四個方程聯(lián)立，得如下方程組:4.4.2物資調(diào)運問題

例4.4.2

有三個生產(chǎn)同一產(chǎn)品的工廠A1，A2和A3，其年產(chǎn)量分別為40(噸)，20(噸)和10(噸)，該產(chǎn)品每年有兩個用戶B1和B2，其用量分別為45(噸)和25(噸)，由各產(chǎn)地Ai到各用戶Bj的距離Cij(公里)如表4.1所示(i=1，2，3；j=1，2)，各廠的產(chǎn)品如