《線性代數(shù)》課件第7章

7.1線性空間的定義與性質(zhì)7.2維數(shù)、基與坐標(biāo)7.3基變換與坐標(biāo)變換7.4線性變換7.5線性變換的矩陣表示式

定義7.1.1

設(shè)V是一個(gè)非空集合，R為實(shí)數(shù)域.如果對(duì)于任意兩個(gè)元素α，β∈V，總有唯一的一個(gè)元素γ∈V與之對(duì)應(yīng)，稱為α和β的和，記做γ=α+β;又對(duì)任意數(shù)λ∈R與任一元素α∈V，總有唯一的一個(gè)元素δ∈V與之對(duì)應(yīng)，稱為λ與α的積，記做δ=λα；并且這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律(設(shè)α，β，γ∈V；λ，μ∈R):7.1線性空間的定義與性質(zhì)(1)α+β=β+α；

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；

(3)在V中存在零元素0；對(duì)任何α∈V，都有α+0=α；(4)對(duì)任何α∈V，都有α的負(fù)元素β∈V，使α+β=0；

(5)1α=α；

(6)λ(μα)=(λμ)α；

(7)(λ+μ)α=λα+μα；

(8)λ(α+β)=λα+λβ。

例7.1.1

次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式的全體，記做P［x］n，即

P［x］n={p=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0|an，…，a1，a0∈R}

對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式構(gòu)成了線性空間。這是因?yàn)?通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式這兩種運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算的八條規(guī)律，故只要驗(yàn)證P［x］n對(duì)運(yùn)算封

閉即可。

例7.1.2

n次多項(xiàng)式的全體

Q［x］n={p=anxn+…+a1x+a0|an，…a1，a0∈R，且an≠0}對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)乘運(yùn)算不構(gòu)成線性空間.這是因?yàn)?/p>

0p=0xn+…+0x+0Q［x］n

即Q［x］n對(duì)運(yùn)算不封閉。

例7.1.3

正弦函數(shù)的集合

S［x］={s=Asin(x+B)|A，B∈R}

對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間.這是因?yàn)?通常的函數(shù)加法及數(shù)乘運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算規(guī)律，故只要驗(yàn)證S［x］對(duì)運(yùn)算封閉:

例7.1.4(1)實(shí)數(shù)域R上的n

元齊次線性方程組AX=0的所有解向量，對(duì)于向量的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成R上和一個(gè)線性空間，稱為該方程組的一個(gè)解空間。

(2)實(shí)數(shù)域R上的n元非齊次線性方程組AX=b的所有解向量，在上述運(yùn)算下不能構(gòu)成R上的線性空間，因?yàn)殛P(guān)于線性運(yùn)算不封閉。

例7.1.5

n個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體

Sn={x=(x1，x2，…，xn)T|x1，x2，…，xn∈R}

對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘

λ(x1，x2，…，xn)T=(0，0，…，0)T

例7.1.6

正實(shí)數(shù)的全體，記做R+，在其中定義加法及數(shù)乘運(yùn)算為

a⊕b=ab(a，b∈R+)

λ

a=aλ(λ∈R，a∈R+)

性質(zhì)1

零元素是唯一的。

證設(shè)01，02是線性空間V中的兩個(gè)零元素，即對(duì)任何

α∈V，有α+01=α，α+02=α。于是有

02+01=02，01+02=01

所以

01=01+02=02+01=02

性質(zhì)2

任一元素的負(fù)元素是唯一的。α的負(fù)元素記做-α。

證設(shè)α有兩個(gè)負(fù)元素β、γ，即

α+β=0，α+γ=0

于是

β=β+0=β+(α+γ)=(α+β)+γ=0+γ=γ

性質(zhì)30α=0；(-1)α=-α；λ0=0。

證

α+0α=1α+0α=(1+0)α=1α=α所以0α=0.

α+(-1)α=1α+(-1)α=［1+(-1)］α=0α=0

所以(-1)α=-α.

λ0=λ［α+(-1)α］=λα+(-λ)α

=［λ+(-λ)］α=0α=0

性質(zhì)4

如果λα=0，則λ=0

或α=0.

證若λ≠0，在λα=0兩邊乘，得

而

定理7.1.1

線性空間V的非空子集L構(gòu)成子空間的充分必要條件是:L對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉。

例7.1.7

在線性空間V中，由單個(gè)零向量組成的集合W={0}也是線性空間，稱W為V的零子空間.而線性空間V也是其本身的一個(gè)子空間。

在線性空間V中，零子空間{0}與線性空間V本身這兩個(gè)子空間有時(shí)稱為平凡子空間，而V的其他子空間則稱為非平凡子空間。

例7.1.8

R2×3的下列子集是否構(gòu)成子空間?為什么?

(1)

(2)

解

(1)不構(gòu)成子空間。

因?yàn)閷?duì)

有

即W1對(duì)矩陣加法不封閉，所以W1不構(gòu)成子空間。

(2)因∈W2，即W2非空。且對(duì)任意

有

a1+b1+c1=0，a2+b2+c2=0于是

滿足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0，即A+B∈W2。

對(duì)任意k∈R有kA=，且

ka1+kb1+kc1=0，即kA∈W2，故W2是R2×3的子空間。例7.1.9

設(shè)H是所有形如(α-2β，β-2α，α，β)的向量所構(gòu)成的集合，其中α，β是任意的實(shí)數(shù)。即H={(α-2β，β-2α，α，β)|α，β∈R)}。證明H是R4的子空間。

證把H中的向量記成列向量的形式，H中的任意向量都具有如下形式:

令，則H是由p1，p2的線性

組合的向量所構(gòu)成的集合，即

在H中任取兩向量γ1=k1p1+k2p2和γ2=l1p1+l2p2，有γ1+γ2=(k1p1+k2p2)+(l1p1+l2p2)=(k1+l1)p1+(k2+l2)p2∈H

又對(duì)于c∈R，有

cγ1=c(k1p1+k2p2)=(ck1)p1+(ck2)p2∈H

所以H是R4的子空間。

定義7.2.1

在線性空間V中，如果存在n個(gè)元素α1，

α2，…，αn，滿足:

(1)α1，α2，…，αn

線性無(wú)關(guān)；

(2)V中任一元素α總可由α1，α2，…，αn線性表示，那么，α1，α2，…，αn就稱為線性空間V的一個(gè)基，n稱為線性空間V的維數(shù)，記為dimV=n。7.2維數(shù)、基與坐標(biāo)維數(shù)為n的線性空間稱為n維線性空間，記做Vn。

若知α1，α2，…，αn為Vn的一個(gè)基，則Vn可表示為

Vn={α=x1α1+x2α2+…+xnαn|x1，x2，…，xn∈R}

這就較清楚地顯示出線性空間Vn的構(gòu)造。

若α1，α2，…，αn為Vn的一個(gè)基，則對(duì)任何α∈Vn，都有一組有序數(shù)x1，x2，…，xn，使

α=x1α1+x2α2+…+xnαn

定義7.2.2

設(shè)α1，α2，…，αn是線性空間Vn

的一個(gè)基，對(duì)于任一元素α∈Vn,總有且僅有一組有序數(shù)x1，x2，…，xn，使

α=x1α1+x2α2+…+xnαn

x1，x2，…，xn這組有序數(shù)就稱為元素α在α1，α2，…，αn這個(gè)基下的坐標(biāo)，并記做

α=(x1，x2，…，xn)T

例7.2.1

(1)在n維線性空間Rn中，顯然ε1=(1,0,…,0)T，

ε2=(0,1,…,0)T,…，εn=(0，…，0，1)T為Rn的一組基,對(duì)于Rn中的任一向量α=(a1,a2,…,an)T，有α=a1ε1+a2ε2+…+anεn,因此α在基ε1，ε2，…，εn下的坐標(biāo)為(a1，a2，…，an)T.

(2)e1=(1，1，…，1)T，e2=(0，1，…，1)T，

…，en=(0，…，0，1)T也是Rn中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，從而也是Rn的一組基。對(duì)于向量α=(a1，a2，…，an)T，有

α=a1e1+(a2-a1)e2+…+(an-an-1)en

例7.2.2

在線性空間P［x］4中，p1=1，p2=x，p3=x2，p4=x3，p5=x4

就是它的一個(gè)基.任一不超過(guò)4次的多項(xiàng)式

p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

都可表示為

p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5

若另取一個(gè)基q1=1，q2=1+x，q3=2x2，q4=x3，q5=x4，則

例7.2.3

所有二階實(shí)矩陣組成的集合R2×2對(duì)于矩陣的加法和數(shù)

量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)線性空間。試證

是R2×2中的一組基，并求其中矩陣A在該基下的坐標(biāo)。

證先證其線性無(wú)關(guān)。由

k1E11+k2E12+k3E21+k4E22=

有

得k1=k2=k3=k4=0，即E11，E12，E21，E22線性無(wú)關(guān)。

例7.2.4求R4的子空間H的維數(shù)，其中

解易知H是由下列向量的全體線性組合所構(gòu)成的集合:

p1=(2，5，0，0)T，

p2=(-1，0，3，0)T

p3=(2，0，-6，0)T，

p4=(0，4，-1，8)T

定義7.2.3

設(shè)U、V是R上的兩個(gè)線性空間，如果它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，則稱其為線性空間U與V同構(gòu)映射，并稱線性空間U與V同構(gòu)。

總之，設(shè)在n維線性空間Vn中取定一個(gè)基α1，α2，…，αn，建立了坐標(biāo)以后，則Vn中的向量α與n維數(shù)組向量空間Rn中的向量(x1，x2，…，xn)T之間就有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系具有下述性質(zhì):

設(shè)α(x1，…，xn)T，β(y1，…，yn)T，則

(1)α+β(x1，…，xn)T+(y1，…，yn)T；

(2)λαλ(x1，…，xn)T.

也就是說(shuō)，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng).因此，我們可以說(shuō)Vn與Rn有相同的結(jié)構(gòu)，我們稱Vn與Rn同構(gòu)。

例7.2.5

利用同構(gòu)證明多項(xiàng)式2x2+1，5x2+x+4，2x+3在P［x］2

中線性相關(guān)。

證由例7.2.2知，上述多項(xiàng)式可以記做，，因?yàn)?/p>

所以向量，，線性相關(guān)。故多項(xiàng)式2x2+1，

5x2+x+4，2x+3在P［x］2中線性相關(guān).實(shí)際上，易證

2x+3=2(5x2+x+4)-5(2x2+1)設(shè)α1，…，αn及β1，…，βn是線性空間Vn中的兩個(gè)基，

(7.3.1)7.3基變換與坐標(biāo)變換把α1，α2，…，αn這n個(gè)有序元素記做(α1，α2，…，αn)，利用向量和矩陣的形式，式(7.3.1)可表示為

或

定理7.3.1

向量空間V中由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的過(guò)渡矩陣P是可逆矩陣。

證

(反證法)若detP=0，則齊次方程組Px=0有非零解

x=(k1，…，kn)T，由此可得

k1β1+…+knβn=(β1，…，βn)x=(α1，…，αn)Px=0

即β1，β2，…，βr線性相關(guān)，矛盾。故P是可逆矩陣。

例7.3.1

設(shè)α1=，α2=為線性空間V=R2的一組

基，A=為一個(gè)二階可逆矩陣,令β1=2α1+α2=2

β2=-α1+3α2=.顯然β1，β2也線性無(wú)關(guān)，因此β1，β2也是R2的一組基，且(β1，

β2)=(α1，α2)，即A=是由基α1，α2到β1，β2的過(guò)渡矩陣。

例7.3.2

已知R2的兩組基α1=，α2=和

β1=，試求α1，α2到β1，β2的過(guò)渡矩陣。

解由題意知，。將α1，α2添加到系數(shù)矩陣中，并進(jìn)行初等行變換故所求的過(guò)渡矩陣

例7.3.3

已知R4的兩個(gè)基為

①②

(1)求由基①改變?yōu)榛诘倪^(guò)渡矩陣C；

(2)求β=β1+β2+β3-5β4在基①下的坐標(biāo)。

解采用中介法求過(guò)渡矩陣C。簡(jiǎn)單基為

e1=(1，0，0，0)T，e2=(0，1，0，0)T

e3=(0，0，1，0)T，e4=(0，0，0，1)T

簡(jiǎn)單基→基①:(α1，α2，α3，α4)=(e1，e2，e3，e4)C1

簡(jiǎn)單基→基②:(β1，β2，β3，β4)=(e1，e2，e3，e4)C2

基①→基②:(β1，β2，β3，β4)=(α1，α2，α3，α4)

C-11C2

定理7.3.2

設(shè)Vn中的元素α，在基α1，α2，…，αn下的坐標(biāo)為(x1，x2，…，xn)T，在基β1，β2，…，βn下的坐標(biāo)為(x1′，x2′，…，xn′)T。若兩個(gè)基滿足關(guān)系式(7.3.2)，則有坐標(biāo)變換公式

(7.3.3)

證因

例7.3.4

設(shè)α1=(-2，1，3)T，

α2=(-1，0，1)T，α3=(-2，-5，-1)T為R3的一個(gè)基，試求β=(4，12，6)T關(guān)于該基的坐標(biāo)。

解R3的標(biāo)準(zhǔn)基為ε1=(1，0，0)T，

ε2=(0，1，0)T，ε3=(0，0，1)T。

顯然有，

即(α1，α2，α3)=(ε1，ε2，ε3)A,其中

A=，就是由標(biāo)準(zhǔn)基ε1，ε2，ε3到基

α1，α2，α3的過(guò)渡矩陣。設(shè)β關(guān)于基α1，α2，α3的坐標(biāo)為(x1，x2，x3)T

，則有

即β關(guān)于基α1，α2，α3的坐標(biāo)為(7，-16，-1)T。

例7.3.5

在P［x］3中取兩個(gè)基

α1=x3+2x2-x

α2=x3-x2+x+1

α3=-x3+2x2+x+1

α4=-x3-x2+1

及β1=2x3+x2+1

β2=x2+2x+2

β3=-2x3+x2+x+2

β4=x3+3x2+x+2

解將β1，β2，β3，β4用α1，α2，α3，α4表示.由

(α1，α2，α3，α4)=(x3，x2，x，1)A

(β1，β2，β3，β4)=(x3，x2，x，1)B

其中即故坐標(biāo)變換公式為

用矩陣的初等行變換求B-1A:把矩陣(B

A)中的B]變成E，則A即變成B-1

A。計(jì)算如下:即得

例7.3.6(坐標(biāo)變換的幾何意義)設(shè)α1=，α2=

及β1=，β2=為線性空間V=R2的兩個(gè)基。

又設(shè)α=，求α在β1，β2下的坐標(biāo)。

解

α在α1，α2下的坐標(biāo)為，又圖7-1由坐標(biāo)變換公式可知，圖7-1中α在基β1，β2下的坐標(biāo)為

即α=β1-β2。圖7.17.4.1線性變換

定義7.4.1

設(shè)有兩個(gè)非空集合A、B，如果對(duì)于A中的任一元素α，按照一定的規(guī)則，總有B中一個(gè)確定的元素β和它對(duì)應(yīng)，那么，這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為從集合A到集合B的變換(或映射)。我們常用字母表示一個(gè)變換，譬如把上述變換記做T，并記

β=T(α)或

β=Tα，(β∈A)

(7.4.1)7.4線性變換設(shè)α1∈A，T(α1)=β1，就說(shuō)變換T把元素α1變?yōu)?/p>

β1，β1稱為α1在變換T下的像，α1稱為β1在變換T下的源像。A稱為變換T的源集，像的全體所構(gòu)成的集合稱為像

集，記做T(A)，即

T(A)={β=T(α)|α∈A}

定義7.4.2

設(shè)Vn、Um分別是實(shí)數(shù)域上的n維和m維線性空間，T是

一個(gè)從Vn到Um的變換，如果變換T滿足

(1)任給α1，α2∈Vn，(從而α1+α2∈Vn)，有

T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)

(2)任給α∈Vn，k∈R，(從而kα∈Vn)，有

T(kα)=kT(α)

例7.4.1

在線性空間P［x］3中，任取

p=a3x3+a2x2+a1x+a0∈P［x］3

q=b3x3+b2x2+b1x+b0∈P［x］3

證

(1)

p=a3x3+a2x2+a1x+a0∈P［x］3

q=b3x3+b2x2+b1x+b0∈P［x］

Dp=3a3x2+2a2x+a1，Dq=3b3x2+2b2x+b1

所以

D(p+q)=D［(a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a0+b0)］

=3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1)

=(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1)

=Dp+Dq

D(p+q)=Dp+Dq

k∈R

D(kp)=D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0)=k(3a3x2+2a2x+a1)=kD

p

(2)T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q)

T(kp)=ka0=kT(p)

故T是P［x］3中的線性變換。

(3)T1(p+q)=1，但T1(p)+T1(q)=1+1=2，所以

T1(p+q)≠T1(p)+T1(q)

故T1不是P［x］3中的線性變換。

例7.4.2

由關(guān)系式T確定xOy

平面上的一個(gè)變換T，說(shuō)明T的幾何意義。

解記，于是

例7.4.3

定義在閉區(qū)間上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)線性空間V，在這個(gè)空間中定義變換T(f(x))=f(t)dt，試證T是線性變換。

證設(shè)f(x)∈V，g(x)∈V，k∈R，則有

7.4.2線性變換的基本性質(zhì)

設(shè)T是Vn中的線性變換，則

(1)T0=0，T(-α)=-Tα；

(2)若β=k1α1+k2α2+…+kmαm，則

Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+kmTαm

(3)若α1，α2，…，αm線性相關(guān)，則Tα1，Tα2，…，Tαm亦線性相關(guān)。

(4)線性變換T的像T(Vn)是一個(gè)線性空間(Vn的子空間)，稱為線性變換T的像空間。

證設(shè)β1，β2∈T(Vn)，則有α1，α2∈Vn，使Tα1=β1，Tα2=β2，從而

β1+β2=Tα1+Tα2=T(α1+α2)∈T(Vn)(因α1+α2∈Vn)

kβ1=kTα1=T(kα1)∈T(Vn)(因kα1∈Vn)

(5)使Tα=0的α的全體

ST={α|α∈Vn，Tα=0}

也是Vn的子空間，ST稱為線性變換T的核。

證

ST

Vn，若α1，α2∈ST，Tα1=0，Tα2=0，則

T(α1+α2)=Tα1+Tα2=0即α1+α2∈ST

對(duì)k∈R，則T(kα1)=kTα1=k

0=0，所以kα1∈ST。

例7.4.4

設(shè)有n階矩陣

證設(shè)a，b∈Rn，則

T(a+b)=A(a+b)=Aa+Ab=T(a)+T(b)

T(ka)=A(ka)=kAa=kT(a)

例7.4.5

定義線性變換T:R2→R2為

求α1=，α2=和α1+α2在變換T下的像，并說(shuō)明變換T的幾何意義。解

圖7-2表明了變換T把α1，α2和α1+α2繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°。實(shí)際上，變換T把α1，α2確定的平行四邊形變換

成T(α1)，T(α2)確定的平行四邊形。圖7－2例7.4.4中，關(guān)系式

T(x)=Ax(x∈Rn)

簡(jiǎn)單明了地表示出Rn中的一個(gè)線性變換.我們自然希望Rn中任何一個(gè)線性變換都能用這樣的關(guān)系式來(lái)表示.為此，考慮到α1=Ae1，…，αn=Aen(e1，…，en為單位坐標(biāo)向量)，即

αi=T(ei)(i=1，2，…，n)7.5線性變換的矩陣表示式可見如果線性變換T有關(guān)系式

T(x)=Ax，那么矩陣A應(yīng)以T(ei)為列向量.反之，如果一個(gè)線性變換T使T(ei)=αi(i=1，2，…，n)，那么T必有關(guān)系式

T(x)=T［(e1，…，en)x=T(x1e1+x2e2+…+xnen)

=x1T(e1)+x2T(e2)+…+xnT(en)

=(T(e1)，…，T(en))x=(α1，…，αn)x=Ax

定義7.5.1

設(shè)T是線性空間Vn中的線性變換，在Vn中取定一個(gè)基α1，α2，…，αn，如果這個(gè)基在變換T下的像(用這個(gè)基線性表示)為記T(α1，α2，…，αn)=(T(α1)，T(α2)，…，T(αn))，上式可表示為

T(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)A

(7.5.1)

其中Vn中的任意元素記為，有

即(7.5.2)定義7.5.1和上面一段討論表明，在Vn中取定一個(gè)基以后，由線性變換T可唯一地確定一個(gè)矩陣A，由一個(gè)矩陣A也可唯一地確定一個(gè)線性變換T，這樣，在線性變換與矩陣之間就有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

由關(guān)系式(7.5.2)可見，α與T(α)在基α1，α2，…，

αn下的坐標(biāo)分別為

例7.5.1

設(shè)e1=如果T是從R2到

R3的線性變換:

求任意x∈R2的像的公式。解

因?yàn)門是從R2到R3的線性變換，所以

例7.5.2

在P［x］3中，取基

p1=x3，p2=x2，p3=x，p4=1

求微分運(yùn)算D的矩陣。

解

所以D在這組基下的矩陣為

例7.5.3

在R3中，T表示將向量投影到xOy平面的線性變換，即

(1)取基為求T的矩陣；

(2)取基為α=，γ=，求T的矩陣。

解(1)

(2)

即

例7.5.4

實(shí)數(shù)域R上所有一元多項(xiàng)式的集合，記做P［x］，P［x］中次數(shù)小于n的所有一元多項(xiàng)式(包括零多項(xiàng)式)組成的集合記做P［x］n，它對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，構(gòu)成R上的一個(gè)線性空間，在線性空間P［x］n

中，定義變換

σ(f(x))=

f(x)，f(x)∈P［x］n

則由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可以證明:σ是P[x]n上的一個(gè)線性變換，這個(gè)變換也稱為微分變換?，F(xiàn)取P[x]n的基為1，x，x2，…，xn-1，則有

σ(1)=0，σ(x)=1，σ(x2)=2x，…，σ(xn-1)=(n-1)xn-2

因此，σ在基1，x，x2，…，xn-1下的矩陣為

定理7.5.1

設(shè)線性空間Vn中取定兩個(gè)基

α1，α2，…，αn

β1，β2，…，βn

由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的過(guò)渡矩陣為P，Vn中的線性變換T在這兩個(gè)基下的矩陣依次為A和B，那么B=P-1AP。

證按定理的假設(shè)，有

(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，α