《數(shù)字電子技術(shù)及應(yīng)用》課件第1章

第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1數(shù)制與碼制1.2邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算1.3邏輯運(yùn)算的基本定律和公式1.4邏輯函數(shù)的表示及化簡練習(xí)一

1.1數(shù)制與碼制1.1.1數(shù)字量與模擬量在自然界中，所有物理量的性質(zhì)不同，變化規(guī)律各異，且特點(diǎn)不盡相同，但總體上可以劃分為兩大類。一類是連續(xù)變化的物理量，如溫度、時(shí)間和模擬電子線路中信號(hào)強(qiáng)弱的變化等。這類物理量可以用連續(xù)的時(shí)間函數(shù)表示，其特點(diǎn)是取值既有整數(shù)又有小數(shù)，稱其為模擬量。模擬電子技術(shù)研究的對象就是這類物理量，模擬電子線路工作在這類物理量的作用下。

另一類是離散變化的物理量，如工廠出廠的產(chǎn)品數(shù)量、事情的正確與錯(cuò)誤、事物的有與無、電路的通與斷等。這類物理量只能用離散的時(shí)間函數(shù)表示，其特點(diǎn)是取值只有整數(shù)而沒有小數(shù)，稱其為數(shù)字量。表示數(shù)字量的信號(hào)稱為數(shù)字信號(hào)。在電子技術(shù)中，研究數(shù)字信號(hào)的技術(shù)稱為數(shù)字電子技術(shù)，工作在數(shù)字信號(hào)作用下的電子線路稱為數(shù)字電子線路。1.1.2數(shù)制

1．十進(jìn)制

十進(jìn)制的計(jì)數(shù)基數(shù)是10，超過9的數(shù)必須用兩位數(shù)表示，超過99的數(shù)必須用三位數(shù)表示，以此類推。其低位數(shù)與相鄰高位之間的關(guān)系是逢10進(jìn)1，故稱為十進(jìn)制。例如

156.47＝1×102＋5×101＋6×100＋4×10-1＋7×10-2

所以，對于任意一個(gè)n位的十進(jìn)制數(shù)N10，均可表示為

N10=an-1

an-2…a1a0a-1a-2…a-m

將其展開后為

(1-1-1)

其中，ai為第i位的系數(shù);10稱為計(jì)數(shù)基數(shù);10i稱為第i位的權(quán)。

2．二進(jìn)制二進(jìn)制的計(jì)數(shù)基數(shù)是2，超過1的數(shù)必須用兩位數(shù)表示，超過3的數(shù)必須用三位數(shù)表示，以此類推。其低位數(shù)與相鄰高位之間的關(guān)系是逢2進(jìn)1，故稱為二進(jìn)制。例如(110.01)2＝1×22＋1×21＋0×20＋0×2-1

＋1×2-2＝(6.25)10所以，對于任意一個(gè)n位的二進(jìn)制數(shù)N2，均可表示為N2=an-1an-2…a1a0a-1a-2…a-m

將其展開后為將其展開后為

其中，ai為第i位的系數(shù);2稱為計(jì)數(shù)基數(shù);2i稱為第i位的權(quán)。在數(shù)字電路中，除了二進(jìn)制和十進(jìn)制外，常用的數(shù)制還有八進(jìn)制和十六進(jìn)制，它們之間的關(guān)系如表1-1-1所示。(1-1-2)表1-1-1常用進(jìn)位計(jì)數(shù)制表示方法

1.1.3十進(jìn)制與二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

1．二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制可以采用公式(1-1-2)。

例1-1-1

將二進(jìn)制數(shù)(10110.01)2換算為十進(jìn)制。解(101101.01)2＝1×25＋1×23＋1×22＋1×20＋1×2-2

＝32＋8＋4＋1＋0.25＝(45.25)10

2．十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制時(shí)，整數(shù)和小數(shù)要分別進(jìn)行換算，整數(shù)常用的方法是除2取余法。

例1-1-2

將十進(jìn)制數(shù)(53)10換算為二進(jìn)制。將十進(jìn)制小數(shù)換算為二進(jìn)制時(shí)的方法是乘2取整法，即將十進(jìn)制小數(shù)乘2，結(jié)果中的整數(shù)為二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)后的第一位；再將結(jié)果中的小數(shù)乘2，整數(shù)為二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)后的第二位；以此類推，重復(fù)上述過程，直到達(dá)到所要求的精度為止。

例1-1-3

將十進(jìn)制數(shù)(0.5715)10換算成二進(jìn)制數(shù)。

解

0.5715×2＝1.1430 取整數(shù)1對應(yīng)2-1

0.1430×2＝0.2860 取整數(shù)0對應(yīng)2-2

0.2860×2＝0.5720取整數(shù)0對應(yīng)2-3

0.5720×2＝1.1440取整數(shù)1對應(yīng)2-4

0.1440×2＝0.2880取整數(shù)0對應(yīng)2-5

…

(0.5715)10≈(0.10010)2

可以看出，很多情況下將十進(jìn)制小數(shù)換算成二進(jìn)制小數(shù)后兩數(shù)不會(huì)絕對相等，只能取近似值。1.1.4碼制用二進(jìn)制碼表示十進(jìn)制碼稱為二－十進(jìn)制碼，常用的有BCD(BinaryCodedDecimals)碼和格雷碼。

1．BCD碼表1-1-2給出了幾種常見的BCD碼。

8421碼是最常用的一種代碼。其特點(diǎn)是每一位二進(jìn)制數(shù)1都代表十進(jìn)制的一個(gè)固定數(shù)值，從左到右依次為8、4、2、1，所以稱為8421碼。每一位1代表的十進(jìn)制數(shù)稱為這一位的權(quán)，8421碼中每一位的權(quán)是固定不變的，它屬于恒權(quán)代碼。余3碼的特點(diǎn)是將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制后，比對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)大3，故稱為余3碼。另外，從表中不難發(fā)現(xiàn)，余3碼的0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互為反碼(反碼的概念將在后面介紹)。余3碼不是恒權(quán)碼。

2421碼和5211碼都是恒權(quán)碼。2421碼的0和9、1和8、2和7、3和6、4和5也互為反碼。余3循環(huán)碼中二進(jìn)制的每一位1不代表十進(jìn)制的固定數(shù)值，其特點(diǎn)是相鄰的兩個(gè)代碼之間僅有一位的狀態(tài)不同。因此，余3循環(huán)碼是一種變權(quán)碼。

2．格雷碼格雷碼是一種無權(quán)碼，其特點(diǎn)是相鄰兩個(gè)代碼只有一位不同，其余各位相同，故又稱為反射循環(huán)碼。四位二進(jìn)制數(shù)的格雷碼如表1-1-3所示。

3．原碼、反碼和補(bǔ)碼與十進(jìn)制數(shù)相同，二進(jìn)制數(shù)也存在正數(shù)和負(fù)數(shù)。由于機(jī)器計(jì)算的需要，故需將二進(jìn)制數(shù)的“＋”號(hào)和“－”號(hào)分別用0和1表示，即將二進(jìn)制數(shù)的最高位作為符號(hào)位。用0和1表示正、負(fù)的二進(jìn)制數(shù)稱為該二進(jìn)制數(shù)的原碼。例如：＋1011001的原碼為0,1011001；－1011001的原碼為1,1011001。對于正數(shù)，其反碼與原碼相同；對于負(fù)數(shù)，其反碼的符號(hào)位與原碼相同，其余位與原碼相反。例如：0,1011001的反碼為0,1011001；1,1011001的反碼為1,0100110。對于正數(shù)，其補(bǔ)碼與原碼、反碼相同；對于負(fù)數(shù)，其補(bǔ)碼等于在反碼的最低位加1。例如：0,1011001的反碼和補(bǔ)碼均為0,1011001；1,1011001的反碼為1,0100110，補(bǔ)碼為1,0100111。利用反碼和補(bǔ)碼表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的目的是為了將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)變成加法運(yùn)算，以利用加法器實(shí)現(xiàn)減法運(yùn)算。這里要注意的是，帶符號(hào)位的二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算時(shí)，若兩個(gè)數(shù)的位數(shù)不等，則運(yùn)算時(shí)符號(hào)位對齊，有效數(shù)字從低位到高位依次對齊，而高位右側(cè)的空缺位補(bǔ)0。下面通過例題加以說明。

例1-1-4

計(jì)算(25)10－(13)10＝(0,11001)2－(0,01101)2。

解由于(25)10－(13)10＝(25)10＋(－13)10，因此先求(－13)10的補(bǔ)碼拋棄符號(hào)位中的1，即為正確結(jié)果(＋12)10。

例1-1-5

計(jì)算(－25)10＋(－13)10＝(1,11001)2＋(1,01101)2。

解按照例1-1-4的方法計(jì)算，其結(jié)果為拋棄符號(hào)位中的1，其結(jié)果為(＋26)10，這顯然是錯(cuò)誤的。這里產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是：兩個(gè)數(shù)相加后超出了加法器所能表示的最大數(shù)值范圍，我們稱之為溢出。如果允許加法器再增加一位，我們給兩個(gè)數(shù)的符號(hào)位后各添一個(gè)1，則運(yùn)算為

拋棄符號(hào)位中的第一個(gè)1，即為正確結(jié)果。由此可見，使用了反碼和補(bǔ)碼，減法變成了加法，我們就可以利用加法器來完成減法運(yùn)算了。1.2邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算1.2.1三種基本邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)是由19世紀(jì)的英國數(shù)學(xué)家布爾(Boole)所提出的，因此又稱為布爾代數(shù)。在邏輯代數(shù)中，變量用字母表示，只能取兩個(gè)狀態(tài)，即“真”和“偽”，并分別用數(shù)字“0”和“1”表示。邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有三種：與、或、非。為了便于理解，我們用開關(guān)說明這三種運(yùn)算，以開關(guān)閉合作為條件(即狀態(tài)真)，以燈亮作為結(jié)果。在圖1-2-1(a)中，只有當(dāng)兩個(gè)開關(guān)同時(shí)閉合時(shí)，指示燈才會(huì)亮，即決定事物結(jié)果的全部條件具備時(shí)，結(jié)果才會(huì)發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為邏輯與，用符號(hào)“·”表示與運(yùn)算，其邏輯關(guān)系式為

Y=A·B

(1-2-1)圖1-2-1(a)表示與運(yùn)算；(b)表示或運(yùn)算；(c)表示非運(yùn)算

在圖1-2-1(b)中，只要任意一個(gè)開關(guān)閉合，指示燈即亮,即決定事物的條件中有一個(gè)具備時(shí)，結(jié)果就發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為邏輯或，用符號(hào)“＋”表示或運(yùn)算，其邏輯關(guān)系式為

Y=A+B

(1-2-2)

在圖1-2-1(c)中，開關(guān)斷開燈亮，開關(guān)閉合燈滅,即條件具備時(shí)，結(jié)果不發(fā)生；條件不具備時(shí)，結(jié)果發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為邏輯非，用符號(hào)“－”表示非運(yùn)算，其邏輯關(guān)系式為

(1-2-3)若以A、B表示開關(guān)的狀態(tài)，1表示開關(guān)閉合，0表示開關(guān)斷開；Y表示燈的狀態(tài)，1表示燈亮，0表示燈滅，則可以列出圖1-2-1中各電路的邏輯關(guān)系圖表。表1-2-1為(a)電路的邏輯關(guān)系圖表，表1-2-2為(b)電路的邏輯關(guān)系圖表，表1-2-3為(c)電路的邏輯關(guān)系圖表。這種圖表也稱為真值表。

我們把實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算的單元電路稱為門電路,其中，實(shí)現(xiàn)邏輯與運(yùn)算的電路稱為與門電路，簡稱與門；實(shí)現(xiàn)邏輯或運(yùn)算的電路稱為或門電路，簡稱或門；實(shí)現(xiàn)邏輯非運(yùn)算的電路稱為非門電路(也稱反相器)，簡稱非門。與、或、非邏輯運(yùn)算的圖形符號(hào)如圖1-2-2所示，這些符號(hào)同時(shí)也表示相應(yīng)的邏輯門電路。圖1-2-2(a)與門；(b)或門；(c)非門1.2.2復(fù)合邏輯運(yùn)算實(shí)際的邏輯運(yùn)算往往是復(fù)合邏輯運(yùn)算，它比與、或、非復(fù)雜得多，但都可以用與、或、非的組合來實(shí)現(xiàn)。常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或、同或等，其邏輯關(guān)系分別為與非(1-2-4)或非(1-2-5)與或非(1-2-6)異或(1-2-7)同或 (1-2-8)圖1-2-3給出了五種復(fù)合邏輯運(yùn)算的運(yùn)算符號(hào)(門電路)，表1-2－4～表1-2-8給出了它們的真值表。圖1-2-3(a)與非門；(b)或非門；(c)與或非門；(d)異或門；(e)同或門

1.3邏輯運(yùn)算的基本定律和公式1.3.1邏輯運(yùn)算的基本定律

1．變量與常量的基本定律

(1)0-1律A＋0＝A

A＋1＝1

（2）互補(bǔ)律(1-3-1)(1-3-2)(1-3-3)(1-3-4)(1-3-5)(1-3-6)2．算術(shù)定律(1)交換律（2）結(jié)合律（3）分配律(1-3-7)(1-3-8)(1-3-9)(1-3-10)(1-3-11)(1-3-12)3．邏輯運(yùn)算的常用定律(1)重疊律(1-3-13)(1-3-14)（2）反演律（3）反轉(zhuǎn)律(1-3-15)(1-3-16)(1-3-17)反演律又稱摩根定律。上述基本定律可以用真值表加以證明，這里證明從略。1.3.2邏輯運(yùn)算的常用公式

公式1

證明：上式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，若兩個(gè)與項(xiàng)中分別包含了互為反變量的因子，而其它變量相同，則兩項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，反變量因子可以消去。(13-18)公式2(1-3-19)證明：上式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一項(xiàng)（或一個(gè)與項(xiàng)）是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則包含這個(gè)因子的與項(xiàng)是多余項(xiàng)，可以消去。公式2又稱為吸收律。公式3(1-3-20)證明：

上式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)的非是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則這個(gè)因子是多余的，可以消去。

公式4及其推論說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果兩個(gè)與項(xiàng)中的一項(xiàng)包含了原變量，另一項(xiàng)包含了它的反變量，而這兩項(xiàng)的其余因子都是第三個(gè)與項(xiàng)的因子，則第三項(xiàng)是多余的，可以消去。這個(gè)多余項(xiàng)稱為冗余項(xiàng)，公式4又稱為冗余定理。1.3.3邏輯運(yùn)算的基本規(guī)則

1．代入規(guī)則任何一個(gè)包含變量X的邏輯式，如果將所有出現(xiàn)X的位置代入一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍成立。例如: A(B＋C)＝AB＋AC若用F＝D＋E代替等式中的C，則

A［B＋(D＋E)］=AB＋A(D＋E)因?yàn)槿魏我粋€(gè)邏輯函數(shù)和任何一個(gè)邏輯變量一樣，只有0和1兩種取值，可以將邏輯函數(shù)作為邏輯變量對待，上述規(guī)則必然成立。代入規(guī)則對于擴(kuò)展邏輯的公式和證明邏輯恒等式非常重要。

2．反演規(guī)則若將邏輯函數(shù)Y中所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，并保持原來的優(yōu)先順序(即先括號(hào)內(nèi)，再非運(yùn)算，后與運(yùn)算，最后或運(yùn)算)，則所得表達(dá)式為Y的反函數(shù)Y。例如:

則

反演規(guī)則實(shí)際上是反轉(zhuǎn)律的推廣，或者說反轉(zhuǎn)律是反演規(guī)則的一個(gè)特例。

3．對偶規(guī)則若將邏輯函數(shù)Y中所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，0換成1，1換成0，并保持原來的優(yōu)先順序，所得表達(dá)式Y(jié)′稱為Y的對偶式。例如: A(B＋C＋D)＝AB＋AC＋AD其對偶式為

A＋BCD＝(A＋B)(A＋C)(A＋D)如果兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等，則它們的對偶式必然相等。應(yīng)用這一規(guī)則在證明邏輯函數(shù)恒等式時(shí)，可以證明其對偶式相等。 1.4邏輯函數(shù)的表示及化簡1.4.1邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法有真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖和卡諾圖。下面以奇偶判別函數(shù)為例分別介紹各種表示方法。

1．真值表真值表表示邏輯函數(shù)比較直觀，人們能夠較容易地根據(jù)事件發(fā)生的情況寫出真值表。其表示方法是將所輸入變量取值下所對應(yīng)的輸出值找出來，列成表格，即為真值表。已知一個(gè)三輸入變量函數(shù)，其中兩變量為1時(shí)輸出為1，否則輸出為零，其真值表如表1-4-1所示。表1-4-1奇偶判別函數(shù)真值表

2．邏輯函數(shù)式將輸出變量與輸入變量之間的關(guān)系寫成與、或、非運(yùn)算的表達(dá)式，即為邏輯函數(shù)式，它分為與或表達(dá)式和或與表達(dá)式。表1-4-1的與或表達(dá)式為

(1-4-1)或與表達(dá)式為

(1-4-2)

3．邏輯圖將邏輯函數(shù)各變量之間的與、或、非邏輯運(yùn)算用圖形符號(hào)表示出來，即為邏輯圖。式(1-4-1)的邏輯圖如圖1-4-1所示。

4．卡諾圖卡諾圖是由美國工程師卡諾(Karnaugh)首先提出的。其表示方法是將邏輯函數(shù)輸入變量取值的組合數(shù)分別繪成相應(yīng)的小方格，再按照輸入變量取值的相鄰關(guān)系(參見1.4.4小節(jié))，將輸出變量的取值填入相應(yīng)的小格子內(nèi)。式1-4-1的卡諾圖如圖1-4-2所示。圖1-4-1圖1-4-3給出了二、三、四、五變量的卡諾圖，其方格上方和左方是對應(yīng)輸入變量取值的組合，方格內(nèi)是輸出變量的取值。圖1-4-2圖1-4-3(a)二變量卡諾圖；(b)三變量卡諾圖；(c)四變量卡諾圖；(d)五變量卡諾圖1.4.2邏輯函數(shù)式的八種類型在理論分析電路時(shí)，往往要應(yīng)用反演律將邏輯函數(shù)的一種表達(dá)形式轉(zhuǎn)換為另一種表達(dá)形式，下面通過例題說明。1.4.3邏輯函數(shù)的公式化簡法

1．并項(xiàng)法并項(xiàng)法就是根據(jù)公式(1-3-18)，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一對互為反變量的因子。2．吸收法吸收法就是根據(jù)公式(1-3-19)，吸收多余的項(xiàng)。例1-4-3化簡邏輯函數(shù)

4．消因子法消因子法是利用公式(1-3-20)，消去各項(xiàng)中的多余因子。例1-4-5

化簡邏輯函數(shù)例1-4-7

化簡邏輯函數(shù) 。解

利用公式化簡邏輯函數(shù)往往是多種方法和定律、公式的混合使用，這就要求非常熟悉定律和公式，靈活掌握各種方法的應(yīng)用。例1-4-8

化簡邏輯函數(shù) 。解

消因子法：利用公式吸收法：利用公式A+AB=A，得消因子法：利用公式 ，得1.4.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法在很大程度上取決于人們掌握和運(yùn)用邏輯運(yùn)算公式的熟練程度，以及積累的經(jīng)驗(yàn)和技巧，邏輯函數(shù)即便得到化簡，在很多情況下也難以肯定所得到的結(jié)果是最簡形式?？ㄖZ圖化簡法不需要特殊的技巧，不必熟記公式，只要遵循一定的規(guī)則，就能得到化簡結(jié)果。當(dāng)變量數(shù)較多時(shí)，更能顯示出卡諾圖化簡法的優(yōu)越性。

1．邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式設(shè)有一個(gè)四變量(A、B、C、D)函數(shù)，四變量構(gòu)成24＝16個(gè)與項(xiàng)，每個(gè)與項(xiàng)都有4個(gè)因子，每個(gè)變量都是它的一個(gè)因子。變量以原變量或反變量的形式在每一項(xiàng)中僅出現(xiàn)一次，這16個(gè)與項(xiàng)稱為變量A、B、C、D的最小項(xiàng)。為了敘述和書寫方便，通常對最小項(xiàng)進(jìn)行編號(hào)，下標(biāo)i代表A、B、C、D二進(jìn)制取值所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，如表1-4-2所示。對于n個(gè)變量的邏輯函數(shù)，其全部最小項(xiàng)數(shù)為2n個(gè)。對于任何一個(gè)邏輯函數(shù)，都可以表示成若干個(gè)最小項(xiàng)之和，稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。從最小項(xiàng)的定義出發(fā)，可以證明最小項(xiàng)有如下性質(zhì)：

(1)在輸入變量的任何取值下，必有一個(gè)最小項(xiàng)，且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的取值為1。全部最小項(xiàng)之和為1。

(2)任意兩個(gè)最小項(xiàng)的與為0。

(3)若兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量不同，則為相鄰。相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并為一項(xiàng)，且消去一個(gè)因子。

(4)n個(gè)輸入變量的邏輯函數(shù)，每個(gè)最小項(xiàng)有n個(gè)最小項(xiàng)與之相鄰。為了求得邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，通常將邏輯函數(shù)展開成與或表達(dá)式，然后將表達(dá)式中各缺少因子的與項(xiàng)配項(xiàng)，直到各與項(xiàng)都成為包含所有變量的與項(xiàng)(即最小項(xiàng))為止。

2．邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)卡諾圖所謂邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)卡諾圖，就是將邏輯函數(shù)的所有最小項(xiàng)表示為小方格，而小方格在排列時(shí)，應(yīng)是幾何位置相鄰的小方格在邏輯上也是相鄰的。所謂邏輯相鄰，是指兩小方格所填入的最小項(xiàng)中只有一個(gè)因子是互為反變量，其余變量均相同，如圖1-4-3所示。在卡諾圖中的相鄰關(guān)系除了直觀上的相鄰?fù)猓钌线叺男》礁衽c最下邊的小方格相鄰，最左邊的小方格與最右邊的小方格相鄰。表1-4-3真值表圖1-4-4圖1-4-5

例1-4-12

化簡邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,8,9,10,12,13,14)

解

(1)畫出四變量卡諾圖，如圖1-4-6所示。

(2)將Y各最小項(xiàng)用1讀入相應(yīng)小方格內(nèi)。

(3)畫包圍圈，合并最小項(xiàng)，讀出卡諾圖得最簡表達(dá)式。圖1-4-6例1-4-13化簡邏輯函數(shù)

解給定與或表達(dá)式，盡管不全是最小項(xiàng)，也可直接讀入卡諾圖，如圖1－4－7(a)所示。畫包圍圈，得最簡與或表達(dá)式圖1-4-7

本例由于0的方格數(shù)少，也可以按前述化簡步驟，在圖1-4-7(b)中畫0包圍圈，得到邏輯函數(shù)的反函數(shù)與或表達(dá)式通過上述分析，可以歸納出卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：

(1)找出函數(shù)所有取1的最小項(xiàng)。

(2)畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖，在所有取1的最小項(xiàng)方格內(nèi)填入1。

(3)按相鄰原則找出可以合并的最小項(xiàng)畫包圍圈。包圍圈中1的個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能得多，但必須等于2n個(gè)。

(4)按前述合并規(guī)則讀出每個(gè)包圍圈的乘積項(xiàng)，將所有包圍圈的乘積項(xiàng)寫成與或表達(dá)式，即得最簡邏輯函數(shù)。1.4.5具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡

1．邏輯函數(shù)中的約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和無關(guān)項(xiàng)在分析具體的邏輯函數(shù)時(shí)，會(huì)遇到這樣一種情況：輸入變量的取值不是任意的，即對輸入變量的取值有所限制，所加的這個(gè)限制稱為約束，這組變量稱為具有約束的變量。例如，用變量A、B、C表示交通信號(hào)燈的紅、綠、黃三種顏色，A＝1時(shí)紅燈亮；B＝1時(shí)綠燈亮；C＝1時(shí)黃燈亮。這樣由A、B、C構(gòu)成的邏輯函數(shù)最小項(xiàng)的取值只能出現(xiàn)001、010和100，而000、011、101、110、111不能出現(xiàn)，因此，A、B、C是一組具有約束的變量。上述約束條件可以表示為

或?qū)懗?/p>

我們把這些恒等于0的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)。交通信號(hào)燈的邏輯函數(shù)式可以寫為

有時(shí)還會(huì)遇到另外一種情況，在輸入變量的某些取值下，函數(shù)等于1還是0均可。例如，當(dāng)用四位8421BCD碼表示十進(jìn)制數(shù)時(shí)只取前10個(gè)代碼，而后6個(gè)代碼在計(jì)數(shù)器中并不出現(xiàn)，即當(dāng)變量A、B、C、D的取值為后6個(gè)代碼時(shí)，函數(shù)既可以等于1，也可以等于0。我們把函數(shù)在這些取值下既可以等于1也可以等于0的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)。由于約束項(xiàng)的取值始終等于0，因此可以將其寫進(jìn)函數(shù)式，也可以刪去，且不影響函數(shù)的取值。同樣，由于任意項(xiàng)在系統(tǒng)中并不出現(xiàn)，將其寫進(jìn)函數(shù)式也不影響函數(shù)取值。因此，我們把約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng)。

2．無關(guān)項(xiàng)在邏輯函數(shù)化簡中的應(yīng)用在化簡邏輯函數(shù)時(shí)，合理使用無關(guān)項(xiàng)可以使邏輯函數(shù)化為最簡形式。為達(dá)此目的，加入的無關(guān)項(xiàng)應(yīng)與邏輯函數(shù)式中盡可能多的最小項(xiàng)具有邏輯相鄰的關(guān)系。下面通過例題加以說明。

例1-4-14

化簡邏輯函數(shù)，其約束條件為可見，利用了約束項(xiàng)后，使函數(shù)得以進(jìn)一步化簡。如果應(yīng)用卡諾圖化簡，則可以直觀地看出應(yīng)該使用哪些約束項(xiàng)。圖1-4-8是例1-4-12的卡諾圖。從圖中不難看出，為了得到最大的包圍圈，應(yīng)取約束項(xiàng)m3、m