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文檔簡介
2025屆河南省滑縣高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.射線測厚技術(shù)原理公式為,其中分別為射線穿過被測物前后的強度,是自然對數(shù)的底數(shù),為被測物厚度,為被測物的密度,是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為()(注:半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度,,結(jié)果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.2.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點,異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且3.已知函數(shù)的一條切線為,則的最小值為()A. B. C. D.4.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立5.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是()A.函數(shù)的定義域為B.函數(shù)一個遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D.將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像6.若數(shù)列滿足且,則使的的值為()A. B. C. D.7.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點,若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到的函?shù)在有且僅有5個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.9.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點,且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.10.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.311.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.12.如圖,這是某校高三年級甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測試的班級平均分的莖葉圖,則下列說法不正確的是()A.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測試的總平均分是103二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正四棱柱中,,.若是側(cè)面內(nèi)的動點,且,則與平面所成角的正切值的最大值為___________.14.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑,據(jù)實驗表明,該藥物釋放量與時間的函數(shù)關(guān)系為(如圖所示),實驗表明,當(dāng)藥物釋放量對人體無害.(1)______;(2)為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過______分鐘人方可進入房間.15.直線xsinα+y+2=0的傾斜角的取值范圍是________________.16.已知多項式的各項系數(shù)之和為32,則展開式中含項的系數(shù)為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知在中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,且.(1)求角A的值;(2)若,設(shè)角,周長為y,求的最大值.18.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,角為鈍角,(1)求的值;(2)求邊的長.19.(12分)某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請你根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望(分布列寫出計算表達(dá)式即可).注:若,則,,.20.(12分)如圖,正方形是某城市的一個區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨立的循環(huán)運行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開哪條路線?21.(12分)移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查,從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+).(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點,求△MON的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.2、B【解析】
連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運算求解的能力,屬于中檔題.3、A【解析】
求導(dǎo)得到,根據(jù)切線方程得到,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,計算得到答案.【詳解】,則,取,,故,.故,故,.設(shè),,取,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.4、C【解析】
A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯.B:由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯.C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯.故選:C【點睛】考查判斷命題的真假,是基礎(chǔ)題.5、B【解析】
化簡到,根據(jù)定義域排除,計算單調(diào)性知正確,得到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域為,故錯誤;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當(dāng),關(guān)于的對稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域為,故不可能為,錯誤.故選:.【點睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對稱,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.6、C【解析】因為,所以是等差數(shù)列,且公差,則,所以由題設(shè)可得,則,應(yīng)選答案C.7、A【解析】
利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當(dāng)時,直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)題意,,求出,所以,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點,則,,,,,若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t,所以當(dāng)時,,在有且僅有5個零點,,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.9、B【解析】
連接,使交于點,連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點,連接、,則為的中點,在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.10、A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.11、C【解析】
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.12、D【解析】
計算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,錯誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,故D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2.【解析】
如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點,由得,證明為與平面所成角,令,用三角函數(shù)表示出,求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點,則,,又,得即;又平面,為與平面所成角,令,當(dāng)時,最大,即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題,考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題,一般是建立空間直角坐標(biāo),在動點坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù),將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解,考查了學(xué)生的運算求解能力和直觀想象能力.14、240【解析】
(1)由時,,即可得出的值;(2)解不等式組,即可得出答案.【詳解】(1)由圖可知,當(dāng)時,,即(2)由題意可得,解得則為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過分鐘人方可進入房間.故答案為:(1)2;(2)40【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】因為sinα∈[-1,1],所以-sinα∈[-1,1],所以已知直線的斜率范圍為[-1,1],由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是.答案:16、【解析】
令可得各項系數(shù)和為,得出,根據(jù)第一個因式展開式的常數(shù)項與第二個因式的展開式含一次項的積與第一個因式展開式含x的一次項與第二個因式常數(shù)項的積的和即為展開式中含項,可得解.【詳解】令,則得,解得,所以展開式中含項為:,故答案為:【點睛】本題主要考查了二項展開式的系數(shù)和,二項展開式特定項,賦值法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理,結(jié)合題中條件,可以得到,之后應(yīng)用余弦定理即可求得;(2)利用正弦定理求得,求出三角形的周長,利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】(1)由已知可得,結(jié)合正弦定理可得,∴,又,∴.(2)由,及正弦定理得,∴,,故,即,由,得,∴當(dāng),即時,.【點睛】該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問題,解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理,屬于簡單題目.18、(1)(2)【解析】
(1)由,分別求得,得到答案;(2)利用正弦定理得到,利用余弦定理解出.【詳解】(1)因為角為鈍角,,所以,又,所以,且,所以.(2)因為,且,所以,又,則,所以.19、(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的,所以,代入數(shù)值運算即可;(Ⅱ)可判斷均值應(yīng)為,再結(jié)合(1)和題干備注信息可得,進而求解;(Ⅲ)求得,該分布符合二項分布,故,列出分布列,計算出對應(yīng)概率,結(jié)合即可求解;【詳解】(Ⅰ)記這只蜻蜓的翼長為.因為種蜻蜓和種蜻蜓的個體數(shù)量大致相等,所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.(Ⅱ)由于兩種蜻蜓的個體數(shù)量相等,的方差也相等,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可知由(Ⅰ)可知,得.(Ⅲ)設(shè)蜻蜓的翼長為,則.由題有,所以.因此的分布列為.【點睛】本題考查正態(tài)分布基本量的求解,二項分布求解離散型隨機變量分布列和期望,屬于中檔題20、(1)6種;(2);(3).【解析】
(1)從4條街中選擇2條橫街即可;(2)小明途中恰好經(jīng)過處,共有4條路線,即,,,,分別對4條路線進行分析計算概率;(3)分別對小明上學(xué)的6條路線進行分析求均值,均值越大的應(yīng)避免.【詳解】(1)路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街,即從4條街中選擇2條橫街即可,所以路線總數(shù)為條.(2)小明途中恰好經(jīng)過處,共有4條路線:①當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;②當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;③當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;④當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率.所以途中恰好經(jīng)過處,且全程不等信號燈的概率.(3)設(shè)以下第條的路線等信號燈的次數(shù)為變量,則①第一條:,則;②第二條:,則;③另外四條路線:;;,則綜上,小明上學(xué)的最佳路線為;應(yīng)盡量避開.【點睛】本題考查概率在實際生活中的綜合應(yīng)用問題,考查學(xué)生邏輯推理與運算能力,是一道有一定難度的題.21、(1)列聯(lián)表見解析,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān);(2)分布列見解析,期望為.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值,把觀測值同臨界值進行比較,得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)首先確定的取值,求出相應(yīng)的概率,可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計使用
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