備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復(fù)習易錯題11概率統(tǒng)計含解析

易錯點11概率統(tǒng)計—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復(fù)習易錯題【典例分析】例1（2024年一般高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學）某中學的學生主動參與體育熬煉，其中有96%的學生寵愛足球或游泳，60%的學生寵愛足球，82%的學生寵愛游泳，則該中學既寵愛足球又寵愛游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是（）A.62% B.56%C.46% D.42%【答案】C【解析】【分析】記“該中學學生寵愛足球”為事務(wù)，“該中學學生寵愛游泳”為事務(wù)，則“該中學學生寵愛足球或游泳”為事務(wù)，“該中學學生既寵愛足球又寵愛游泳”為事務(wù)，然后依據(jù)積事務(wù)的概率公式可得結(jié)果.【詳解】記“該中學學生寵愛足球”為事務(wù)，“該中學學生寵愛游泳”為事務(wù)，則“該中學學生寵愛足球或游泳”為事務(wù)，“該中學學生既寵愛足球又寵愛游泳”為事務(wù)，則，，，所以所以該中學既寵愛足球又寵愛游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為.故選：C.【點睛】本題考查了積事務(wù)的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.例2（2024年一般高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學）為加強環(huán)境愛護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：3218468123710（1）估計事務(wù)“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）依據(jù)（2）中的列聯(lián)表，推斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，0.0500.0100.00138416.63510.828【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.【解析】【分析】（1）依據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）依據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100（3）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為依據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).【易錯警示】易錯點1．重復(fù)計算或漏算導致錯誤【例1】4名考生在三道選做題中任選一道進行做答，則這三道題都有人選做的概率為()A． B． C． D．【錯解一】4名考生任選一題，有種選法。每題都有人做，則先讓3個人每人做一題，共種方法，再讓第4個人從三個題目中選一個即種，共種選法。所求概率為，選C【錯解二】4名考生任選一題，有種選法。每題都有人做，則先從4人中選3人，每人做一題，共種，再讓剩下的一人從三個題種選一個即種，共種。所求概率為，無答案?！惧e因】第一種做法在計算的過程漏掉了“先選的三個人也可以有兩個人同時做同一個題”這種狀況；其次種做法在計算過程中出現(xiàn)了重復(fù)計算．【正解】4個人做三道題目，每題至少一人，則必有一個題目有兩個人做，因此要先將四個人分成三組，然后再排列，方法數(shù)為，所求概率為．選A易錯點2．超幾何分布與二項分布混淆【例2】為了解今年某校高三畢業(yè)班報考飛行員學生的體重狀況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前組的頻率之比為，其中其次組的頻數(shù)為．（1）求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù)；（2）以這所學校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報考飛行員的同學中（人數(shù)很多）任選三人，設(shè)表示體重超過公斤的學生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【錯解】由題知，體重在60公斤以下的有6人，60公斤以上的有10人，隨機變量聽從超幾何分布，全部可能的取值為0,1,2,3，則,,則【錯因】（1）對隨機變量的含義不清晰，不能區(qū)分超幾何分布與二項分布；（2）對于何時可以樣本的頻率代替總體的概率不清晰；【糾錯提示】（1）超幾何分布的本質(zhì)是“不放回抽樣”，是一種古典概型，而二項分布的隨機試驗是“獨立重復(fù)試驗”，強調(diào)每次試驗的結(jié)果發(fā)生的概率相同，可認為是“有放回抽樣”．本題中，“若從全省報考飛行員的同學中（人數(shù)很多）任選三人”，特殊強調(diào)人數(shù)很多，意味著試驗可以看做是“有放回抽樣”，所以是一個二項分布；（2）本題明確要求“以這所學校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)”，其意思是：用頻率來代替概率，即16個人中每個人的體重超過60公斤的概率是，也是說，全省每個學生的體重超過60公斤的概率為．【正解】（1）設(shè)報考飛行員的人數(shù)為,前三小組的頻率分別為，則由條件可得：，解得，又因為，故．由（1）可得，一個報考學生體重超過60公斤的概率為，故聽從二項分布，∴隨機變量的分布列為：0123則，或．易錯點3．幾何概型與古典概型混淆【例3】心理學家分析發(fā)覺視覺和空間實力與訓練時間有關(guān)，某數(shù)學愛好小組為了驗證這個結(jié)論，進行了對比試驗，經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．【錯解】設(shè)事務(wù)為“乙比甲先做完此道題”，由題意知，甲完成該題所用的時間可以是5,6,7分鐘，共3種狀況，乙可以是6,7,8分鐘，共3種狀況，所以，一共有個基本時間。其中甲用7分鐘，乙用6分鐘時，事務(wù)發(fā)生。則【錯因】誤認為時間是離散度的，將其看成了一個古典概型【糾錯提示】時間是一個連續(xù)性隨機變量，在求解時應(yīng)建立幾何概率模型．【正解】（1）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時間分別為分鐘，則基本領(lǐng)件滿意的區(qū)域為(如圖所示)，設(shè)事務(wù)為“乙比甲先做完此道題”則滿意的區(qū)域為．∴由幾何概型，即乙比甲先解答完的概率為．易錯點4．遺忘回來直線過樣本中心致錯平均氣溫（°C）181310－1用電量（度）25353763【例4】某單位為了了解用電量（度）與當天平均氣溫（°C）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的當天平均氣溫與用電量（如右表）．由數(shù)據(jù)運用最小二乘法得線性回來方程，則___．【錯解】將點帶入，得，所以【錯因】不理解回來直線過樣本中心點，隨意帶入數(shù)據(jù)導致結(jié)果錯誤．【糾錯提示】求出樣本的中心點，代入回來方程，即可求得．【正解】解析：，，樣本中心為，回來直線經(jīng)過樣本中心，所以．易錯點5．對正態(tài)分布的性質(zhì)及意義不熟識致錯【例5】設(shè)隨機變量聽從正態(tài)分布，若，則．【錯解】由，所以，得【錯因】（1）對正態(tài)分布中的的意義不清；（2）對正態(tài)分布的性質(zhì)及意義不熟識．【糾錯提示】由題意與關(guān)于對稱，，解得．【正解】由，由正態(tài)分布的性質(zhì)知，與關(guān)于對稱，，解得【變式練習】1．“數(shù)摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別名.如圖是折扇的示意圖，為的中點，若在整個扇形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則此點取自扇面（扇環(huán)）部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，圓心角為，則整個折扇的面積為，扇面的面積為，若在整個扇形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記此點取自扇面（扇環(huán)）部分為事務(wù)，則依據(jù)幾何概型的概率公式得故選：2．（2024?新課標Ⅱ）11分制乒乓球競賽，每贏一球得1分，當某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局競賽結(jié)束．甲、乙兩位同學進行單打競賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局競賽結(jié)束．（1）求P（X＝2）；（2）求事務(wù)“X＝4且甲獲勝”的概率．【解答】解：（1）設(shè)雙方10：10平后的第k個球甲獲勝為事務(wù)Ak（k＝1，2，3，…），則P（X＝2）＝P（A1A2）+P（A1＝P（A1）P（A2）+P（A1）P（A＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．（2）P（X＝4且甲獲勝）＝P（A1A2A3A4）+P（A＝P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（A2）P（A3）P（A＝（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4＝0.1．3．（2024?天津）設(shè)甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為23．假定甲、乙兩位同學到校狀況互不影響，且任一同學每天到校狀況（Ⅰ）用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）設(shè)M為事務(wù)“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．【解答】解：（I）甲上學期間的三天中到校狀況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為23故X～B（3，23從而P（X＝k）=C3k所以，隨機變量X的分布列為：X0123P1272949827隨機變量X的期望E（X）＝3×2（II）設(shè)乙同學上學期間的三天中7：30到校的天數(shù)為Y，則Y～B（3，23且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由題意知{X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}與{Y＝1}，{X＝2}與{Y＝0}相互獨立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）=4．2024年國慶節(jié)假期期間，某商場為駕馭假期期間顧客購買商品人次，統(tǒng)計了10月1日7：00﹣23：00這一時間段內(nèi)顧客購買商品人次，統(tǒng)計發(fā)覺這一時間段內(nèi)顧客購買商品共5000人次顧客購買商品時刻的的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段7：00?11：00，11：00?15：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23]．（1）求該天顧客購買商品時刻的中位數(shù)t與平均值x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）由頻率分布直方圖可以近似認為國慶節(jié)假期期間該商場顧客購買商品時刻聽從正態(tài)分布N（μ，δ2），其中μ近似為x，δ＝3.6，估計2024年國慶節(jié)假期期間（10月1日﹣10月7日）該商場顧客在12：12﹣19：24之間購買商品的總?cè)舜危ńY(jié)果保留整數(shù)）；（3）為活躍節(jié)日氣氛，該商場依據(jù)題中的4個時間段分組，采納分層抽樣的方法從這5000個樣本中隨機抽取10個樣本（假設(shè)這10個樣本為10個不同顧客）作為幸運客戶，再從這10個幸運客戶中隨機抽取4人每人嘉獎500元購物券，其他幸運客戶每人嘉獎200元購物券，記獲得500元購物券的4人中在15：00﹣19：00之間購買商品的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；參考數(shù)據(jù)：若T～N（μ，σ2），則①P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜T≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．【解答】解：（1）依據(jù)題意，中位數(shù)t∈（15，19），由4×（0.025+0.075）+（t﹣15）×0.100＝0.5，得t＝16，x=（2）由題意可得，商場顧客購買商品時刻聽從正態(tài)分布N（15.8，3.62），μ﹣δ＝12.2，μ+δ＝19.4，所以2024年國慶節(jié)假期期間，商場顧客在12：12﹣19：24之間購買商品的概率為P（12.2＜T＜19.4）＝0.6827，所以人數(shù)為5000×0.6827×7≈23895；（3）依據(jù)題意X可能取值為0，1，2，3，4，P（X＝0）=C64C104=P（X＝2）=C62C42C104=37，X的分布列如下X01234P18341E（X）＝0×114+1×5．在貫徹中共中心、國務(wù)院關(guān)于精準扶貧政策的過程中，某單位在某市定點幫扶某村100戶貧困戶．為了做到精準幫扶，工作組對這100戶村民的年收入狀況、危舊房狀況、患病狀況等進行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標x．將指標x依據(jù)[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定若0≤x＜0.6，則認定該戶為“肯定貧困戶”，否則認定該戶為“相對貧困戶”；當0≤x＜0.2時，認定該戶為“亟待幫住戶”．工作組又對這100戶家庭的受教化水平進行評測，家庭受教化水平記為“良好”與“不好”兩種．（1）完成下面的列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認為肯定貧困戶數(shù)與受教化水平不好有關(guān)：受教化水平良好受教化水平不好總計肯定貧困戶2相對貧困戶52總計100（2）上級部門為了調(diào)查這個村的特困戶分布狀況，在貧困指標處于[0，0.4）的貧困戶中，隨機選取兩戶，用X表示所選兩戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望EX．附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+P（K2≥k0）0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.024【解答】解：（1）由如圖所示的頻率分布直方圖可得0≤x＜0.6的概率p1＝（0.25+0.50+0.75）×0.2＝0.3，所以100戶家庭的“肯定貧困戶”由100×0.3＝30，由（1）的表可得“受教化水平不好”的由30﹣2＝28，由題意可得“相對貧困戶”由100﹣30＝70，由表可得“受教化水平良好的”有70﹣52＝18，所以表的值為下表：；因為k2=100(2×52-18×28所以有95%的把握認為肯定貧困戶數(shù)與受教化水平不好有關(guān)；（2）由題意可得100戶家庭中由“亟待幫住戶”有100×0.25×0.2＝5戶，[0，0.4）的貧困戶有：100×（0.25+0.5）×0.2＝15，由題意可得隨機變量X的可能取值為：0，1，2，p（x＝0）=C102?C50C152=37，所以X的分布列為：，所以數(shù)學期望EX＝0?37+1?106．近幾年一種新穎 水果深受廣闊消費者的寵愛，一位農(nóng)戶發(fā)揮聰慧才智，把這種露天種植的新穎 水果搬到了大棚里，收到了很好的經(jīng)濟效益．依據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的新穎 水果的箱數(shù)x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：x13467y56.577.58y與x可用回來方程y^=b?lgx+（Ⅰ）若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新穎 水果的價格為150元/箱，試預(yù)料該新穎 水果100箱的利潤是多少元．（利潤＝售價﹣成本）（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計，10月份的連續(xù)16天中該農(nóng)戶每天為甲地可配送的該新穎 水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖，用這16天的狀況來估計相應(yīng)的概率．一個運輸戶擬購置n輛小貨車特地運輸該農(nóng)戶為甲地配送的該新穎 水果，一輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該新穎 水果，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元．試比較n＝3和n＝4時此項業(yè)務(wù)每天的利潤平均值的大?。畢⒖紨?shù)據(jù)與公式：設(shè)t＝lgx，則tyi=15i=150.546.81.530.45線性回來直線y^=b?lgx+【解答】解：（Ⅰ）依據(jù)題意，b?所以a?所以y?=3.4又t＝lgx，所以y?=3.4所以x＝10時，y?即該新穎 水果100箱的成本為8364元，故該新穎 水果100箱的利潤15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）依據(jù)頻率分布直方圖，可知該農(nóng)戶每天可配送的該新穎 水果的箱數(shù)的概率分布表為：箱數(shù)[40，80）[80，120）[120，160）[160，200]P1111設(shè)該運輸戶購3輛車和購4輛車時每天的利潤分別為Y1，Y2元．則Y1的可能取值為1500，800，100，其分布列為：Y11500800100P511故E（Y1）=5Y2的可能取值為2000，1300，600，﹣100，其分布列為：Y220001300600﹣100P1111故E（Y2）=1故$E（{Y}_{2}），即購置3輛小貨車的利潤平均值大于購置4輛小貨車的利潤平均值．7．郴州某超市安排按月訂購一種飲料，每天進貨量相同，進貨成本每瓶6元，售價每瓶8元，未售出的飲料降價處理，以每瓶3元的價格當天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（Ⅰ）求六月份這種飲料一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（Ⅱ）設(shè)六月份一天銷售這種飲料的利潤為Y（單位：元），當六月份這種飲料一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？【解答】解：（Ⅰ）易知需求量X可取200，300，500，P（X＝200）=2+16P（X＝300）=36P（X＝500）=25+7+4則分布列為：X200300500P1225（Ⅱ）①當n≤200時，Y＝n（8﹣6）＝2n，此時Ymax＝400，當n＝200時取得．②當200＜n≤300時，Y=45?2n+15[200×2+（此時Ymax＝500，當n＝300時取到，③當300＜n≤500時，Y=15[200×2+（n﹣200）?（﹣3）]+25[300×2+（n﹣300）?（﹣3）]此時Y＜500．④當n≥500時，易知Y肯定小于③的狀況．綜上所述，當n＝300時，Y取到最大值為500．【真題演練】1．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】某校一個課外學習小組為探討某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽試驗，由試驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回來方程類型中最相宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回來方程類型的是A． B．C． D．【答案】D【解析】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象旁邊，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回來方程類型的是.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要視察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.2．【2024年高考全國II卷理數(shù)】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)料其次天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，其次天新增訂單數(shù)為，設(shè)須要志愿者x名，，,故須要志愿者名.故選：B【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．【2024年高考全國III卷理數(shù)】在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項這一組標準差最大.故選：B.【點睛】本題考查標準差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.4．【2024年高考山東】某中學的學生主動參與體育熬煉，其中有96%的學生寵愛足球或游泳，60%的學生寵愛足球，82%的學生寵愛游泳，則該中學既寵愛足球又寵愛游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【解析】記“該中學學生寵愛足球”為事務(wù)，“該中學學生寵愛游泳”為事務(wù)，則“該中學學生寵愛足球或游泳”為事務(wù)，“該中學學生既寵愛足球又寵愛游泳”為事務(wù)，則，，，所以所以該中學既寵愛足球又寵愛游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為.故選：C.【點睛】本題考查了積事務(wù)的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.5．【2024年高考山東】信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X全部可能的取值為，且，定義X的信息熵.A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機變量Y全部可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當時，，當時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的全部可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思索和解決問題的實力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運用，屬于難題.6．【2024年高考江蘇】已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是▲．【答案】2【解析】∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4∴，即.故答案為：2.【點睛】本題主要考查平均數(shù)的計算和應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．7．【2024年高考江蘇】將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次，視察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】依據(jù)題意可得基本領(lǐng)件數(shù)總為個.點數(shù)和為5的基本領(lǐng)件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，是基礎(chǔ)題．8．【2024年高考天津】從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為A．10 B．18 C．20 D．36【答案】B【解析】依據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，則區(qū)間內(nèi)零件的個數(shù)為：.故選：B.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的計算與實際應(yīng)用，屬于中等題.9.【2024年高考天津】已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_________．【答案】【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.故答案為：；.【點睛】本題主要考查獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率，以及利用對立事務(wù)求概率，屬于基礎(chǔ)題.10．【2024年高考浙江】盒中有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球．從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止．設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_______，_______．【答案】，【解析】因為對應(yīng)事務(wù)為第一次拿紅球或第一次拿綠球，其次次拿紅球，所以，隨機變量，，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查古典概型概率、互斥事務(wù)概率加法公式、數(shù)學期望，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.11．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】甲、乙、丙三位同學進行羽毛球競賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；競賽前抽簽確定首先競賽的兩人，另一人輪空；每場競賽的勝者與輪空者進行下一場競賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人接著競賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，競賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先競賽，丙輪空.設(shè)每場競賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求須要進行第五場競賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【解析】（1）甲連勝四場的概率為．（2）依據(jù)賽制，至少須要進行四場競賽，至多須要進行五場競賽．競賽四場結(jié)束，共有三種狀況：甲連勝四場的概率為；乙連勝四場的概率為；丙上場后連勝三場的概率為．所以須要進行第五場競賽的概率為．（3）丙最終獲勝，有兩種狀況：競賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為．競賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從其次場起先的四場競賽依據(jù)丙的勝、負、輪空結(jié)果有三種狀況：勝輸贏勝，輸贏空勝，負空勝勝，概率分別為，，．因此丙最終獲勝的概率為．12．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡潔隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，．（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）依據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．【解析】（1）由已知得樣本平均數(shù)，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200=12000．（2）樣本的相關(guān)系數(shù)．（3）分層抽樣：依據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采納分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一樣性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計．13．【2024年高考全國III卷理數(shù)】某學生愛好小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園熬煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：熬煉人次熬煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園熬煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表，推斷是否有