導(dǎo)數(shù)（解答題8種考法）（解析版）

導(dǎo)數(shù)（解答題8種考法）考法一零點(diǎn)（交點(diǎn)）的個(gè)數(shù)【例1-1】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)增區(qū)間為和，減區(qū)間為(2)答案見解析【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由可得，由可得?故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由，得，，由可得，由可得?所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以在上不存在零點(diǎn)；①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，則在與上各有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，（i）當(dāng)時(shí)，在上不存在零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，在上存在兩個(gè)零點(diǎn).【例1-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若直線是曲線的一條切線，求a的值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，即，因?yàn)橹本€是曲線的一條切線，所以，，因?yàn)?，所以或（）．?dāng)時(shí)，由，得a＝2；當(dāng)（）時(shí)，．令，則，所以在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，易知，所以由，得．綜上，．（2）由（1）得（），當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，因此函數(shù)沒有零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極大值，，令（），則，令（），則，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，，即（），因此，又，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值，令，則，易知當(dāng)x＝4時(shí)，取得最大值，所以所以，令，則，所以，由得所以，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．考法二零點(diǎn)（交點(diǎn)）個(gè)數(shù)求參【例2-1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【例2-2】（2023·四川南充·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若是的極小值點(diǎn)，且，求的取值范圍；(2)若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】（1）的定義域?yàn)?，由，可得，，，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足是的極小值點(diǎn)，因?yàn)?，所以，可得，則，即的取值范圍是（2）令，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，則，則為增函數(shù)當(dāng)趨近時(shí)，趨近，又，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，且，則，即，則函數(shù)為增函數(shù)，所以，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)趨近時(shí)，趨近，當(dāng)趨近時(shí)，趨近，只需滿足，得，故的取值范圍為 考法三零點(diǎn)之間的關(guān)系的證明【例3-1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【解析】（1）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗裕忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)椋忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【例3-2】（2022秋·福建廈門·高三廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┮阎陀邢嗤淖畲笾?（）(1)求的值；(2)求證：存在直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)且，使得成等比數(shù)列.【答案】(1)(2)見解析【解析】（1）的定義域?yàn)?，且，，?dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；所以，的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；所以，又和有相同的最大值，所以，解得，又，所以；（2）由（1）可知：在遞增，在遞減，且，在遞增，在遞減，且，和的圖象如圖所示：設(shè)和的圖象交于點(diǎn)，則當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則，且，因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，且在遞增，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋以谶f減，所以，所以，所以，即，所以得成等比數(shù)列【例3-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求實(shí)數(shù)；(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1），令.有最大值，且在上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減，.時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，.（2）由，由，令,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，至多兩個(gè)零點(diǎn)，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；至多兩個(gè)零點(diǎn).令，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，由，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，且，所以，設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，方程無解，當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增，方程有唯一解，當(dāng)時(shí)，注意到，設(shè)，對(duì)恒成立，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋裕?，所以，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，示意圖如下注意到，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即有，在和上各有一個(gè)零點(diǎn).且由，而，而在上單調(diào)遞增，由，由，而而在上單調(diào)遞減，由，于是得，，證畢!考法四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例4-1】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若在上恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)(3)證明見解析【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，且極大值為.（2）解：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，由可得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由可得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，所以，，所以，，所以，，因此，.考法五利用導(dǎo)數(shù)解（能）恒成立【例5-1】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以所求切線方程為，即.（2）對(duì)任意的，恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立.①當(dāng)時(shí)，顯然成立.②當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.設(shè)，所以.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谥?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為.【例5-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增(2)【解析】（1）若，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，，則，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)楹愠闪?，即，令，設(shè)，①若，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，易知當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，所以恒成立，即滿足題意.；②若，即，則在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，即滿足題意.③若，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)，即時(shí)，，所以恒成立，即滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，不滿足題意，即不滿足題意.④若，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，即不滿足題意.綜上，正實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【例5-3】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.考法六利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量【例6-1】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】(1)的定義域?yàn)椋傻茫?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)椋?，即．因?yàn)?，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【例6-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．(1)已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、．①求實(shí)數(shù)的取值范圍②證明：．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【解析】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，要，只需，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，則由得，所以，故實(shí)數(shù)取值的集合（2）①由已知，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)不同零點(diǎn)，若時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，與已知矛盾，舍去當(dāng)時(shí)，由，得，令所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以，因?yàn)?，，所以，所以，故?shí)數(shù)的取值范圍為②設(shè)，由①則，因?yàn)?，所以，，則，取對(duì)數(shù)得，令，，則，即，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，故成立．【例6-3】（2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）方程，即，等價(jià)于．令，其中，則，顯然．令，則，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，，所以關(guān)于t的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，，所以．要證，即證，即證，只需證．因?yàn)?，所以，整理可得．不妨設(shè)，則只要證，即．令，，其中，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以，故．考法七根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)【例7-1】（2023·新疆·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).(1)若，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立；(2)若存在極小值，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）∵的定義域?yàn)?，，∴?令，則.令，則.由，得，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增.∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，恒成立.（2）由（1）知，.設(shè)，則.①當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增.∵，∴當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而.又∵，∴，都有，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)無極值；②當(dāng)時(shí)，由，得，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.令，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∵，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.（i）當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，都有，∴，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，符合題意.（ii）當(dāng)時(shí)，，且.∵，∴，∴的圖象大致如圖（1）.圖（1）由函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，得在內(nèi)存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，∴當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，符合題意.（iii）當(dāng)時(shí)，，且.∵，由（1）知，，∴的圖象大致如圖（2）.圖（2）由函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，得在內(nèi)存在唯一的實(shí)數(shù)，使，∴當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，符合題意.綜上，當(dāng)存在極小值時(shí)，的取值范圍為.【例7-2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù).若至少存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：令，得.又，所以.令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，所以存在唯一的，使得，即在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn).（2）由題意知，所以.因?yàn)楹瘮?shù)至少存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程至少有兩個(gè)不等實(shí)根.令，則.令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，，即0，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.要使在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)不等實(shí)根，則函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上至少有兩個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)的圖象，如圖所示，則，解得.此時(shí)，在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，為的極大值點(diǎn)，符合題意.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.考法八切線的相關(guān)問題【例8-1】（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若過原點(diǎn)O可作三條直線與的圖像相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．由，令，解得或；令，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）易知原點(diǎn)O不在函數(shù)的圖像上，設(shè)切點(diǎn)為．求導(dǎo)得，則，即，整理得，所以，令，則，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．而過原點(diǎn)O可作三條直線與的圖像相切，則有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，也就是直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則有，即．【例8-2】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.(1)求a的取值范圍；(2)若在和處的切線交于點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，不可能兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，∵，；；，∴有唯一零點(diǎn)且有唯一零點(diǎn)，滿足題意，綜上：；（2）先證右邊：令則，∴，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，∴的最大值為，∴，即，∴且，∴，又∵，∴，∴；再證左邊：曲線在和處的切線分別是

聯(lián)立兩條切線得，∴，由題意得，要證，即證，即證，即證，令，即證，令，，∴在單調(diào)遞減，∴，∴得證.綜上：.1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)和函數(shù)有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；于是有，（2）兩個(gè)函數(shù)大致圖象如下：設(shè)圖象的交點(diǎn)為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，且

（*）由，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，由（*）可得：，，于是有.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.4．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a，.(1)當(dāng)時(shí)，討論在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若存在，使，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，且不恒為0，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程有兩不等正根，結(jié)合定義域由可得，由可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程有一負(fù)根和一正根，結(jié)合定義域由可得，由可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）法一：分離變量可得：，令，，則，易得當(dāng)時(shí)，，且，從而，所以在單調(diào)遞減，于是.即a的取值范圍為.法二：當(dāng)時(shí)，，令，，則，即為，而在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，又，i.當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；ii.當(dāng)時(shí)，由（1）知在上是增函數(shù)，恒有，故不存在，使；iii.當(dāng)時(shí)，由于時(shí)，，所以，令，則，所以在上是增函數(shù)，最大值為，又，所以，此時(shí)恒有，因此不存在，使.綜上可知，，即a的取值范圍為.5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)吋，.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，記，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）原不等式為，即，即證在上恒成立，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，且在上有，所以可得到，即，所以在時(shí)，有成立.6．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)詳解見解析；(2)證明見解析；(3).【解析】（1），則，當(dāng)時(shí)，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）令，則，設(shè)，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，所以當(dāng)時(shí)，，即證；（3），即，即，令，則，若，當(dāng)時(shí)，，，令，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，即；令，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，即，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即恒成立.當(dāng)時(shí)，，存在實(shí)數(shù)，使得均有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，不符合題意，所以當(dāng)時(shí)，不符合題意.綜上，a的取值范圍為.7．（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)椋瑒t.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，由（1）知.不妨設(shè)，則，，兩式相減得.所以.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要證原命題成立，只需證即可，即證明，即證明，即證明.設(shè).令，則.因?yàn)?，所以，在上是增函?shù)，故，所以當(dāng)時(shí)，總成立.所以原題得證.8．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，記的導(dǎo)函數(shù)為．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)?，，即，；令，則；①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即或時(shí)，令，解得：；當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減.（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，則由（1）知：，又，，，，；，，又，；要證，只需證，即證；由得：，即，即證，又，只需證；令，則，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，，，則原不等式得證.9．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)于任意正整數(shù)n，，求t的最小正整數(shù)值．【答案】(1)答案見解析(2)3【解析】（1）因?yàn)?定義域?yàn)?，所以，若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以，即，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，．一方面：，即．另一方面：當(dāng)時(shí)．，當(dāng)時(shí)，．∵，，∴t的最小正整數(shù)值為3．10．（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)證明見解析【解析】（1）定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；由（1）知：，又，在的圖像如下圖所示，不妨設(shè)，可知：，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，，又，，又，；，，在上單調(diào)遞增，，則.11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中且．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”求函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；(3)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)答案見解析；(3)且.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽．，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)即為方程的根，即方程的根．顯然，不是方程的根，所以．記，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），所以在和上均單調(diào)遞增．由，記．①當(dāng)時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，，（可設(shè)當(dāng)，當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以），存在，使得，即存在唯一使得；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，（設(shè)當(dāng)，當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以），存在，使得，即存在唯一使得．②當(dāng)時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，存在，使得，即存在唯一使得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”．（3）由（2）知（其中）．由，代入得．記，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于無窮時(shí)，的增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一次函數(shù)的增長(zhǎng)速率，則．由可得；可得共三個(gè)解．所以，有一個(gè)零點(diǎn)．所以，由，代入得，由（1）知，當(dāng)，即時(shí)，的解為；當(dāng)，即且時(shí)，所的解為，．綜上所述，當(dāng)且時(shí)方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).(1)求的極值；(2)若有4個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)，無極小值.(2)【解析】（1）解：因?yàn)?，，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即，無極小值.（2）解：由即，可得，令，則，設(shè)，則，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，即，，所以存在，使得，，即，①，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極大值為，極小值為和對(duì)①式兩邊取對(duì)數(shù)可得，②，將①②代入得，同理可得，要使有四個(gè)零點(diǎn)，則必有，解得，而，，由零點(diǎn)存在定理可知，當(dāng)時(shí)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，即有個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.13．（2023·廣西柳州·二模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的值域；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由可知令則，0減極小值增所以無最大值，所以的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，，令，則有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，于是在上單調(diào)遞增.所以，因此在上沒有零點(diǎn)即在上沒有零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，令得，在上，在上所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最小值為由于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以因?yàn)?，?duì)于函數(shù)，，所以在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增；所以所以所以由零點(diǎn)存在性定理得時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，可得的取值范圍是.14．（2022·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求正數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間(2)【解析】（1）由題意可得．設(shè)，則．由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間．（2）由題意可得．①當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以要使要有兩個(gè)零點(diǎn)，首先要求，解得．下面證明時(shí)，確實(shí)存在兩個(gè)零點(diǎn)：所以，且,故在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).，因?yàn)?，所以，故在?nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).所以時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，，解得，因?yàn)椋?，則有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意．③當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．顯然，下面證明當(dāng)時(shí)恒成立，設(shè)，則．由（1）可知在上單調(diào)遞減，則，即成立.所以時(shí)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)正數(shù)a的取值范圍是．15．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，①若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)的值；②若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若，其中，證明：.【答案】(1)①；②(2)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.①易知，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，所以.②解法一，不等式.設(shè)（），，則由①知，所以存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使得成立.易知在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法二，不等式.設(shè)，則存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使得成立.易知，當(dāng)時(shí)，易知，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故可作出的大致圖象如圖所示.-2不妨設(shè)，由圖易知.要證，只需證.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以只需證，又，所以只需證對(duì)任意的恒成立.設(shè)，則.設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以所以在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，又，所以，原不等式得證.16．（2022·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)求證：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由得，的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，顯然至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故，下面證明當(dāng)時(shí)，在與上各有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，所以在上存在唯一零點(diǎn)；令，則，再令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即，故在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，即，則，故，又由，即當(dāng)時(shí)，，即，故，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上存在唯一零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故.（2）由題意得，，即，即，由（1）知，不妨設(shè)，且，則，故，所以，先證，即證，即證，即證，令，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，即，即，所以，又，故.故.17．（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知，(1)不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）方法一：當(dāng)時(shí)，不等式兩邊同除以得：，，記，則，①當(dāng)即時(shí)，則，所以在上遞增，滿足要求，②當(dāng)時(shí)，則在上遞增，滿足要求③當(dāng)時(shí)，令得，所以在上遞減，與題設(shè)不符，舍去，綜上，的取值范圍為；方法二：化為，，記，則①當(dāng)時(shí)，由基本不等式可知：則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以在上遞增，滿足要求；②當(dāng)時(shí)，令得，所以在上遞減，此時(shí)與題設(shè)不符綜上，的取值范圍為；（2）定義域?yàn)椋?，令得，由題意，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，記，則，令得：，令，，故在上遞增，在上遞減，因?yàn)?，又，且?dāng)時(shí)，恒成立，所以，則，由（1）取，則時(shí)，，又代入，并整理得，，同理，，所以.18．（2023·陜西商洛·?？既＃┮阎?(1)若恒有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，則方程有兩個(gè)不同的正根，即函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，由圖可知；（2）設(shè)，則，在單調(diào)遞增，故，即.而，故，又，，在單調(diào)遞減，故，即；由知；由(1)知，，為函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故，令（）.，，令，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以，故單調(diào)遞減，由，得，即，即.19．（2022·廣東韶關(guān)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）.當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.20（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：（……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值(2)（i）；（ii）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，()，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）(i)因?yàn)?)，令()，問題可轉(zhuǎn)化函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，又，令，故函數(shù)在上遞減，在上遞增，故，故，即，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，函數(shù)，不符題意，當(dāng)時(shí)，則，，，即當(dāng)時(shí)，存在，，使得在上遞增，在上遞減，在上遞增，故有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)的a的取值范圍為；（ii）因?yàn)?，，且，令，則，，又，令，即只要證明，即，令，則，故在上遞增，且，所以，即，從而，又因?yàn)槎魏瘮?shù)的判別式，即，即，所以在上恒成立，故.21．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.(2)證明見解析【解析】1）的定義域?yàn)?，，令，得：，?dāng)變化時(shí)的關(guān)系如下表：01無意義0無意義在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2）證明：要證，只需證：根據(jù)，只需證：不妨設(shè)，由得：；兩邊取指數(shù)，，化簡(jiǎn)得：令：，則，根據(jù)（1）得在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（如下圖所示），由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使且，則必有，即由得：.要證，只需證：，由于在上單調(diào)遞增，要證：，只需證：，又，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，即證，令，只需證：，，令，在上單調(diào)遞減，所以，所以所以在上單調(diào)遞減，所以所以所以：.22．（2022·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，若方程有三個(gè)不同的解，求a的取值范圍.【答案】(1)詳見解析(2)【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）由，化簡(jiǎn)為，設(shè)，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值，畫出函數(shù)的圖象，由圖可知與的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的，一正一負(fù)，如圖，畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)，時(shí)，對(duì)應(yīng)的值有3個(gè)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以23．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，求證：(1)存在唯一零點(diǎn)；(2)不等式恒成立．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】（1），.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；所以，即.所以在上單調(diào)遞增，.則在上，存在，使得，即存在唯一零點(diǎn)；（2），令，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；即，故.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.即.故不等式恒成立.24．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖像與直線l：相切于點(diǎn)．(1)求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在x軸上的截距；(2)求c與a的函數(shù)關(guān)系；(3)當(dāng)a為函數(shù)g（a）的零點(diǎn)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立．求實(shí)數(shù)k的最值．【答案】(1)(2)(3)最大值為3，最小值為．【解析】（1），，，．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是：.令y＝0得，所以該切線在x軸上的截距等于．（2），，函數(shù)的圖像在x＝1處的切線方程是：，即，兩端乘以b變作：①．又已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是：②．直線①與直線②重合，則③，④，聯(lián)立③④消去b得，所以c與a的函數(shù)關(guān)系為：．（3）函數(shù)的零點(diǎn)為a＝1，a＝1時(shí)．對(duì)，恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)，不等式恒成立．①當(dāng)x＝0時(shí)，對(duì)恒成立，此時(shí)．②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，恒成立．設(shè)，求得．0＜x≤2時(shí)，由得，由得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，，此時(shí)．③當(dāng)時(shí)，恒成立．與②同，設(shè)，．令，則，在上單調(diào)遞增．所以，時(shí)，得，在上單調(diào)遞減．所以，時(shí)，取得最大值，此時(shí)．整合①②③三種情形，得，且等號(hào)都取得到．所以，實(shí)數(shù)k的最大值為3，最小值為．25（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，令得，所以函數(shù)在上單遞遞增；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為．（2）恒成立，等價(jià)于恒成立，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，等價(jià)于恒成立令，問題等價(jià)于恒成立①若時(shí)，恒成立，滿足題意；②若時(shí)，則，所以，不滿足題意；③若時(shí)，因?yàn)?，令，得，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得綜上：【解法二】恒成立，等價(jià)于，令①若時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時(shí)，則，，所以在上單調(diào)遞增，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋缓瘮?shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋凰?，使得，不滿足題意．③若時(shí)，令，∴，令，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；函?shù)在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?；則，；，，；，，所以，，，，，單調(diào)遞減，，