第10講空間向量的應(yīng)用與新定義（五種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第10講空間向量的應(yīng)用與新定義（五種題型）題型一：空間向量的位置關(guān)系的證明一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面2．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三洛陽(yáng)市第八中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面3．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B．存在Q點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為二、多選題4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐的體積為B．平面C．過(guò)點(diǎn)作正方體的截面，所得截面的面積是D．異面直線與所成的角的余弦值為5．（2022·廣東·統(tǒng)考三模）在正方體中，，點(diǎn)P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面時(shí)，可能垂直B．若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．當(dāng)時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)?P?C的截面面積的取值范圍為[，]三、填空題6．（2022秋·湖南懷化·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，多面體ABCDEF中，面ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱DE上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，GH∥平面ABE；②存在點(diǎn)H，使得GH⊥AE；③三棱錐B?GHF的體積為定值；④三棱錐E?BCF的外接球的表面積為．其中正確的結(jié)論序號(hào)為_(kāi)_______．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形；②直線到平面的距離是；③存在點(diǎn)，使得；④△面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是___________.四、解答題9．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．10．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).(1)求證：；(2)若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.11．（2022秋·天津?yàn)I海新·高三?？计谀┤鐖D，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．12．（2023春·天津武清·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．13．（2022春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．題型二：空間角的向量求法一、多選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過(guò)，，三點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形C．當(dāng)與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為D．存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知梯形，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)；將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過(guò)程中下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．不論何時(shí)，與都不可能垂直B．存在某個(gè)位置，使得平面C．直線與平面所成角存在最大值D．四面體的外接球的表面積的最小值為二、解答題3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．4．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三孟津縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2022秋·黑龍江雞西·高三?？计谥校┰谒睦忮F中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．7．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.(1)證明：平面DEF；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.10．（2022秋·天津?yàn)I海新·高三校考期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)證明：若，直線平面；(2)求二面角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說(shuō)明理由.11．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點(diǎn).(1)證明：直線CE∥平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值.12．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.13．（2022·福建福州·福建省福州格致中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.題型三：空間向量的距離求法一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．2．（2020·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且，若點(diǎn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分別是的中點(diǎn)，M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．存在點(diǎn)M，使平面SBCC．存在點(diǎn)M，使直線OM與AB所成的角為30°D．點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值4．（2022·江蘇南京·高三金陵中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為4，6，高為，E是的中點(diǎn)，則（

）A．正四棱臺(tái)的體積為B．正四棱臺(tái)的外接球的表面積為104πC．AE∥平面D．到平面的距離為5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．若保持，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為C．三棱錐的體積最大值為D．若在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且，點(diǎn)的軌跡為線段6．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列說(shuō)法中正確的是(

)A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B．存在Q點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為_(kāi)_____．8．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，某正方體的頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，三條棱都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn)B，C，D到平面的距離分別為，，2，則該正方體外接球的表面積為_(kāi)_____.四、解答題9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，ADBC，E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為.(1)在平面PAB內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM平面PBE，如果存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若二面角P?CD?A的大小為，求P到直線CE的距離.10．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三?？计谀┤鐖D多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)證明：平面平面；(2)在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，三棱錐是正三棱錐，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).(1)求證：直線平面SAC；(2)求二面角的余弦值；(3)判斷直線SA與平面BDF的位置關(guān)系.如果平行，求出直線SA與平面BDF的距離；如果不平行，說(shuō)明理由.題型四：空間線段點(diǎn)的存在性問(wèn)題一、多選題1．（2023春·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過(guò)的截面與棱、分別交于點(diǎn)、，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．線段長(zhǎng)度的取值范圍是C．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為D．設(shè)截面、、的面積分別為、、，則的最小值為2．（2022秋·湖南張家界·高三慈利縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B．滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)BD．存在點(diǎn)P滿足3．（2022秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，．點(diǎn)P在線段上（不含端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)P，使得B．的最小值為有C．面積的最小值為D．三棱錐與三棱錐的體積之和為定值二、解答題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面為長(zhǎng)方形，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線的距離是，若存在求的長(zhǎng)，不存在說(shuō)明理由.5．（2022·山東德州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于？6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.(1)證明：；(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)確定的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型五：立體幾何的新定義一、多選題1．（2023春·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過(guò)的截面與棱、分別交于點(diǎn)、，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．線段長(zhǎng)度的取值范圍是C．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為D．設(shè)截面、、的面積分別為、、，則的最小值為2．（2022秋·湖南張家界·高三慈利縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B．滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)BD．存在點(diǎn)P滿足3．（2022秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，．點(diǎn)P在線段上（不含端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)P，使得B．的最小值為有C．面積的最小值為D．三棱錐與三棱錐的體積之和為定值二、解答題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面為長(zhǎng)方形，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線的距離是，若存在求的長(zhǎng)，不存在說(shuō)明理由.5．（2022·山東德州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于？6．（2023