第11講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用與新定義（八種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第11講圓錐曲線的綜合應(yīng)用與新定義（八種題型）題型一：弦長問題一、單選題1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）過拋物線焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于，則（

）A． B． C．1 D．16二、多選題3．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線W上，過點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線W交于B，C和D，E，過點(diǎn)A分別作，的垂線，垂足分別為M，N，則（

）A．四邊形面積的最大值為2B．四邊形周長的最大值為C．為定值D．四邊形面積的最小值為32三、填空題4．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓與相交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則__________.5．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C:的離心率為，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，過F且傾斜角為45°的直線交C于點(diǎn)A，B．設(shè)M，N分別是AF和BF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為______．四、解答題6．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，Q在準(zhǔn)線上，Q的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)M到F與到定點(diǎn)的距離之和的最小值為4．(1)求拋物線C的方程；(2)過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，求的面積．7．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）如圖，已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)平行于的直線與橢圓交于點(diǎn)的中點(diǎn)為點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸的上方.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)求的最大值.8．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．9．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)也是離心率為的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F．(1)求拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過F的直線交拋物線于A、B，交橢圓于C、D，且A在B左側(cè)，C在D左側(cè)，A在C左側(cè)．設(shè)，，．①當(dāng)時(shí)，是否存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；②若存在直線，使得a，b，c成等差數(shù)列，求的范圍．10．（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┮阎獧E圓的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值．11．（2020春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的比值為，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若動(dòng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長的取值范圍.12．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到的漸近線的距離為1，過點(diǎn)的直線與的左支交于A，B兩點(diǎn)．(1)求的方程；(2)作垂直于軸于點(diǎn)，若的外接圓圓心在軸上，求的方程．題型二：面積問題一、多選題1．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，與曲線恰有三個(gè)交點(diǎn)，則（

）A．橢圓的長軸長為B．的內(nèi)接正方形面積等于3C．點(diǎn)在上，，則的面積等于1D．曲線與曲線沒有交點(diǎn)2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)，，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．若的垂直平分線過點(diǎn)，則B．的最小值為C．若，則的面積的最大值為D．若的面積取最大值時(shí)的直線不唯一，則二、填空題3．（寧夏銀川一中、云南省昆明市第一中學(xué)2023屆高三聯(lián)合考試一模數(shù)學(xué)（文）試題）橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，離心率為，直線將分成面積相等的兩部分，則的取值范圍是_________.4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，斜率為的直線分別交軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，過點(diǎn)作軸的平行線交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為________．三、解答題5．（2023春·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，短軸長為．(1)求C的方程；(2)經(jīng)過橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H，過點(diǎn)E作OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交直線AH于點(diǎn)M，且APM面積為，求k的值．6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在橢圓上，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線?的斜率之和為0.(1)求直線的斜率；(2)求面積的最大值.7．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在①；②；③面積的最小值為8，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并解答下列問題．（若選擇多個(gè)條件作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，_____________．(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)C在拋物線上，的重心G在y軸上，直線交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)F上方）．記的面積分別為，求T的取值范圍．8．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．9．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知拋物線，點(diǎn)在C上，A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為M，過M的直線l與C交于，，M為P，Q的中點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求面積的最大值．10．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的周長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.11．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.12．（湖北省七市（州）2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率不為零的直線l交橢圓于兩點(diǎn)，連接，分別交直線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于的直線交直線于點(diǎn)R．(1)求證：點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過點(diǎn)的橢圓的離心率為.如圖所示，過橢圓右焦點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為.(1)求四邊形為坐標(biāo)原點(diǎn)的面積的最大值；(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).14．（2023秋·北京·高三?？计谀┮阎獧E圓的離心率為，以橢圓的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積是．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且直線的斜率之積等于．求與的面積比值．題型三：中點(diǎn)弦問題一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（

）A． B． C． D．或2．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安國光中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B在拋物線上，且線段AB的中點(diǎn)為M(1，1)，則|AB|＝（

）A．4 B．5C． D．二、多選題5．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．當(dāng)時(shí)，C．若，則的取值范圍為D．在直線上存在點(diǎn)，使得三、填空題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為___________.四、解答題7．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若，且直線l的斜率為4，求直線(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率．(2)若直線，的斜率互為相反數(shù)，且直線l不與x軸垂直，探究：直線l是否過定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．9．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知拋物線：（），過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），為線段的中點(diǎn).當(dāng)直線斜率為時(shí)，中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.(1)求拋物線的方程；(2)若線段上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的軌跡方程.10．（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若E上存在M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求l的方程．題型四：范圍問題一、單選題1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．62．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．323．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時(shí)，，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，點(diǎn)，，設(shè)取最小值和最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、解答題5．（2019·全國·高考真題）已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．題型五：定點(diǎn)問題一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點(diǎn).2．（2019·北京·高考真題）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（a>b>0）的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)滿足，且的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為P，不過點(diǎn)P的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若，證明直線l恒過定點(diǎn).4．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的長軸長為，且過點(diǎn)(1)求的方程：(2)設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交C于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為垂足.問：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)，這束光線的總長度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點(diǎn)后射到直線上的M、N兩點(diǎn)，若AB連線過橢圓的上焦點(diǎn)，試問，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)：若不能，請(qǐng)說明理由.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D且垂直于y軸的直線交拋物線C于點(diǎn)P，直線PF交拋物線C于另一點(diǎn)Q.①是否存在定點(diǎn)M，使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.②求證：為定值.8．（2022·遼寧·校聯(lián)考一模）已知點(diǎn)，在拋物線上，，分別為過點(diǎn)A，B且與拋物線E相切的直線，，相交于點(diǎn)．條件①：點(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上；條件②：；條件③：直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F．(1)在上述三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，另外兩個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成命題，并證明該命題成立；(2)若，直線與拋物線E交于C、D兩點(diǎn)，試問：在x軸正半軸上是否存在一點(diǎn)N，使得的外心在拋物線E上？若存在，求N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由9．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之乘積為.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得的值為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型六：定值問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，過其左焦點(diǎn)作直線l交橢圓于P，A兩點(diǎn)，取P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B.若G點(diǎn)為的外心，則（

）A．2 B．3 C．4 D．以上都不對(duì)二、解答題2．（2023春·湖北鄂州·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率是，實(shí)軸長是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A和B，若直線l上存在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)D滿足成立，證明：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值，并求出該定值.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在△ABC中，，，動(dòng)點(diǎn)A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)D的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)K，記QM，QN，QK的斜率分別為，，，①求證：是定值．②若直線l的斜率為1，問是否存在m的值，使？若存在，求出所有滿足條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，且垂直于拋物線C的對(duì)稱軸，直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線PA與直線PB的斜率分別為和，求證：為定值．5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓過點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．7．（2022·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2.(1)求橢圓E的方程；(2)若C，D分別是橢圓E長軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連結(jié)CM交橢圓于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：為定值；(3)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.橢圓E的短軸上端點(diǎn)為A，點(diǎn)Q在圓上，求的最小值.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．題型七：向量共線問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上不與左?右頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：，，為C的左、右焦點(diǎn)，則（

）A．雙曲線和C的離心率相等B．若P為C上一點(diǎn)，且，則的周長為C．若直線與C沒有公共點(diǎn)，則或D．在C的左、右兩支上分別存在點(diǎn)M，N使得三、解答題3．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．4．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線過點(diǎn)，且焦距為10．(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)，E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)．證明：．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)分別為，，，，其中點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖所示.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與定直線相切，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，滿足，（，），試探究與的關(guān)系．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4，橢圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F．(1)求拋物線的方程及a；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)N滿足，且最小值為，求橢圓的離心率．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線，垂足分別為點(diǎn).(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.題型八：圓錐曲線新定義一、單選題1．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），把到定點(diǎn)和距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，記為Γ，已知為雙紐線Γ上任意一點(diǎn)，有下列命題：①雙紐線Γ的方程為；②面積最大值為；③；④的最大值為．其中所有正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④2．（2022秋·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，現(xiàn)有橢圓的蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于