均勻設計完整版本

第7章均勻設計均勻設計（uniformdesign）是中國數(shù)學家方開泰和王元于1981年首先提出來的，它是一種只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗設計方法。與正交試驗設計類似，均勻設計也是通過一套精心設計的均勻表來安排試驗的。由于均勻設計只考慮試驗點的“均勻散布”，而不考慮“整齊可比”，因而可以大大減少試驗次數(shù)，這是它與正交設計的最大不同之處。經(jīng)過20多年的發(fā)展和推廣，均勻設計法已廣泛應用于化工、醫(yī)藥、生物、食品、軍事工程、電子、社會經(jīng)濟等諸多領域，并取得了顯著的經(jīng)濟和社會效益。均勻設計（uniformdesign）：一種只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的試驗設計方法通過均勻表來安排試驗應用：試驗因素變化范圍較大，需要取較多水平時

例如：5因素31水平的試驗：正交設計試驗次數(shù)≥312＝961均勻設計試驗次數(shù)：317.1均勻設計表7.1.1等水平均勻設計表（1）記號：

Un(rl)或Un*(rl)U——均勻表代號；n——均勻表橫行數(shù)（需要做的試驗次數(shù)）；r——因素水平數(shù)，與n相等；l——均勻表縱列數(shù)；*——均勻性更好的表，優(yōu)先選用Un*表

D表示均勻度的偏差(discrepancy)，D↓，均勻分散性↑（2）使用表

每個均勻設計表都附有一個使用表根據(jù)使用表可將因素安排在適當?shù)牧兄校?，上表是U7（74）的使用表，由該表可知，兩個因素時，應選用1，3兩列來安排試驗；當有三個因素時，應選用1，2，3三列……。

如果有兩個因素，若選用U7（74）的1，3列，其偏差D=0.2398，若選用U7*（74）的1，3列，相應偏差D=0.1582，后者較小，可見光Un和Un*表都能滿足試驗設計時，應優(yōu)先用Un*表示。1.每列不同數(shù)字都只出現(xiàn)一次,即每個因素在每個水平僅做一次試驗2.任兩個因素的試驗點點在平面的格子點上，每行每列有且僅有一個試驗點

性質(zhì)①和②反映了試驗安排的“均衡性”，即對各因素的每個水平是一視同仁的。

（3）等水平均勻表的特點1，3列1，4列1123456234567-17-2③均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價。例如用U6（64）1、3列和1、4列的水平組合分別畫格子點圖，得圖7-1和圖7-2。我們看到，在圖7-1中，試驗點散布得比較均勻，而圖7-2中的點散布并不均勻。根據(jù)U6（64）的使用表（表7-6），當因素數(shù)為2時，應將它們排在1，3列，而不是1，4列，可見圖7-1和圖7-2也說明了根據(jù)使用表安排的試驗，均勻性更好，均勻設計表的這一性質(zhì)和正交表是不同的。4.等水平均勻表的試驗次數(shù)與水平數(shù)一致均勻設計：試驗次數(shù)的增加具有“連續(xù)性”，每增加一個水平，試驗次數(shù)增加一次。如從6水平增至7水平，試驗次數(shù)從6增至7.，正交設計：試驗次數(shù)的增加具有“跳躍性”

。當水平增加時，試驗次數(shù)按水平數(shù)的平方的比例增加。如當從6水平增至7水平時，最少試驗次數(shù)從36增至49.均勻設計試驗量較少，這使均勻設計有更大的靈活性。

均勻設計適用于因素水平數(shù)較多的實驗，但在具體的試驗中，有時很難保證不同因素的水平數(shù)相等，因此直接利用等水平的均勻表來安排試驗就有一定的困難，因此可采用擬水平法將等水平均勻表轉化成混合水平均勻表的方法7.1.2混合水平均勻設計表例：如果某試驗中，有A，B，C三個因素，其中因素A，B有三個水平，因素C有二水平，分別記作A1，A2，A3，A1，B1，B2，B3和C1，C2。顯然，這個試驗可以用混合正交表L18(21×37)來安排，需要做18次試驗，這等價于全面試驗；若用正交試驗的擬水平法，則可選用正交表L9（34）。直接運用等水平均勻設計是有困難的，這就要運用擬水平法。采用均勻設計，可選擇U6*（64）來改造成U6（32×21）。步驟：（1）根據(jù)使用表，將A和B放在前兩列，C放在第三列；（2）將前兩列的水平進行合并：{1，2}→1，{3，4}→2；{5，6}→3.將第三列水平合并：{1，2，3}→1，{4，5，6}→2，得到下面設計表7-7。試驗號列號1231(1)1(2)1(3)12(2)1(4)2(6)23(3)2(6)3(2)14(4)2(1)1(5)25(5)3(3)2(1)16(6)3(5)3(3)27-7改造要求：混合均勻表有較好的均衡性，即兩列的水平組合要均衡例如，A列和C列，B列和C列的二因素設計正好組成它們的全面試驗方案，A列和B列的二因素設計中沒有重復試驗?；旌纤骄鶆虮淼娜我涣猩?，不同水平出現(xiàn)次數(shù)是相同的，但出現(xiàn)次數(shù)≥1例2：安排一個二因素（A,B）五水平和一因素（C）二水平的試驗若采用正交設計，用L50表，試驗次數(shù)太多。若采用均勻設計，可用混合水平表U10(52×21)，只需10次試驗。該表可由U10*(108)生成，由于U10*(108)有8列，我們希望從中選擇三列，要求由該三列生成的混合水平表U10(52×21)有好的均衡性，于是選用1，2，5列。對1、2列采用水平合并：{1，2}→1，{3，4}→2，…，{9,10}→5；對第5列水平合并：{1，2，3，4，5}→1，{6，7，8，9，10}→2，得到下表方案：試驗號ABC1(1)1(2)1(5)12(2)1(4)2(10)23(3)2(6)3(4)14(4)2(8)4(9)25(5)3(10)5(3)16(6)3(1)1(8)27(7)4(3)2(2)18(8)4(5)3(7)29(9)5(7)4(1)110(10)5(9)5(6)2可見，對同一個等水平均勻表進行擬水平設計，可以得到不同的混合均勻表，這些表的均衡性也不相同，而且參照使用表得到的混合均勻表不一定都有較好的均衡性，本書附錄9給出了一批用擬水平法生成的混合水平均勻設計表，可以直接參考選用。7.2均勻設計基本步驟（1）明確試驗目的，確定試驗指標（2）選因素（3）確定因素的水平可以隨機排列因素的水平序號（4）選擇均勻設計表根據(jù)試驗的因素數(shù)和水平數(shù)來選擇參考使用表首選Un*表

7.2均勻設計基本步驟用均勻設計表來安排試驗與正交試驗設計的步驟很相似，但也有一些不同之處。一般步驟如下。（1）明確試驗目的，確定試驗指標。如果試驗要考察多個指標，還要將各指標進行綜合分析。（2）選因素。根據(jù)實際經(jīng)驗和專業(yè)知識，挑選出對試驗指標影響較大的因素。（3）確定因素的水平。結合試驗條件和以往的實踐經(jīng)驗，先確定各因素的取值范圍，然后在這個范圍內(nèi)取適當?shù)乃?。由于Un奇數(shù)表的最后一行，各因素的最大水平序號與水平實際數(shù)值的大小順序一致，則會出現(xiàn)所有因素的高水平或低水平相遇的情形。如果是化學反應，則可能出現(xiàn)因反應太劇烈而無法控制的現(xiàn)象，或者反應太慢，得不到試驗結果。為了避免這些情況，可以隨機排列因素的水平序號，另處使用Un*均勻表時也可以避免上述情況。（4）選擇均勻設計表。這是均勻計表。這是均勻設計很關鍵的一步，一般根據(jù)試驗的因素數(shù)和水平數(shù)來選擇，并首選Un*表。但是，由于均勻設計試驗結果多采用多元回歸分析法，在表時還應注意均勻表的試驗次數(shù)與回歸分析的關系。（5）進行表頭設計。根據(jù)試驗的因素數(shù)和該均勻表對應的使用表，將各因素安排在均勻表相應的列中，如果是混合水平的均勻表，則可省去表頭設計這一步，需要指出的是，均勻表中的空列，既不能安排交互作用，也不能用來估計試驗誤差，所以在分析試驗結果時不用列出。（6）明確試驗方案，進行試驗，試驗方案的確定與正交試驗設計是類似。（7）試驗結果統(tǒng)計分析，由于均勻表沒有整齊可比性，試驗結果不能用方差分析法，可采用直觀分析法和回歸分析法。①直觀分析法：如果試驗目的只是為了尋找一個可行的試驗方案或確定適宜試驗范圍，就可以采用直觀分析法，直接對所得到的幾個試驗結果進行比較，從中挑出試驗指標最好的試驗點。由于均勻設計的試驗點分布均勻，用上述法找到的試驗點一般距離最佳試驗點也不會很遠，所以該法是一種非常有效的方法。②回歸分析法：均勻設計的回歸分析一般為多元回歸分析，通過回歸分析可以確定試驗指標與影響因素之間的數(shù)學模型，確定因素的主次順序和優(yōu)方案等。但直接根據(jù)試驗數(shù)據(jù)推導數(shù)學模型，計算量很大，一般需借助相關的計算機軟件進行分析計算。7.3均勻設計的應用（1）例7-1：在淀粉接枝丙烯酸制備高吸水性樹脂的試驗中，為了提高樹脂吸鹽水的能力，考察了丙烯酸用量（X1），引發(fā)劑用量（X2），丙烯酸中和度（X3）和甲醛用量（X4）

4個因素，每個因素9個水平。水平丙烯酸用量x1引發(fā)劑用量x2丙烯酸中和度x3甲醛用量x4112.00.348.00.20214.50.453.50.35317.00.559.00.50419.50.664.50.65522.00.770.00.80624.50.875.50.95727.00.981.01.10829.51.086.51.25932.01.192.01.40解：根據(jù)因素和水平，可以選取均勻設計表U9*（94）或U9（95），但由它們的使用表可以以發(fā)現(xiàn)，均勻表U9*（94）最多只能安排3個因素，因此我們選U9（95）來安排試驗。根據(jù)使用表，將x1、x2、x3、x4分別放在表的1、2、3、5列。實驗方案和結果如下表。注：表中（）內(nèi)的數(shù)字表示因素水平值，它們與（）外的水平編號相對應，下同。序號丙烯酸用量x1引發(fā)劑用量x2丙烯酸中和度x3甲醛用量x4吸鹽水倍率y11(12.0)2(0.4)4(64.5)8(1.25)3422(14.5)4(0.8)8(86.5)7(1.10)4233(17.0)6(1.0)3(59.0)6(0.95)4044(19.5)8(1.2)7(81.0)5(0.80)4555(22.0)1(0.3)2(53.5)4(0.65)5566(24.5)3(0.5)6(75.5)3(0.50)5977(27.0)5(0.7)1(48.0)2(0.35)6088(29.5)7(0.9)5(70.0)1(0.20)6199(32.0)9(1.1)9(92.0)9(1.40)63如果采用直觀分析法，由上表可看出9號試驗所得產(chǎn)品的吸鹽水能力最強，因此獲得較優(yōu)的工藝條件。如果已知試驗指標y與4個因素之間滿足線性關系，利用EXCEL對上述結果進行回歸分析得到回歸方程：Y=18.585+1.644x1-11.667x2+0.101x3-3.333x4由于回歸方程為線性方程，可根據(jù)偏回歸系數(shù)正負判斷各因素與試驗結果的正負相關性系數(shù)為正，表明試驗指標隨該因素的增加而增加系數(shù)為負，表明試驗指標隨該因素的增加而減小判斷因素主次：對偏回歸系數(shù)進行t檢驗時，t越大，所對應的偏回歸系數(shù)越顯著，相應的因素也越重要。由于回歸方程為線性方程，所以可根據(jù)偏回歸系數(shù)的正負確定優(yōu)方案。依據(jù)第一個回歸方程，x1和x3的系數(shù)為正，表明試驗指標隨因素x1、x3增加而增加；x2和x4的系數(shù)為負值，，則表示試驗指標隨因素x2、x4的增加而減少。所以，在確定優(yōu)方案時，因素x1,x3的取值應偏上限即丙烯酸用量取32mL。將以上各值代入上述回歸方程，得到y(tǒng)=76.3，這一結果好于表7-11中的9個試驗結果，但是否可行，還應進行驗證試驗。為了得到