《5 相似三角形判定定理的證明》（同步訓(xùn)練）初中數(shù)學(xué)八年級下冊-魯教版-2024-2025學(xué)年

《5相似三角形判定定理的證明》同步訓(xùn)練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在下列各組圖形中，如果兩個三角形相似，那么正確的是（）A.兩個等腰三角形的頂角和底角分別是45°和45°，另一個三角形的頂角和底角分別是60°和60°。B.兩個直角三角形的直角邊分別為3和4，另一個三角形的直角邊分別為6和8。C.兩個等邊三角形的邊長分別為5和10。D.兩個銳角三角形的對應(yīng)角分別是30°、60°和90°。2、已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，如果三角形DEF與三角形ABC相似，那么以下哪個選項正確描述了∠D和∠E的關(guān)系？A.∠D=45°，∠E=90°B.∠D=45°，∠E=45°C.∠D=90°，∠E=45°D.∠D=90°，∠E=90°3、在下列各對三角形中，若滿足以下條件，則一定相似的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DEB.∠A=∠C，∠B=∠D，AC=BDC.∠A=∠D，∠B=∠E，AB∥DED.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=2DE4、已知△ABC中，∠BAC=30°，∠B=45°，若BC=2，則△ABC的周長為（）A.4B.6C.8D.105、在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF，那么下列哪個選項是錯誤的？A.△ABC與△DEF是相似的B.∠B=∠EC.∠C=∠FD.AC與DF不一定平行6、在下列四個選項中，哪個是正確的相似三角形判定定理？A.兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似B.兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，則這兩個三角形相似C.兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且其中一邊的夾角相等，則這兩個三角形相似D.兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且對應(yīng)角相等，則這兩個三角形相似7、在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=30°，∠C=105°，若點D、E分別在邊AB、AC上，且∠BDE=∠C，那么下列選項中，下列哪個結(jié)論是正確的？A.AD=BEB.∠ADB=∠BECC.∠ADE=∠BCED.∠ABD=∠CBE8、在三角形ABC和三角形DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE，那么下列哪個結(jié)論一定成立？A.∠C=∠FB.BC=EFC.AC=DFD.∠ABC=∠DEF9、在下列各對三角形中，若已知∠A=∠D，∠B=∠E，那么可以判定這兩對三角形相似的是：A.△ABC與△DEBB.△ABC與△DECC.△ABC與△EDCD.△ABC與△BEC10、已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE。那么以下哪個選項不能證明△ABC∽△DEF？A.∠C=∠FB.AC=DFC.BC=EFD.∠A=∠D二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知三角形ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°。點D是邊AC上的一點，使得∠ADB=90°。求證：三角形ADB與三角形BEC相似。第二題：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，點D、E分別是BC、AC上的點，且BD=DE=EC。求證：三角形ABD與三角形ACE相似。第三題：已知：在直角三角形ABC中，∠C為直角，∠BAC=30°，AB=6cm，AD⊥BC于D。求證：三角形ACD∽三角形BAC。計算題：求CD的長度。求三角形ACD的面積。若BC=8cm，求三角形ABC的周長。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知在三角形ABC和三角形DEF中，滿足以下條件：∠A=∠D∠B=∠EAB=DE求證：三角形ABC和三角形DEF相似。第二題：已知在ΔABC和ΔDEF中，滿足以下條件：∠BAC=∠DEF∠ABC=∠DEFAB=DE（1）判斷ΔABC和ΔDEF是否相似，并給出判定依據(jù)。（2）若ΔABC和ΔDEF相似，請證明△ABC∽△DEF。第三題：已知：在ΔABC和ΔDEF中，AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF。求證：ΔABC∽ΔDEF。第四題：已知在三角形ABC和三角形DEF中，滿足以下條件：∠BAC=∠DEF∠ABC=∠DEFAB=DE（1）判斷三角形ABC和三角形DEF是否相似，并給出理由；（2）如果三角形ABC和三角形DEF相似，寫出它們相似的關(guān)系，并給出相似比。第五題：已知三角形ABC和三角形DEF滿足以下條件：∠A=∠D∠B=∠EAB=DE求證：三角形ABC∽三角形DEF。第六題：已知在三角形ABC中，點D是邊AB上的一個點，點E是邊BC上的一個點，且DE平行于AC。已知∠BAC=50°，∠B=70°，求證：∠AED=50°。第七題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，點D是斜邊AB上的一點，且CD=6cm。已知AD=8cm，BC=10cm。求證：三角形ACD與三角形BDC相似?！?相似三角形判定定理的證明》同步訓(xùn)練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在下列各組圖形中，如果兩個三角形相似，那么正確的是（）A.兩個等腰三角形的頂角和底角分別是45°和45°，另一個三角形的頂角和底角分別是60°和60°。B.兩個直角三角形的直角邊分別為3和4，另一個三角形的直角邊分別為6和8。C.兩個等邊三角形的邊長分別為5和10。D.兩個銳角三角形的對應(yīng)角分別是30°、60°和90°。答案：B解析：根據(jù)相似三角形的判定定理，兩個直角三角形的兩個直角邊成比例時，這兩個三角形相似。選項B中，兩個直角三角形的直角邊分別為3和4，另一個三角形的直角邊分別為6和8，它們的比例是相同的，即3:4=6:8，因此這兩個三角形相似。2、已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，如果三角形DEF與三角形ABC相似，那么以下哪個選項正確描述了∠D和∠E的關(guān)系？A.∠D=45°，∠E=90°B.∠D=45°，∠E=45°C.∠D=90°，∠E=45°D.∠D=90°，∠E=90°答案：B解析：由于三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠C也是45°。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)角相等。因此，如果三角形DEF與三角形ABC相似，那么∠D和∠E也應(yīng)該是45°，即選項B正確。3、在下列各對三角形中，若滿足以下條件，則一定相似的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DEB.∠A=∠C，∠B=∠D，AC=BDC.∠A=∠D，∠B=∠E，AB∥DED.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=2DE答案：C解析：根據(jù)相似三角形的判定定理，如果兩個三角形的兩個角分別相等，那么這兩個三角形相似。選項A中雖然有兩個角相等，但沒有說明這兩角是對應(yīng)角；選項B中同樣沒有說明兩個角是對應(yīng)角；選項D中雖然有兩個角相等，但邊的比例不滿足相似的條件。只有選項C中，兩個三角形的兩個角分別相等，并且這兩角是對應(yīng)角，因此這兩個三角形一定相似。4、已知△ABC中，∠BAC=30°，∠B=45°，若BC=2，則△ABC的周長為（）A.4B.6C.8D.10答案：B解析：在△ABC中，∠BAC=30°，∠B=45°，由于三角形的內(nèi)角和為180°，因此∠ACB=180°-30°-45°=105°。由于∠B=45°，且∠ACB=105°，根據(jù)三角形外角定理，∠BAC=180°-45°-105°=30°，說明△ABC是等腰三角形，AB=BC=2。因此，△ABC的周長為AB+BC+AC=2+2+√(2^2+2^2)=2+2+2√2=6。選項B正確。5、在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF，那么下列哪個選項是錯誤的？A.△ABC與△DEF是相似的B.∠B=∠EC.∠C=∠FD.AC與DF不一定平行答案：D解析：根據(jù)題目條件，我們可以知道△ABC與△DEF有兩個對應(yīng)角相等（∠A=∠D），且對應(yīng)邊成比例（AB=DE，BC=EF）。根據(jù)相似三角形的判定定理（AA判定），我們可以確定△ABC與△DEF是相似的。因此，選項A、B、C都是正確的。選項D提到AC與DF不一定平行，這是錯誤的，因為在相似三角形中，對應(yīng)邊是平行的。因此，選項D是錯誤的。6、在下列四個選項中，哪個是正確的相似三角形判定定理？A.兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似B.兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，則這兩個三角形相似C.兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且其中一邊的夾角相等，則這兩個三角形相似D.兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且對應(yīng)角相等，則這兩個三角形相似答案：B解析：根據(jù)相似三角形的判定定理，正確的選項是B。選項A缺少條件，僅三邊成比例不足以判定三角形相似；選項C中提到的夾角不明確是哪兩個角相等，不夠嚴(yán)謹(jǐn)；選項D中的條件也不夠完整，因為僅兩邊對應(yīng)成比例和對應(yīng)角相等不能完全判定三角形相似。而選項B中提到的兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，是符合相似三角形的判定定理（SAS判定）的。因此，選項B是正確的。7、在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=30°，∠C=105°，若點D、E分別在邊AB、AC上，且∠BDE=∠C，那么下列選項中，下列哪個結(jié)論是正確的？A.AD=BEB.∠ADB=∠BECC.∠ADE=∠BCED.∠ABD=∠CBE答案：D解析：由題意知，∠BDE=∠C，且∠B=30°，∠A=45°，所以∠ABD=∠CBE（三角形內(nèi)角和定理），選項D正確。8、在三角形ABC和三角形DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE，那么下列哪個結(jié)論一定成立？A.∠C=∠FB.BC=EFC.AC=DFD.∠ABC=∠DEF答案：C解析：根據(jù)相似三角形的判定定理，如果兩個三角形的兩個角分別相等，那么這兩個三角形相似。所以，由題意可知，三角形ABC∽三角形DEF，因此AC=DF。選項C正確。9、在下列各對三角形中，若已知∠A=∠D，∠B=∠E，那么可以判定這兩對三角形相似的是：A.△ABC與△DEBB.△ABC與△DECC.△ABC與△EDCD.△ABC與△BEC答案：C解析：根據(jù)相似三角形的判定定理，如果兩個三角形的兩個角分別相等，那么這兩個三角形相似。題目中給出了∠A=∠D和∠B=∠E，這意味著△ABC與△EDC的兩個角分別相等，因此可以判定△ABC與△EDC相似。選項C正確。10、已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE。那么以下哪個選項不能證明△ABC∽△DEF？A.∠C=∠FB.AC=DFC.BC=EFD.∠A=∠D答案：D解析：根據(jù)相似三角形的判定定理，若要證明兩個三角形相似，需要證明它們的兩個角相等或它們的對應(yīng)邊成比例。選項A、B、C都提供了額外的信息來證明三角形相似（角角邊、邊邊邊、邊角邊），而選項D只是重復(fù)了題目中已知的條件。因此，單獨的∠A=∠D并不能證明△ABC∽△DEF。選項D不能證明三角形相似。二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知三角形ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°。點D是邊AC上的一點，使得∠ADB=90°。求證：三角形ADB與三角形BEC相似。答案：證明：因為∠BAC=45°，∠ACB=75°，所以∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-45°-75°=60°。又因為∠ADB=90°，所以∠ADB是直角。在三角形ADB中，∠ADB=90°，∠BAC=45°，因此∠BAD=45°。在三角形BEC中，∠ABC=60°，∠ACB=75°，因此∠BCE=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-75°=45°。因為∠BAD=∠BCE=45°，且∠ADB=∠BEC=90°，所以根據(jù)AA相似定理，三角形ADB與三角形BEC相似。解析：本題通過證明兩個三角形的一個銳角相等和一個角都是直角，根據(jù)AA相似定理（兩個角相等的三角形相似），證明了三角形ADB與三角形BEC相似。解題的關(guān)鍵在于正確運用相似三角形的判定條件。第二題：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，點D、E分別是BC、AC上的點，且BD=DE=EC。求證：三角形ABD與三角形ACE相似。答案：證明：因為∠B=60°，∠C=75°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-75°=45°。又因為BD=DE=EC，所以BE=BC。由三角形的內(nèi)角和定理知，∠ABD=180°-∠B-∠BAC=180°-60°-45°=75°。同理，∠ACE=180°-∠A-∠C=180°-45°-75°=60°。因為∠ABD=∠ACE，且BE=BC，所以根據(jù)AA相似定理，三角形ABD與三角形ACE相似。解析：本題通過使用三角形的內(nèi)角和定理以及AA相似定理來證明兩個三角形相似。首先，我們通過內(nèi)角和定理計算出∠BAC的度數(shù)。然后，由于BD=DE=EC，我們可以得出BE=BC。接著，通過計算得到∠ABD和∠ACE的度數(shù)，最后利用AA相似定理證明兩個三角形相似。第三題：已知：在直角三角形ABC中，∠C為直角，∠BAC=30°，AB=6cm，AD⊥BC于D。求證：三角形ACD∽三角形BAC。計算題：求CD的長度。求三角形ACD的面積。若BC=8cm，求三角形ABC的周長。答案：CD的長度為3cm。三角形ACD的面積為9cm2。三角形ABC的周長為22cm。解析：由于∠BAC=30°，且在直角三角形ABC中，AD⊥BC，因此三角形ACD為30°-60°-90°的特殊直角三角形。在這種三角形中，對邊之比為1:√3:2。由于AB=6cm，CD為AB的一半，因此CD=6cm/2=3cm。三角形ACD的面積可以通過底和高計算得出。底為AD，高為CD。由于AD是AB的√3/2倍，所以AD=6cm×√3/2=3√3cm。因此，三角形ACD的面積=1/2×底×高=1/2×AD×CD=1/2×3√3cm×3cm=9cm2。三角形ABC的周長為AB+BC+AC。已知AB=6cm，BC=8cm，AC可以通過勾股定理計算得出。在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2，所以AC2=62+82=36+64=100，AC=10cm。因此，三角形ABC的周長=AB+BC+AC=6cm+8cm+10cm=22cm。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知在三角形ABC和三角形DEF中，滿足以下條件：∠A=∠D∠B=∠EAB=DE求證：三角形ABC和三角形DEF相似。答案：證明：由于∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE，根據(jù)相似三角形的判定定理（AA相似定理），我們可以得出三角形ABC和三角形DEF相似。解析：首先，根據(jù)題目給出的條件，我們得到了兩個對應(yīng)角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E。然后，根據(jù)題目給出的條件，我們還得到了兩邊的比例相等，即AB=DE。根據(jù)相似三角形的判定定理（AA相似定理），如果兩個三角形的兩個角分別相等，那么這兩個三角形相似。因此，由∠A=∠D，∠B=∠E，以及AB=DE，我們可以得出三角形ABC和三角形DEF相似。第二題：已知在ΔABC和ΔDEF中，滿足以下條件：∠BAC=∠DEF∠ABC=∠DEFAB=DE（1）判斷ΔABC和ΔDEF是否相似，并給出判定依據(jù)。（2）若ΔABC和ΔDEF相似，請證明△ABC∽△DEF。答案：（1）ΔABC和ΔDEF相似。判定依據(jù)：根據(jù)相似三角形的判定定理，如果兩個三角形的兩個角分別相等，則這兩個三角形相似。在本題中，∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，因此可以判定ΔABC和ΔDEF相似。（2）證明：已知：∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，AB=DE求證：△ABC∽△DEF證明：由已知條件可知，∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，這是三角形相似的一個條件。又因為AB=DE，這是兩個相似三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系。根據(jù)AA相似準(zhǔn)則，兩個三角形的兩個角分別相等，則這兩個三角形相似。因此，可以得出結(jié)論：△ABC∽△DEF。第三題：已知：在ΔABC和ΔDEF中，AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF。求證：ΔABC∽ΔDEF。答案：證明：根據(jù)題意，已知AB=DE，AC=DF。由已知，∠BAC=∠EDF。根據(jù)SAS（Side-Angle-Side）相似定理，如果兩個三角形中有兩邊分別相等，且這兩邊對應(yīng)的夾角也相等，則這兩個三角形相似。在ΔABC和ΔDEF中，AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，滿足SAS相似定理的條件。因此，ΔABC∽ΔDEF。解析：本題主要考查相似三角形的判定定理。根據(jù)SAS相似定理，當(dāng)兩個三角形中有兩邊分別相等，且這兩邊對應(yīng)的夾角也相等時，可以判定這兩個三角形相似。本題中，已知ΔABC和ΔDEF的兩邊分別相等，且這兩邊對應(yīng)的夾角也相等，因此可以根據(jù)SAS相似定理判定ΔABC∽ΔDEF。第四題：已知在三角形ABC和三角形DEF中，滿足以下條件：∠BAC=∠DEF∠ABC=∠DEFAB=DE（1）判斷三角形ABC和三角形DEF是否相似，并給出理由；（2）如果三角形ABC和三角形DEF相似，寫出它們相似的關(guān)系，并給出相似比。答案：（1）三角形ABC和三角形DEF相似。理由：根據(jù)題目條件，我們有∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，這意味著三角形ABC和三角形DEF有兩個角對應(yīng)相等。根據(jù)相似三角形的判定定理（AA定理），如果兩個三角形的兩個角分別相等，那么這兩個三角形相似。（2）三角形ABC和三角形DEF的相似關(guān)系為ABC∽DEF，相似比為1：1。解析：（1）首先，我們根據(jù)相似三角形的AA判定定理，由于∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，且這兩個角是三角形ABC和三角形DEF的非鄰角，所以根據(jù)AA定理可以判定三角形ABC和三角形DEF相似。（2）相似比為1：1，因為題目中給出的條件AB=DE，這表明三角形ABC和三角形DEF的對應(yīng)邊AB和DE相等，因此它們的相似比是邊長的比，即1：1。第五題：已知三角形ABC和三角形DEF滿足以下條件：∠A=∠D∠B=∠EAB=DE求證：三角形ABC∽三角形DEF。答案：證明：由條件1和條件2可知，三角形ABC和三角形DEF有兩個角分別相等。再由條件3可知，三角形ABC和三角形DEF有對應(yīng)邊成比例。根據(jù)相似三角形的判定定理，若兩個三角形有兩個角分別相等，且對應(yīng)邊成比例，則這兩個三角形相似。因此，根據(jù)上述條件，可以得出三角形ABC∽三角形DEF。解析：本題主要考察相似三角形的判定定理。首先通過已知條件確定兩個三角形的兩個角分別相等，然后通過已知的邊長比例關(guān)系，利用相似三角形的判定定理進行證明。解題過程中要注意理解相似三角形的定義和判定定理，以及如何運用這些知識進行邏輯推理。第六題：已知在三角形ABC中，點D是邊AB上的一個點，點E是邊BC上的一個點，且DE平行于AC。已知∠BAC=50°，∠B=70°，求證：∠AED=50°。答案：證明：由于DE