2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章集合1.1.1集合的概念學(xué)案新人教B版必修1

PAGEPAGE11．1．1集合的概念1．了解集合的概念．2．理解元素與集合的關(guān)系．3．駕馭集合中元素的特性的應(yīng)用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合(或集)．通常用英語(yǔ)大寫字母A，B，C，…表示．(2)元素：構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素(或成員)，通常用英語(yǔ)小寫字母a，b，c，…表示．2．元素與集合的關(guān)系學(xué)問(wèn)點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于假如a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于Aa∈A“a屬于A”不屬于假如a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于Aa?A“a不屬于A”3．集合元素的三個(gè)特性元素意義確定性元素與集合的關(guān)系是確定的，即給定元素a和集合A，a∈A與a?A必居其一互異性集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A時(shí)，必有a≠b無(wú)序性集合中的元素可以隨意排列依次4．集合的分類集合eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(空集：不含任何元素，記作?,非空集合：\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按含有元素的,個(gè)數(shù)分為)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有限集：含有有限個(gè)元素,無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素))))))5．常用數(shù)集的意義及表示意義名稱記法非負(fù)整數(shù)全體構(gòu)成的集合自然數(shù)集N在自然數(shù)集內(nèi)解除0的集合正整數(shù)集N＋或N*整數(shù)全體構(gòu)成的集合整數(shù)集Z有理數(shù)全體構(gòu)成的集合有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)全體構(gòu)成的集合實(shí)數(shù)集R1．下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是()A．聞名的中國(guó)數(shù)學(xué)家B．全部的負(fù)數(shù)C．清華高校招收的2025屆本科生D．滿意3x－2＞x＋3的全體實(shí)數(shù)答案：A2．設(shè)M是全部偶數(shù)組成的集合，下列選項(xiàng)正確的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2?M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________個(gè)元素．答案：14．指出下列集合是有限集還是無(wú)限集．(1)滿意2011≤x≤2013的整數(shù)構(gòu)成的集合；(2)平面α內(nèi)全部直線構(gòu)成的集合．答案：(1)有限集(2)無(wú)限集集合概念的理解推斷下列各組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：(1)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；(2)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)．【解】(1)任給一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以明確地推斷是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，即“0≤x≤20”與“x>20或x<0”兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成集合．(2)類似于(1)，也能構(gòu)成集合．(3)“一些點(diǎn)”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無(wú)法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合．推斷一組對(duì)象構(gòu)成集合的依據(jù)推斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵是看是否有明確的推斷標(biāo)準(zhǔn)，給定的對(duì)象是“確定無(wú)疑”的還是“模棱兩可”的，eq\a\vs4\al()假如是“確定無(wú)疑”的，就可構(gòu)成集合；假如是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合．下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的有________(填序號(hào))．①中國(guó)農(nóng)業(yè)銀行的全部員工；②我國(guó)的大河流；③不大于3的全部自然數(shù)；④在平面直角坐標(biāo)系中，和原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)；⑤將來(lái)世界的高科技產(chǎn)品；⑥全部的好心人．解析：①能，①中的對(duì)象是確定的；②不能，“大”無(wú)明確標(biāo)準(zhǔn)；③能，不大于3的全部自然數(shù)有0、1、2、3，其對(duì)象是確定的；④能，在平面直角坐標(biāo)系中任給一點(diǎn)，可明確地推斷是不是“和原點(diǎn)的距離等于1”，故能組成一個(gè)集合；⑤不能，“高科技”的標(biāo)準(zhǔn)不能確定；⑥不能，沒(méi)有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)推斷某個(gè)人是否是“好心人”．答案：①③④元素與集合的關(guān)系(1)下列關(guān)系中，正確的有()①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)?Q；③|－3|∈N；④|－eq\r(3)|∈Q．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)(2)滿意“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2個(gè)元素的集合A的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3掃一掃進(jìn)入91導(dǎo)學(xué)網(wǎng)(www．91daoxue．com)元素與集合的關(guān)系【解析】(1)eq\f(1,2)是實(shí)數(shù)，eq\r(2)是無(wú)理數(shù)，|－3|＝3是非負(fù)整數(shù)，|－eq\r(3)|＝eq\r(3)是無(wú)理數(shù)．因此，①②③正確，④錯(cuò)誤．(2)因?yàn)閍∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，則4－a＝4，此時(shí)A滿意要求；若a＝1，則4－a＝3，此時(shí)A滿意要求；若a＝2，則4－a＝2，此時(shí)A含1個(gè)元素不滿意要求．故有且只有2個(gè)元素的集合A有2個(gè)，故選C．【答案】(1)C(2)Ceq\a\vs4\al()推斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)干脆法：假如集合中的元素是干脆給出的，只要推斷該元素在已知集合中是否給出即可．此時(shí)應(yīng)首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的．(2)推理法：對(duì)于某些不便干脆表示的集合，推斷元素與集合的關(guān)系時(shí)，只要推斷該元素是否滿意集合中元素所具有的特征即可．此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合的元素具有什么屬性，即該集合中元素要符合哪種表達(dá)式或滿意哪些條件．已知集合A中元素滿意2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，則()A．a(chǎn)>－4 B．a(chǎn)≤－2C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2解析：選D．因?yàn)??A，2∈A，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×1＋a≤0，,2×2＋a>0))即－4<a≤－2．集合中元素的特性已知集合P中有三個(gè)元素a－3，2a－1，a2＋4，且－3∈P，求實(shí)數(shù)a的值．【解】因?yàn)椋?∈P，a2＋4≥4，所以a－3＝－3或2a－1＝－3，解得a＝0或a＝－1．經(jīng)檢驗(yàn)a＝0時(shí)，P中三個(gè)元素為－3，－1，4，滿意集合中元素的互異性；a＝－1時(shí)，P中三個(gè)元素為－4，－3，5，也滿意集合中元素的互異性．綜上可知，a的值為0或－1．eq\a\vs4\al()由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值．解：若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1．當(dāng)a＝1時(shí)，集合A有重復(fù)元素，不符合互異性，所以a≠1；當(dāng)a＝－1時(shí)，集合A含有兩個(gè)元素1，－1，符合互異性．所以a＝－1．1．集合中的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性三大特性．利用集合中元素的三個(gè)特性，一方面可以推斷一些對(duì)象是否構(gòu)成集合，另一方面可以解決與集合有關(guān)的問(wèn)題．2．(1)符號(hào)“∈”“?”是表示元素與集合之間的關(guān)系的，不能用來(lái)表示集合與集合之間的關(guān)系；(2)a∈A與a?A取決于a是不是集合A中的元素．依據(jù)集合中元素的確定性，對(duì)任何a與A，在a∈A與a?A這兩種狀況中必有一種且只有一種成立．初學(xué)者由于對(duì)集合中元素的特性把握不準(zhǔn)，而簡(jiǎn)單忽視集合中元素的互異性致錯(cuò)．1．下列各組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()A．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸上方的y軸旁邊的點(diǎn)B．平面內(nèi)兩邊之和小于第三邊的三角形C．新華書店中有意義的小說(shuō)D．π(π＝3．141…)的近似值的全體解析：選B．選項(xiàng)A，C，D中的對(duì)象不具有確定性，故不能構(gòu)成集合；而選項(xiàng)B為?，故能構(gòu)成集合．2．所給下列關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是()①－eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)??；③0∈N＋；④－3?N．A．1 B．2C．3 D．4解析：選C．①②④正確，③錯(cuò)誤，故選C．3．由“book中的字母”構(gòu)成的集合中元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C．“book中的字母”構(gòu)成的集合中有b，o，k共3個(gè)元素．4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個(gè)元素構(gòu)成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m＝________．解析：由題意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，閱歷證，當(dāng)m＝0或m＝2時(shí)，不滿意集合中元素的互異性，當(dāng)m＝3時(shí)，滿意題意，故m＝3．答案：3[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列各組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是()A．2024年中心電視臺(tái)春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)中好看的節(jié)目B．某學(xué)校高一年級(jí)高個(gè)子的學(xué)生C．eq\r(2)的近似值D．2024年全國(guó)經(jīng)濟(jì)百?gòu)?qiáng)縣解析：選D．由于集合中的元素是確定的，所以D中對(duì)象可構(gòu)成集合．2．給出下列關(guān)系：(1)eq\f(1,3)∈R；(2)eq\r(5)∈Q；(3)－3?Z；(4)－eq\r(3)?N，其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B．eq\f(1,3)是實(shí)數(shù)，(1)正確；eq\r(5)是無(wú)理數(shù)，(2)錯(cuò)誤；－3是整數(shù)，(3)錯(cuò)誤；－eq\r(3)是無(wú)理數(shù)，(4)正確．故選B．3．若a，b，c，d為集合A的四個(gè)元素，則以a，b，c，d為邊長(zhǎng)構(gòu)成的四邊形可能是()A．矩形 B．平行四邊形C．菱形 D．梯形解析：選D．因?yàn)閍，b，c，d為集合A中的四個(gè)元素，故a，b，c，d均不相同，故選D．4．已知A中元素滿意x＝3k－1，k∈Z，則下列表示正確的是()A．－1?A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34?A解析：選C．因?yàn)椋?＝3×0－1∈A，故A錯(cuò)；－11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2?A，故B錯(cuò)；－34＝3×(－11)－1∈A，故D錯(cuò)；因?yàn)閗∈Z，所以k2∈Z，所以3k2－1∈A，故C正確．5．由實(shí)數(shù)x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所組成的集合，最多含有()A．2個(gè)元素 B．3個(gè)元素C．4個(gè)元素 D．5個(gè)元素解析：選A．eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(3,x3)＝－x．當(dāng)x＝0時(shí)，它們均為0；當(dāng)x>0時(shí)，它們分別為x，－x，x，x，－x；當(dāng)x<0時(shí)，它們分別為x，－x，－x，－x，－x．通過(guò)以上分析，它們最多表示兩個(gè)不同的數(shù)，故集合中元素最多含有2個(gè)．6．下列說(shuō)法中①集合N與集合N＋是同一個(gè)集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正確的有________．解析：因?yàn)榧螻＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集，所以①③中的說(shuō)法不正確，②④中的說(shuō)法正確．答案：②④7．已知集合A含有三個(gè)元素3，4，6，且當(dāng)a∈A，有8－a∈A，那么a＝________．解析：若a＝3，則8－a＝5?A，故a≠3；若a＝4，則8－4＝4∈A，故a＝4合適；若a＝6，則8－6＝2?A，故a≠6．答案：48．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所組成的集合中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：當(dāng)a>0且b>0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝2；當(dāng)a·b<0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0；當(dāng)a<0且b<0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝－2．所以集合中的元素為2，0，－2．即元素的個(gè)數(shù)為3．答案：39．由三個(gè)數(shù)a，eq\f(b,a)，1組成的集合與由a2，a＋b，0組成的集合是同一個(gè)集合，求a2017＋b2017的值．解：由a，eq\f(b,a)，1組成一個(gè)集合，可知a≠0，且a≠1．由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a＝a＋b，,\f(b,a)＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a，,a＋b＝1，,\f(b,a)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))(舍去)，所以a2017＋b2017＝(－1)2017＋0＝－1．10．已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，a∈R．(1)若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a的值；(2)若a∈A，試求實(shí)數(shù)a的值．解：(1)因?yàn)椋?∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．若－3＝a－3，則a＝0．此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1．此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意．綜上所述，滿意題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1．(2)因?yàn)閍∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1．當(dāng)a＝a－3時(shí)，有0＝－3，不成立；當(dāng)a＝2a－1時(shí)，有a＝1，此時(shí)A中有兩個(gè)元素－2，1，符合題意．綜上知a＝1．[B實(shí)力提升]11．集合A的元素y滿意y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)滿意y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．則下列選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是()A．2∈A，且2∈BB．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈BD．(3，10)∈A，且2∈B解析：選C．集合A中的元素為y，是數(shù)集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素為點(diǎn)(x，y)，且滿意y＝x2＋1，閱歷證，(3，10)∈B，故選C．12．已知集合A中的元素滿意ax2－bx＋1＝0，又集合A中只有唯一的一個(gè)元素1，則實(shí)數(shù)a＋b的值為_(kāi)_______．解析：當(dāng)a≠0時(shí)，由題意可知方程ax2－bx＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋1＝－\f(－b,