2015-2024年十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題21 立體幾何大題綜合

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題21立體幾何大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1空間中的平行關(guān)系（第一問）（10年10考）2024·全國(guó)新Ⅰ卷、2024·全國(guó)甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2023·全國(guó)甲卷、2023·全國(guó)乙卷、2023·天津卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2022·全國(guó)甲卷、2022·天津卷、2022·北京卷2021·天津卷、2020·北京卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷、2019·天津卷、2019·天津卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·江蘇卷2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·全國(guó)卷2017·全國(guó)卷、2017·江蘇卷、2016·四川卷、2016·江蘇卷、2016·天津卷、2016·全國(guó)卷、2016·山東卷、2016·全國(guó)卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系依然是立體幾何大題第一問的命題熱點(diǎn)，要熟練掌握空間中的距離及表面積、體積的計(jì)算同樣是命題熱點(diǎn)，異面直線所成角、線面角、二面角、及其最值范圍等內(nèi)容也是高頻考點(diǎn)，同時(shí)也需掌握方程思想的應(yīng)用考點(diǎn)2空間中的垂直關(guān)系（第一問）（10年10考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)甲卷、2023·北京卷、2022·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)乙卷、2022·浙江卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)新Ⅱ卷、2021·全國(guó)甲卷、2021·全國(guó)乙卷、2021·浙江卷2020·海南卷、2020·天津卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·北京卷2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·江蘇卷、2018·北京卷、2018·北京卷、2018·全國(guó)卷、2018·浙江卷、2018·全國(guó)卷2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·天津卷、2017·山東卷、2017·全國(guó)卷、2017·天津卷、2017·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷2016·北京卷、2016·全國(guó)卷、2016·北京卷、2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·廣東卷、2015·江蘇卷、2015·重慶卷、2015·重慶卷2015·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全國(guó)卷、2015·全國(guó)卷、2015全國(guó)卷、2015·天津卷、2015·陜西卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·福建卷、2015·北京卷2015·北京卷考點(diǎn)3求空間中的線段長(zhǎng)度、點(diǎn)面距的值及最值或范圍（10年6考）2024·全國(guó)甲卷、2024·天津卷、2023·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)乙卷、2019·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷考點(diǎn)4求空間中的體積、表面積的值及最值或范圍（10年10考）2024·上海卷、2023·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)乙卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)甲卷、2021·全國(guó)乙卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷2017·上海卷、2017·全國(guó)卷、2017·北京卷、2017·全國(guó)卷、2016·江蘇卷、2016·全國(guó)卷、2016·上海卷、2016·上海卷、2016·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·重慶卷、2015·全國(guó)卷2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷2015·福建卷、2015·北京卷考點(diǎn)5異面直線所成角及最值或范圍（10年4考）2018·天津卷、2017·天津卷、2016·上海卷、2015·廣東卷、2015·全國(guó)卷、2015·上海卷、2015·山東卷考點(diǎn)6求線面角及最值或范圍（10年10考）2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)乙卷、2022·浙江卷、2022·天津卷、2021·浙江卷、2020·海南卷、2020·天津卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2020·山東卷、2020·全國(guó)卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2018·江蘇卷、2018·浙江卷、2018·全國(guó)卷、2018·天津卷、2017·上海卷、2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·北京卷2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國(guó)卷、2016·北京卷、2016·天津卷、2015·廣東卷、2015·浙江卷、2015·天津卷、2015·上海卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)7求二面角及最值或范圍（10年10考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2024·全國(guó)甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)乙卷、2023·北京卷、2023·天津卷、2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2022·天津卷、2021·全國(guó)新Ⅱ卷2021·全國(guó)甲卷、2021·全國(guó)乙卷、2021·天津卷、2020·天津卷、2020·江蘇卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·北京卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·北京卷2018·全國(guó)卷、2017·山東卷、2017·全國(guó)卷、2016·天津卷、2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·廣東卷、2015·重慶卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·陜西卷、2015·山東卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷考點(diǎn)8已知異面直線所成角、線面角、二面角求值或范圍（方程思想）（10年5考）2024·全國(guó)新Ⅰ卷、2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·北京卷、2017·天津卷、2017·全國(guó)卷、2015·天津卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷考點(diǎn)01空間中的平行關(guān)系（第一問）1．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；2．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；3．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．4．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；5．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；6．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；7．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；8．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；9．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；10．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；11．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；12．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；13．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；14．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；15．（2020·江蘇·高考真題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面AB1C1；16．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；17．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；18．（2019·天津·高考真題）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；19．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；20．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；21．（2018·江蘇·高考真題）在平行六面體中，,．求證：（1）；22．（2017·天津·高考真題）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；23．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).（I）證明：CE∥平面PAB；24．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；25．（2017·全國(guó)·高考真題）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面,（1）證明：直線平面;26．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；27．（2016·四川·高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（Ⅰ）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；28．（2016·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且，.

求證：（1）直線DE平面A1C1F；29．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；30．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;31．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.（Ⅰ）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC；32．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（I）證明平面；

33．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，.求證：（1）；34．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC,AB=AC=3,,,點(diǎn)E,F分別是BC,的中點(diǎn).（Ⅰ）求證:EF∥平面;35．（2015·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；36．（2015·四川·高考真題）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為(1)請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）(2)證明：直線平面37．（2015·山東·高考真題）如圖，三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；38．（2015·山東·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；39．（2015·安徽·高考真題）如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過的平面交于F.（Ⅰ）證明：；40．（2015·福建·高考真題）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，平面，，，，分別是線段，的中點(diǎn).(1)求證：平面；41．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；考點(diǎn)02空間中的垂直關(guān)系（第一問）1．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；2．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；3．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；4．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；5．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；6．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；7．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；8．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；9．（2021·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；10．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；11．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；12．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；13．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；14．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；15．（2020·浙江·高考真題）如圖，三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；16．（2020·山東·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；17．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；18．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；19．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；20．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；21．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；22．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．23．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；24．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；25．（2019·全國(guó)·高考真題）圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；26．（2019·全國(guó)·高考真題）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；27．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；28．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).（1）證明：；29．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；30．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；31．（2018·江蘇·高考真題）在平行六面體中，,．求證：（1）；（2）．32．（2018·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．

（1）求證：AC⊥平面BEF；33．（2018·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；34．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；35．（2018·浙江·高考真題）如圖，已知多面體均垂直于平面．（Ⅰ）求證：平面；36．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；37．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）證明：平面平面；

38．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；39．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；40．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求證：AD⊥BC；41．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn).(1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；42．（2017·全國(guó)·高考真題）（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；43．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；44．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；45．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）證明：AC⊥BD；46．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，在四棱錐中，，且.（1）證明：平面平面；47．（2017·北京·高考真題）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；48．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.49．（2016·浙江·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；50．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：；51．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折起到的位置.（Ⅰ）證明：；52．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；53．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求證：AC⊥FB；54．（2016·浙江·高考真題）如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,.（Ⅰ）求證：平面；55．（2016·天津·高考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：FG||平面BED；（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；56．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折到位置，.（1）證明：平面；57．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形為正方形，，，且二面角與二面角都是.

（1）證明：平面平面；58．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）證明：PE⊥FG；59．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，.求證：（1）；（2）.60．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF//BC．(Ⅰ)證明：AB平面PFE.

61．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐中，平面，，．分別為線段上的點(diǎn)，且．(1)證明：平面；62．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：；63．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：D平面；64．（2015·全國(guó)·高考真題）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，，（I）證明：平面平面；65．（2015·全國(guó)·高考真題）（2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；66．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC,AB=AC=3,,,點(diǎn)E,F分別是BC,的中點(diǎn).（Ⅰ）求證:EF∥平面;（Ⅱ）求證:平面平面.67．（2015·陜西·高考真題）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（Ⅰ）證明：平面；68．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)．（１）證明：平面平面；69．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，，且底面，點(diǎn)分別在棱上．（1）若是的中點(diǎn)，證明：；70．（2015·湖北·高考真題）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；71．（2015·福建·高考真題）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；72．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；73．（2015·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，，，，為的中點(diǎn)．（）求證：．考點(diǎn)03求空間中的線段長(zhǎng)度、點(diǎn)面距的值及最值或范圍1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.2．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．3．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．4．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．5．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．7．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)04求空間中的體積、表面積的值及最值或范圍1．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．3．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．4．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．5．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.6．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.7．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．8．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.9．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．10．（2019·全國(guó)·高考真題）圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積.11．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．12．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積．

13．（2017·上?！じ呖颊骖}）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱的長(zhǎng)為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小.14．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，在四棱錐中，，且.（1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．15．（2017·北京·高考真題）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E－BCD的體積．16．（2017·全國(guó)·高考真題）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面,（1）證明：直線平面;（2）若△面積為，求四棱錐的體積.17．（2016·江蘇·高考真題）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.

（1）若則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則當(dāng)為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？18．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折起到的位置.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ)若，求五棱錐的體積.19．（2016·上?！じ呖颊骖}）將邊長(zhǎng)為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè).(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與所成的角的大小.20．（2016·上?！じ呖颊骖}）將邊長(zhǎng)為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)．（1）求圓柱的體積與側(cè)面積；（2）求異面直線O1B1與OC所成的角的大小．21．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（I）證明平面；（II）求四面體的體積.

22．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．23．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF//BC．(Ⅰ)證明：AB平面PFE.

(Ⅱ)若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長(zhǎng).

24．（2015·全國(guó)·高考真題）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，，（I）證明：平面平面；（II）若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.25．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)．（１）證明：平面平面；（２）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．26．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，，且底面，點(diǎn)分別在棱上．（1）若是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積．27．（2015·湖北·高考真題）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（Ⅰ）證明：平面．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由；（Ⅱ）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值．28．（2015·福建·高考真題）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；（Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．29．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積．考點(diǎn)05異面直線所成角及最值或范圍1．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求證：AD⊥BC；（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．2．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.3．（2016·上海·高考真題）將邊長(zhǎng)為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè).(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與所成的角的大小.4．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）證明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．5．（2015·全國(guó)·高考真題）（2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值．6．（2015·上?！じ呖颊骖}）如圖，圓錐的頂點(diǎn)為，底面的一條直徑為，為半圓弧的中點(diǎn)，為劣弧的中點(diǎn).已知，，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.7．（2015·山東·高考真題）如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．考點(diǎn)06求線面角及最值或范圍1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．4．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．5．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．6．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．7．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．8．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.9．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為上的點(diǎn)，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．10．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．11．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．12．（2020·浙江·高考真題）如圖，三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．13．（2020·山東·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．14．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.15．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.16．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.17．（2018·江蘇·高考真題）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)。（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值18．（2018·浙江·高考真題）如圖，已知多面體均垂直于平面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．19．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.20．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求證：AD⊥BC；（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．21．（2017·上?！じ呖颊骖}）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱的長(zhǎng)為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小.22．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.23．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).（I）證明：CE∥平面PAB；（II）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值24．（2017·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，平面，，．

（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求二面角的大??；（3）求直線與平面所成角的正弦值．25．（2016·浙江·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.26．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O?EF?C的正弦值；（Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.27．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.28．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.29．（2016·天津·高考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：FG||平面BED；（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；（Ⅲ）求直線EF與平面BED所成角的正弦值.30．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）證明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．31．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.32．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC,AB=AC=3,,,點(diǎn)E,F分別是BC,的中點(diǎn).（Ⅰ）求證:EF∥平面;（Ⅱ）求證:平面平面.（Ⅲ）求直線與平面所成角的大小.33．（2015·上?！じ呖颊骖}）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，、分別是、的中點(diǎn)．證明、、、四點(diǎn)共面，并求直線與平面所成的角的大小.34．（2015·全國(guó)·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．考點(diǎn)07求二面角及最值或范圍1．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．2．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．4．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．5．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．6．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.7．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．9．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．10．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．11．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．12．（2021·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．13．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?14．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．15．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．16．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．17．（2020·江蘇·高考真題）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．18．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．19．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．21．（2019·全國(guó)·高考真題）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.22．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.23．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．24．（2018·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．

（1）求證：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B?CD?C1的余弦值；（3）證明：直線FG與平面BCD相交．25．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．26．（2017·山東·高考真題）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn).(1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大?。?2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時(shí)，求二面角E－AG－C的大小.27．（2017·全國(guó)·高考真題）（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.28．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.29．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．30．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O?EF?C的正弦值；（Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.31．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.（Ⅰ）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=，AB=BC．求二面角的余弦值.32．（2016·浙江·高考真題）如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.33．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折到位置，.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.34．（2016·全國(guó)·高考真題）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形為正方形，，，且二面角與二面角都是.

（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.35．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）證明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．36．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐中，平面，，．分別為線段上的點(diǎn)，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．37．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.38．（2015·四川·高考真題）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為(1)請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）(2)證明：直線平面(3)求二面角的余弦值.39．（2015·陜西·高考真題）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．40．（2015·山東·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面,，，求平面與平面所成角（銳角）的大?。?1．（2015·安徽·高考真題）如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過的平面交于F.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.42．（2015·福建·高考真題）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，平面，，，，分別是線段，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.43．（2015·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，，，，為的中點(diǎn)．（）求證：．（）求二面角的余弦值．（）若平面，求的值．考點(diǎn)08已知異面直線所成角、線面角、二面角求值或范圍（方程思想）1．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．2．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．3．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.4．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．5．（2017·天津·高考真題）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．6．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值．7．（2015·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).8．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)．（１）證明：平面平面；（２）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．9．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，，且底面，點(diǎn)分別在棱上．（1）若是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積．10．（2015·湖北·高考真題）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．專題21立體幾何大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1空間中的平行關(guān)系（第一問）（10年10考）2024·全國(guó)新Ⅰ卷、2024·全國(guó)甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2023·全國(guó)甲卷、2023·全國(guó)乙卷、2023·天津卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2022·全國(guó)甲卷、2022·天津卷、2022·北京卷2021·天津卷、2020·北京卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷、2019·天津卷、2019·天津卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·江蘇卷2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·全國(guó)卷2017·全國(guó)卷、2017·江蘇卷、2016·四川卷、2016·江蘇卷、2016·天津卷、2016·全國(guó)卷、2016·山東卷、2016·全國(guó)卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系依然是立體幾何大題第一問的命題熱點(diǎn)，要熟練掌握空間中的距離及表面積、體積的計(jì)算同樣是命題熱點(diǎn)，異面直線所成角、線面角、二面角、及其最值范圍等內(nèi)容也是高頻考點(diǎn)，同時(shí)也需掌握方程思想的應(yīng)用考點(diǎn)2空間中的垂直關(guān)系（第一問）（10年10考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)甲卷、2023·北京卷、2022·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)乙卷、2022·浙江卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)新Ⅱ卷、2021·全國(guó)甲卷、2021·全國(guó)乙卷、2021·浙江卷2020·海南卷、2020·天津卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·北京卷2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·江蘇卷、2018·北京卷、2018·北京卷、2018·全國(guó)卷、2018·浙江卷、2018·全國(guó)卷2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·天津卷、2017·山東卷、2017·全國(guó)卷、2017·天津卷、2017·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷2016·北京卷、2016·全國(guó)卷、2016·北京卷、2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·廣東卷、2015·江蘇卷、2015·重慶卷、2015·重慶卷2015·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全國(guó)卷、2015·全國(guó)卷、2015全國(guó)卷、2015·天津卷、2015·陜西卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·福建卷、2015·北京卷2015·北京卷考點(diǎn)3求空間中的線段長(zhǎng)度、點(diǎn)面距的值及最值或范圍（10年6考）2024·全國(guó)甲卷、2024·天津卷、2023·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)乙卷、2019·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷考點(diǎn)4求空間中的體積、表面積的值及最值或范圍（10年10考）2024·上海卷、2023·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)乙卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)甲卷、2021·全國(guó)乙卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷2017·上海卷、2017·全國(guó)卷、2017·北京卷、2017·全國(guó)卷、2016·江蘇卷、2016·全國(guó)卷、2016·上海卷、2016·上海卷、2016·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·重慶卷、2015·全國(guó)卷2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷2015·福建卷、2015·北京卷考點(diǎn)5異面直線所成角及最值或范圍（10年4考）2018·天津卷、2017·天津卷、2016·上海卷、2015·廣東卷、2015·全國(guó)卷、2015·上海卷、2015·山東卷考點(diǎn)6求線面角及最值或范圍（10年10考）2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)乙卷、2022·浙江卷、2022·天津卷、2021·浙江卷、2020·海南卷、2020·天津卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2020·山東卷、2020·全國(guó)卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2018·江蘇卷、2018·浙江卷、2018·全國(guó)卷、2018·天津卷、2017·上海卷、2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·北京卷2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國(guó)卷、2016·北京卷、2016·天津卷、2015·廣東卷、2015·浙江卷、2015·天津卷、2015·上海卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)7求二面角及最值或范圍（10年10考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2024·全國(guó)甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)乙卷、2023·北京卷、2023·天津卷、2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2022·天津卷、2021·全國(guó)新Ⅱ卷2021·全國(guó)甲卷、2021·全國(guó)乙卷、2021·天津卷、2020·天津卷、2020·江蘇卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·北京卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·北京卷2018·全國(guó)卷、2017·山東卷、2017·全國(guó)卷、2016·天津卷、2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·廣東卷、2015·重慶卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·陜西卷、2015·山東卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷考點(diǎn)8已知異面直線所成角、線面角、二面角求值或范圍（方程思想）（10年5考）2024·全國(guó)新Ⅰ卷、2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·北京卷、2017·天津卷、2017·全國(guó)卷、2015·天津卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷考點(diǎn)01空間中的平行關(guān)系（第一問）1．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；2．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；3．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．4．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；5．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；6．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；7．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；8．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；9．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；10．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；11．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；12．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；13．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；14．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；15．（2020·江蘇·高考真題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面AB1C1；16．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；17．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；18．（2019·天津·高考真題）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；19．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：M