新高考數學二輪復習強化練習專題14 空間幾何體的結構、面積與體積（講）（解析版）

第一篇熱點、難點突破篇專題14空間幾何體的結構、面積與體積（講）真題體驗感悟高考1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為SKIPIF1<0，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱SKIPIF1<0及直三棱柱SKIPIF1<0組成，作SKIPIF1<0于M，如圖，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為重疊后的底面為正方形，所以SKIPIF1<0,在直棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BHC，則SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設重疊后的EG與SKIPIF1<0交點為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則該幾何體的體積為SKIPIF1<0.故選：D.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設四邊形ABCD對角線夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0又設四棱錐的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時等號成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時，其高SKIPIF1<0.故選：C．[方法三]：利用導數求最值由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，此時SKIPIF1<0．故選：C.【整體點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．3.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為AC的中點．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面ACD；(2)設SKIPIF1<0，點F在BD上，當SKIPIF1<0的面積最小時，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】(1)證明詳見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）通過證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0來證得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）首先判斷出三角形SKIPIF1<0的面積最小時SKIPIF1<0點的位置，然后求得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，從而求得三棱錐SKIPIF1<0的體積.【詳解】（1）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）[方法一]：判別幾何關系依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0是等邊三角形，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0最短時，三角形SKIPIF1<0的面積最小過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.[方法二]：等體積轉換SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0總結規(guī)律預測考向（一）規(guī)律與預測（1）以幾何體的結構特征為基礎，考查幾何體的面積體積計算為主，題型基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關系、垂直關系等相結合考查的情況.（2）與立體幾何相關的“數學文化”、實際問題等相結合，考查數學應用.（3）幾何體的表面積與體積是主要命題形式.有時作為解答題的一個構成部分考查幾何體的表面積與體積，有時結合面積、體積的計算考查等積變換等轉化思想．（4）以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關系的判定與性質定理，對命題的真假進行判斷，屬于基礎題.空間中的平行、垂直關系的證明也是高考必考內容，多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第（1）問，第（2）問則考查幾何體面積、體積的計算.（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一幾何體的面積計算【核心知識】圓柱的側面積圓柱的表面積圓錐的側面積圓錐的表面積圓臺的側面積圓臺的表面積球體的表面積柱體、錐體、臺體的側面積，就是各個側面面積之和；表面積是各個面的面積之和，即側面積與底面積之和.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形，稱為它的展開圖，圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形它的表面積就是展開圖的面積.【典例分析】典例1.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑SKIPIF1<0，再根據球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設球心到上下底面的距離分別為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0符合題意，所以球的表面積為SKIPIF1<0．故選：A．典例2.（2022·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若該四棱臺的體積為SKIPIF1<0，求這個四棱臺的表面積為（

）A．24 B．44 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】結合圖形，利用四棱臺的體積公式求得該四棱臺的高SKIPIF1<0，進而在等腰梯形SKIPIF1<0與等腰梯形SKIPIF1<0中依次求得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，從而求得該四棱臺的側面積，進而求得其表面積.【詳解】過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是正四棱臺SKIPIF1<0的高，因為正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為該四棱臺的體積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為其他三個側面與側面SKIPIF1<0的面積相等，所以該四棱臺的側面積為SKIPIF1<0，所以該四棱臺的表面積為SKIPIF1<0.故選：B..典例3.（2021·全國·高考真題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為SKIPIF1<0則該圓錐的側面積為________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側面積公式求出答案.【詳解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】1.幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和．(2)旋轉體：其表面積等于側面面積與底面面積的和．(3)簡單組合體：應搞清各構成部分，并注意重合部分的刪、補．2.計算旋轉體的側面積時，一般采用轉化的方法來進行，即將側面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.考向二幾何體的體積計算【核心知識】圓柱的體積圓錐的體積圓臺的體積球體的體積正方體的體積正方體的體積【典例分析】典例4.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔SKIPIF1<0時，相應水面的面積為SKIPIF1<0；水位為海拔SKIPIF1<0時，相應水面的面積為SKIPIF1<0，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔SKIPIF1<0上升到SKIPIF1<0時，增加的水量約為（SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為SKIPIF1<0(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積SKIPIF1<0．棱臺上底面積SKIPIF1<0，下底面積SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．典例5.（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為SKIPIF1<0，兩個圓錐的高之比為SKIPIF1<0，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結果.【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點SKIPIF1<0，設圓錐SKIPIF1<0和圓錐SKIPIF1<0的高之比為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，這兩個圓錐的體積之和為SKIPIF1<0.故選：B.典例6.（多選題）（2022秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）正方體SKIPIF1<0的棱長為2,SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中點,則（

）A．直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,通過求三角形SKIPIF1<0各個邊長,可得SKIPIF1<0不相互垂直,即可證明SKIPIF1<0不垂直,即可判斷選項A的正誤;連接SKIPIF1<0,根據面面平行的判定定理即可證明平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,再根據面面平行的性質定理即可證明選項B的正誤;取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,根據一條線與一個平面平行,則這條線上任一點到該平面距離相等,通過等體積轉換即可得SKIPIF1<0即可求出結果;分別取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,將三棱錐SKIPIF1<0的外接球轉化為長方體SKIPIF1<0的外接球,求出半徑及表面積即可.【詳解】解:由題知正方體SKIPIF1<0的棱長為2,關于選項A:取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0如圖所示:SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,由于正方體SKIPIF1<0的棱長為2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不相互垂直,即SKIPIF1<0不相互垂直,若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,與上面結論矛盾,故選項A錯誤;關于選項B:連接SKIPIF1<0,如圖所示:SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故選項B正確;關于選項C:取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,如圖所示:SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故選項C正確;關于選項D:分別取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0如圖所示:由圖可知三棱錐SKIPIF1<0的外接球即長方體SKIPIF1<0的外接球,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0長方體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0,所以此外接球的表面積為SKIPIF1<0,故選項D正確.故選:BCD【總結提升】求空間幾何體體積的常用方法（1）公式法:對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解.（2）割補法:若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.（3）等體積法:一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的.當一個幾何體的底面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解.等體積法也稱等積轉化法或等積變形法，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，特別是三棱錐的體積.

考向三多面體與球相關面積、體積計算【核心知識】(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則SKIPIF1<0；②若球為正方體的內切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則SKIPIF1<0.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則SKIPIF1<0.(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.【典例分析】典例7.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題可得SKIPIF1<0為等腰直角三角形，得出SKIPIF1<0外接圓的半徑，則可求得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，進而求得體積.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，又球的半徑為1，設SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查球內幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關系求解.典例8.（2022秋·吉林·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將△ACD沿邊AC翻折，使點D翻折到P點，且SKIPIF1<0則三棱錐P—ABC外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在三棱錐SKIPIF1<0中過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，首先易證SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故證得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線,過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，則確定三棱錐外接球球心SKIPIF1<0的位置，再求出半徑長，則得到外接球表面積.【詳解】在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三棱錐SKIPIF1<0中過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，則易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，易知其位于斜邊SKIPIF1<0的中點，等腰SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，易知其位于SKIPIF1<0的延長線上，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線,過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，設兩垂線交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，因此四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0為頂角為SKIPIF1<0的等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：B【點睛】方法點睛：確定幾何體外接球球心的依據主要有:（1）球的截面的性質,球心與截面圓圓心的連線與截面垂直，所以球心在過裁面圓圓心且與截面垂直的直線上；（2）球心在幾何體的棱的垂直平分線上，因為球心到幾何體的頂點的距離都等于球的半徑，所以球心與棱中點的連線與棱垂直.典例9.（2023·全國·模擬預測）在四棱錐SKIPIF1<0中，ABCD是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．4π B．8π C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】將該四棱錐的外接球放在一個長方體內，畫出圖形，利用已知條件找出球心，建立相應的關系式，求出外接球的半徑，利用球體表面積公式計算即可.【詳解】由題意將該四棱錐放在一個長方體的中，如圖①所示：取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則在等腰SKIPIF1<0中有：SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面ABCD=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由底面為正方形SKIPIF1<0，所以它的外接圓的圓心為對角線的交點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上，過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別作平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的垂線，則兩垂線必交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0即為四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形.如圖②連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在圖①中連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即四棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑為SKIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為：SKIPIF1<0，故選：C.【規(guī)律方法】1.與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．2．若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．3.幾何體的外接球一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.4.幾何體的內切球求解多面體的內切球問題，一般是將多面體分割為以內切球球心為頂點，多面體的各側面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內切球的半徑.考向四面積、體積計算的最值、范圍問題【核心知識】圖形中的最大（小）位置、基本不等式、函數單調性、導數．【典例分析】典例10.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設正四棱錐的高為SKIPIF1<0，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為SKIPIF1<0，所以球的半徑SKIPIF1<0,[方法一]：導數法設正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，正四棱錐的體積SKIPIF1<0取最大值，最大值為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，球心在正四棱錐高線上，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四棱錐體積SKIPIF1<0，故該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0典例11.（2022秋·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）邊長為2的正方形，經如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個正四棱錐，則此正四棱錐的外接球的表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設底面邊長為SKIPIF1<0，可求得此四棱錐的高為SKIPIF1<0，根據外接球與正四棱錐的關系，利用勾股定理可求出外接球半徑，再利用導數求得半徑的最小值即可.【詳解】如圖所示，設圍成的四棱柱為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正四棱錐SKIPIF1<0的高，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中由勾股定理得SKIPIF1<0，又因為正四棱錐SKIPIF1<0的外接球球心在它的高SKIPIF1<0上，記球心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則在直角三角形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，所以當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取最小值，所以SKIPIF1<0，所以該四棱錐外接球的表面積的最小值為SKIPIF1<0，故選：B典例12.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】將原問題轉化為求解圓錐內切球的問題，然后結合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內切球，球與圓錐內切時的軸截面如圖所示，其中SKIPIF1<0，且點M為BC邊上的中點，設內切圓的圓心為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設內切圓半徑為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，其體積：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.考向五根據幾何體的面積、體積確定其它幾何量【核心知識】幾何體結構特征、面積公式、體積公式．【典例分析】典例13.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據球SKIPIF1<0的表面積和SKIPIF1<0的面積可求得球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0和SKIPIF1<0外接圓半徑SKIPIF1<0，由球的性質可知所求距離SKIPIF1<0.【詳解】設球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0，邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.故選：C.【點睛】本題考查球的相關問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應用；解題關鍵是明確球的性質，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.典例14.（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習）球面幾何中，球面兩點之間最短的距離為經過這兩點的大圓的劣弧長，稱為測地線．已知A，B，C是球O球面上的三個點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則A，B兩點測地線長為（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】易得SKIPIF1<0截面圓的圓心在SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0處，則求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，利用三棱錐體積公式求得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即可求出測地線長.【詳解】由題意知，SKIPIF1<0截面圓的圓心在SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0處，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設球SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0兩點測地線長為SKIPIF1<0，故選：C．典例15.（2022·四川達州·統(tǒng)考一模）把一個三邊均為有理數的直角三角形面積的數值稱為同余數，如果正整數SKIPIF1<0為同余數，則稱SKIPIF1<0為整同余數.SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日，SKIPIF1<0年度國家科學獎勵大會在人民大會堂隆重召開，中國科學院研究員田剛以“同余數問題與SKIPIF1<0函數的算術”項目榮獲SKIPIF1<0年度國家自然科學獎二等獎，在同余數這個具有千年歷史數學中最重要的古老問題上取得突破性進展.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉一周，所成幾何體的側面積和體積的數值之比為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0為整同余數，則SKIPIF1<0的值可以為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】用直角三角形的一條直角邊長SKIPIF1<0和面積SKIPIF1<0，表示出另一條直角邊長SKIPIF1<0和斜邊長SKIPIF1<0，以旋轉形成的圓錐的側面積和體積的數值之比建立方程，將選項中SKIPIF1<0的值代入方程，判斷解出的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是否為有理數即可.【詳解】如圖，SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉一周，形成一個底面半徑SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，母線長SKIPIF1<0的圓錐，該圓錐的側面積SKIPIF1<0，該圓錐的體積SKIPIF1<0，側面積和體積的數值之比為SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，對于A，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0無解，故選項A錯誤；對于B，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為有理數，滿足題意，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為有理數，滿足題意，故選項B正確；對于C，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0無有理數解，故選項C錯誤；對于D，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0無有理數解，故選項D錯誤.故選：B.考向六面積、體積計算中的實踐與數學文化問題【核心知識】數學文化問題是近年來高考命題的亮點，此類問題把數學史、數學美、數學語言、數學思維及數學方法結合起來，可有效考查學生在新情境中對數學文化的鑒賞、對數學知識的理解、對數學方法的遷移，因此備受命題者青睞.在我國浩瀚的傳統(tǒng)文化中，有豐富的與幾何體有關的數學文化背景知識，故也成為近年高考命題的熱點.

【典例分析】典例16.（2023·全國·模擬預測）何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造形渾厚，工藝精美，尊內底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞的最早文字記載．何尊的形狀可以近似地看作是圓臺與圓柱的組合體，高約為40cm，上口直徑約為28cm，下端圓柱的直徑約為18cm．經測量知圓柱的高約為24cm，則估計該何尊可以裝酒（不計何尊的厚度，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據圓柱和圓臺的體積公式計算可得結果.【詳解】下端圓柱的體積為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，上端圓臺的體積為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以該何尊的體積估計為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0最接近SKIPIF1<0，所以估計該何尊可以裝酒SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C典例17.（2022·湖南湘西·高三統(tǒng)考競賽）蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴?踢?蹋的含義，鞠最早系外包皮革?內實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴?蹋?踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質文化遺產經國務院批準已列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個點SKIPIF1<0，且球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則該鞠（球）的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】畫出圖形，作出輔助線，求出SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，利用勾股定理求出球的半徑，求出球的表面積.【詳解】如圖，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長，交球SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的直徑，設球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，球的表面積為SKIPIF1<0.故選：A.【點睛】本題是立體幾何中外接球問題，要畫圖，找到球心的位置，結合解三角形等知識進行求出半徑，再求解球的表面積，其中如何求出半徑是難點；本題屬于較難題.典例18.（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中記載了“三角垛”．如圖，某三角垛最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，每個球的半徑相等，且相鄰的球都外切，記由球心A，B，C，D構成的四面體的體積為SKIPIF1<0，記能將該三角垛完全放入的四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】要使SKIPIF1<0取得最大值，則使SKIPIF1<0取最小值，通過計算出球心在一面的投影點到該邊的距離，可算出四面體SKIPIF1<0的最小棱長【詳解】設球的半徑為SKIPIF1<0，由題意可知四面體SKIPIF1<0為正四面體，邊長為SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的高為