2023屆高考復(fù)習(xí)數(shù)列微專題-等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)強化訓(xùn)練

高考復(fù)習(xí)數(shù)列微專題——等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)強化訓(xùn)練（學(xué)生版）數(shù)列是歷年高考考察內(nèi)容之一，等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)是數(shù)列部分的重點和難點，在高考中常出現(xiàn)在選擇題和填空題中，掌握數(shù)列的性質(zhì)可以簡化解題的計算量節(jié)省時間。本文總結(jié)了等差數(shù)列和等比數(shù)列的常用性質(zhì)，整理了近兩年來的高考真題和各地模擬題，在訓(xùn)練中掌握高考中的考察方式提高對知識掌握的熟練程度。一、等差數(shù)列性質(zhì)已知{an}為等差數(shù)列，d為公差，Sn為該數(shù)列的前n項和．(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；(2)在等差數(shù)列{an}中，當m＋n＝p＋q時，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特別地，若m＋n＝2p，則2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)；(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k，m∈N*)；(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差數(shù)列，公差為n2d；(5)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列；(6)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項與{an}首項相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；(7)若項數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；(8)若項數(shù)為奇數(shù)2n－1，則S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)．（9）兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).例1(2022·新高考模擬)等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，則公差d＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．－eq\f(1,2)解析：由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝eq\f(1,4).例2(2022·棗莊質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319，所有偶數(shù)項之和為290，則該數(shù)列的中間項為()A．28 B．29C．30 D．31解析：由結(jié)論(8)，設(shè)項數(shù)為奇數(shù)2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29，故選B．例3(2022·四川雙流中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝1，S30＝5，則S40＝()A．7 B．8C．9 D．10解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差數(shù)列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋eq\f(S30,3)＝1＋eq\f(5,3)＝eq\f(8,3).∴d＝(S20－S10)－S10＝eq\f(2,3)，∴S40－5＝1＋3×eq\f(2,3)＝3，∴S40＝8.故選B跟蹤練習(xí)1、(2022·淄博模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9＝()A．72 B．36C．18 D．92、(2022·廣州市階段訓(xùn)練)已知{an}是等差數(shù)列，a3＝5，a2－a4＋a6＝7，則數(shù)列{an}的公差為()A．－2 B．－1C．1 D．23、(2022·吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2a11＝a9＋7，則S25＝()A．eq\f(145,2) B．145C．eq\f(175,2) D．1754、(2021·江西九江一中月考)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，則eq\f(S9,S5)＝()A．1 B．－1C．2 D．eq\f(1,2)5、在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2023，其前n項和為Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，則S2023＝()A．－2023 B．－2022C．－2021 D．－20206、若兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為An、Bn，且滿足eq\f(An,Bn)＝eq\f(2n－1,3n＋1)，則eq\f(a3＋a7＋a11,b5＋b9)的值為()A．eq\f(39,44) B．eq\f(5,8)C．eq\f(15,16) D．eq\f(13,22)7、(2022·臨沂質(zhì)檢)在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq\f(1,2)a8＝()A．4 B．6C．8 D．108、(2022·洛陽質(zhì)檢)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S17＝272，則a3＋a9＋a15＝()A．24 B．36C．48 D．649、(2020·北京高考)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－9，a5＝－1．記Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，則數(shù)列{Tn}()A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項10、(2022·遼寧模擬)已知等差數(shù)列{an}的前15項和S15＝30，則a7＋a8＋a9＝()A．－2 B．6C．10 D．1411、(2022·濟南二模)在等差數(shù)列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的兩個實數(shù)根，則eq\f(a8,a2a14)＝()A．－eq\f(3,2) B．－3C．－6 D．212、(多選)(2022·珠海模擬)已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且2a1＋3a3＝S6，則以下結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)10＝0 B．S10最小C．S7＝S12 D．S19＝013、(2022·遼寧模擬)已知等差數(shù)列{an}的前15項和S15＝30，則a7＋a8＋a9＝()A．－2 B．6C．10 D．1414、(2022·濟南二模)在等差數(shù)列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的兩個實數(shù)根，則eq\f(a8,a2a14)＝()A．－eq\f(3,2) B．－3C．－6 D．215、(2022·珠海模擬)已知函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a4)＝f(a18)，則{an}的前21項之和為()A．0 B．eq\f(25,2)C．21 D．4216、(多選)(2022·珠海模擬)已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且2a1＋3a3＝S6，則以下結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)10＝0 B．S10最小C．S7＝S12 D．S19＝017、(2021·杭州二模)已知{an}是等差數(shù)列，滿足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，則該數(shù)列的前8項和為()A.36 B.24 C.16 D.1218、(2021·武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S8＝a8＝8，則公差d＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.1 D.219、設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9等于()A.72 B.36 C.18 D.920、在等差數(shù)列{an}中，若a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A.10 B.20C.40 D.2＋log2521、已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于()A.35 B.42 C.49 D.6322、(多選)(2022·淄博調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當首項a1和d變化時，a2＋a8＋a11是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的是()A.a7 B.a8 C.S13 D.S1523、(2022·重慶診斷)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，則S2023等于()A.2023 B.－2023C.4046 D.－404624、(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4＝0，a5＝5，則下列選項正確的是()A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－225、在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，則eq\f(1,5)a4＝()A．－1 B．0C．1 D．226、(2020·高考北京卷)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.記Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，則數(shù)列{Tn}()A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項27、(2022·濟寧鄒城期中)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，公差為d，若S9＝a5＋a12，a1>0，則以下結(jié)論一定正確的是()A．d>0 B．S2＝S5C．|a1|>|a9| D．Sn取得最大值時，n＝328、已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，則S2023＝()A．2023 B．－2023C．4046 D．－404629、已知數(shù)列{an}滿足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，則logeq\f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝()A.－3 B.3 C.－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)30、則logeq\f(1,3)(a在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝2－eq\r(2)，a5＝eq\r(2)＋1，則a1a5＋2a2a6＋a3a7＝()A．1 B．9C．5eq\r(2)＋7 D．3eq\r(2)＋931、(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，則()A．數(shù)列{an}的公比為2B．數(shù)列{an}的公比為8C．eq\f(S6,S3)＝8D．eq\f(S6,S3)＝932、(多選)設(shè){an}是公比為2的等比數(shù)列，下列四個選項中是正確的命題有()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列B．{a2n}是公比為4的等比數(shù)列C．{2an}是公比為4的等比數(shù)列D．{anan＋1}是公比為2的等比數(shù)列33、(2021·深圳一模)在數(shù)列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，則k＝()A.10 B.9 C.8 D.734、設(shè)正項等差數(shù)列{an}滿足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，則下列說法錯誤的是()A．a(chǎn)2a9的最大值為10B．a(chǎn)2＋a9的最大值為2eq\r(10)C．eq\f(1,aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＋eq\f(1,aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9)))的最大值為eq\f(1,5)D．a(chǎn)eq\o\al(\s\up12(4),\s\do4(2))＋aeq\o\al(\s\up12(4),\s\do4(9))的最小值為20035、兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An，Bn，且滿足eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，則使得eq\f(an,bn)為正整數(shù)的n的個數(shù)是()A．5 B．4C．3 D．236、已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且2a1＋3a3＝S6，則以下結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)10＝0 B．S10最小C．S7＝S12 D．S19＝037、已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，則S2023＝()A．2023 B．－2023C．4046 D．－404638、已知等差數(shù)列{an}滿足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，則該等差數(shù)列的公差為()A．1或－1 B．2C．－2 D．2或－239、等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，則eq\f(a7,b7)等于________.40、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝__________．41、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝－12，S9＝45，則S12＝.42、(2022·安徽蚌埠一模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a6＋a7＝1，則S12＝________，若a7＜0，則使得不等式Sn＜0成立的最小整數(shù)n＝________．43、等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意正整數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－1,3n－2)，則eq\f(a11,b6＋b10)＋eq\f(a5,b7＋b9)的值為________．44、(2021·山東師大附中模擬)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且a2＋a9＋a19＝6，則a10＝，S19＝.45、記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝____________．46、(2021·長春一模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a6＋a7＝1，則S12＝________，若a7＜0，則使得不等式Sn＜0成立的最小整數(shù)n＝________.二、等比數(shù)列性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特別地，若2s＝p＋r，則apar＝aeq\o\al(2,s)，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))(其中b，p，q是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．(4)當q≠－1或q＝－1且k為奇數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數(shù)列．當q＝－1且k為偶數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列．(5)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性①滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))時，{an}是遞增數(shù)列．②滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))時，{an}是遞減數(shù)列．③當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1≠0，,q＝1))時，{an}為常數(shù)列．④當q<0時，{an}為擺動數(shù)列．(6)若共有2n項，則eq\f(S偶,S奇)＝q；(7)若共有2n＋1項，eq\f(S奇－a1,S偶)＝q．例4(2022·浙江麗水模擬)已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，且S3＝10，S9＝70，則S12＝()A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50解析：解法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，顯然q≠1，又Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，∴eq\f(S9,S3)＝eq\f(1－q9,1－q3)＝q6＋q3＋1＝7.∴q3＝2或－3(舍去)．又eq\f(S12,S3)＝eq\f(1－q12,1－q3)＝eq\f(1－q34,1－q3)＝15.∴S12＝15S3＝150.故選A．解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故選A．解法三：由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比數(shù)列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故選A．解法四：設(shè)等比數(shù)列前n項和為Sn＝A－Aqn，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1－q9＝70，,A1－q3＝10，))兩式相除得1＋q3＋q6＝7，解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝－10(1－24)＝150.故選A．例5(2022·青島模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a5，a6是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－3x2＋8x＋1的極值點，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝()A．3＋log25 B．8C．10 D．15解析：Df′(x)＝x2－6x＋8，∵a5，a6是函數(shù)f(x)的極值點，∴a5，a6是方程x2－6x＋8＝0的兩實數(shù)根，則a5·a6＝8，∴l(xiāng)og2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log2(a5·a6)5＝5log28＝15，故選D．跟蹤練習(xí)1、(2022·潮州模擬)Sn為正項等比數(shù)列{an}的前n項和，若a3a5＝256，a4a6＝1024，則eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－12、(2022·洛陽第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則eq\f(a2a16,a9)的值為()A．－eq\f(2＋\r(2),2) B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．－eq\r(2)或eq\r(2)3、(2021·洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則eq\f(a2a16,a9)的值為()A．－2 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．－eq\r(2)或eq\r(2)4、(2021·安徽省江淮十校月考)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,2)，該數(shù)列前9項的乘積為1，則a1等于()A．8 B．16C．32 D．645、(2021·吉林統(tǒng)考)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，S12＝7S4，則eq\f(S8,S4)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)或eq\f(1,2)C．3 D．3或－26、在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝2－eq\r(2)，a5＝eq\r(2)＋1，則a1a5＋2a2a6＋a3a7＝()A．1 B．9C．5eq\r(2)＋7 D．3eq\r(2)＋97、(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，則()A．數(shù)列{an}的公比為2B．數(shù)列{an}的公比為8C．eq\f(S6,S3)＝8D．eq\f(S6,S3)＝98、(2021·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S2＝4，S4＝6，則S6＝()A.7 B.8 C.9 D.109、已知在等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，則a5＝()A．－2 B．±2C．2 D．±eq\f(1,2)10、等比數(shù)列{an}中，a5，a7是函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3的兩個零點，則a3·a9＝()A．－3 B．3C．－4 D．411、公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，則m的值為()A.8 B.9 C.10 D.1112、(2021·長沙檢測)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為()A.25 B.20 C.15 D.1013、已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，則a7的值為()A.2 B.4 C.eq\f(9,2) D.614、在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5的值為()A．16 B．27C．36 D．8115、已知數(shù)列{an}為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，a6·a8＝16aeq\o\al(\s\up12(2),\s\do4(5))，則eq\f(a4＋a7,a5＋a8)＝()A．2 B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)16、在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝()A．12 B．13C．14 D．1517、已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，eq\f(an＋2,an＋1)＝eq\f(an＋1,an)·q(q為非零常數(shù))，eq\f(a51,a50)·eq\f(a52,a51)＝2eq\s\up6(\f(1,50))，則a101＝()A．2 B．eq\f(1,2100)C．1024 D．eq\f(1,250)18、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn.前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7·a8>1，eq\f(a