專題02 反比例函數(shù)與幾何綜合問題 （解析版）

專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題一、【知識回顧】（1）平面直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)特征平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點P（a，b）點P（a，b）關(guān)于x軸的對稱點（a，-b）點P（a，b）關(guān)于y軸的對稱點（-a，b）點P（a，b）關(guān)于原點的對稱點（-a，-b）點P（a，b）關(guān)于y=x的對稱點（b，a）點P（a，b）關(guān)于y=-x的對稱點（-b，-a）（2）反比例函數(shù)k的幾何意義常見模型備注：熟練運(yùn)用幾大模型：①一點一垂線②一點兩垂線③兩點一垂線④兩點兩垂線⑤兩點也原點反比例函數(shù)幾何綜合解法技巧：設(shè)點的坐標(biāo)，利用點的對稱關(guān)系，表示其他點的坐標(biāo)；并通過點的坐標(biāo)表示線段長度，通過面積構(gòu)建方程，解方程。二、【考點類型】考點1：反比例函數(shù)與直線結(jié)合典例1：（2022·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圖象過點，坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，再根據(jù)對稱性求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過點∴，∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都是關(guān)于原點成中心對稱，∴關(guān)于原點成中心對稱，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點，圖象的對稱性是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線（，m為常數(shù)）與雙曲線（，k為常數(shù)）交于點A，B，若，過點A作軸，垂足為M，連接，則的面積是（）A．2 B． C．3 D．6【答案】C【分析】根據(jù)反比例的圖象關(guān)于原點中心對稱得到點A與點B關(guān)于原點中心對稱，則，，代入解析式求得，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得到，進(jìn)一步得出．【詳解】解：∵直線（，m為常數(shù)）與雙曲線（，k為常數(shù)）交于點A，B，∴點A與點B關(guān)于原點中心對稱，∴，∵，∴，∴，∴，∵軸，垂足為M，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．【變式2】（2022秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，得到，利用整體思想代入，求值即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，∴，∴，∴；故選A．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，以及分式求值．熟練掌握交點坐標(biāo)同時滿足反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，利用整體思想，進(jìn)行求值，是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖像相交于、兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足的的取值范圍；（3）若點在線段上，且，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為；反比例函數(shù)為；（2）或；（3），．【分析】(1)將A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求得，再將B點代入反比例函數(shù)求得n，再把A、B兩點坐標(biāo)代入一次函數(shù)求得從而得出兩函數(shù)解析式；(2)觀察圖案結(jié)合（1）題求得A、B兩點坐標(biāo)即可求出所求x的范圍；(3)連接BO、AO，則△AOP和△BOP高相同，面積之比就是底邊長度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之間橫坐標(biāo)差值按比例分配求得P點橫坐標(biāo)，再把橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)求得縱坐標(biāo)從而求出P點坐標(biāo).【詳解】解：（1）反比例函數(shù)經(jīng)過，，反比例函數(shù)為，在比例函數(shù)的圖象上，，，直線經(jīng)過，，，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）觀察圖象，的的取值范圍是或；（3）設(shè)，，，即，，解得，（舍去），點坐標(biāo)為(，)．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，函數(shù)與不等式，三角形的面積等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.考點2：反比例函數(shù)與特殊三角形結(jié)合典例2：（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點A、B（點B不與點M重合）．若AB⊥OM于點B，則k的值為______．【答案】【分析】過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，設(shè)OC=x，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得點B(x，x)，點A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)列方程，解方程即可求解．【詳解】解：過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，如圖：∵△OMN是邊長為10的等邊三角形，∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，設(shè)OC=x，則OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，∴NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)=2x-5，∴OD=ON-DN=15-2x，∴點B(x，x)，點A(15-2x，2x-5)，∵反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點A、B，∴x?x=(15-2x)(2x-5)，解得x=5(舍去)或x=3，∴點B(3，)，∴k=9．故答案為：9．【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【變式1】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（4，0），點B在第一象限，且OAB為等邊三角形，若反比例函數(shù)y=在第一象限的圖象經(jīng)過邊AB的中點，則k的值為___________【答案】【分析】設(shè)AB中點為D，分別過B、D作BN⊥OA、DM⊥OA，根據(jù)等邊三角形的邊長為4，利用等邊三角形的性質(zhì)，算出OM和DM的長，從而得出點D的坐標(biāo)，即可得出k的值．【詳解】設(shè)AB中點為D，分別過B、D作BN⊥OA、DM⊥OA，垂足分別為N、M如圖所示：∵OA=4，△OAB為等邊三角形，∴AB=OA=OB=4，，∵BN⊥OA，∴ON=AN=2，BN=2，∵DM⊥OA，∴，∴，∵點D為AB的中點，∴，∴DM=，AM=1，∴OM=OA-AM=4-1=3，∴D（3，），∴k=3×=3．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，求反比例函數(shù)關(guān)系式和平行線分線段成比例定理，作出相應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2020·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=(k＞0，x＞0)的圖象與等邊三角形OAB的邊OA，AB分別交于點M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么點N的橫坐標(biāo)為()A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件，可求出OM，通過做垂線，利用解直角三角形，求出點M的坐標(biāo)，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；用直線AB的關(guān)系式與反比例函數(shù)的關(guān)系式組成方程組，解出x的值即可．【詳解】過點N、M分別作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足為C、D，∵△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=3，∠AOB=∠ABO=60°，又∵OM=2MA，∴OM=2，MA=1，在Rt△MOD中，∠OMD=90-∠MOD=30°，OD=OM=1，MDOD，∴點M的坐標(biāo)為(1，)，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=，設(shè)OC=a，則BC=3-a，NC=，在Rt△BCN中，∠BNC=90-∠NBC=30°，∴NC=BC，∴=(3-a)，解得：，(舍去)，∴點N的橫坐標(biāo)為，故選：B．【點睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度角直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求得交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·河南許昌·九年級?？计谀┮阎c在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則點坐標(biāo)為______．【答案】或或【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可．【詳解】解：當(dāng)時，過點A作，垂足為C，∵，設(shè)，∴，解得：或或（舍）或（舍），代入計算可得：或，∴點B的坐標(biāo)為或；當(dāng)時，∵腰長為5，∴，∴點B坐標(biāo)為；當(dāng)時，∵腰長為5，∴，∴點B坐標(biāo)為；綜上：點B的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)時，求出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．考點3：反比例函數(shù)與特殊四邊形結(jié)合典例3：（2022春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)點，是該反比例函數(shù)圖象上的另外兩點，且點與點，點與點關(guān)于原點對稱．若已知四邊形為矩形，，且矩形的面積為18，則的值為___________．【答案】【分析】利用矩形面積以及長寬的關(guān)系，找出關(guān)系式，再利用完全平方公式算出．【詳解】解：由題意可知，設(shè)點為，，，反比例函數(shù)，，即，，，∴，故答案為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，勾股定理，完全平方公式，解題關(guān)鍵是利用矩形的面積及長寬關(guān)系找出關(guān)系式．【變式1】（2020·福建漳州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，OA在x軸的正半軸上，∠AOC=60°，過點C的反比例函數(shù)的圖象與AB交于點D，則△COD的面積為（）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】易證S菱形ABCO=2S△CDO，再根據(jù)tan∠AOC的值即可求得菱形的邊長，即可求得點C的坐標(biāo)，可得菱形的面積和結(jié)論．【詳解】解：作DF∥AO，CE⊥AO，∵∠AOC=60°，∴tan∠AOC=，∴設(shè)OE=x，CE=x，∴x?x=4，∴x=±2，∴OE=2，CE=2，由勾股定理得：OC=4，∴S菱形OABC=OA?CE=4×2=8，∵四邊形OABC為菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DF∥AO，∴S△ADO=S△DFO，同理S△BCD=S△CDF，∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DFO+S△BCD+S△CDF，∴S菱形ABCO=2（S△DFO+S△CDF）=2S△CDO=8，∴S△CDO=4；故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，考查了菱形面積的計算，本題中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別于AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為【】A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題可從反比例函數(shù)圖象上的點E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面積與|k|的關(guān)系，列出等式求出k值．【詳解】由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則，過點M作MG⊥y軸于點G，作MN⊥x軸于點N，則S□ONMG=|k|．又∵M(jìn)為矩形ABCO對角線的交點，∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，∵函數(shù)圖象在第一象限，k＞0，∴．解得：k=3．故選C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|，本知識點是中考的重要考點，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．【變式3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正方形ABCD的邊長為4，AC，BD交于點E．在點A處建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．（1）如圖（1），雙曲線y＝過點E，完成填空：點C的坐標(biāo)是，點E的坐標(biāo)是，雙曲線的解析式是；（2）如圖（2），雙曲線y＝與BC，CD分別交于點M，N．求證：；（3）如圖（3），將正方形ABCD向右平移m（m＞0）個單位長度，使過點E的雙曲線y＝與AB交于點P．當(dāng)AEP為等腰三角形時，求m的值．【答案】（1）(4，4)，(2，2)，；（2）見解析；（3）2或2+2【分析】（1）根據(jù)正方形的邊長可確定C點的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)得出E點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出雙曲線解析式即可；（2）設(shè)出M點和N點的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的性質(zhì)得出MC＝NC，推出∠CMN＝∠CDB即可得出MN∥BD；（3）根據(jù)E點的坐標(biāo)求出AE的長，再分三種情況討論分別求出m的值即可．【詳解】解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，AC，BD交于點E，∴C（4，4），E（2，2），將E點坐標(biāo)代入雙曲線y＝，得2＝，解得k1＝4，∴雙曲線的解析式為y＝，故答案為：（4，4），（2，2），；（2）∵雙曲線y＝與BC，CD分別交于點M，N，∴設(shè)M（m，4），N（4，n），∴4m＝4n，∴m＝n，∴MC＝NC，由正方形可知，∠BCD＝90°，∴∠CMN＝45°，∠CBD＝45°，∴∠CMN＝∠CBD，∴MN∥BD；（3）∵正方形邊長為4，由（1）知E（2，2），∴AE＝，①當(dāng)AP＝AE＝2時，∵P（m，2），E（m+2，2），點P、E在反比例函數(shù)圖象上，∴2m＝2（m+2），∴m＝2+2；②當(dāng)EP＝AE時，點P與點B重合，∵P（m，4），E（m+2，2），點P、E在反比例函數(shù)圖象上，∴4m＝2（m+2），∴m＝2；③當(dāng)EP＝AP時，即當(dāng)EP＝AP時，點P、E不可能都在反比例函數(shù)圖象上，故此情況不存在；綜上所述，滿足條件的m的值為2或2+2．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，正方形的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點在反比例函數(shù)上，頂點在反比例函數(shù)上，點在軸的正半軸上，則平行四邊形的面積是（

）A． B． C．3 D．5【答案】C【分析】過點作軸于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，從而可得，再將點的坐標(biāo)分別代入兩個函數(shù)的解析式可得，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則，將點代入函數(shù)得：，將點代入函數(shù)得：，則平行四邊形的面積是，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、平行四邊形的面積公式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021秋·廣東佛山·九年級佛山市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點在的圖象上，軸于點，交的圖象于點A，軸于點，交的圖象于點，當(dāng)點在的圖象上運(yùn)動時，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．與的面積相等B．當(dāng)點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點C．D．只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時，四邊形PAOB的面積最大【答案】D【分析】設(shè)，，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，分別得，，，，通過計算即可得與的面積相等；設(shè)，根據(jù)反比例函數(shù)、坐標(biāo)的性質(zhì)計算，即可判斷選項B和C；根據(jù)四邊形PAOB的面積=四邊形OCPD面積--的關(guān)系計算，推導(dǎo)得四邊形PAOB的面積，即可完成求解．【詳解】設(shè)，根據(jù)題意，得：，，，，∴，∴與的面積相等，即選項A正確；設(shè)∵軸∴∵點A是PC的中點，∴∴∴∵軸∴點的縱坐標(biāo)為：∴∴，即當(dāng)點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點，即選項B正確；∵∵軸∴∵軸∴點的縱坐標(biāo)為：∴∴，∴，即選項C正確；根據(jù)題意，四邊形PAOB的面積=四邊形OCPD面積--=四邊形OCPD面積-1；四邊形OCPD面積∴四邊形PAOB的面積，即無論四邊形OCPD是否為正方形，四邊形PAOB的面積均為∴選項D不正確；故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)、直角坐標(biāo)系的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．3.（2022秋·吉林長春·九年級吉林省第二實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是，點B的坐標(biāo)是（0，），直線與反比例函數(shù)（）的圖象交于點D，過點A作軸與反比例函數(shù)的圖象相交于點C，若，則k的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點A、B代入確定直線解析式，過點D作軸于E，根據(jù)相似三角形的判定可得，得出，進(jìn)而可得D點坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式計算求值即可；【詳解】解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點A、B代入得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為，∴過點D作軸于E，∵點A的坐標(biāo)是，點B的坐標(biāo)是（0，），∴，,∴，∵AC⊥x軸，∴C點橫坐標(biāo)，∴，即，∴，∵DE⊥x軸，則，∴，∴，∴，，∴，∴，解得：（舍去）或，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知點A是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)的交點，軸于點B，點C在x軸的負(fù)半軸上，且，的面積為，則的長為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】先確定反比例函數(shù)解析式為，聯(lián)立方程組，確定點，得到，計算，利用勾股定理得，計算即可．【詳解】∵的面積為，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∴，解得，∴點，∴，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，勾股定理，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，勾股定理是解題的關(guān)鍵．5.（2021·湖北武漢·九年級專題練習(xí)）已知點A是雙曲線y＝在第一象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限內(nèi)，隨著點A的運(yùn)動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y＝（x＞0）上運(yùn)動，則k的值是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣【答案】C【分析】連接OC，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性質(zhì)，知OA=OB，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得OC⊥AB，且OC：OA=，過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，過點C作CE⊥x軸，垂足為點E，可證明△DOA∽△ECO，得EC=DO，OE=AD，把線段轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)的解析式求解即可．【詳解】如圖，連接OC，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性質(zhì)，得OA=OB，∵△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，∠OCA=30°，∴OC：OA=，過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，過點C作CE⊥x軸，垂足為點E，∴∠ADO=∠OEC=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠AOD+∠COE=90°，∴∠OAD=∠COE，∴△DOA∽△ECO，∴EC:DO=OE:AD=OC:AD，∴EC=DO，OE=AD，設(shè)點A（a，b），則DO=a，AD=b，ab=1，∵點C在第四象限，∴點C的坐標(biāo)為（b，-a），∵點C始終在雙曲線y＝（x＞0）上運(yùn)動，∴k=（-a）×b=-3ab=-3，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的對稱性，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的相似，坐標(biāo)與線段之間的關(guān)系，熟練掌握反比例函數(shù)的對稱性，靈活選擇方法證明三角形的相似是解題的關(guān)鍵．6.（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上任意一點，軸交反比例函數(shù)的圖象于點B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中C、D在x軸上，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)A的縱坐標(biāo)是b，則B的縱坐標(biāo)也是b，即可求得A、B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可表示AB的長度，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)A的縱坐標(biāo)是b，∵四邊形是平行四邊形，∴點B的縱坐標(biāo)也是b，把y=b代入得，，∴A的橫坐標(biāo)是，把y=b代入得，，∴B的橫坐標(biāo)是，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了是反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合題，理解A、B的縱坐標(biāo)是同一個值，表示出AB的長度是解決本題關(guān)鍵．7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，O為坐標(biāo)原點，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，cos∠AOB=反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A，與BC交于點F，則△AOF的面積等于（）A．15 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】過點A作AM⊥x軸于點M，設(shè)OA=a,通過解直角三角形找出點A的坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出a的值，再根據(jù)四邊形OACB是菱形、點F在邊BC上，即可得出，結(jié)合菱形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點A作AM⊥x軸于點M，如圖所示．設(shè)OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，cos∠AOB=，∴OM=OA?cos∠AOB=a，AM==a，∴點A的坐標(biāo)為（a，a）．∵點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴a×a=24，解得：a=5，或a=-5（舍去）．∴OM=3，AM=4，OB=OA=5．∵四邊形OBCA是菱形，點F在邊BC上，∴．故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出．8．（2012春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B是雙曲線上關(guān)于原點對稱的任意兩點，AC∥y軸，BD∥y軸，則四邊形ACBD的面積S滿足（）A．S=1 B．1<S<2 C．S=2 D．S>2【答案】C【分析】連接AB，利用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義及等底等高的兩個三角形面積相等，即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接AB，∵A，B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點，且AC平行于y軸，BD平行于y軸，∴S△AOC=S△BOD=，假設(shè)A點坐標(biāo)為（x，y），則B點坐標(biāo)為（-x，-y），則OC=OD=x，∴S△AOD=S△AOC=，S△BOC=S△BOD=，∴四邊形ABCD面積=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，掌握這一知識是關(guān)鍵．9．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點為函數(shù)圖象上一點，連結(jié)，交函數(shù)的圖象于點，點是軸上一點，且，則三角形的面積為（

）A．9 B．12 C．20 D．36【答案】B【分析】根據(jù)題意可以分別設(shè)出點A、點B的坐標(biāo)，根據(jù)點O、A、B在同一條直線上可以得到A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，由AO=AC可知點C的橫坐標(biāo)是點A的橫坐標(biāo)的2倍，從而可以得到△ABC的面積．【詳解】解：設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，），點B的坐標(biāo)為（b，），∵點C是x軸上一點，且AO=AC，∴點C的坐標(biāo)是（2a，0），設(shè)過點O（0，0），A（a，）的直線的解析式為：y=kx，∴=ak，解得，k=，又∵點B（b，）在y=x上，∴=?b，解得，或（舍去），∴S△ABC=S△AOC-S△OBC==18-6=12．故選：B.【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，直角三角形的直角頂點在坐標(biāo)原點，，點A在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】解：過點B作軸于點C，過點A作軸于點D，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵點A在反比例函數(shù)上，∴，∵，∴，∵經(jīng)過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，故反比例函數(shù)解析式為：．故選：B．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出是解題關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·湖南懷化·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)直線與雙曲線相交于兩點，則的值為___________．【答案】10【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)并結(jié)合函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征來解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，并且，所以，．故答案為：10．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，重點是掌握兩點關(guān)于原點成中心對稱．12（2023春·遼寧沈陽·九年級沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？奸_學(xué)考試）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線上，點A在點B的左側(cè)，軸，點C，D在x軸上，若四邊形為面積是9的矩形，則k的值為______．【答案】13【分析】延長交y軸于點E，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，可得四邊形的面積是4，四邊形的面積是，再由四邊形的面積是9，即可求出．【詳解】解：延長交y軸于點E，則軸，∵點A在反比例函數(shù)上，∴四邊形的面積是4，∵點B在反比例函數(shù)上，∴四邊形的面積是，∵四邊形的面積是9，∴，∵反比例函數(shù)在第一象限，∴．故答案為13．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵。13．（2019·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，OA在x軸的正半軸上，∠AOC＝60°，過點C的反比例函數(shù)的圖象與AB交于點D，則△COD的面積為_____．【答案】【分析】易證S菱形ABCO＝2S△CDO，再根據(jù)tan∠AOC的值即可求得菱形的邊長，即可求得點C的坐標(biāo)，可得菱形的面積和結(jié)論．【詳解】解：作DF∥AO，CE⊥AO，∵∠AOC＝60°，∴tan∠AOC＝，∴設(shè)OE＝x，CE＝,∴x?，∴x＝±2，∴OE＝2，CE＝2，由勾股定理得：OC＝4，∴S菱形OABC＝OA?CE＝4×2，∵四邊形OABC為菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DF∥AO，∴S△ADO＝S△DFO，同理S△BCD＝S△CDF，∵S菱形ABCO＝S△ADO＋S△DFO＋S△BCD＋S△CDF，∴S菱形ABCO＝2（S△DFO＋S△CDF）＝2S△CDO＝8，∴S△CDO＝4；故答案為4.【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，考查了菱形面積的計算，本題中求得S菱形ABCO＝2S△CDO是解題的關(guān)鍵．14．（2021春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點在軸的正半軸上，點在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點．交于點，連接．若的面積是3，則四邊形的面積是______．【答案】5【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用反比例函數(shù)的幾何意義得到，根據(jù)的中點，利用中線的性質(zhì)和三線合一得到△OCE和△OAB的面積比為，代入可得結(jié)論．【詳解】解：連接，，過作，交軸于，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，，，，，，∴CE⊥OB，∴OE=BE，，，，，，四邊形的面積為，故答案為：5．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向軸和軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標(biāo)軸作垂線，這一點和垂足以及坐標(biāo)原點所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．15．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖像交坐標(biāo)軸于、兩點，交反比例函數(shù)圖像的一個分支于點，若點恰好是的中點，則的值是___________．【答案】【分析】由一次函數(shù)解析式可得、的坐標(biāo)，再由點恰好是的中點求得的坐標(biāo)，然后代入求得k即可解答．【詳解】解：一次函數(shù)的圖像交坐標(biāo)軸于、兩點，，點恰好是的中點，，反比例函數(shù)圖像過點，．故答案為：【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識點，求得點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．16.（2021春·福建廈門·九年級廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知A、B兩點都在反比例函數(shù)y=位于第二象限部分的圖像上，且△OAB為等邊三角形，若AB=6，則k的值為____．【答案】－9【分析】根據(jù)等邊三角形和反比例函數(shù)圖象的軸對稱性，可知：A、B兩點關(guān)于直線y=-x軸對稱，從而設(shè)A(m，n)，則B(-n，-m)，結(jié)合兩點間的距離公式，即可求解．【詳解】∵A、B兩點都在反比例函數(shù)y=位于第二象限部分的圖像上，且△OAB為等邊三角形，∴A、B兩點關(guān)于直線y=-x軸對稱，設(shè)A(m，n)，則B(-n，-m)，∵AB=OA=6，∴且，化簡整理得：-4mn=36，∴mn=-9，即：k=-9．故答案是：-9【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象的軸對稱性以及兩點間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2022秋·福建福州·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，C，A兩點分別在x軸的正半軸上和y軸的正半軸上，D為線段的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B．(1)當(dāng)點C坐標(biāo)為時，求點D的坐標(biāo)；（用含k的代數(shù)式表示）(2)若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過C，D兩點，求k的值．【答案】(1)(2)k的值為6【分析】（1）先由B點的橫坐標(biāo)為1，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，求得，進(jìn)而根據(jù)D為線段的中點即可得解；（2）根據(jù)求得，