分析化學中的誤差與數(shù)據(jù)

分析化學中的誤差與數(shù)據(jù)[教學目的]

通過本章的教學，使學生掌握分析化學中有關的數(shù)據(jù)處理方法，學習并掌握標準偏差、變異系數(shù)和平均值的置信區(qū)間的計算，掌握顯著性差異和極端值的取舍的處理方法及其應用，了解誤差傳遞和回歸分析法等知識。[教學重點與難點]

標準偏差、變異系數(shù)和平均值的置信區(qū)間的計算，顯著性差異和極端值的取舍的處理方法。3.1分析化學中的誤差誤差與偏差1.誤差

測量值（X）與真值（XT）之間的差值（E）。（1）絕對誤差：表示測量值與真值（XT）的差。

Ｅ=Ｘ－ＸＴ（2）相對誤差：表示誤差在真值中所占的百分率。

Ｅr＝Ｅ／ＸＴ。測量值大于真實值，誤差為正誤值；測量值小于真實值，誤差為負誤值。誤差越小，測量值的準確度越好；誤差越大，測量值的準確度越差。

2.真值T(Truevalue)

某一物理量本身具有的客觀存在的真實值。真值是未知的、客觀存在的量。在特定情況下認為是已知的。（1）理論真值（如化合物的理論組成）（2）計量學約定真值（如國際計量大會確定的長度、質量、物質的量單位等等）（3）相對真值（如高一級精度的測量值相對于低一級精度的測量值）7提高分析結果準確度的方法生產(chǎn)部門對分析結果誤差允許的一種限量。對于少量測量數(shù)據(jù)，即當n有限時，必須根據(jù)t分布進行統(tǒng)計處理：吸量管,移液管:25.(2)充分考慮試樣中共存組分對測定的干擾，采用適當?shù)难诒位蚍蛛x方法。0121，因它的相對誤差最大，所以（1）絕對誤差：表示測量值與真值（XT）的差。n次測量值的算術平均值雖不是真值，但比單次測量結果更接近真值，它表示一組測定數(shù)據(jù)的集中趨勢。缺點是不能充分利用數(shù)據(jù)，因而不如平均值準確。95xr=0.例采用某種新方法測定基準明礬中鋁的質量分數(shù)，得到下列9個分析結果：10.20，有效數(shù)字的位數(shù)為兩位。有效數(shù)字位數(shù)由儀器準確度決定，它直接影響測定的相對誤差。解不論是第一種方法的精密度顯著地優(yōu)于或劣于第二種方法的精密度，都認為它們之間有顯著性差異，因此，這是屬于雙邊檢驗問題。d=x--x

3.平均值－Meanvaluen次測量值的算術平均值雖不是真值，但比單次測量結果更接近真值，它表示一組測定數(shù)據(jù)的集中趨勢。

d=x--x4.中位數(shù)（XM）－Medianvalue

一組測量數(shù)據(jù)按大小順序排列，中間一個數(shù)據(jù)即為中位數(shù)ＸＭ，當測量值的個數(shù)位偶數(shù)時，中位數(shù)為中間相鄰兩個測量值的平均值。它的優(yōu)點是能簡單直觀說明一組測量數(shù)據(jù)的結果，且不受兩端具有過大誤差數(shù)據(jù)的影響；缺點是不能充分利用數(shù)據(jù)，因而不如平均值準確。含量在1%至10%：3位有效數(shù)字x1,x2,……,xn-1,xnpH:0.重現(xiàn)性、單向性（或周期性）、可測性0.缺點是不能充分利用數(shù)據(jù)，因而不如平均值準確。（2）個體：組成總體的每個單元。在實驗中得到一組數(shù)據(jù)，個別數(shù)據(jù)離群較遠，這一數(shù)據(jù)稱為異常值、可疑值或極端值。正態(tài)分布是無限次測量限次測量數(shù)據(jù)則用t分布曲解：平均值x=1.*曲線以x=μ這一直線為其對稱軸，說明正誤差和負誤差出現(xiàn)的概率相等。95xr=0.4分析化學中數(shù)據(jù)處理對于少量測量數(shù)據(jù)，即當n有限時，必須根據(jù)t分布進行統(tǒng)計處理：5.偏差

測量值與平均值的差值．用于衡量所得結果的精密度．單次測定結果的平均偏差：

d=1/n∑∣di∣

單次測定結果的相對平均偏差：

dr=d/x×100%標準偏差：相對標準偏差：又稱變異系數(shù)．極差：又稱全距．

R=xmax--xmin3.1.2準確度與精密度1.準確度Accuracy

準確度表征測量值與真實值的符合程度。準確度用誤差表示。2.精密度precision

精密度表征平行測量值的相互符合程度。精密度用偏差表示。

準確度與精密度的關系例：A、B、C、D四個分析工作者對同一鐵標樣（WFe=37.40%)中的鐵含量進行測量，得結果如圖示，比較其準確度與精密度。36.0036.5037.0037.5038.00測量點平均值真值DCBA表觀準確度高，精密度低準確度高，精密度高準確度低，精密度高準確度低，精密度低（不可靠）準確度與精密度的關系：結論：1、精密度是保證準確度的前提。2、精密度高，不一定準確度就高。系統(tǒng)誤差與隨機誤差1.系統(tǒng)誤差

由某種固定的原因造成的，具有重復性、單向性。又稱可測誤差。

A.方法誤差

B.儀器和試劑誤差

C.操作誤差

D.主觀誤差2.隨機誤差

又稱偶然誤差。由某些難以控制的且無法避免的偶然因素造成的。3.過失誤差

在分析過程中由于疏忽或差錯引起的所謂過失。系統(tǒng)誤差與隨機誤差的比較：項目系統(tǒng)誤差隨機誤差產(chǎn)生原因固定因素，有時不存在不定因素，總是存在分類方法誤差、儀器與試劑誤差、主觀誤差環(huán)境的變化因素、主觀的變化因素等性質重現(xiàn)性、單向性（或周期性）、可測性服從概率統(tǒng)計規(guī)律、不可測性影響準確度精密度消除或減小的方法校正增加測定的次數(shù)3.1.4公差

生產(chǎn)部門對分析結果誤差允許的一種限量。公差范圍的確定與很多因素有關:1.根據(jù)實際情況對分析結果準確度的要求而定。2.依試樣組成及待測組分含量而不同。3.1.5誤差的傳遞

分析結果通常是經(jīng)過一系列測量步驟之后獲得的，其中每一步驟的測量誤差都會反映到分析結果中去。

設分析結果Y由測量值A、B、C計算獲得，測量值的系統(tǒng)誤差分別為A、B、C，標準偏差分別為SA、SB、SC。ki為常數(shù)。

（1）絕對誤差：表示測量值與真值（XT）的差。10%，又已知測量時沒有系統(tǒng)誤差，求分析結果落在(1.查表，f大=9－1=8，f小=11－1=10，F(xiàn)表=3.兩組數(shù)據(jù)的精密度相差不大，則F值趨近于1；0040中，前面3個“0”不是有效數(shù)字，大多數(shù)測量值集中在算術平均值的附近，算術平均值是最可信賴值，能很好反映測量值的集中趨勢。正態(tài)分布：測量數(shù)據(jù)一般符合正態(tài)分布規(guī)律，即高斯分布，正態(tài)分布曲線數(shù)學表達式為：例用兩種方法測定合金中鋁的質量分數(shù)，所得結果如下:40，求得其余數(shù)據(jù)的平均值x和平均偏差d為10.（2）個體：組成總體的每個單元。在分析過程中由于疏忽或差錯引起的所謂過失。置信度一般定為95或90。（2）個體：組成總體的每個單元。μ反映測量值分布集中趨勢。1.系統(tǒng)誤差的傳遞（1）加減法（2）乘除法（3）指數(shù)關系（4）對數(shù)關系2.隨機誤差的傳遞

（1）加減法（2）乘除法（3）指數(shù)關系（4）對數(shù)關系3.極值誤差

3.2.1有效數(shù)字significantfigure

實際能測到的數(shù)字。在有效數(shù)字中,只有最后一位數(shù)是不確定的，可疑的。有效數(shù)字位數(shù)由儀器準確度決定，它直接影響測定的相對誤差。有效數(shù)字的修約規(guī)則

“四舍六入五成雙”規(guī)則：當測量值中修約的那個數(shù)字等于或小于4時，該數(shù)字舍去；等于或大于6時，進位；等于5時（5后面無數(shù)據(jù)或是0時），如進位后末位數(shù)為偶數(shù)則進位，舍去后末位數(shù)位偶數(shù)則舍去。5后面有數(shù)時，進位。修約數(shù)字時，只允許對原測量值一次修約到所需要的位數(shù)，不能分次修約。3.2有效數(shù)字及其運算規(guī)則

有效數(shù)字的修約：

0.32554→0.32550.36236→0.362410.2150→10.22150.65→150.675.5→7616.0851→16.093.2.3運算規(guī)則1.有效數(shù)字位數(shù)的確定（1）零的作用

*在1.0008中，“0”是有效數(shù)字；*在0.0382中，“0”定位作用，不是有效數(shù)字；*在0.0040中，前面3個“0”不是有效數(shù)字，后面一個“0”是有效數(shù)字。*在3600中，一般看成是4位有效數(shù)字，但它可能是2位或3位有效數(shù)字，分別寫3.6×103，3.60×103或3.600×103較好。

（2）倍數(shù)、分數(shù)關系：無限多位有效數(shù)字。（3）pH，pM，lgc，lgK等對數(shù)值，有效數(shù)字的位數(shù)取決于小數(shù)部分（尾數(shù)）位數(shù)，因整數(shù)部分代表該數(shù)的方次。如pH=11.20，有效數(shù)字的位數(shù)為兩位。（4）9以上數(shù)，9.00，9.83，4位有效數(shù)字。2.加減法

當幾個數(shù)據(jù)相加減時，它們和或差的有效數(shù)字位數(shù)，應以小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位依據(jù)，因小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)據(jù)的絕對誤差最大。例：0.0121+25.64+1.05782=？絕對誤差±0.0001±0.01±0.00001

在加合的結果中總的絕對誤差值取決于25.64。

0.01+25.64+1.06=26.713.乘除法當幾個數(shù)據(jù)相乘除時，它們積或商的有效數(shù)字位數(shù)，應以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位依據(jù)，因有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)據(jù)的相對誤差最大。例：0.0121×25.64×1.05782=？相對誤差±0.8%±0.4%±0.009%

結果的相對誤差取決于

0.0121，因它的相對誤差最大，所以

0.0121×25.6×1.06=0.328

3.2.4分析化學中數(shù)據(jù)處理

1.記錄測量結果時，只保留一位可疑數(shù)據(jù)。

分析天平稱量質量：0.000Xg

滴定管體積:0.0XmL

容量瓶:100.0mL,250.0mL,50.0mL

吸量管,移液管:25.00mL,10.00mL,5.00mL,1.00mLpH:0.0X單位吸光度:0.00X2.分析結果表示的有效數(shù)字

高含量（大于10%）：4位有效數(shù)字含量在1%至10%：3位有效數(shù)字含量小于1%：2位有效數(shù)字3.分析中各類誤差的表示

通常取1至2位有效數(shù)字。4.各類化學平衡計算

2至3位有效數(shù)字。3.4分析化學中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理總體與樣本：（1）總體：在統(tǒng)計學中，對于所考察的對象的全體，稱為總體（或母體）。（2）個體：組成總體的每個單元。（3）樣本（子樣）：自總體中隨機抽取的一組測量值（自總體中隨機抽取的一部分個體）。（4）樣本容量：樣品中所包含個體的數(shù)目，用n表示。

例如：分析延河水總硬度，依照取樣規(guī)則，從延河中取來供分析用2000ml樣品水，這2000ml樣品水是供分析用的總體，如果從樣品水中取出20個試樣進行平行分析，得到20個分析結果，則這組分析結果就是延河樣品水的一個隨機樣本，樣本容量為20。隨機變量來自同一總體的無限多個測量值都是隨機出現(xiàn)的，叫隨機變量。

設樣本容量為n,則其平均值為：當測定次數(shù)無限增多時，所得平均值即為總體平均值μ：

若沒有系統(tǒng)誤差，則總體平均值μ就是真值此時，單次測量的平均偏差δ為

總體標準偏差：

當測定次數(shù)為無限多次時，各測量值對總體平均值μ的偏離，用總體標準偏差σ表示：計算標準偏差時，對單次測量加以平方，這樣做不僅能避免單次測量偏差相加時正負抵消，更重要的是大偏差能顯著地反應出來，因而可以更好地說明數(shù)據(jù)的分散程度。標準偏差與平均偏差：用統(tǒng)計學方法可以證明，當測定次數(shù)非常多（例如大于20）時，標準偏差與平均偏差有下列關系：δ=0.979σ≈0.80σ，但應當指出：當測定次數(shù)較少時，與S之間的關系就可能與此式相差頗大了。

1.頻數(shù)分布

測定某樣品100次，因有偶然誤差存在，故分析結果有高有低，有兩頭小、中間大的變化趨勢，即在平均值附近的數(shù)據(jù)出現(xiàn)機會最多。3.3.1隨機誤差的正態(tài)分布

2.正態(tài)分布：測量數(shù)據(jù)一般符合正態(tài)分布規(guī)律，即高斯分布，正態(tài)分布曲線數(shù)學表達式為：

y：概率密度；x：測量值μ：總體平均值，即無限次測定數(shù)據(jù)的平均值，無系統(tǒng)誤差時即為真值；反映測量值分布的集中趨勢。σ：標準偏差，反映測量值分布的分散程度；x-μ：隨機誤差正態(tài)分布曲線規(guī)律：*x=μ時，y值最大，體現(xiàn)了測量值的集中趨勢。大多數(shù)測量值集中在算術平均值的附近，算術平均值是最可信賴值，能很好反映測量值的集中趨勢。μ反映測量值分布集中趨勢。*曲線以x=μ這一直線為其對稱軸，說明正誤差和負誤差出現(xiàn)的概率相等。*當x趨于－∞或＋∞時，曲線以ｘ軸為漸近線。即小誤差出現(xiàn)概率大，大誤差出現(xiàn)概率小，出現(xiàn)很大誤差概率極小，趨于零。*σ越大，測量值落在μ附近的概率越小。即精密度越差時，測量值的分布就越分散，正態(tài)分布曲線也就越平坦。反之，σ越小，測量值的分散程度就越小，正態(tài)分布曲線也就越尖銳。σ反映測量值分布分散程度。標準正態(tài)分布曲線：

橫坐標改為u，縱坐標為概率密度，此時曲線的形狀與σ大小無關，不同σ的曲線合為一條。

X-μ

u=-------------

σ3.隨機誤差的區(qū)間概率

正態(tài)分布曲線與橫坐標-∞到+∞之間所夾的面積，代表所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)概率的總和，其值應為1，即概率P為：

隨機誤差出現(xiàn)的區(qū)間測量值出現(xiàn)的區(qū)間概率(以σ為單位)u=±1x=μ±1σ68.3%u=±1.96x=μ±1.96σ95.0%u=±2x=μ±2σ95.5%u=±2.58x=μ±2.58σ99.0%u=±3x=μ±3σ99.7%例1已知某試樣中山質量分數(shù)的標準值為1.75%，σ=0.10%，又已知測量時沒有系統(tǒng)誤差，求分析結果落在(1.75±0.15)%范圍內(nèi)的概率。解：例2同上例，求分析結果大于2.00%的概率。解：屬于單邊檢驗問題。

陰影部分的概率為0.4938。整個正態(tài)分布曲線右側的概率為1/2，即為0.5000，故陰影部分以外的概率為0.5000－0.4938=0.62%，即分析結果大于2.00%的概率為0.62%。少量實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理：(1)t分布曲線正態(tài)分布是無限次測量數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，而對有限次測量數(shù)據(jù)則用t分布曲線處理。用s代替σ，縱坐標仍為概率密度，但橫坐標則為統(tǒng)計量t。t定義為：3.3.2總體平均值的估計1.平均值的標準偏差自由度f—degreeoffreedom

（

f=n-1）

t分布曲線與正態(tài)分布曲線相似，只是t分布曲線隨自由度f而改變。當f趨近∞時，t分布就趨近正態(tài)分布。置信度P—confidencedegree

在某一t值時，測定值落在(μ+ts)范圍內(nèi)的概率。置信水平α—confidencelevel

在某一t值時，測定值落在(μ+ts)范圍以外的概率(l－P)ta，f

：t值與置信度P及自由度f關系。例：t0·05，10表示置信度為95%，自由度為10時的t值。

t0·01，5表示置信度為99%，自由度為5時的t值。(2)平均值的置信區(qū)間（confidenceinterval）當n趨近∞時：單次測量結果：以樣本平均值來估計總體平均值可能存在的區(qū)間：

對于少量測量數(shù)據(jù)，即當n有限時，必須根據(jù)t分布進行統(tǒng)計處理：它表示在一定置信度下，以平均值為中心，包括總體平均值的范圍。這就叫平均值的置信區(qū)間。例對其未知試樣中Cl-的質量分數(shù)進行測定，4次結果為47.64%，47.69%，47.52%，47.55%。計算置信度為90%，95%和99%時，總體平均值μ的置信區(qū)間。解：置信度越高，置信區(qū)間就越大，所估計的區(qū)間包括真值的可能性就越大。置信度一般定為95或90。3.4顯著性檢驗—Significancetestt檢驗法—ttest*平均值與標準值的比較*兩組平均值的比較F檢驗法—Ftest

比較兩組數(shù)據(jù)的方差s2

3.4.1t檢驗法

1.平均值與標準值的比較為了檢查分析數(shù)據(jù)是否存在較大的系統(tǒng)誤差，可對標準試樣進行若干次分析，再利用t檢驗法比較分析結果的平均值與標準試樣的標準值之間是否存在顯著性差異。進行t檢驗時，首先按下式計算出t值：

若t計算>tα,f，存在顯著性差異，否則不存在顯著性差異。通常以95%的置信度為檢驗標準，即顯著性水準為5%。例采用某種新方法測定基準明礬中鋁的質量分數(shù)，得到下列9個分析結果：10.74%，10.77%，10.77%，10.77%，10.81%，10.82%，10.73%，10.86%，10.81%。已知明礬中鋁含量的標準值(以理論值代)為10.77%。試問采用該新方法后，是否引起系統(tǒng)誤差(置信度95%)?

解：n=9,f=9－1=8

查表，P=0.95，f=8時，t0.05，8=2.31。t<t0.05，8，故x與μ之間不存在顯著性差異，即采用新方法后，沒有引起明顯的系統(tǒng)誤差。2.兩組平均值的比較設兩組分析數(shù)據(jù)為:n1s1x1n2s2x2

在一定置信度時，查出表值(總自由度f=n1+n2－2)，若t>t表兩組平均值存在顯著性差異。t<t表，則不存在顯著性差異。例用兩種方法測定合金中鋁的質量分數(shù)，所得結果如下:

第一法1.26%1.25%1.22%

第二法1.35%1.31%1.33%

試問兩種方法之間是否有顯著性差異(置信度90%)?解

n1=3，x1=1.24%s1=0.021%

n2=4，x2=1.33%s2=0.017%f大=2f小=3F表=9·55F<F表→說明兩組數(shù)據(jù)的標準偏差沒有顯著性差異.→當P=0.90，f=n1+n2－2=5時，t0·10，5=2.02。t>t0·10，5，故兩種分析方法之間存在顯著性差異.

3.4.2F檢驗法

比較兩組數(shù)據(jù)的方差s2，以確定它們的精密度是否有顯著性差異的方法。統(tǒng)計量F定義為兩組數(shù)據(jù)的方差的比值，分子為大的方差，分母為小的方差。兩組數(shù)據(jù)的精密度相差不大，則F值趨近于1；若兩者之間存在顯著性差異，F(xiàn)值就較大。在一定的P(置信度95%)及f時，F(xiàn)計算>F表，存在顯著性差異，否則，不存在顯著性差異。例1在吸光光度分析中，用一臺舊儀器測定溶液的吸光度6次，得標準偏差s1=0.055;再用一臺性能稍好的新儀器測定4次，得標準偏差s2=0.022。試問新儀器的精密度是否顯著地優(yōu)于舊儀器的精密度?解已知新儀器的性能較好，它的精密度不會比舊儀器的差，因此，這是屬于單邊檢驗問題。已知n1=6，s1=0.055n2=4，s2=0.022

查表，f大=6-1=5，f小=4-1=3，F(xiàn)表=9·01，F(xiàn)<F表，故兩種儀器的精密度之間不存在顯著性差異，即不能做出新儀器顯著地優(yōu)于舊儀器的結論。做出這種判斷的可靠性達95%。例2采用兩種不同的方法分析某種試樣，用第一種方法分析11次，得標準偏差s1=0.21%；用第二種方法分析9次，得標準偏差s2=0.60%。試判斷兩種分析方法的精密度之間是否有顯著性差異?解不論是第一種方法的精密度顯著地優(yōu)于或劣于第二種方法的精密度，都認為它們之間有顯著性差異，因此，這是屬于雙邊檢驗問題。已知n1=11，s1=0·21%n2=9，s2=0·60%

查表，f大=9－1=8，f小=11－1=10，F(xiàn)表=3.07，F(xiàn)>F表，故認為兩種方法的精密度之間存在顯著性差異。作出此種判斷的置信度為90%。

3.5可疑值（cutlier）取舍

在實驗中得到一組數(shù)據(jù)，個別數(shù)據(jù)離群較遠，這一數(shù)據(jù)稱為異常值、可疑值或極端值。若是過失造成的，則這一數(shù)據(jù)必須舍去。否則異常值不能隨意取舍，特別是當測量數(shù)據(jù)較少時。

處理方法有4d法、格魯布斯(Grubbs)法和Q檢驗法。

3.5.1.4d法根據(jù)正態(tài)分布規(guī)律，偏差超過3σ的個別測定值的概率小于0.3%，故這一測量值通常可以舍去。而δ=0.80σ,3σ≈4δ,即偏差超過4δ的個別測定值可以舍去。用4d法判斷異常值的取舍時，首先求出除異常值外的其余數(shù)據(jù)的平均值和平均偏差d，然后將異常值與平均值進行比較，如絕對差值大于4d，則將可疑值舍去，否則保留。當4d法與其他檢驗法矛盾時，以其他法則為準。例測定某藥物中鈷的含量如(μg/g),得結果如下：1.25，1.27，1.31，1.40。試問1.40這個數(shù)據(jù)是否應保留?解：首先不計異常值1.40，求得其余數(shù)據(jù)的平均值x和平均偏差d為異常值與平均值的差的絕對值為：

|1.40一1.28|=0.12＞4d(0.092)

故1.40這一數(shù)據(jù)應舍去。

3.5.2格魯布斯(Grubbs)法

有一組數(shù)據(jù)，從小到大排列為:

x1,x2,……,xn-1,xn

其中x1或xn可能是異常值。用格魯布斯法判斷時，首先計算出該組數(shù)據(jù)的平均值及標準偏差，再根據(jù)統(tǒng)計量T進行判斷。若T>Ta,n，則異常值應舍去，否則應保留。例：前一例中的實驗數(shù)據(jù)，用格魯布斯法判斷時，1.40這個數(shù)據(jù)應保留否(置信度95%)?

解：平均值x=1.31，s=0.066

查表T0·05，4=1.46，T<T0·05，4，故1.40這個數(shù)據(jù)應該保留。

格魯布斯法優(yōu)點，引人了正態(tài)分布中的兩個最重要的樣本參數(shù)x及s，故方法的準確性較好。缺點是需要計算x和s,手續(xù)稍麻煩。

3.5.3Q檢驗法

設一組數(shù)據(jù)，從小到大排列為:

x1,x2,……,xn-1,xn

設x1、xn為異常值，則統(tǒng)計量Q為：

式中分子為異常值與其相鄰的一個數(shù)值的差值，分母為整組數(shù)據(jù)的極差。Q值越大，說明xn離群越遠。Q稱為“舍棄商”。當Q計算>Q表時，異常值應舍去，否則應予保留。3.6回歸分析法3.6.1一元線性回歸方程(linearregression)及回歸直線

式中x，y分別為x和y的平均值，a為直線的截矩，b為直線的斜率，它們的值確定之后，一元線性回歸方程及回歸直線就定了。

3.6.2相關系數(shù)-correlationcoefficient

相關系數(shù)的物理意義如下：

a.當所有的認值都在回歸線上時，r=1。

b.當y與x之間完全不存在線性關系時，r=0。

c.當r值在0至1之間時，表示例與x之間存在相關關系。r值愈接近1，線性關系就愈好。例用吸光光度法測定合金鋼中Mn的含量，吸光度與Mn的含量間有下列關系:Mn的質量μg00.020.040.060.080.100.12未知樣吸光度A0.0320.1350.1870.2680.3590.4350.5110.242試列出標準曲線的回歸方程并計算未知試樣中Mn的含量。解此組數(shù)據(jù)中，組分濃度為零時，吸光度不為零，這可能是在試劑中含有少量Mn，或者含有其它在該測量波長下有吸光的物質。設Mn含量值為x，吸光度值為y，計算回歸系數(shù)a，b值。

a=0.038b=3.95

標準曲線的回歸方程為y=0.38+3.95xr=0.9993<r99%，f標準曲線具有很好的線性關系未知試樣中含Mn0.052μg。90，f=n1+n2－2=5時，t0·10，5=2.0.大多數(shù)測量值集中在算術平均