2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE9-2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程[目標(biāo)]1.駕馭橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及推導(dǎo)過程.2.會(huì)依據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，駕馭用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[重點(diǎn)]橢圓定義的應(yīng)用及求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[難點(diǎn)]橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．學(xué)問點(diǎn)一橢圓的定義[填一填]平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．[答一答]1．定義中，將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？提示：當(dāng)距離之和等于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是線段F1F2；當(dāng)距離之和小于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．學(xué)問點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[填一填][答一答]2．如何理解“標(biāo)準(zhǔn)方程”中的“標(biāo)準(zhǔn)”的意義？提示：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上；(2)線段F1F2的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．只有同時(shí)滿意這兩個(gè)條件時(shí)，所得到的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程．3．在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，為什么令b2＝a2－c2，b>0?提示：令b2＝a2－c2可以使方程變得簡潔整齊．今后探討橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，b還有明確的幾何意義，因此設(shè)b>0.4．對(duì)于一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣推斷其焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸呢？提示：依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推斷橢圓的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，只需看標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母的大小，即橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大．1．對(duì)橢圓定義的理解(1)橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)，是推斷動(dòng)點(diǎn)軌跡是否為橢圓的重要依據(jù)．(2)設(shè)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c均為大于0的常數(shù)．當(dāng)2a>2c時(shí)，集合P為橢圓；當(dāng)2a＝2c時(shí)，集合P為線段F1F2；當(dāng)2a<2c時(shí)，集合P為空集，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存在．2．對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸．(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程右邊是1，左邊是關(guān)于x，y的平方和，并且分母不相等．橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大．(3)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式．若已知焦點(diǎn)在x軸或y軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程唯一；若無法確定焦點(diǎn)的位置，則須要考慮兩種形式．其中a，b，c三個(gè)量滿意a2＝b2＋c2.類型一橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】(1)已知命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a為大于0的常數(shù)；命題乙：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件(2)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的焦點(diǎn)．AB是過F1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長是________．【分析】數(shù)形結(jié)合，由橢圓定義即求得答案．【解析】(1)若點(diǎn)P的軌跡是橢圓，則肯定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，為常數(shù))．所以甲是乙的必要條件．反過來，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，為常數(shù))，當(dāng)2a>|AB|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓；當(dāng)2a＝|AB|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段AB；當(dāng)2a<|AB|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在，所以甲不是乙的充分條件．綜上可知，甲是乙的必要不充分條件．(2)如圖，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△ABF2的周長＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周長為4a.【答案】(1)B(2)4a一般地，關(guān)于橢圓的一些問題我們常?？紤]利用其定義，這時(shí)候就要關(guān)注它的兩個(gè)焦點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為探討橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和的問題.橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為(A)A．5 B．6C．4 D．10解析：點(diǎn)P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a＝10,10－5＝5.類型二橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的識(shí)別【例2】當(dāng)3<k<9時(shí)，指出方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示的曲線．【分析】比較9－k與k－3的大小，確定曲線類型．【解】∵3<k<9，∴9－k>0，k－3>0.(1)當(dāng)9－k>k－3，即3<k<6時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；(2)當(dāng)9－k＝k－3，即k＝6時(shí)，方程表示圓x2＋y2＝3；(3)當(dāng)9－k<k－3，即6<k<9時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．依據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式可知，焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上，哪一變量對(duì)應(yīng)的分母大，即x2對(duì)應(yīng)的分母大，焦點(diǎn)就在x軸上；y2對(duì)應(yīng)的分母大，焦點(diǎn)就在y軸上.已知曲線C：eq\f(x2,k－5)＋eq\f(y2,3－k)＝－1，則“4≤k<5”是“曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的必要不充分條件．解析：將曲線C的方程化為：eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k－3>5－k>0，即4<k<5，故“4≤k<5”是“曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的必要不充分條件．類型三求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a＝4，c＝3，焦點(diǎn)在y軸上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)經(jīng)過點(diǎn)A(eq\r(3)，－2)和點(diǎn)B(－2eq\r(3)，1)．【分析】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要先推斷焦點(diǎn)位置，確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，最終由條件確定a和b的值．【解】(1)焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，則a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a2－b2＝16，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a＋ba－b＝16，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a－b＝2，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝3.))∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.(3)解法一：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝15，,b2＝5.))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15.))(舍去)．故所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.解法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面1“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以推斷方程的形式；2“定量”是指確定a2，b2的詳細(xì)數(shù)值，常依據(jù)條件列方程求解.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)過點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點(diǎn)．解：(1)解法一：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)＝\f(1,8)，,\f(1,a2)＝\f(1,4).))即a2＝4，b2＝8，則a2<b2，與題設(shè)中a>b>0沖突，舍去．綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.解法二：設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．將兩點(diǎn)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)因?yàn)樗髾E圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因?yàn)閏2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))在橢圓上，所以eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.類型四素養(yǎng)提升橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題【例4】如圖所示，已知橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若點(diǎn)P在其次象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積．【思路分析】由橢圓的定義和余弦定理分別建立關(guān)于|PF1|和|PF2|的方程，解方程組求得|PF1|，再用面積公式求解．【精解詳析】由已知a＝2，b＝eq\r(3)，得c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②②代入①解得|PF1|＝eq\f(6,5).所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||F1F2|·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面積是eq\f(3,5)eq\r(3).【解后反思】橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的△F1PF2稱為焦點(diǎn)三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等學(xué)問．對(duì)于求焦點(diǎn)三角形的面積，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一個(gè)整體，利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，這樣可以削減運(yùn)算量．設(shè)M是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)，∠F1MF2＝eq\f(π,6)，則S△MF1F2＝(C)A.eq\f(16\r(3),3) B．16(2＋eq\r(3))C．16(2－eq\r(3)) D．16解析：設(shè)|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝10,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)－\r(3)r1r2＝36))，∴r1r2＝64(2－eq\r(3))，∴S△MF1F2＝eq\f(1,2)r1r2sineq\f(π,6)＝16(2－eq\r(3)).1．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點(diǎn)．若F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于(D)A．4 B．5C．8 D．10解析：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.2．若方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則銳角α的取值范圍是(C)A．(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) B．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,6)，eq\f(π,2)) D．[eq\f(π,6)，eq\f(π,2))解析：∵方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴8sinα>4，sinα>eq\f(1,2).∵α為銳角，∴eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).3．橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－2,0)和(2,0)，且橢圓過點(diǎn)(eq\f(5,2)，－eq\f(3,2))，則橢圓方程是(D)A.eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1 B.eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1