2024-2025學年高中數(shù)學第1講不等式和絕對值不等式一不等式第二課時基本不等式練習新人教A版選修4-5

PAGEPAGE1其次課時基本不等式[基礎達標]1.下列不等式肯定成立的是A.lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＞lgx(x＞0) B.sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.eq\f(1,x2＋1)＞1(x∈R)解析應用基本不等式：x，y∈R＋，eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)(當且僅當x＝y(tǒng)時取等號)逐個分析，留意基本不等式的應用條件及取等號的條件.當x＞0時，x2＋eq\f(1,4)≥2·x·eq\f(1,2)＝x，所以lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))≥lgx(x＞0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當x≠kπ，k∈Z時，sinx的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當x＝0時，有eq\f(1,x2＋1)＝1，故選項D不正確.答案C2.下列各式中，最小值等于2的是A.eq\f(x,y)＋eq\f(y,x) B.eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))C.tanθ＋eq\f(1,tanθ) D.2x＋2－x解析∵2x>0，2－x>0，∴2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2，當且僅當2x＝2－x，即x＝0時，等號成立.答案D3.設x，y∈(0，＋∞)，且滿意x＋4y＝40，則lgx＋lgy的最大值是A.40 B.10 C.4 D解析∵x，y∈(0，＋∞)，∴eq\r(4xy)≤eq\f(x＋4y,2)(當且僅當x＝4y時，等號成立).∴eq\r(xy)≤eq\f(x＋4y,4)＝10，∴xy≤100.∴l(xiāng)gx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2(當且僅當x＝4y＝20時，等號成立).答案D4.已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對隨意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為________.解析(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(xa,y)≥1＋a＋2eq\r(a)，∴1＋a＋2eq\r(a)≥9，即a＋2eq\r(a)－8≥0，故a≥4.答案45.函數(shù)y＝loga(x＋3)－1的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，求eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值.解析∵loga1＝0，∴函數(shù)y＝loga(x＋3)－1的圖象恒過定點A(－2，－1).∵點A在直線mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f(2（2m＋n）,n)＝2＋eq\f(n,m)＋2＋eq\f(4m,n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(4)＝8.當且僅當4m2＝n2，即n＝2m時，等號成立，此時2m＋2m＝1，∴m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2).∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為8.[實力提升]1.設a∈R且a≠0，以下四個式子中恒大于1的個數(shù)是①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋eq\f(1,a)；④a2＋eq\f(1,a2).A.1 B.2C.3 D.4答案A2.設x、y為正實數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則A.x＋y≥2(eq\r(2)＋1) B.x＋y≤2(eq\r(2)＋1)C.x＋y≤(eq\r(2)＋1)2 D.x＋y≥(eq\r(2)＋1)2答案A3.若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，則a＋b的最小值是A.6＋2eq\r(3) B.7＋2eq\r(3)C.6＋4eq\r(3) D.7＋4eq\r(3)解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(ab)＞0，,ab≥0，,3a＋4b＞0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＞0.))又log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，所以3a＋4b＝ab，故eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq\f(3a,b)＋eq\f(4b,a)≥7＋2eq\r(\f(3a,b)·\f(4b,a))＝7＋4eq\r(3)，當且僅當eq\f(3a,b)＝eq\f(4b,a)時取等號.故選D.答案D4.要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元，A.80元 B.120元C.160元 D.240元解析由題意知，體積V＝4m3，高h＝1m，所以底面積S＝4m2，設底面矩形的一條邊長是xm，則另一條邊長是eq\f(4,x)m，又設總造價是y元，則y＝20×4＋10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq\r(2x·\f(8,x))＝160，當且僅當2x＝eq\f(8,x)，即x＝2時取得等號.答案C5.下列結(jié)論正確的是A.當x>0且x≠1時，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B.當x>0時，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C.當x≥2時，x＋eq\f(1,x)的最大值為2D.當0<x≤2時，x－eq\f(1,x)無最大值答案B6.某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，假如在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站A.5千米處 B.4C.3千米處 D.2解析設倉庫與車站的距離為x千米，則y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x，∴2＝eq\f(k1,10)，8＝k2·10，∴k1＝20，k2＝eq\f(4,5)，∴y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x.∵eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，當且僅當eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5時取等號.答案A7.函數(shù)y＝eq\f(3x,x2＋x＋1)(x<0)的值域是________.解析∵y＝eq\f(3x,x2＋x＋1)＝eq\f(3,x＋1＋\f(1,x))≥eq\f(3,－2＋1)＝－3，當且僅當x＝－1時，等號成立.又x<0，x2＋x＋1>0，∴eq\f(3x,x2＋x＋1)<0.∴函數(shù)的值域為[－3，0).答案[－3，0)8.設x，y∈R，且xy≠0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值為________.解析∵x，y∈R且xy≠0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))＝5＋eq\f(1,x2y2)＋4x2y2≥5＋2×2＝9，當且僅當eq\f(1,x2y2)＝4x2y2即xy＝±eq\f(\r(2),2)時，取得最小值9.答案99.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸.解析設一年的總費用為y萬元，則y＝eq\f(400,x)×4＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x≥2eq\r(\f(1600,x)·4x)＝2×80＝160，當且僅當eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20時，y最小.答案2010.設a>0，b>0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不行能同時成立.證明由a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2eq\r(ab)＝2，即a＋b≥2.(2)假設a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則由a2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab＝1沖突.故a2＋a<2與b2＋b<2不行能同時成立.11.若a＞0，b＞0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab).(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b解析(1)由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，得ab≥2，且當a＝b＝eq\r(2)時等號成立.故a3＋b3≥2eq\r(a3b3)≥4eq\r(2)，且當a＝b＝eq\r(2)時等號成立.所以a3＋b3的最小值為4eq\r(2).(2)由(1)知，2a＋3b≥2eq\r(6)eq\r(ab)≥4eq\r(3).由于4eq\r(3)＞6，從而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.12.某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)建利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，確定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出x(x∈N*)名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)建利潤為10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))萬元(a>0)，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)建的利潤可以提高0.2x%.(1)若要保證剩余員工創(chuàng)建的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)建的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？(2)在(1)的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)建的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)建的年總利潤，則a的取值范圍是多少？解析(1)由題意得10(1000－x)·(1＋0.2x%)≥10×1000，即x2－500x≤0.因為x>0，所以0<x≤500.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).(2)從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)建的年總利潤為10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為10(1000－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,500)x))萬元，則10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x≤10(1000－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,500)x))，所以a