新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)技巧03 填空題解法與技巧（講）（解析版）

第二篇解題技巧篇技巧03填空題解法與技巧（講）考向速覽熱點(diǎn)追蹤眾所周知，高考的核心功能是“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”，特別是在發(fā)揮“立德樹人”功能方面，更加注重“五育”并舉，它不但在選擇題中有所體現(xiàn)，而且，在填空題中也屢屢出現(xiàn)相關(guān)背景的題目，值得我們關(guān)注.1.弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，滲透愛國教育【典例1】（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是SKIPIF1<0，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊SKIPIF1<0，則該三角形的面積SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0.【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2021·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為SKIPIF1<0，小正方形的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】25【解析】【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：SKIPIF1<0，則其面積為：SKIPIF1<0，小正方形的面積：SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.故答案為：25.【典例3】（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列SKIPIF1<0就是二階等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前3項(xiàng)和是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列SKIPIF1<0的前三項(xiàng)，即可求出．【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【綜合分析】以我國古代數(shù)學(xué)家的研究成果為背景，設(shè)計相關(guān)計算問題，考查學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，以及數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，同時，引導(dǎo)師生關(guān)注我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，將愛國主義教育融入其中，展示了數(shù)學(xué)之美，謳歌了中國古代勞動人民的勤勞與智慧，以及為人類文明作出的突出貢獻(xiàn)．2.弘揚(yáng)民間藝術(shù)，滲透勞美教育【典例4】（2021·全國·高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為SKIPIF1<0的長方形紙，對折1次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，對折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折SKIPIF1<0次，那么SKIPIF1<0______SKIPIF1<0.【答案】5SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得SKIPIF1<0，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：SKIPIF1<0，共4種不同規(guī)格（單位SKIPIF1<0；故對折4次可得到如下規(guī)格：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120SKIPIF1<0,第n次對折后的圖形面積為SKIPIF1<0，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為SKIPIF1<0種（證明從略），故得猜想SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式作差得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【典例5】（2020·海南·高考真題）某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】利用SKIPIF1<0求出圓弧SKIPIF1<0所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形SKIPIF1<0的面積，求出直角SKIPIF1<0的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個單位圓的面積求得.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0與圓弧SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為等腰直角三角形；在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；等腰直角SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；扇形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，所以陰影部分的面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【綜合分析】1.以學(xué)生研究民間剪紙藝術(shù)的折紙為背景設(shè)計試題，考查了數(shù)列的概念與數(shù)列的求和計算，突出了“德育為先，立德樹人”的思想理念.考查學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.又對學(xué)生進(jìn)行了“美育”及勞動教育.2.以勞動教育為背景的考題，再現(xiàn)了學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐的場景，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注勞動、尊重勞動、參加勞動，體現(xiàn)了勞動教育的要求．在考查幾何知識、三角知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，較好地發(fā)揮高考試題在培養(yǎng)勞動觀念中的引導(dǎo)作用.以勞動教育為背景的考題，多以社會實(shí)踐、動手操作實(shí)驗(yàn)等為題材．3.關(guān)注賽事規(guī)則，滲透體育教育【典例6】（2019·全國·高考真題（理））甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本題應(yīng)注意分情況討論，即前五場甲隊(duì)獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨(dú)立事件的概率的計算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力及分類討論思想的考查．【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊(duì)以SKIPIF1<0獲勝的概率是SKIPIF1<0前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊(duì)以SKIPIF1<0獲勝的概率是SKIPIF1<0綜上所述，甲隊(duì)以SKIPIF1<0獲勝的概率是SKIPIF1<0【綜合分析】本題以學(xué)生喜歡的體育項(xiàng)目為背景設(shè)計試題，情境貼近實(shí)際，倡導(dǎo)學(xué)生關(guān)注體育賽事，積極參加體育鍛煉，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，凸顯了“體育”教育功能．4.立足社區(qū)生活，增強(qiáng)實(shí)踐意識【典例7】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【答案】SKIPIF1<0##0.3【分析】根據(jù)古典概型計算即可【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為SKIPIF1<0甲、乙都入選的方法數(shù)為SKIPIF1<0，所以甲、乙都入選的概率SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【典例8】（2020·北京·高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0的大小評價在SKIPIF1<0這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個結(jié)論：①在SKIPIF1<0這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在SKIPIF1<0時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在SKIPIF1<0時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在SKIPIF1<0這三段時間中，在SKIPIF1<0的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果【詳解】SKIPIF1<0表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在SKIPIF1<0這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；甲企業(yè)在SKIPIF1<0這三段時間中，甲企業(yè)在SKIPIF1<0這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在SKIPIF1<0的污水治理能力最強(qiáng)．④錯誤；在SKIPIF1<0時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；在SKIPIF1<0時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；故答案為：①②③【點(diǎn)評】以社區(qū)服務(wù)為背景，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會實(shí)踐.以污水治理為背景，結(jié)合函數(shù)圖象理解平均變化率、瞬時變化率即導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要求學(xué)生具備敏銳的觀察力、分析問題的能力，啟迪學(xué)生理解數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)眼光認(rèn)識世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，有助于引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)、增強(qiáng)環(huán)保意識．方法技巧典例分析01直接法【核心提示】直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴(yán)密地推理和準(zhǔn)確地運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選項(xiàng)“對號入座”，作出相應(yīng)的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡單的題目常用直接法.．【典例分析】典例1.（2022·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)?？几傎悾┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0在第二象限交于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0.設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根據(jù)題設(shè)條件可得SKIPIF1<0，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)后求出弦長SKIPIF1<0，再根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距可得SKIPIF1<0，從而得到關(guān)于SKIPIF1<0的方程，求出其解后可得SKIPIF1<0的值.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，橢圓的上頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0在第二象限且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在第二象限且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負(fù)解舍去）.故答案為：SKIPIF1<0.典例2.（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.02特例法【核心提示】當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論.為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應(yīng)多取幾個特例.特殊化法是“小題小做”的重要策略.但要注意以下兩點(diǎn)：第一，取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；第二，若在取定的特殊情況下有兩個或兩個以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解．【典例分析】典例3.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)SKIPIF1<0_______．①SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是奇函數(shù)．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的SKIPIF1<0.【詳解】取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，滿足①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時有SKIPIF1<0，滿足②，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0均滿足）典例4.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓SKIPIF1<0，焦點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若過SKIPIF1<0的直線和圓SKIPIF1<0相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且SKIPIF1<0軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】不妨假設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)圖形可知，SKIPIF1<0，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出SKIPIF1<0；再根據(jù)橢圓的定義求出SKIPIF1<0，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．03正反互推法【核心提示】多選型問題給出多個命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論．這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準(zhǔn)確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結(jié)論之間互反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結(jié)論．【典例分析】典例5.（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，給出下列命題：①若對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0一定不是奇函數(shù)；②若對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為奇函數(shù)或偶函數(shù)；③若對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0必為偶函數(shù)；④若對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上增函數(shù)，則SKIPIF1<0必為奇函數(shù)；其中為真命題的序號為__（請寫出所有真命題的序號）．【答案】①③④【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義一一判斷求解.【詳解】對于①，對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，但奇函數(shù)中SKIPIF1<0，矛盾，所以SKIPIF1<0一定不是奇函數(shù)，①正確；對于②，SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時滿足SKIPIF1<0，則函數(shù)在SKIPIF1<0上為非奇非偶函數(shù)，②錯誤；對于③，對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)必為偶函數(shù)，③正確；對于④，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0上增函數(shù)，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0必為奇函數(shù)，④正確，故答案為:①③④.典例6.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．給出下列四個結(jié)論：①SKIPIF1<0的第2項(xiàng)小于3；

②SKIPIF1<0為等比數(shù)列；③SKIPIF1<0為遞減數(shù)列；

④SKIPIF1<0中存在小于SKIPIF1<0的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①③④【分析】推導(dǎo)出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，兩式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，①對；假設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，設(shè)其公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合乎題意，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，②錯；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，③對；假設(shè)對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.故答案為：①③④.04數(shù)形結(jié)合法【核心提示】一些含有幾何背景的填空題，若能“數(shù)中思形”“以形助數(shù)”，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作出判斷，簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形.【典例分析】典例7.（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）三棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于半徑為SKIPIF1<0的球O，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)O到CD的距離為SKIPIF1<0，點(diǎn)M到直線CD的距離為d，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出面積最大值，從而根據(jù)錐體的體積公式即可求解．【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)為M，則SKIPIF1<0，設(shè)O到CD的距離為SKIPIF1<0，點(diǎn)M到直線CD的距離為d，A，B兩點(diǎn)到平面MCD的距離分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面MCD時取等號．故答案為：SKIPIF1<0典例8.（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0，給出下列四個結(jié)論：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2個零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1個零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個零點(diǎn)；④存在正數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．【答案】①②④【分析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，考查直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①正確；對于②，考查直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0，對函數(shù)SKIPIF1<0求導(dǎo)得SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0只有一個零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個交點(diǎn)，若函數(shù)SKIPIF1<0有三個零點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個交點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有一個交點(diǎn)，所以，SKIPIF1<0，此不等式無解，因此，不存在SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0有三個零點(diǎn)，③錯誤；對于④，考查直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0，對函數(shù)SKIPIF1<0求導(dǎo)得SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0有三個零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.典例9.（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，對任意實(shí)數(shù)x，記SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分析可知函數(shù)SKIPIF1<0至少有一個零點(diǎn)，可得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的取值范圍，然后對實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點(diǎn)，則函數(shù)SKIPIF1<0至少有一個零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：此時函數(shù)SKIPIF1<0只有兩個零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；③當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個數(shù)為SKIPIF1<0，合乎題意；④當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.綜上所述，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.05構(gòu)造法【核心提示】構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而簡化推導(dǎo)與運(yùn)算過程，構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，首先應(yīng)觀察題目，觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點(diǎn)，然后積極調(diào)動思維，聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景)，從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、不等式、數(shù)列、向量等具體的數(shù)學(xué)模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題，達(dá)到快速解題的目的.利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等.【典例分析】典例10.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別是函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若SKIPIF1<0，則a的取值范圍是____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】法一：依題可知，方程SKIPIF1<0的兩個根為SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到SKIPIF1<0的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)镾KIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0的兩個根為SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0的兩個根為SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0分別是函數(shù)SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，所以當(dāng)時SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0圖象在SKIPIF1<0上方當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0圖象在SKIPIF1<0下方SKIPIF1<0，圖象顯然不符合題意，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象相切的直線的切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則切線的斜率為SKIPIF1<0，故切線方程為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則切線的斜率為SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)SKIPIF1<0=0的兩個根為SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0分別是函數(shù)SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，此時若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，此時若有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別是函數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則SKIPIF1<0，不符合題意；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，此時若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時若有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別是函數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則需滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【整體點(diǎn)評】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．典例11.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓SKIPIF1<0在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則l的方程為___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用點(diǎn)差法得到SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，再根據(jù)SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法令SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用點(diǎn)差法得到SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，再根據(jù)SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得解；解：令SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以直線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)SKIPIF1<0既為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)SK