江蘇省無錫市錫山區(qū)錫北片2024-2025學年八年級上學期期中數(shù)學試卷

2024—2025學年江蘇省無錫市錫山區(qū)錫北片八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄.下面四幅作品分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.4的平方根是（）A.2 B. C. D.3.“三角形具有穩(wěn)定性”這個事實說明了（）A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS4.等腰三角形有兩條邊的長分別為3和4，則該三角形的周長為（）A.10 B.10或11 C.11 D.7或115.到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（）A.三條高的交點 B.三條角平分線的交點C.三條中線的交點 D.三條邊的垂直平分線的交點6.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A.0.3，0.4，0.5 B.10，15，18C.，， D.6，8，107.在等腰三角形ABC中，，則的度數(shù)為（）A. B. C.或 D.或8.如圖，在中，，，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.9.如圖，已知中，，，在直線BC或AC上取一點P，使得是等腰三角形，則符合條件的P點有（）A.2個 B.4個 C.6個 D.8個10.如圖，在，中，，，，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE.以下四個結(jié)論：①；②；③；④；⑤時，其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分.11.的立方根是__________.12.小明從鏡子里看到對面電子鐘的像如圖所示，則實際時間是__________.13.一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則__________.14.若a、b、c是的三邊，且，，，則最長邊上的高等于__________.15.如圖，在四邊形ABCD中，E為對角線AC的中點，連接BE、ED、BD，若，則的度數(shù)為__________.16.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目的大致意思是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都是1尺（1尺寸），則AB的長是幾寸？若設圖中單扇門的寬寸，則可列方程為：__________.圖1圖217.如圖，在中，，，，P為三角形內(nèi)一點，則的最小值為__________.18.如圖，在中，點D，E分別是邊AC、AB上的兩點，連接BD，CE，，已知，，則的最小值的平方是__________.三、解答題：本題共9小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.（本小題8分）解方程：（1） （2）20.（本小題7分）如圖，點E，F(xiàn)在BC上，，，.（1）證明：；（2）若，，求BE的長.21.（本小題7分）等腰三角形的周長為21cm.（1）若已知腰長是底邊長的3倍，求各邊長；（2）若已知一邊長為6cm，求其他兩邊長.22.（本小題8分）作圖：（1）如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中：①畫出關(guān)于直線l軸對稱的（其中D、E、F分別是A、B、C的對應點）；②直接寫出中AB邊上的高=__________.（2）如圖2，在四邊形ABCD內(nèi)找一點P，使得點P到AB、BC的距離相等，并且點P到點A、D的距離也相等.（用直尺與圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.圖1圖223.（本小題8分）如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，求的度數(shù).24.（本小題8分）如圖，在中，，，D是AB邊上一點（不與A，B重合），以CD為邊作等腰，，且，CB與DE交于點F，連接BE.（1）求證：；（2）當時，證明是等腰三角形.25.（本小題8分）如圖，的外角的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，于D，于E.（1）求證：；（2）若，，求AD的長.26.（本小題10分）課堂上學習了勾股定理后知道：直角三角形三邊長是整數(shù)時我們稱之為“勾股數(shù)”.王老師給出一組數(shù)讓學生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學生解決.若兩直角邊為a，，斜邊為c.（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、__________、__________；（2）當（n為奇數(shù)，且）時，若__________，__________時可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；（3）構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請你尋找當時，__________.27.（本小題10分）如圖，在中，，，，.點C在直線l上.點P從點A出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點B運動；點Q從B點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點A運動.點P和Q分別以2單位/秒和3單位/秒的速度同時開始運動，運動時間為t秒；在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應的終點時整個運動才能停止.（1）點P在AC邊上時，__________；點Q在AC邊上時，__________；（用含t的代數(shù)式表示）；（2）若點D是AB的中點，是以CD為腰的等腰三角形，求運動時間t的值；（3）分別過P和Q作于點E，于點F，當與全等時，求運動時間t的值.

答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意.故選：D.根據(jù)軸對稱圖形的知識求解.本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合.2.【答案】C【解析】解：4的平方根是.故選：C.根據(jù)平方根的定義求解即可.本題考查了平方根的定義，解答本題的關(guān)鍵是掌握一個正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù).3.【答案】D【解析】解：當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.觀察選項，只有選項D符合題意.故選：D.當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主要應用在實際生活中.考查了三角形的穩(wěn)定性，數(shù)學要學以致用，會對生活中的一些現(xiàn)象用數(shù)學知識解釋.4.【答案】B【解析】解：①當腰是3，底邊是4時，，能構(gòu)成三角形，則其周長；②當?shù)走吺?，腰長是4時，，能構(gòu)成三角形，則其周長.故選：B等腰三角形兩邊的長為3和4，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.5.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等解答即可.本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.【解答】解：到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，故選：D.6.【答案】D【解析】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項不合題意；B、，不是勾股數(shù)，故此選項不合題意；C、，，不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項不合題意；D、，且都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項符合題意；故選：D.利用勾股數(shù)定義進行分析即可.此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).注意：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù).②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到的三個數(shù)仍是一組勾股數(shù).③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…7.【答案】D【解析】解：設，則，當是頂角時，，即：，解得：，此時；當是底角時，，即，解得：，此時，綜上所述，的度數(shù)為或.故選：D.分是頂角和底角兩種情況分類討論列出方程求解即可.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，能夠進行分類討論是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.8.【答案】A【解析】解：，，，，，，，.故選：A.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到兩組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可表示出和，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可得到與之間的關(guān)系.此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的綜合運用.9.【答案】C【解析】【分析】本題是開放性試題，根據(jù)題意，畫出圖形結(jié)合求解.本題考查了等腰三角形的判定來解決實際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解.【解答】解：第1個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取，交CA延長線于點P；第2個點在AC上，作線段AB的垂直平分線，交AC于點P，則有；第3個點是以B為圓心，以BA長為半徑截取，與CB的延長線交于點P；第4個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取，與BC的延長線交于點P；第5個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取，交AC的延長線于點P；第6個點是以B為圓心，以BA長為半徑截取、與AC的延長線交于點P；符合條件的點P有6個點.故選：C.10.【答案】C【解析】解：①，，，在和中，，，，故結(jié)論①正確；②在中，，，，，，故結(jié)論②正確；③設，，，在中，，，，在中，，，，，，故結(jié)論③正確；④在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，故結(jié)論④不正確；⑤，當時，則，，故結(jié)論⑤正確，綜上所述：正確的結(jié)論由①②③⑤，共4個，故選：C.①先證明，進而可依據(jù)“SAS”判定和全等，然后由全等三角形的性質(zhì)可對結(jié)論①進行判斷；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)和全等得，由此可對結(jié)論②進行判斷；③設，則，進而得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，進而得，由此可對結(jié)論③進行判斷；④由勾股定理得，，則，證明得，，由此可對結(jié)論④進行判斷；⑤先求出，再根據(jù)時，得，進而得，由此可對結(jié)論⑤進行判斷，綜上所述即可得出答案.此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理，理解等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.11.【答案】【解析】解：，的立方根是.故答案為：.利用立方根的意義解答即可.本題主要考查了立方根，熟練掌握立方根的意義是解題的關(guān)鍵.12.【答案】15：01【解析】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻與10：21成軸對稱，所以此時實際時刻為15：01，故答案為：15：01.利用鏡面對稱的性質(zhì)求解.鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱.本題考查鏡面對稱.掌握鏡面對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13.【答案】【解析】解：由題意得：，解得：.故答案為：.根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)可得關(guān)于a的方程，解出即可.本題考查平方根的知識，難度不大，關(guān)鍵是掌握一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù).14.【答案】4.8【解析】解：、b、c是的三邊，且，，，又，是直角三角形，且6，8是兩條直角邊的長，10為斜邊的長，設斜邊上的高為h，則，解得.故答案為4.8.先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出為直角三角形，且最長邊為，再通過三角形的面積公式列出方程，化簡計算即可得出答案.本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形.也考查了直角三角形的面積.判斷出為直角三角形是解題的關(guān)鍵.15.【答案】【解析】解：，E是AC的中點，，，，，，，，，，.故答案為：.由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，推出，，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，，即可推出.本題考查直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可求解.16.【答案】【解析】解：取AB的中點O，過D作于E，如圖2所示：由題意得：，設寸，則（寸），寸，寸，寸，在中，，即，故答案為：.取AB的中點O，過D作于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論.本題考查了勾股定理的應用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.圖217.【答案】【解析】解：將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD、PE，則，，，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：.將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD、PE，則，，是等邊三角形，所以，可證明，得，而，，則，所以，由，得，則的最小值為，于是得到問題的答案.此題重點考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.18.【答案】194【解析】解：，，，，作，使點F與點C在直線AB的異側(cè)，且，連接EF、CF，，，，在和中，，，，，且，，的最小值為，的最小值的平方為194，故答案為：194.由，，，求得，作，使點F與點C在直線AB的異側(cè)，且，連接EF、CF，可證明，得，由，且，得，則的最小值為，所以的最小值的平方為194，于是得到問題的答案.此題重點考查勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.19.【答案】解：（1），則，解得：；（2），，，解得：或.【解析】（1）直接利用立方根的定義計算得出答案；（2）直接利用平方根的定義計算得出答案.此題主要考查了立方根和平方根，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.20.【答案】（1）證明：在和中，，（2）解：，，，，，，.【解析】（1）由“SAS”可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解.本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.21.【答案】解：（1）如圖，設底邊，則，等腰三角形的周長是21cm，，，，等腰三角形的三邊長是3cm，9cm，9cm；（2）①當?shù)妊切蔚牡走呴L為6cm時，腰長；則等腰三角形的三邊長為6cm、7.5cm、7.5cm，能構(gòu)成三角形；②當?shù)妊切蔚难L為6cm時，底邊長；則等腰三角形的三邊長為6cm，6cm、9cm，能構(gòu)成三角形.故等腰三角形其他兩邊的長為7.5cm，7.5cm或，6cm、9cm.【解析】（1）設底邊，則，代入求出即可；（2）分類討論，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題意.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.22.【答案】【解析】解：（1）①如圖，為所作；圖1圖2②設AB邊上的高為CF，，而，，；故答案為：；（2）如圖，點P為所作.（1）①利用網(wǎng)格特點和軸對稱的性質(zhì)畫出點A、B、C關(guān)于直線l的對稱點即可；②利用面積方式計算AB邊上的高；（2）分別作的角平分線和線段AD的垂直平分線，它們的交點即為P點.本題考查了作圖-軸對稱變換：作軸對稱后的圖形的依據(jù)是軸對稱的性質(zhì)，基本作法是：先確定圖形的關(guān)鍵點；利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對稱點；按原圖形中的方式順次連接對稱點.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì).23.【答案】解：如圖所示，連接AC，，，，，又，，，，，是直角三角形，，.【解析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理.解題的關(guān)鍵是連接AC，并證明是直角三角形.由于，，利用勾股定理可求AC，并可求，而，，易得，可證是直角三角形，于是有，從而易求.24.【答案】證明：（1），，在和中，，.（2），，，同理，由（1）得，，，，，，，，，，，，是等腰三角形.【解析】（1）由，得，而，，即可根據(jù)“SAS”證明；（2）由，，求得，同理，由全等三角形的性質(zhì)得，由，得，再證明，則，所以，則，所以是等腰三角形.此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導出，進而證明是解題的關(guān)鍵.25.【答案】（1）證明：連接BP、CP，點p在BC的垂直平分線上，，是的平分線，，，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，即，，即，.【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和線段的垂直平分線的性質(zhì).（1）連接BP、CP，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，再利用角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)“HL”可判斷，從而得到結(jié)論；（2）先證明得到，再利用得到，從而可求出AD的長.26.【答案】606152或101或29【解析】解：（1）、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，，60，61；故答案為：60，61.（2）觀察發(fā)現(xiàn)：當（n為奇數(shù)，且）時，則股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；則用含n的代數(shù)式表示每組第二個數(shù)和第三個數(shù)分別為：，，證明如下：，，，又為奇數(shù)，且，，，三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù).故答案為：，；（3）當時，由勾股定理可得：，當，則有：，即，當，解得：，，，（舍去）；當時，解得；當，解得：；當，解得：，綜上，c的值為52或101或29.故答案為：52或101或29.（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組勾股數(shù)：11，60，61；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一