專題01 有理數(shù) 壓軸題（十一大題型）（原卷版）

專題01有理數(shù)壓軸題（十一大題型）目錄：題型1：化簡絕對值題型2：數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，最值問題題型3：數(shù)軸上動點(diǎn)-單動點(diǎn)問題題型4：數(shù)軸上動點(diǎn)-雙動點(diǎn)問題題型5：數(shù)軸上動點(diǎn)-三動點(diǎn)問題題型6：有理數(shù)的運(yùn)算壓軸題題型7：新定義有理數(shù)的運(yùn)算題型7：新定義有理數(shù)的運(yùn)算題型8：有理數(shù)的運(yùn)算化歸思想題型9：規(guī)律性問題題型10：程序框圖題型11：有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用題型1：化簡絕對值1．有理數(shù)a，b，c都不為零，且，則．2．已知為非零實(shí)數(shù)，則的可能值為．3．已知，則的最大值是．最小值是．4．已知：，且，，則共有個不同的值，若在這些不同的值中，最小的值為，則（

）A． B．1 C．2 D．3題型2：數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，最值問題5．我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非．”可見數(shù)形結(jié)合對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是多么重要，數(shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們將數(shù)軸對折探究其中的數(shù)學(xué)問題．

(1)如圖①，勤學(xué)小組的同學(xué)將數(shù)軸對折，使表示2的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合．①對折后表示5的點(diǎn)與表示________的點(diǎn)重合；②對折后表示的點(diǎn)與表示________的點(diǎn)重合．（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖②，善思小組的同學(xué)將數(shù)軸對折，使表示3的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合．①對折后表示7的點(diǎn)與表示________的點(diǎn)重合；②對折后數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)重合（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為8，則點(diǎn)表示的數(shù)為________，點(diǎn)表示的數(shù)為________．(3)如圖③，智慧小組的同學(xué)將數(shù)軸對折，使表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，經(jīng)對折后數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)重合（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離為10，則點(diǎn)表示的數(shù)為________，點(diǎn)表示的數(shù)為________．（用含的代數(shù)式表示）6．（1）探索材料1（填空）：數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點(diǎn)距離為；數(shù)軸上表示數(shù)3和的兩點(diǎn)距離為；的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)和這兩點(diǎn)的距離；（2）探索材料2（填空）：①如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個加工點(diǎn)A和B，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往兩個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A的距離與P到B的距離之和最??？

②如圖2，在工廠的一條流水線上有三個加工點(diǎn)A，B，C，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往三個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和最??？

③如圖3，在工廠的一條流水線上有四個加工點(diǎn)A，B，C，D，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往四個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和最?。?/p>

（3）結(jié)論應(yīng)用（填空）：①代數(shù)式的最小值是______，此時x的范圍是_______；②代數(shù)式的最小值是_______，此時x的值為______；③代數(shù)式的最小值是______，此時x的范圍是______．7．已知數(shù)軸上兩個點(diǎn)之間的距離等于這兩個點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對值．如圖1，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為1，點(diǎn)表示的數(shù)為3，則之間的距離表示為：之間的距離表示為：．若點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則之間的距離表示為：之間的距離表示為：．

(1)如圖1，①若，則的值__________；②若點(diǎn)在線段上，化簡__________；③由圖可知，的最小值是__________．(2)請按照（1）問的方法思考：的最小值是__________．(3)如圖2，在一條筆直的街道上有四個小區(qū)，且相鄰兩個小區(qū)之間的距離均為．已知四個小區(qū)各有2個，2個，3個，1個小朋友在同一所小學(xué)的同一班級上學(xué)，安全起見，這8個小朋友約定先在街道上某處匯合，再一起去學(xué)校．聰明的小朋友們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的處匯合會使所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點(diǎn)的路程之和最小，請直接寫出匯合地點(diǎn)的位置和所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點(diǎn)的路程之和的最小值．

題型3：數(shù)軸上動點(diǎn)-單動點(diǎn)問題8．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示，現(xiàn)將點(diǎn)沿軸做如下移動：第一次點(diǎn)向左移動個單位長度到達(dá)點(diǎn)，第二次將點(diǎn)向右移動個單位長度到達(dá)點(diǎn)，第三次將點(diǎn)向左移動個單位長度到達(dá)點(diǎn)，按照這種移動規(guī)律移動下去，則線段的長度是．9．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的有理數(shù)為，點(diǎn)B表示的有理數(shù)為12，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度在數(shù)軸上沿由A到B方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B后立即返回，仍然以每秒3個單位長度的速度運(yùn)動至點(diǎn)A停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（單位：秒）．(1)當(dāng)時，點(diǎn)P表示的有理數(shù)是______；(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，______；(3)①在點(diǎn)P由點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離是______，點(diǎn)P表示的有理數(shù)是______．（用含t的代數(shù)式表示）；②在點(diǎn)P由點(diǎn)B到點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離是______．（用含t的代數(shù)式表示）(4)當(dāng)t的值為多少時，．題型4：數(shù)軸上動點(diǎn)-雙動點(diǎn)問題10．【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：數(shù)軸上A點(diǎn)、B點(diǎn)表示的數(shù)為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離，若，則可簡化為；線段的中點(diǎn)M表示的數(shù)為．【問題情境】已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，分別表示的數(shù)為，8，點(diǎn)A以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)B以每秒2個單位向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（）．【綜合運(yùn)用】(1)運(yùn)動開始前，A，B兩點(diǎn)的距離為______；線段的中點(diǎn)M所表示的數(shù)為______．(2)點(diǎn)A運(yùn)動t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為______；點(diǎn)B運(yùn)動t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為______；（用含t的式子表示）(3)它們按上述方式運(yùn)動，A，B兩點(diǎn)經(jīng)過多少秒會相距4個單位長度？(4)若A，B按上述方式繼續(xù)運(yùn)動下去，線段的中點(diǎn)M能否與原點(diǎn)重合？若能，求出運(yùn)動時間，并直接寫出中點(diǎn)M的運(yùn)動方向和運(yùn)動速度；若不能，請說明理由．（當(dāng)A，B兩點(diǎn)重合，則中點(diǎn)M也與A，B兩點(diǎn)重合）．11．已知關(guān)于x的方程是一元一次方程，如圖，數(shù)軸上有A，B，C三個點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為a，b，c，且a，c滿足．(1)直接寫出a，b，c的值；(2)若數(shù)軸上有兩個動點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)出發(fā)沿數(shù)軸同時出發(fā)向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)P速度為3單位長度/秒，點(diǎn)Q速度為1單位長度/秒，若運(yùn)動時間為t秒，運(yùn)動過程中，是否存在線段的中點(diǎn)M到點(diǎn)的中點(diǎn)N距離為3，若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，另外兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)分別隨著P，Q一起運(yùn)動，且始終保持線段，線段（點(diǎn)E在P的左邊，點(diǎn)F在Q的左邊），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時，線段立即以相同的速度返回，當(dāng)點(diǎn)P再次運(yùn)動到點(diǎn)A時，線段和立即同時停止運(yùn)動，在整個運(yùn)動過程中，是否存在使兩條線段重疊部分為的一半，若存在，請直接寫出t的值，若不存在，請說明理由．12．如圖所示，數(shù)軸上有，，，四個點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，且滿足．已知（單位長度），（單位長度）．(1)求點(diǎn)和點(diǎn)分別表示的數(shù)；(2)若線段以4個單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒，當(dāng)（單位長度）時，求的值；(3)若動點(diǎn)從表示數(shù)的點(diǎn)開始以每秒5個單位長度的速度向右運(yùn)動，且滿足的值不隨點(diǎn)運(yùn)動時間的變化而改變，求的值．題型5：數(shù)軸上動點(diǎn)-三動點(diǎn)問題13．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A，B，P表示的數(shù)分別為a，b，x，且．

(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等，則點(diǎn)P表示的數(shù)為________．(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離之和為6？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)P以每秒5個單位長度的速度從點(diǎn)0向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)A以每秒4個單位長度的速度向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)B以每秒3個單位長度的速度向右勻速運(yùn)動，它們同時出發(fā)，幾秒后點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等？14．如圖，O是數(shù)軸的原點(diǎn)，A、B是數(shù)軸上的兩個點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是，B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是8，C是線段上一點(diǎn)，滿足．(1)求C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；(2)動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)C點(diǎn)后停留2秒鐘，然后繼續(xù)按原速沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動到B點(diǎn)后停止．在點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)的同時，動點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸勻速向左運(yùn)動，一直運(yùn)動到A點(diǎn)后停止．設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動時間為t秒．①當(dāng)時，求t的值；②在點(diǎn)M，N出發(fā)的同時，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M相遇后，點(diǎn)P立即掉頭按原速沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N相遇后，點(diǎn)P又立即掉頭按原速沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動到A點(diǎn)后停止．當(dāng)時，請直接寫出t的值．15．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)為m，點(diǎn)N表示的數(shù)為n，點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離記為．我們規(guī)定：的大小可以用位于右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)表示，即．請用上面的知識解答下面的問題：如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，滿足，，(1)，，；(2)若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；(3)點(diǎn)A，B，C開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)A以每秒2個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運(yùn)動，假設(shè)t秒鐘過后，若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為．則，，．（用含t的代數(shù)式表示）(4)請問，的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值；題型6：有理數(shù)的運(yùn)算壓軸題16．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)均不等的除法運(yùn)算叫做除方，如，等類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”．一般地，把記作，讀作“的圈次方”．【初步探究】（1）直接寫出計算結(jié)果：．【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那有理數(shù)的除方運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算．（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式．；．（3）將一個非零有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式：．（4）利用（3）的結(jié)論計算：17．我們已知道：，事實(shí)上：（為正整數(shù)）成立，故有：當(dāng)時，成立．由以上結(jié)論填寫下列代數(shù)式結(jié)果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．18．現(xiàn)有5張卡片寫著不同的數(shù)字，利用所學(xué)過的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算按要求解答下列問題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為________．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為__________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運(yùn)算結(jié)果為24．寫出兩個不同的等式，分別為，．19．問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：，，，．(1)利用規(guī)律計算：；(2)問題拓展，求；(3)問題解決：求的值．題型8：有理數(shù)的運(yùn)算化歸思想20．曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實(shí)質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們在七年級數(shù)學(xué)上冊第二章中引入“相反數(shù)”這個概念后，正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了．下面我們再通過具體實(shí)例體會一下化歸思想的運(yùn)用：數(shù)學(xué)問題，計算(其中是正整數(shù)，且，)．探究問題：為解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進(jìn)行探究．探究一：計算．第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：．探究二：計算．第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分制圖可得等式：，兩邊同除2，得，探究三：計算．(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫出探究過程)解決問題．計算．(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空)．(1)根據(jù)第n次分割圖可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓廣應(yīng)用：計算___________．題型7：新定義有理數(shù)的運(yùn)算21．如果x是一個有理數(shù)，我們把不超過x的最大整數(shù)記作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．現(xiàn)有，則x的值為．22．對于有理數(shù)，，，若，則稱是關(guān)于的“相關(guān)數(shù)”，例如，，則3是2關(guān)于2的“相關(guān)數(shù)”．若是關(guān)于1的“相關(guān)數(shù)”，是關(guān)于2的“相關(guān)數(shù)”，…，是關(guān)于4的“相關(guān)數(shù)”．則．（用含的式子表示）23．我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，計算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制數(shù)（只有數(shù)碼0和，它們兩者之間可以互相換算，如將，換算成十進(jìn)制數(shù)為：；；兩個二進(jìn)制數(shù)可以相加減，相加減時，將對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)相加減．與十進(jìn)制中的“逢十進(jìn)一”、“退一還十”相類似，應(yīng)用“逢二進(jìn)一”、“退一還二”的運(yùn)算法則，如：；，用豎式運(yùn)算如右側(cè)所示．．(1)按此方式，將二進(jìn)制換算成十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果是．(2)計算：（結(jié)果仍用二進(jìn)制數(shù)表示）；（結(jié)果用十進(jìn)制數(shù)表示）．題型9：規(guī)律性問題24．閱讀下面材料并完成填空：你能比較兩個數(shù)20162017和20172016的大小嗎？為了解決這個問題先把問題一般化，要比較nn＋1和（n＋1）n的大?。ǖ恼麛?shù)），先從分析n＝1，＝2，＝3，……這些簡單的情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．(1)通過計算，比較下列①—⑦各組中兩個數(shù)的大小（在橫線上填“＞、＝、＜”號①1221；②2332；③3443；④4554；⑤5665；⑥6776；⑦7887．(2)對第（1）小題的結(jié)果進(jìn)行歸納，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小關(guān)系：．(3)根據(jù)上面的歸納結(jié)果猜想得到的一般結(jié)論是：2016201720172016．25．一般地，n個相同的因數(shù)．相乘a×a×a……a×a記作an，如2×2×2=23=8，此時，3叫做以2為底的8的“勞格數(shù)”記為L2(8)，則L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，則n叫做以a為底的b的“勞格數(shù)”，記為La(b)=n，如34=81，則4叫做以3為底的81的“勞格數(shù)”，記為L3(81)=4．（1）下列各“勞格數(shù)”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．（2）觀察（1）中的數(shù)據(jù)易4×16=64此時L2（4），L2(16)，L2(64)滿足關(guān)系式________．（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一般性的結(jié)果嗎？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．（4）據(jù)上述結(jié)論解決下列問：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）題型10：程序框圖26．下面給出兩個數(shù)值運(yùn)算程序，按要求完成下列各題：（1）根據(jù)表格，按程序計算，完成填空：（2）運(yùn)算步驟①為_____；隨著x的值增大，程序_____的輸出值先超過500．27．計算機(jī)的運(yùn)算編程與數(shù)學(xué)原理是密不可分的，相對簡單的運(yùn)算編程就是數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，(1)如圖，同學(xué)設(shè)置了一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，若輸入的值為，則輸出的結(jié)果為________

(2)如圖，同學(xué)設(shè)置了一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，若輸出結(jié)果為0，則輸入的________

(3)同學(xué)也設(shè)置了一個計算裝置示意圖，、是數(shù)據(jù)入口，是計算結(jié)果的出口，計算過程是由，分別輸入自然數(shù)和