專題04 十字相乘法和分組分解法5種壓軸題型全攻略（解析版）

專題04十字相乘法和分組分解法5種壓軸題型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一十字相乘法的簡單計算】 1【考點二系數(shù)不為1的二次三項式的因式分解】 2【考點三分組分解法的簡單計算】 2【考點四添項減項在因式分解中的應(yīng)用】 3【考點五十字相乘法和分組分解法的拓展提高】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點一十字相乘法的簡單計算】【例題1】若多項式可分解為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點可知：．【詳解】解：多項式可分解為，．．．故選：C．【點睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，對常數(shù)項的不同分解是解本題的關(guān)鍵【變式1】多項式可因式分解成，其中、、均為整數(shù)，求的值為() B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意將多項式因式分解，即可得出的值，進而即可求解．【詳解】解：∵∴或∴或，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知二次三項式能分解成系數(shù)為整數(shù)的兩個一次因式的積，則整數(shù)的取值有（

）個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】把常數(shù)項分為兩個整數(shù)相乘，其和即為的值，即可確定出整數(shù)的個數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意得：，可得，，2，，解得：，14，，2，共4個，故選：D．【點睛】此題考查了因式分解中的十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式3】甲、乙兩人在因式分解時，甲看錯了a的值，分解的結(jié)果是，乙看錯了b的值，分解的結(jié)果為，那么的值為（

） B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)甲分解的結(jié)果求出，根據(jù)乙分解的結(jié)果求出，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定義是正確解答的前提．【考點二系數(shù)不唯一的二次三項式的因式分解】【例題2】將在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，正確的結(jié)果是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)十字相乘法分解因式，即可得到答案．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查十字相乘法因式分解，熟記十字相乘法因式分解是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】多項式可因式分解成，其中、、均為整數(shù)，求之值為何？（

） B． C．3 D．12【答案】A【分析】首先利用十字相乘法將因式分解，繼而求得a，c的值，代入a+2c即可得到結(jié)果．【詳解】解：利用十字相乘法，把多項式因式分解，可得，∵多項式可因式分解成（3x+a）（bx+c）∴，，∴故選：A．【點睛】本題考查十字相乘法因式分解的知識，利用十字相乘法對（a≠0）型的式子因式分解是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項系數(shù)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用十字相乘法分解因式．【變式2】多項式的一個因式為（

） B． C． D．【答案】B【分析】先利用十字相乘法對原多項式進行因式分解，即可得到多項式的因式，由此進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴多項式的一個因式為，故選B．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握十字相乘法．【變式3】若多項式可因式分解為，其中、、均為整數(shù)，則的值是（

）A．1 B．7 C．11 D．1【答案】B【分析】將多項式5x2+17x-12進行因式分解后，確定a、b、c的值即可．【詳解】解：因為5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），所以a=4，b=5，c=-3，所以a-c=4-（-3）=7，故選：B．【點睛】本題考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正確分解因式的前提，確定a、b、c的值是得出正確答案的關(guān)鍵．【考點三分組分解法的簡單計算】【例題3】將多項式因式分解，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先運用完全平方公式展開，然后再合并，最后運用十字相乘法因式分解即可．【詳解】解：===．故選B．【點睛】本題主要考查了運用完全平方公式計算、十字相乘法因式分解等知識點，掌握運用十字相乘法進行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】把多項式因式分解之后，正確的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分組分解法及平方差公式，即可判定．【詳解】解：故選：D．【點睛】本題考查了分解因式的方法，熟練掌握和運用分解因式的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】用分組分解法將分解因式，下列分組不恰當?shù)氖牵ǎ〢． B．C． D．【答案】C【分析】利用分組分解法，結(jié)合提公因式法，對選項一一進行分析，即可得出答案．【詳解】解：A．，故選項A分組正確，不符合題意；B．，故選項B分組正確，不符合題意；C．無法進行分組分解，故選項C分組錯誤，符合題意；D．，故選項D分組正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了分組分解法、提公因式法分解因式，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的分解因式的方法．【變式3】用分組分解的因式，分組正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把二、三、四項作為一組，第一項作為一組，然后根據(jù)完全平方公式和平方差公式分解即可．【詳解】解：．故選：D．【點睛】本題考查了分組分解法分解因式，正確分組是解答本題的關(guān)鍵．【考點四添項減項在因式分解中的應(yīng)用】【例題4】分解因式：．【答案】【分析】先把分為與，分組分解，然后提公因式后利用十字相乘法分解．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解—十字相乘法等：根據(jù)題目特點靈活運用因式分解的方法，解決此題的關(guān)鍵是把分為與，再利用分組分解法分解．【變式1】因式分解＝．【答案】【分析】根據(jù)添項結(jié)合分組分解可進行求解．【詳解】解：原式===；故答案為．【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】分解因式：=．【答案】【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法因式分解即可求解．【詳解】．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的【考點五十字相乘法和分組分解法的拓展提高】【例題5】分解因式：．【答案】【分析】先分組，再利用十字相乘法進行因式分解，然后提出公因式，即可求解．【詳解】解：原式，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結(jié)合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】因式分解：．【答案】【分析】先進行分組，再計算多項式乘以多項式，然后再利用十字相乘法可進行求解．【詳解】解：；故答案為．【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知，那么的值為【答案】2022【分析】利用因式分解法將原式進行分解，再整體代入即可求解．【詳解】∵，∴故答案為：2022．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3】分解因式：．【答案】【分析】先把看做一個整體對原式利用十字相乘法分解因式得到，據(jù)此再利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一．選擇題1.若多項式分解因式為，則的值是（）A．2 B． C．12 D．【答案】B【分析】利用十字相乘法很容易確定m的值．【詳解】解：多項式分解因式為，即，，系數(shù)對應(yīng)相等，，故選：B．【點睛】本題考查了因式分解的十字相乘法，解題的關(guān)鍵是掌握十字相乘法．2．多項式可因式分解成，其中，均為整數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C． D．2023【答案】B【分析】先分解因式，求出、的值，再結(jié)合有理數(shù)的乘方進行計算，即可得到答案．【詳解】解：，又多項式可因式分解成，，或，，，故選：B．【點睛】本題考查了因式分解、有理數(shù)的乘方，熟練掌握十字相乘法分解因式是解題關(guān)鍵．3．因式分解，甲看錯了的值，分解的結(jié)果是，乙看錯了的值，分解的結(jié)果為，那么分解因式正確的結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)甲看錯了a的值可以知道，甲的分解結(jié)果中b的值是正確的，根據(jù)乙看錯了b的值可以知道，乙的分解結(jié)果中a的值是正確的，據(jù)此即可得到a、b的值，進而得到答案．【詳解】解：∵甲看錯了a的值，∴，∴；∵乙看錯了b的值，∴，∴，∴分解因式正確的結(jié)果為：，故選：C．【點睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是正確理解因式分解的定義．4．不論x為何值，等式都成立，則代數(shù)式的值為（

）A．-9 B．-3 C．3 D．9【答案】D【分析】已知等式右邊利用多項式乘多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出p與q的值，即可求出答案．【詳解】解：由題意可得，=，∴p=2，q=-3，則=9．故選D．【點睛】本題考查了因式分解法-十字相乘法，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握十字相乘法．把分解因式，正確的分組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把后三項為一組，利用完全平方公式計算，再利用平方差公式繼續(xù)分解因式即可．【詳解】解：．故選：A．【點睛】本題考查用分組分解法進行因式分解．難點是采用兩兩分組還是一三分組．本題中后三項正好符合完全平方公式，應(yīng)考慮后三項為一組．6．已知a+b＝3，ab＝1，則多項式a2b+ab2﹣a﹣b的值為(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)分解因式的分組分解因式后整體代入即可求解．【詳解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）將a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故選：A．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題關(guān)鍵是掌握分組分解因式的方法．二.填空題7.因式分解：．【答案】【分析】利用十字相乘因式分解即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查因式分解，熟練運用十字相乘法是解題的關(guān)鍵．8.分解因式：．【答案】【分析】利用整體思想及十字相乘法與立方差公式求解．【詳解】解：原式，，．故答案為：．【點睛】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵是熟練掌握十字相乘與立方差公式．9．分解因式：．【答案】【分析】先提取公因式，再根據(jù)十字相乘法進行因式分解即可．【詳解】解：；故答案為：；【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式：對于形如的二次三項式，若能找到兩數(shù)a、b，使且，那么．10．因式分解：．【答案】【分析】原式先提取公因數(shù)2，再利用十字相乘法求出解即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解—十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解題的關(guān)鍵．11．分解因式：【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題考查了因式分解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握十字相乘法分解因式．12．若多項式可因式分解為，其中均為整數(shù)，則的值是．【答案】1【分析】首先利用十字相乘法將因式分解，即可得到的值，從而得到答案．【詳解】解：利用十字相乘法將因式分解，得，，，故答案為：1．【點睛】本題考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正確分解因式的前提，確定的值是得出正確答案的關(guān)鍵．13．分解因式：．【答案】【分析】先分組得到，再把每組分解，然后提公因式即可．【詳解】原式故答案為【點睛】本題考查了分組分解法：一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式二是分組后能應(yīng)用公式．14．分解因式：．【答案】【分析】將多項式第一、二、四項結(jié)合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查因式分解—分組分解法，難點是采用兩兩分組還是三一分組．正確分組和公式的靈活運用是解題的關(guān)鍵．15．已知，那么的值為．【答案】2022【分析】利用因式分解法將原式進行分解，再整體代入即可求解．【詳解】∵，∴故答案為：2022．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．三、解答題16．閱讀下面的材料，解答提出的問題：已知：二次三項式有一個因式是，求另一個因式及的值．解：設(shè)另一個因式為，由題意，得，，所以，解得．所以另一個因式為，的值為．提出問題：(1)已知二次三項式有一個因式是，另一個因式是________；(2)已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式及的值．【答案】(1)(2)另一個因式為，的值為85【分析】（1）設(shè)另一個因式為，由題意得，從而得到，進行計算即可得到答案；（2）設(shè)另一個因式為，由題意得：，從而得到，進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)另一個因式為，由題意得：，則，，解得：，另一個因式為，故答案為：；（2）解：設(shè)另一個因式為，由題意得：，則，，解得：，另一個因式為，的值為85．【點睛】本題主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程組，正確設(shè)出另一個因式是解題的關(guān)鍵．17．閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進行因式分解即可；（2）先運用式子相乘法進行因式分解，再代入求解．【詳解】（1）解：；（2）當時，原式．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．18．分解因式：．【答案】【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式進行因式分解即可得到答案．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟練掌握十字相乘法和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．19．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）將看出整體，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要徹底；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）將看成整體，利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點