專題07 難點探究專題：新定義型二次函數的綜合探究問題壓軸題九種模型全攻略（解析版）

專題07難點探究專題：新定義型二次函數的綜合探究問題壓軸題九種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一新定義型二次函數——關聯拋物線】 1【考點二新定義型二次函數——友好同軸二次函數】 6【考點三新定義型二次函數——衍生拋物線】 10【考點四新定義型二次函數——旋轉函數】 14【考點五新定義型二次函數——同軸對稱拋物線】 15【考點六新定義型二次函數——孔像拋物線】 18【考點七新定義型二次函數——反碟長拋物線】 21【考點八新定義型二次函數——月牙線拋物線】 23【考點九新定義型二次函數——系列平移拋物線】 28【典型例題】【考點一新定義型二次函數——關聯拋物線】例題：（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關聯拋物線”，例如，拋物線的“關聯拋物線”為已知拋物線：的“關聯拋物線”為，與y軸交于點E．(1)若點E的坐標為，求的解析式；(2)設的頂點為F，若△OEF是以OF為底的等腰三角形，求點E的坐標；(3)過x軸上一點P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點M，N．①當MN=6時，求點P的坐標；②當時，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．【答案】(1)(2)(3)①或，②或【分析】（1）根據“關聯拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點式，可得出的頂點坐標；（2）根據“關聯拋物線”的定義可得的解析式，之后得到函數的頂點，過點作軸于點，連接，進而得到，，，于是根據即可得到結論；（3）①設點的橫坐標為，則可表達點和點的坐標，根據兩點間距離公式可表達的長，列出方程，可求出點的坐標；②當時得出的最大值和最小值，進而列出方程，可求出的值．【詳解】（1）解：∵C1與y軸交點的坐標為E（0，-1），∴，解得．∴C1的解析式為；（2）解：根據“關聯拋物線”的定義可得的解析式為，∵，∴的頂點的坐標為易得點E，過點作軸于點，連接．

∴，，，∵，∴，即．解得，∴點E的坐標為；（3）解：①設點P的橫坐標為m，∵過點P作x軸的垂線分別交拋物線，于點，∴，，∴，∵，∴，解得或，∴或；②∵的解析式為，∴當時，，當時，；當時，．根據題意可知，需要分三種情況討論：Ⅰ．當時，，且當時，函數的最大值為；函數的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；當時，函數的最大值為，函數的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；Ⅱ．當時，，函數的最大值為；函數的最小值為，∴，解得（舍）或（舍）；Ⅲ．當時，，不符合題意，舍去．綜上，a的值為或【點睛】本題屬于二次函數背景下新定義類問題，涉及等腰三角形以及兩點間距離公式，二次函數的圖象及性質，由“關聯拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數圖象的性質是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023春·福建福州·九年級福建省福州格致中學?？计谥校┬露x：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關聯拋物線”．例如：拋物線的“關聯拋物線”為：．已知拋物線的“關聯拋物線”為．(1)寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點坐標；(2)若，過軸上一點，作軸的垂線分別交拋物線，于點，．①當時，求點的坐標；②當時，的最大值與最小值的差為，求的值．【答案】(1)，頂點為(2)①或；②或．【分析】（1）根據定義將一次項系數與二次項系數互換即可求得解析式，化為頂點式即可求得頂點坐標；（2）①設，則，，根據題意建立方程解方程即可求解；②根據題意，分三種情形討論，根據點距離對稱軸的遠近確定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【詳解】（1）解：拋物線的“關聯拋物線”為，根據題意可得，的解析式頂點為（2）解：①設，則，∴當時，解得，當時，方程無解或②的解析式頂點為，對稱軸為，當時，即時，函數的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為解得（，舍去）當時，且即時，函數的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為解得（，舍去）當時，即時，拋物線開向上，對稱軸右側隨的增大而增大，函數的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為即即解得（舍去）綜上所述，或．【點睛】本題考查了二次函數的性質，求頂點式，二次函數的最值問題，分類討論是解題的關鍵．【考點二新定義型二次函數——友好同軸二次函數】例題：（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）定義：二次項系數之和為1，對稱軸相同，且圖象與y軸交點也相同的兩個二次函數互為友好同軸二次函數．例如：的友好同軸二次函數為．(1)函數的對稱軸為__________．其友好同軸二次函數為__________．(2)已知二次函數（其中且且），其友好同軸二次函數記為．①若函數的圖象與函數的圖象交于A、B兩點（點A的橫坐標小于點B的橫坐標），求線段的長；②當時，函數的最大值與最小值的差為8，求a的值．【答案】(1)直線，(2)①4；②或3【分析】（1）將函數畫出頂點式即可得函數的對稱軸，再根據友好同軸二次函數的定義求解即可得；（2）①根據友好同軸二次函數的定義求出函數，聯立函數，，解方程可求出點的坐標，由此即可得；②分且且、兩種情況，利用二次函數的性質求解即可得．【詳解】（1）解：函數的對稱軸為直線，因為，所以設函數的友好同軸二次函數為，所以，解得，所以函數的友好同軸二次函數為，故答案為：直線，．（2）解：①二次函數，則設，所以，解得，所以，聯立得：，解得或，當時，；當時，，所以，所以；②函數的對稱軸為直線，（Ⅰ）當且且時，拋物線的開口向上，當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大，則當時，取得最小值，最小值為，當時，取得最大值，最大值為4，所以，解得，符合題設；（Ⅱ）當時，拋物線開口向下，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，則當時，取得最大值，最大值為，當時，取得最小值，最小值為4，所以，解得，符合題設；綜上，的值為或3．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，掌握理解友好同軸二次函數的定義是解題關鍵．【變式訓練】1．【信息提取】新定義：在平面直角坐標系中，如果兩條拋物線關于坐標原點對稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友好拋物線”．新知識：對于直線和．若，則直線與互相垂直；若直線與互相垂直，則．【感知理解】（1）若拋物線的“友好拋物線”為．則h，k的值分別是；（2）若拋物線與互為“友好拋物線”．則b與n的數量關系為，c與q的數量關系為．【綜合應用】（3）如圖，拋物線的頂點為E，的“友好拋物線”的頂點為F，過點O的直線與拋物線交于點A，B（點A在B的左側），與拋物線交于點C，D（點C在D的左側）．若四邊形AFDE為菱形，求AB的長；【答案】（1）3，；（2），；（3）【分析】（1）根據題目中的新定義可知“友好拋物線”關于坐標原點對稱，根據關于坐標原點對稱的拋物線的特征即可得出答案；（2）根據互為友好拋物線”的圖像關于坐標原點對稱即可得出答案；（3）由（2）的規(guī)律易得的解析式，由、的解析式先求出E、F點的坐標，進而可得直線EF的解析式，當四邊形AFDE為菱形時，EF⊥AD，直線AD經過原點O，則可求得AD解析式，設點A（x1,2x1），點B（x2,2x2），進而根據根與系數的關系以及兩點間距離公式即可求解．【詳解】解：（1）由題意可知“友好拋物線”的圖像關于坐標原點對稱，∴和的頂點坐標關于原點對稱，又∵的頂點為（-3,1），∴的頂點為（3,-1），∴h=3，k=-1；（2）∵和圖像關于坐標原點對稱，拋物線的對稱軸為：，關于原點對稱可得拋物線的對稱軸為：，又∵，∴，∵a=-m，∴，∵拋物線經過定點（0，c），（0，c）關于原點的對稱點為（0，-c），拋物線經過定點（0，q），∴-c=q，即；（3）由（2）結論可得：，∴點，點，設直線EF的解析式為，將點E代入可得直線EF的解析式為.∵四邊形AFDE為菱形時，，所以直線AD的解析式為，由題意可設點A（x1,2x1），點B（x2,2x2），時，x1+x2=6，x1x2=3，．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質以及兩點間距離公式是解題的關鍵．【考點三新定義型二次函數——衍生拋物線】例題：（2023秋·江西南昌·九年級南昌市第十七中學校考期末）小賢與小杰在探究某類二次函數問題時，經歷了如下過程：求解體驗：(1)已知拋物線經過點，則b＝，頂點坐標為，該拋物線關于點成中心對稱的拋物線表達式是．抽象感悟：我們定義：對于拋物線，以y軸上的點為中心，作該拋物線關于點M對稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關于點的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點，求m的取值范圍．問題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求a，b的值及衍生中心的坐標；②若拋物線y關于點的衍生拋物線為，其頂點為；關于點的衍生拋物線為，其頂點為；…；關于點的衍生拋物線為，其頂點為，…（為正整數）．求的長（用含n的式子表示）．【答案】(1)；；；(2)(3)①；衍生中心的坐標為；②【分析】（1）把代入即可求出，然后把拋物線解析式變?yōu)轫旤c式即可求得拋物線的頂點坐標，繼而可得頂點關于的對稱點，從而可寫出原拋物線關于點成中心對稱的拋物線的表達式；（2）先求出拋物線的頂點是，從而求出關于的對稱點是，得，根據兩拋物線有交點，可以確定方程有解，繼而求得的取值范圍即可；（3）①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點坐標，根據兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求的值及再根據中點坐標公式即可求出衍生中心的坐標；②根據中心對稱，由題意得出，…

分別是，…的中位線，繼而可得，，…，再根據點的坐標即可求得的長，即可求解．【詳解】（1）解：把代入，得，∴，∴頂點坐標是，∵關于的對稱點，∴成中心對稱的拋物線表達式是：，即，故答案為：，，；（2）∵，∴頂點是∵關于的對稱點是，∴，∵兩拋物線有交點，∴有解，∴有解，∴，∴；（3）①∵，∴頂點，代入得：①∵，∴頂點，代入得：②由①②得，∵，，∴，∴兩頂點坐標分別是，，由中點坐標公式得“衍生中心”的坐標是；②如圖，設，…，與軸分別相于，…

，，則，，…，分別關于，…，中心對稱，∴，…

分別是，…的中位線，∴，，…，∵，，∴．【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，理解題意，畫出符合題意的圖形借助數形結合思想解決問題是關鍵．【考點四新定義型二次函數——旋轉函數】例題：（2023·全國·九年級專題練習）定義：如果二次函數，（，、、是常數）與，、、是常數）滿足，，，則這兩個函致互為“旋轉函數”．例如：求函數的“旋轉函數”，由函數可知，，，．根據，，求出、、就能確定這個函數的“旋轉函數”．請思考并解決下面問題：(1)寫出函數的“旋轉函數”；(2)若函數與互為“旋轉函數”，求的值；(3)已知函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是、、，試求證：經過點、、的二次函數與互為“旋轉函數”．【答案】(1)；(2)1；(3)見解析．【分析】（1）根據“旋轉函數”的定義求出另一個函數的、、的值，從而得出函數解析式；（2）根據定義得出和的二元一次方程組，從而得出答案；（3）首先求出、、三點的坐標，然后得出對稱點的坐標，從而求出函數解析式，然后根據新定義進行判定．【詳解】（1）根據題意得，解得故解析式為：．（2）根據題意得∴∴．（3）根據題意得，，∴，，又且經過點，，的二次函數為∵∴兩個函數互為“旋轉函數”．【點睛】本題考查了二次函數，新定義型；涉及了待定系數法，關于原點對稱的點的坐標等知識，正確理解題意，熟練運用相關知識是解題的關鍵．【考點五新定義型二次函數——同軸對稱拋物線】例題：定義：關于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：的“同軸對稱拋物線”為．(1)請寫出拋物線的頂點坐標；及其“同軸對稱拋物線”的頂點坐標；寫出拋物線的“同軸對稱拋物線”為．(2)如圖，在平面直角坐標系中，點B是拋物線L：上一點，點B的橫坐標為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關于拋物線對稱軸對稱的點、，連接、、、，設四邊形的面積為．①當四邊形為正方形時，求a的值．②當拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數的點時，請求出a的取值范圍．【答案】(1)，，(2)①a；②或【分析】（1）根據頂點式的頂點坐標為；先化成頂點式，再求“同軸對稱拋物線”的解析式；（2）①寫出點B的坐標，再由對稱軸求出點，然后結合正方形的性質列出方程求a；②先由對稱性分析得到封閉區(qū)域內在x軸上整點的個數，然后針對拋物線L開口的不同進行分類討論．【詳解】（1）解：由知頂點坐標為，由知頂點坐標為，∴拋物線的“同軸對稱拋物線”為；故答案為：，，．（2）①當時，，∴，∴，∴，∵拋物線L的對稱軸為直線，∴點，∴，∵四邊形是正方形，∴，即，解得：（舍）或．②拋物線L的對稱軸為直線，頂點坐標為，∵L與“同軸對稱拋物線”關于x軸對稱，∴整點數也是關于x軸對稱出現的，∴封閉區(qū)域內在x軸上的整點可以是3個或5個，L與x軸圍成的區(qū)域內整點個數為4個或3個，（i）當時，∵L開口向上，與y軸交于點，∴封閉區(qū)域內在x軸上只可能有3個整點，兩個區(qū)域內各有4個整點，∴當時，，當時，，解得：；（ii）當時，∵L開口向下，與y軸交于點，∴封閉區(qū)域內在x軸上只可能有5個整點，兩個區(qū)域內各有3個整點，∴當時，，當時，，解得：，綜上所述：或．【點睛】此題借助二次函數考查正方形的性質，根據二次函數頂點式找頂點坐標，及新定義“同軸對稱拋物線”．【考點六新定義型二次函數——孔像拋物線】例題：二次函數的圖象交軸于原點及點．感知特例（1）當時，如圖1，拋物線上的點，，，，分別關于點中心對稱的點為，，，，，如下表：…（___，___）………①補全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現形如（1）中的圖象上的點和拋物線上的點關于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當時，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_______；②在同一平面直角坐標系中，當取不同值時，通過畫圖發(fā)現存在一條拋物線與二次函數的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，求的值．【答案】（1）①2，0；②見解析；（2）①；②；③m=1．【分析】（1）①根據中心對稱的定義求解即可；②根據表格，描點，連線即可；（2）①畫出草圖，利用數形結合思想即可求解；②結合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根據“孔像拋物線”的性質求得圖象L的頂點為，則圖象L′的頂點為(3m，)，再根據題意即可求解．【詳解】（1）∵點B(-1，3)與點B′(5，-3)關于點A中心對稱，∴點A的坐標為(，)，即A(2，0)，故答案為：2，0；②描點，連線，得到的圖象如圖所示：（2）①當m=?1時，拋物線L為，對稱軸為，它的“孔像拋物線”L′的解析式為，對稱軸為，畫出草圖如圖所示：∴拋物線L與它的“孔像拋物線”L′的函數值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為：；②畫出草圖，由圖象知，這條拋物線的解析式只能是；故答案為：；③L：，設頂點為，過點P作PM⊥軸于點M，“孔像拋物線”的頂點為，過點作⊥x軸于點，由題意可知△PMA≌△A，得(3m，0)，所以(3m，)，∵拋物線L及“孔像拋物線”與直線y=m有且只有三個交點，∴=m或=m，解得m=1或0，當m=0時，與只有一個交點，不合題意，舍去，∴m=1．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式及二次函數的圖象與性質，數形結合并熟練掌握二次函數的相關性質是解題的關鍵．【考點七新定義型二次函數——反碟長拋物線】例題：定義：若直線與開口向下的拋物線有兩個交點，則這兩個交點之間的距離叫做這條拋物線的“反碟長”．如圖，已知拋物線：與直線相交于P，Q兩點．

(1)拋物線的“反碟長”______．(2)拋物線隨其頂點沿直線向上平移，得到拋物線．①當拋物線的頂點平移到點時，拋物線的解析式是______，拋物線的“反碟長”是______；②若拋物線的“反碟長”是一個偶數，則其頂點的縱坐標可能是______（填寫所有正確的選項）；A．15；B．16；C．24；D．25③當拋物線的頂點A和拋物線與直線的兩個交點B，C構成一個等邊三角形時，求點A的坐標．【答案】(1)2(2)①，；②AC；③【分析】（1）由，得，即得；（2）①由拋物線的頂點平移到點，得拋物線的解析式是，由，得或，，故拋物線的“反碟長”是；②設拋物線的頂點坐標為，再求出“反碟長”，再根據“反碟長”是一個偶數判斷即可；③過A作于H，設，由,得，根據是等邊三角形，可得，即可解得或，從而．【詳解】（1）解：在中，令得，解得或，∴，∴．故答案為：2．（2）解：①∵拋物線的頂點平移到點，∴拋物線的解析式是，在中，令得，解得：或，∴拋物線與直線的交點為和，∴拋物線的“反碟長”是；故答案為：，；②設拋物線的頂點坐標為，則拋物線．令，解得或，∴拋物線的“反碟長”為．∵拋物線的“反碟長”是一個偶數，∴是整數，結合選項可知，當或24時符合題意，故A，C正確．③如圖：過A作于H，

設，則拋物線的解析式為,在中，令得,解得或，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，解得或（B，C重合，舍去）．∴．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用、涉及新定義、平移變換、等邊三角形等知識點，讀懂題意，用含字母的代數式表示相關點坐標和相關線段的長度是解題的關鍵．【考點八新定義型二次函數——月牙線拋物線】例題：定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖①，拋物線與拋物線組成一個開口向下的“月牙線”，拋物線與拋物線與x軸有相同的交點M，N（點M在點N左側），與y軸的交點分別為點，．

(1)求出點M，N的坐標和拋物線的解析式；(2)點P是x軸上方拋物線上的點，過點P作軸于點E，交拋物線于點Q，試證明：的值為定值，并求出該定值；(3)如圖②，點D是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，連接，在x軸上是否存在點F，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)證明見解析，該定值為2(3)在x軸上存在點F，使得是以為腰的等腰三角形，點F的坐標為或【分析】（1）先由求得，，可得點M，N的坐標，將點，代入拋物線，利用待定系數法即可求拋物線的解析式；（2）設，則，可得，，進而可得，即可證得結論；（3）由拋物線：可得點，兩條拋物線的對稱軸均為直線，進而求得，連接，由于等腰直角三角形可知，分兩種情況討論：當時，，當時，，分別進行討論即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點M、N，且當時，解得，，∴，；將點，代入拋物線，得，解得∴拋物線的解析式為；

3分（2）證明：設，則，∴，，∴，∴的值為定值，該定值為2；（3）存在．由拋物線：可得點，兩條拋物線的對稱軸均為直線，∵點D是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，，∴，如解圖，連接，∵，∴為等腰直角三角形，∴，假設存在，設點，分兩種情況討論：①當時，，如解圖①，過點D作軸于點C，連接，，則，，由勾股定理可知，∴，解得：，，∴，；

②當時，，如解圖②，由勾股定理可得，∴，此方程無解，∴此種情況不存在．綜上所述，在x軸上存在點F，使得是以為腰的等腰三角形，點F的坐標為或．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法，對稱變換等知識，解題的關鍵是用含字母的式子表示相關點坐標和相關線段的長度．【變式訓練】1．定義：由兩條與軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．

(1)【概念理解】拋物線與拋物線________（填“能”或“不能”）圍成“月牙線”．(2)【嘗試應用】如圖，拋物線與拋物線組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線與拋物線與軸有相同的交點，（點在點的左側），與軸的交點分別為，，拋物線的解析式為，拋物線的解析式為．①求的長和的值；②將拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左或向右平移，平移后的“月牙線”與軸的交點記為，，與軸的交點記為，，當時，求平移的方向及相應的距離．【答案】(1)能，(2)①，，②拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移，或拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度．【分析】（1）分別求解兩條拋物線與x軸的交點坐標，再根據交點坐標與開口方向進行判斷即可；（2）①根據先求解M，N的坐標，再求解，再把代入，可得c的值；②當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度，可得平移后的分別解析式為，，求解的縱坐標為，的縱坐標為，而，當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左平移個單位長度，同理可得：，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：當，解得：，，交點坐標為：，；當，解得：，，交點坐標為：，；而兩條拋物線的開口方向都向上，∴拋物線與拋物線能圍成“月牙線”（2）解：當時，解得：，，∴，，∴，把代入可得：．∴，②∵，，當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度，∴平移后的分別解析式為，，當時，，，

∴的縱坐標為，的縱坐標為，而，∴，解得：（負根舍去），∴此時拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度；當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左平移個單位長度，同理