專題10 難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專題10難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 6【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】 15【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】 21【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】 26【考點六相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】 34【典型例題】【類型一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點是邊上的一個動點，以每秒3個單位的速度按照從運動，同時點從以每秒1個單位的速度運動，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，在運動過程中，設(shè)運動時間為，若△BPQ與相似，則的值為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意可知，分和兩種情形討論即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，①當時，，，若，∴則，∴，解得：；若，∴則∴，解得：②當時，，，同理可得或解得：（舍去）或綜上所述，或或，故答案為：或或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，．點從點開始沿邊向終點以的速度移動；點從點開始沿邊向終點以的速度移動．有一點到達終點，另一點也停止運動．若、同時出發(fā)，運動時間為．

(1)用含t的代數(shù)式分別表示線段和的長；(2)當t為何值時，與相似？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用勾股定理列式求出，再表示出和；（2）分和是直角兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】（1）解：，，，點的速度是每秒1個單位，點的速度是每秒1個單位，，；（2）①是直角時，，，即，解得，舍去；②是直角時，，，即，解得，綜上所述，時，與相似．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)對應(yīng)邊成比例兩相似三角形的判定分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·廣東佛山·九年級?？茧A段練習）在中，，，，現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿向點方向運動，動點從點出發(fā)，沿線段也向點方向運動，如果點的速度是，點的速度是，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動時間為秒．

(1)求為多少秒時，的面積為為(2)當為多少時，以點為頂點的三角形與相似.【答案】(1)當為或秒時，的面積為為.(2)或時，以點、、為頂點的三角形與相似【分析】（1）根據(jù)路程速度時間可知，，，再根據(jù)三角形的面積公式列方程即可解答；（2）根據(jù)根據(jù)路程速度時間可知，，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)運動時間為t秒，∵點P的速度是，點Q的速度是，∴，，∵，∴，∴的面積為，即，解得：，,∴當為或秒時，的面積為為；（2）解：設(shè)運動時間為秒，∵點的速度是，點的速度是，∴，，∵，∴，①當時，∴，即，解得；②當時，∴，即，解得．∴或時，以點、、為頂點的三角形與相似．【點睛】本題考查了三角形的面積公式，路程速度時間，相似三角形的性質(zhì)，一元二次方程與幾何圖形，一元一次方程與幾何圖形，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，矩形中，，點E為的中點，動點F從點A出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度運動，連接．過點作的平行線交射線于點H，設(shè)點F的運動時間為t（不考慮、、在一條直線上的情況）．

(1)填空：當___________時，，此時___________；(2)當與相似時，求t的值．【答案】(1)2；2(2)t的值為2或4或．【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）由，利用相似三角形的性質(zhì)求得，分當點F在點B的左邊和點F在點B的右邊時，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，點E為的中點，∴，∵，即：，∴，∵，∴，∴，即：，解得：；故答案為：2；2；（2）解：由得，又∵，∴，∴，即，∴，當點F在點B的左邊時，即時，，當時：，即，解得：，；當時：有，即，解得：；當點F在點B的右邊時，即時，，

當時：，即，解得：(負值已舍)；綜上，t的值為2或4或．【點睛】此題考查了相似圖形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【類型二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點E是的動點，若，則的長為．【答案】2或8【分析】由矩形的性質(zhì)，垂直的定義推出，即可證明，得到，設(shè)，列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∴或8，∴的長是2或8．故答案為：2或8．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由條件證明，并注意有兩個答案．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）在中，，，，點D在邊AC上，若是以為腰的等腰三角形，則的長為．【答案】或【分析】先求出，再根據(jù)是以為腰的等腰三角形分情況討論即可．【詳解】中，，，，∴，當時，如圖，過作于，此時

∴，∴，解得，，∴，∴；當時，，∵，∴，∴，∴，綜上，當是以為腰的等腰三角形，則的長為或；故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點A的坐標為，點P在矩形的內(nèi)部，點E在邊上，且滿足，當△是等腰三角形時，點P的坐標為．【答案】或【分析】由題意知，，點P在線段上，分兩種情況：當時，點P是線段的垂直平分線與的交點，即點P是的中點；當時，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得點P的坐標．【詳解】解：∵，∴，∴，點P在線段上．∵A點的坐標為，∴，由勾股定理得：；如圖1所示，當時，點P是線段的垂直平分線與的交點，即點P是的中點，∴點P是的中點，∴點P的坐標為；如圖2所示，當時，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴點P的坐標為；綜上所述，或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標與圖形，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，注意分類討論思想的運用．3．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如圖，在中，，，，，分別為邊，上的動點，且，作，垂足為，連接．當是直角三角形時，的長為．

【答案】或【分析】說明只能為銳角，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，，然后分或兩種情況求解即可．【詳解】解：∵，分別為邊，上的動點，，當時，，此時不存在；當時，，∵，，∴為直角三角形，，∴，∴為銳角，當時，如圖，設(shè)，∵，∴，在中，，，，∴，，∵，∴，∴，四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，

當時，如圖，設(shè)，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，的長為或，故答案為：或．

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，運用了分類討論的思想．理解題意并運用分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考三模）如圖，在中，分別為上的點，沿直線將折疊，使點B恰好落在上的D處，當恰好為直角三角形時，的長為．【答案】或【分析】先在中利用勾股定理求出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，直線將折疊，使點B恰好落在上的D處，恰好為直角三角形，有兩種可能：①，②，設(shè)，運用三角形相似列比例式解方程即可得解．【詳解】解：∵在中，，∴．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則．分類討論：①當時，則，∴，∴，即，解得：；②當時，則，∴，即，解得：；故所求的長度為：或．故答案為：或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，在中，，，，點是邊上一動點，過點作交邊于點，將沿直線翻折，點落在線段上的處，連接，當為等腰三角形時，的長為．【答案】或或【分析】由翻折變換的性質(zhì)得：，設(shè)，則；分三種情況討論：①時，②當時，在的垂直平分線上，③當時，作于，得出，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)得：，，，，∴，設(shè)，則；分三種情況討論：①時，，解得：，；②當時，在的垂直平分線上，為的中點，，，解得：，；③當時，作于，如圖所示：則，，又，，，，即，解得：；綜上所述：當為等腰三角形時，的長為：或或；故答案為：或或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．【類型三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】例題：（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點P是邊上的動點，過點P作交于點H，則的最小值為．

【答案】【分析】作點C關(guān)于的對稱點，與交于點D，則垂直平分，，由勾股定理可求得，根據(jù)三角形的面積可求得解得，，過點作，交于點H，交于點P，則，，可知此時有最小值，最小值為，再根據(jù)相似三角形的判定，可證得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖：作點C關(guān)于的對稱點，與交于點D，則垂直平分，，由勾股定理得：，，，，解得，，過點作，交于點H，交于點P，

則，，，此時，，有最小值，最小值為，，，又，，，得，解得，故的最小值為．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，D是的中點，P是邊上的一動點，則的最小值為．【答案】【分析】作點D關(guān)于直線的對稱點，連接，交于點P，點P即為所求作的點，交于點E，首先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求得，，，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖：作點D關(guān)于直線的對稱點，連接，交于點P，點P即為所求作的點，交于點E，，，是的中點，，，，，，，，，，，，，，，，

解得，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了最短路徑問題，軸對稱圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，準確找到點P的位置是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點在邊上從向點運動，速度為，同時點在邊上從向點運動，速度為．連接、，設(shè)、交于點，取的中點，則的最小值為．【答案】【分析】證明，從而說明，則點在以為直徑的半圓上運動，設(shè)圓心為，利用勾股定理求出，然后分、、三點共線與、、三點不共線兩種情況討論即可．【詳解】解：矩形中，，，∴，，設(shè)運動時間為，則，，∴，又∵，∴且，∴，∴，∴，∴，∴點在以為直徑的半圓上運動，設(shè)圓心為，連接，∴，又∵點為的中點，∴，在中，，當、、三點共線時，，∴，當、、三點不共線時，點為半圓上任意一點，∴，∴，∴，綜上所述，，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分相等成比例，勾股定理，角所對的弦是直徑，三角形三邊關(guān)系定理等知識點．掌握相似三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，E是BC中點，CD上有一動點M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

【答案】【分析】取的中點，連接和，沿著翻折得到，，為的中點，，可得到，可證明，可得，故，從而得到，當點三點共線時，有最小值為．【詳解】解：取的中點，連接和，如圖所示：

∵沿著翻折得到，∴，∵，E是BC中點，∴，∴，∵為的中點，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴，∴，當點三點共線時，有最小值為，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，則的最小值為．故填：．【點睛】本題考查了矩形和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【類型四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023春·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線l上，P是直線l上點A左側(cè)的一點，，E為邊上一動點，過點P，E的直線與正方形的邊交于點F，連接，若設(shè)，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分別求出點F在邊上時，點F與點C重合時時，點F在邊上時，S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：，∴∵四邊形是正方形，∴點F在邊上時，，∴，點F與點C重合時時，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，解得x＝，點F在邊上時，∵，∴，即，∴，∴，∴當時，，當時，，當時，，∴能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是B，故選：B．【點睛】本題考查的是動點圖象問題，涉及到一次函數(shù)、平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，分類思想的利用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點P為邊上一動點，過點P作直線，交折線于點Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分兩種情況：當點Q在時，當點Q在時，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，當點Q在時，∵直線，∴，∵，∴，∴，即，解得：；當點Q在時，如圖，

∵直線，∴，∵，∴，∴，即，解得：；綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是：

故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動點從點出發(fā)沿方向在和上勻速移動，連接交或的延長線于，記點移動的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】分三種情況討論得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式即可得出答案．【詳解】解：①當點與點重合時，在正方形中，，∴與或的延長線沒有交點，不符合題意；②當點在線段之間（點不與點、點重合），∵四邊形是正方形，，∴，，∴，，∴，∴，∵點移動的距離為，為，∴，，，∴，∴，它的圖像是反比例函數(shù)圖像的一部分；②當點在線段之間（點可與點、點重合），此時點與點重合，∵，，又∵，∴，它的圖像是一條線段；∴動點從點出發(fā)沿方向在和上勻速移動時所對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為：，故選：C．【點睛】本題考查動點問題函數(shù)圖像，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖像．解題的關(guān)鍵和難點在于根據(jù)點的位置分情況討論．3．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點C，D是位于直線下方的上的一動點（點D不與點C重合），連接，過點A作，過點B作于點E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．D．

【答案】B【分析】根據(jù)得，根據(jù)直線是線段的中垂線可得，，再證，然后根據(jù)相似三角形列比例式化簡可得，再結(jié)合確定函數(shù)圖像即可即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵直線是線段的中垂線，∴，，，∵，∴，∴，∴∴，即，可得，即函數(shù)圖像為B選項．故選B．【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖像，證得得到是解答本題的關(guān)鍵．【類型五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】例題：（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點B的坐標為，現(xiàn)有兩動點P，Q，點P以每秒3個單位的速度從點O出發(fā)向終點A運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)向終點B運動，連接，，．設(shè)運動時間為t秒．

(1)點P的坐標為______，點Q的坐標為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化，并說明理由；(3)若A，P，Q為頂點的三角形與相似時，請求出t的值．【答案】(1)，(2)四邊形的面積不會隨時間t的變化而變化，理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)題意和坐標與圖形性質(zhì)直接求解即可；（2）根據(jù)求解即可；（3）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，又點B的坐標為，則點P坐標為，點Q坐標為，故答案為：，；（2）解：四邊形的面積不會隨時間t的變化而變化，理由：∵點B坐標為，四邊形是矩形，∴，，則四邊形的面積；（3）解：當時，∴，即，解得：，當時，∴，即，解得：或（不合題意，舍去），綜上所述：或．【點睛】本題考查坐標與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，分類討論是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運動D點，則點G的運動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【答案】（1）；（2）．理由見解析；（3）2；（4）【分析】（1）通過證明全等，得到；（2）通過證明得到，，延長相交于點H．可以證明；（3）作于點N，交的延長線于點M，交的延長線于點J，證明，得出，求出，得出點G的運動軌跡是直線，當點E從點A運動到點D的過程中，點G從點J運動到點M，求出結(jié)果即可；（4）作點D關(guān)于直線的對稱點，連接交于G，根據(jù)兩點之間線段最短，得出此時的值最小，最小值為，根據(jù)，得出，即，從而得出的最小值就是的最小值．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；故答案為：；（2）解：．理由如下：延長相交于點H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于點N，交的延長線于點M，交的延長線于點J，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴點G的運動軌跡是直線，當點E從點A運動到點D的過程中，點G從點J運動到點M，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴點G的運動路徑長度為2，故答案為：2．（4）解：作點D關(guān)于直線的對稱點，連接交于G，如圖所示：

根據(jù)解析（3）可知，點G的運動軌跡是直線，∵，∴，∵兩點之間線段最短，∴此時的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．2．（2023春·江西鷹潭·九年級校考階段練習）綜合與探究問題提出：數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個問題：在中，，于點D，E為上的一動點，與相交于點G，點F在上，于點E，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

特例故知：（1）勤奮小組從特殊情況入手：如圖1，，E為的中點，則與的數(shù)量關(guān)系為______．變式探究（2）希望小組受此啟發(fā)，作了如下改變：如圖2，將（1）中“”改為“”，其他條件不變，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展提高（3）經(jīng)過前兩個小組的探究，智慧小組將該問題的條件更一般化：如圖3，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3），證明見解析【分析】（1）過點E作，垂足分別為，證明，即可得出結(jié)論；（2）過點E作，垂足分別為，證明，結(jié)合解直角三角形的知識進行解答即可；（3）過點E作，垂足分別為，證明，結(jié)合解直角三角形的知識進行解答即可．【詳解】解：（1）過點E作，垂足分別為，

∵，，，∴，∵，∴和為等腰直角三角形，∵E為的中點，∴，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）過點E作，垂足分別為，

同理可得四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵E為的中點，∴，∴，即；（3）過點E作，垂足分別為，

同（2）可得，∴，∵，，∴，∴，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識點，運用類比的方法解題是本題的關(guān)鍵．【類型六相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問題：【初步認識】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過點作交的延長線于點．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點，連接，猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，對角線，相交于點O，E是射線上一動點，過點作交射線于點，當，，時，請直接寫出的長．

【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②，理由見解析；(3)或4．【分析】（1）根據(jù)題可得、，然后根據(jù)同角的余角相等即可證明結(jié)論；（2）①先證明可得，再說明是的中位線可得，再結(jié)合即可證明結(jié)論；②先說明和都是等腰直角三角形，進而得到，再說明可得可得、，即可得，進而得到即可證明結(jié)論；（3）當點E在線段的延長線上時，過點O作于點F，于點H，與交于點K，證明，由相似三角形的性質(zhì)得即可求出的長，進而求得的長；當點E在線段上時，過點O作于點F，于點H，同理解答即可【詳解】（1）證明：，．．，．．

（2）①．，即．，由（1）知，．．∵M，F(xiàn)分別是，的中點，是的中位線．．．②，理由如下：連接，，由①知，，．，，∴和都是等腰直角三角形．，．．又為中點，M為中點，，．．．，．，．．．．．．

（3）解：①如圖：當點E在線段的延長線上時，過點O作于點F，于點H，與交于點K，

,∴∵四邊形是矩形，∴，∴∴四邊形是矩形，,∵，O為的中點，∴，同理：，，，又，∴，∴，即，解得：∴；②如圖：當點E在線段上時，過點O作于點F，于點H，

同理可得，即，解得：，∴．綜上，的長為或4．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時思路，利用圖（2）請證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點，點P是直線外一動點，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長至D，使，若的長為定值，請求出這個值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點在l外運動時，使為定值，直接寫出的長為___________（用含m、n的式子表示）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；【嘗試應(yīng)用】①2，【拓展提高】②【分析】（1）作，交的延長線于E，可證得，因此，再證，從而得出；（2）延長至T，使，連接，可證得，，進而證得，進而證得，進一步得出結(jié)果；（3）延長至Q，使，連接，作，交的延長線于D，由得出，由平分得出，不妨設(shè)，，則，由得出，進而得出．【詳解】（1）證明：如圖1，作，交的延長