2025年甘肅省蘭州市九年級診斷考試數(shù)學(xué)　必刷卷（一）

2025年甘肅省蘭州市九年級診斷考試數(shù)學(xué)必刷卷（一）注意事項(xiàng)：全卷共120分，考試時間120分鐘.一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.2025的相反數(shù)是（）A.－2025 B.2025 C.12025 D.－2.如圖，是一種測量角的儀器，它依據(jù)的原理是（）第2題圖A.同位角相等 B.對頂角相等 C.垂線段最短 D.等角的余角相等3.計(jì)算：2x·（－3x2y3）＝（）A.6x3y3 B.－6x2y3 C.－6x3y3 D.18x3y34.石墨烯在材料學(xué)、微納加工、能源、生物醫(yī)學(xué)和藥物傳遞等方面具有重要的應(yīng)用前景.它的分子結(jié)構(gòu)如圖所示，所有多邊形都是正多邊形，則∠ABC的度數(shù)為（）第4題圖A.135° B.120° C.105° D.60°5.已知關(guān)于x的方程a2a－x＝13的解是xA.2 B.1 C.－1 D.－26.如圖，AB是☉O的直徑，C，D是☉O上兩點(diǎn)，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，則∠A的度數(shù)為（）第6題圖A.50° B.55° C.65° D.75°7.若函數(shù)y＝（m＋1）xm2－3A.2 B.－2 C.±2 D.38.關(guān)于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)b＝（）A.0 B.－1或1 C.1 D.－2或29.2024年國家統(tǒng)計(jì)局公布了《中華人民共和國2023年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報》.如圖為國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的全國2019－2023年快遞業(yè)務(wù)量及其增長速度的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列結(jié)論錯誤的是（）第9題圖A.2023年的快遞業(yè)務(wù)量比2022年增加了214.9億件B.2019年至2023年，快遞業(yè)務(wù)量持續(xù)上升C.2020年至2023年，快遞業(yè)務(wù)量的年增長率持續(xù)下降D.與2021年相比，2022年的快遞業(yè)務(wù)量的年增長率雖然下降，但快遞業(yè)務(wù)量仍然上升10.隨著時代的進(jìn)步，汽車的普及，現(xiàn)在的汽車設(shè)計(jì)可以說是日新月異，出現(xiàn)了極具前瞻性的設(shè)計(jì)，其中很重要的一個組成部分就是車門設(shè)計(jì).好的車門主要體現(xiàn)在它的防撞性能、密封性能、開合便利性等.如圖，某汽車車門的底邊長為1m，車門打開后的最大角度為75°，若將一扇車門打開，則這扇車門底邊掃過區(qū)域的最大路徑長是（）第10題圖A.5π24m B.5π12m C.π2m11.如圖，在等邊三角形ABC中，延長BC到點(diǎn)E，連接AE，若AE＝32，∠CAE＝15°，則AB的長為（）第11題圖A.22 B.32 C.23 D.312.如圖1，點(diǎn)P，Q分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B同時出發(fā)，沿正方形的邊逆時針方向勻速運(yùn)動，若點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)P速度的2倍，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P，Q同時停止運(yùn)動.圖2是點(diǎn)P，Q運(yùn)動時，△PBQ的面積y隨時間x變化的圖象，則正方形ABCD的邊長為（）圖1圖2第12題圖A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.因式分解：x3－x＝.14.如圖，在?ABCD中（AD＞AB），∠ABC為銳角，將△ABC沿對角線AC方向平移，得到△A'B'C'，連接AB'和C'D，在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形AB'C'D是菱形，只需添加的一個條件是.第14題圖15.剪紙是我國民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對稱軸與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合，則點(diǎn)A（－4，2）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.第15題圖16.如圖，顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果.（注：釘尖向上的頻率＝釘尖向上的次數(shù)投擲次數(shù)下面有三個推斷：第16題圖①當(dāng)投擲次數(shù)是600時，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是400，所以“釘尖向上”的概率是0.667；②隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618；③若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的概率一定是0.620.其中正確的是.（填序號）三、解答題（本大題共12小題，共72分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（4分）計(jì)算：416÷22＋6×218.（4分）解不等式組：x－319.（4分）化簡：（1m－2＋20.（6分）如圖，已知點(diǎn)A在正比例函數(shù)y＝2x的圖象上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，以AB為邊作正方形ABCD，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上（1）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2時，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若正方形ABCD的面積為m，試用含m的代數(shù)式表示k的值.第20題圖21.（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接AC，以AB為邊作△ABE，使得BE＝BC，AE＝AC，過點(diǎn)C作CE⊥CD交AB于點(diǎn)F.（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若△AEB的面積是10，CD＝5，求CF的長.第21題圖22.（6分）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，是距離渭河源頭鳥鼠山8公里處的渭源縣城的一座名為“灞陵橋”的純木質(zhì)拱橋，因渭水繞灞陵（漢文帝陵墓）通長安而得名，是世界上唯一的純木質(zhì)懸臂梁與疊梁拱結(jié)構(gòu)相結(jié)合的木質(zhì)拱橋，又名握橋或臥橋.著名的橋梁建筑大師茅以升在他的《橋梁史》中贊評灞陵橋“僅次于河北趙州同濟(jì)橋”，奠定了它在橋梁史上的重要地位.如圖2，橋拱截面OBA可以看作拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬約24米，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離為8米.模型建立：（1）如圖2，以該時刻水面為x軸，橋拱與水面的一個交點(diǎn)為原點(diǎn)，過原點(diǎn)且垂直于水面的線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的表達(dá)式；問題解決：（2）現(xiàn)有兩艘寬為6米，高為3.5米（帶貨物）的小舟，相向而行，恰好同時接近拱橋，問兩艘小舟能否同時從橋下穿過？請說明理由.圖1圖2第22題圖23.（6分）綜合與實(shí)踐觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，某工廠計(jì)劃在一條筆直的道路上設(shè)立一個儲物點(diǎn)，工作人員每天進(jìn)入工廠大門后，先到儲物點(diǎn)取物品，然后再到車間.你認(rèn)為該儲物點(diǎn)應(yīng)建在什么地方，才能使工作人員所走的路程最短？數(shù)學(xué)理解：如圖2，如果把大門、車間和儲物點(diǎn)所在的位置都看作點(diǎn)，把道路看作一條直線，那么就可以把上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題.（1）根據(jù)“數(shù)學(xué)理解”中的說法，關(guān)于“最短”，你已有的認(rèn)識是；操作體驗(yàn)：（2）如圖3，直線l的同一側(cè)分別有A，B兩點(diǎn)，在直線l上確定一個點(diǎn)C，使AC＋BC最短.請?jiān)趫D中標(biāo)注點(diǎn)C；（不寫作法，保留作圖痕跡）拓展探究：（3）如圖4，四邊形EFGH是一個長方形的臺球桌，有黑，白兩球分別位于A，B兩點(diǎn).怎樣撞擊黑球，能使黑球先碰撞臺邊GH，反彈后再碰撞臺邊EF，最后擊中白球.請你認(rèn)真思考，將黑球移動的路線畫在圖上.（不寫作法，保留作圖痕跡）圖1圖2圖3圖4第23題圖24.（6分）綜合與實(shí)踐【項(xiàng)目背景】無核柑橘是我省西南山區(qū)特產(chǎn)，該地區(qū)某村有甲、乙兩塊成齡無核柑橘園.在柑橘收獲季節(jié)，班級同學(xué)前往該村開展綜合實(shí)踐活動，其中一個項(xiàng)目是：在日照、土質(zhì)、空氣濕度等外部環(huán)境基本一致的條件下，對兩塊柑橘園的優(yōu)質(zhì)柑橘情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，為柑橘園的發(fā)展規(guī)劃提供一些參考.【數(shù)據(jù)收集與整理】從兩塊柑橘園采摘的柑橘中各隨機(jī)選取200個.在技術(shù)人員的指導(dǎo)下，測量每個柑橘的直徑作為樣本數(shù)據(jù)，柑橘的直徑用x（單位：cm）表示.將收集的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行如下分組：組別ABCDEx3.5≤x＜4.54.5≤x＜5.55.5≤x＜6.56.5≤x＜7.57.5≤x≤8.5整理樣本數(shù)據(jù)，并繪制甲、乙兩園樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖，部分信息如下：甲園樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)直方圖乙園樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)直方圖圖圖1圖2第24題圖（1）填空：a＝.（2）下列結(jié)論正確的是（填序號）.①兩園樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)均在C組；②兩園樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)均在C組；③兩園樣本數(shù)據(jù)的最大數(shù)與最小數(shù)的差相等.（3）結(jié)合市場情況，將D，E兩組的柑橘認(rèn)定為一級，C組的柑橘認(rèn)定為二級，其他組的柑橘認(rèn)定為三級，其中一級柑橘的品質(zhì)最優(yōu)，二級次之，三級最次.試估計(jì)哪個園的柑橘品質(zhì)更優(yōu)，并說明理由.25.（6分）古樹名木是中華民族悠久歷史與文化的象征.據(jù)悉，在蘭州樹齡1000年以上的古樹僅有4棵，分別為七里河區(qū)工人文化宮的兩棵唐槐（樹齡約1320年），紅古區(qū)張家寺村寺廟旁的文成槐（樹齡約1300年），榆中縣定遠(yuǎn)鎮(zhèn)礦灣村龍泉寺旁的圓柏（樹齡約1000年）.某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量工人文化宮其中一棵唐槐的高度，制作了如下的實(shí)踐報告：活動課題測量唐槐（AB）高度（唐槐有圍欄保護(hù)，測量小組無法到達(dá)其底部）活動目的運(yùn)用銳角三角函數(shù)知識解決實(shí)際問題測量工具自制測傾器、皮尺等方案示意圖測量步驟（1）站在F處，利用測傾器測得唐槐最高點(diǎn)A的仰角為45°（2）后退6米到達(dá)D處，測得A點(diǎn)的仰角為37°說明CD，EF為測傾器的支桿，在測量過程中CD，EF、唐槐AB均與水平面DB垂直，且D，F(xiàn)，B共線測量數(shù)據(jù)∠ACG＝37°，∠AEG＝45°，CD＝EF＝2米，DF＝6米參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75根據(jù)上表中的測量方案及數(shù)據(jù)，計(jì)算唐槐AB的高度.（結(jié)果保留整數(shù)）26.（7分）如圖，△DBE內(nèi)接于☉O，DB是☉O的直徑，BE平分∠DBC，∠C＝90°，延長BD交CE的延長線于點(diǎn)A，連接OE.（1）求證：AC是☉O的切線；（2）若cos∠ABC＝12，AD＝8，求AE的值第26題圖27.（8分）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC邊上的一點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，連接CE.用等式寫出線段CD，BD，AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，思考提出新的問題：如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)為邊BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°.用等式寫出線段EF，BE，CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在△ABC中，∠BAC為直角，∠ABC＝45°，平面內(nèi)存在一點(diǎn)D，使CD⊥BD.若AD＝42，CD＝2，求△ABC的面積.圖1圖2圖3第27題圖28.（9分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于線段MN，直線l和圖形W給出如下定義：線段MN關(guān)于直線l的對稱線段為M'N'（M'，N'分別是M，N的對應(yīng)點(diǎn)）.若MN與M'N'均與圖形W（包括內(nèi)部和邊界）有公共點(diǎn)，則稱線段MN為圖形W關(guān)于直線l的“對稱連接線段”.（1）如圖1，已知☉O的半徑是2，B1，C1，B2，C2，B3，C3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段B1C1，B2C2，B3C3中，是☉O關(guān)于直線y＝x－1的“對稱連接線段”的是；（2）如圖2，已知點(diǎn)P（0，1），以點(diǎn)O為中心的正方形ABCD的邊長為4，各邊與坐標(biāo)軸平行，若線段OP是正方形ABCD關(guān)于直線y＝kx＋2的“對稱連接線段”，求k的取值范圍；（3）如圖3，已知☉O的半徑為r，點(diǎn)M（1，0），線段MN的長度為1.若對于任意過點(diǎn)Q（0，2）的直線l，都存在線段MN是☉O關(guān)于l的“對稱連接線段”，直接寫出r的取值范圍.圖1圖2圖3第28題圖2025年蘭州市九年級診斷考試數(shù)學(xué)必刷卷（一）1.A2.B3.C4.B5.C6.C7.A8.D9.C10.B11.C12.D13.x（x＋1）（x－1）14.AB'＝B'C'（答案不唯一）15.（4，2）16.②17.解：原式＝4×1216×＝2×36＋＝33＋2. 18.解：x－由①，得x＜1， 1分由②，得x≥－2， 2分則不等式組的解集為－2≤x＜1.∴不等式組的解集在數(shù)軸上表示如解圖. 4分第18題解圖19.解：原式＝1+m－2m＝m－1＝2m－120.解：（1）∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)y＝2x的圖象上，∴當(dāng)x＝2時，y＝4，∴A（2，4），∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，OB＝2，∴D（6，4）. 1分∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝kx∴k＝4×6＝24，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝24x. （2）∵正方形ABCD的面積為m，∴AD＝AB＝BC＝CD＝m，∴點(diǎn)D和點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為m，易知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m2，m）， ∴OC＝OB＋BC＝3m2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3m2將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y＝kx得k＝3m2×m＝32m21.（1）證明：∵AC＝AE，BC＝BE，∴AB垂直平分CE，∴AB⊥CE. 1分∵CD⊥CE，∴AB∥CD.又∵BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形. 3分（2）解：由（1）可知，AB垂直平分CE，四邊形ABCD是平行四邊形，∴EF＝CF，AB＝CD＝5. 4分∵S△AEB＝12AB·EF＝10，∴12×5×EF＝10，∴EF∴CF＝4. 6分22.解：（1）由題意，得點(diǎn)O和點(diǎn)A的坐標(biāo)分別為（0，0）和（24，0）.∵B為拋物線的頂點(diǎn)，∴B（12，8）.設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x－12）2＋8. 1分將點(diǎn)O（0，0）代入表達(dá)式可得a（0－12）2＋8＝0，解得a＝－118∴拋物線的表達(dá)式為y＝－118（x－12）2＋8（0≤x≤24）. （2）兩艘小舟能同時從橋下穿過.理由如下： 4分將y＝3.5代入y＝－118（x－12）2＋得－118（x－12）2＋8＝3.5，解得x1＝21，x2＝∴小舟高度為3.5米時，最大的通行寬度為21－3＝18（米）.∵兩艘小舟寬為6米，6＋6＝12＜18，∴兩艘小舟能同時從橋下穿過. 6分23.解：觀察發(fā)現(xiàn)：連接大門與車間，與道路相交的地方，即為儲物點(diǎn)應(yīng)建的地方. 1分（1）兩點(diǎn)之間線段最短. 2分（2）如解圖1，點(diǎn)C即為所求. 4分（3）黑球移動的路線如解圖2. 6分圖1圖2第23題解圖24.解：（1）40. 2分（2）①. 4分（3）乙園的柑橘品質(zhì)更優(yōu).理由如下：由頻數(shù)分布直方圖可知，甲園一級柑橘的占比為40+25200×100％＝32.5％二級柑橘的占比為50200×100％＝25％乙園一級柑橘的占比為50+15200×100％＝32.5％二級柑橘的占比為70200×100％＝35∵32.5％＝32.5％，25％＜35％，∴乙園的柑橘品質(zhì)更優(yōu). 6分25.解：由題意可知，CE＝DF＝6米，CD＝EF＝BG＝2米.在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，∴AG＝EG. 3分在Rt△ACG中，∠ACG＝37°，∴tan∠ACG＝tan37°＝AGCG＝AG6+AG解得AG＝18， 5分∴唐槐AB的高度為AG＋BG＝18＋2＝20（米）.答：唐槐AB的高度約為20米. 6分26.（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝∠OEB， 1分∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C＝90°，∴OE⊥AC. 2分∵OE為☉O的半徑，∴AC是☉O的切線. 3分（2）解：設(shè)☉O的半徑為r，則OE＝OD＝r，AO＝8＋r.由（1）知OE∥BC，∴∠ABC＝∠AOE. 4分∵cos∠ABC＝12，∴cos∠AOE＝OEAO＝r8+∴r＝12（8＋r），解得r＝8， ∴AO＝16，∴AE＝AO2－OE227.解：（1）BD2＋CD2＝2AD2.理由如下：由題意，得△ABC與△ADE均為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，DE＝2AD.∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，AB＝AC∠BAD＝∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS）， 1分∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠ACE＝90°，∴CE2＋CD2＝ED2＝（2AD）2＝2AD2，∴BD2＋CD2＝2AD2. 2分（2）EF2＝BE2＋CF2.理由如下：如解圖1，把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE'，連接E'F，則AE'＝AE，CE'＝BE，∠CAE'＝∠BAE，∠B＝∠ACE'. 3分∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠CAF＝∠CAE'＋∠CAF＝∠FAE'＝45°，∴∠EAF＝∠E'AF，∴△AEF≌△AE'F（SAS），∴EF＝E'F.∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠ACB＋∠ACE'＝90°，即∠FCE'＝90°，∴E'F2＝CE'2＋CF2，∴EF2＝BE2＋CF2. 5分圖1圖2圖3第27題解圖（3）如解圖2，延長DB到點(diǎn)D'，使BD'＝CD，連接AD'.易得△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC.∵CD⊥BD，∴∠BAC＋∠CDB＝180°，∴∠DBA＋∠ACD＝180°.∵∠DBA＋∠ABD'＝180°，∴∠ACD＝∠ABD'，∴△ABD'≌△ACD（SAS）， 6分∴AD'＝AD＝42，