2022屆高考數(shù)學(xué)（理）大一輪復(fù)習知識講義-第八章 立 體 幾 何

第八章立體幾何

第一節(jié)

空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積

本節(jié)主要包括3個知識點：

1.空間幾何體的三視圖和直觀圖;

2.空間幾何體的表面積與體積；

3.與球有關(guān)的切、接應(yīng)用問題.

突破點(一)空間幾何體的三視圖和直觀圖

基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

多面

結(jié)構(gòu)特征

體

有兩個面平行,其余各面都是四邊形且每相鄰兩個面的交

棱柱

線都平行且相等

有一個面是多邊形,而其余各面都是有一個公共頂點的三

棱錐

角形

棱錐被平行于底面的平面所截,截面和底面之間的部分叫

棱臺

做棱臺

(2)旋轉(zhuǎn)體的形成

幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸

圓柱矩形矩形任一邊所在的直線

圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線

直角梯形或等腰直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中

圓臺

梯形點的連線

球半圓或圓直徑所在的直線

2.空間幾何體的三視圖

(1)三視圖的名稱

幾何體的三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.

(2)三視圖的畫法

①在畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱用實線表示，重疊的線只

畫一條，不能看見的輪廓線和棱用虛線表示.

②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、

正左方、正上方觀察幾何體的正投影圖.

3.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x'軸，/

軸的夾角為45°或135°,W軸與』軸和V軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標

軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度丕變；平行于y

軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.

考點貫通抓高考命題的“形”與“神”______________

空間幾何體的結(jié)構(gòu)

考點一

特征

[例1](1)用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面,

則這個幾何體一定是()

A.圓柱B.圓錐

C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體

(2)下列說法正確的是()

A.有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是

棱柱

B.四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形

C.有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

D.棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點

［解析］(1)截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體.

(2)A錯，如圖(1);B正確，如圖(2),其中底面A8C0是矩形，

P0J"平面A8CO,可證明/PAB,NPCB,ZPDA,NPDC都是直角，

這樣四個側(cè)面都是直角三角形；C錯，如圖(3);D錯，由棱臺的定義

知，其側(cè)棱的延長線必相交于同一點.

［答案］(DC(2)B

［方法技巧］

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的三個技巧

(1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實物，提高空間想象能力；

(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依

據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，如例1(2)中的A,C兩項易判斷失誤；

(3)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析.

空間幾何體的三

考點二

視圖

1.畫三視圖的規(guī)則

長對正、高平齊、寬相等，即俯視圖與正視圖一樣長；正視圖與

側(cè)視圖一樣高；側(cè)視圖與俯視圖一樣寬.

2.三視圖的排列順序

先畫正視圖，俯視圖放在正視圖的下方，側(cè)視圖放在正視圖的右

方.

[例2]（1）（2017?貴州七校聯(lián)考）如圖所示，四面體ABCD的四個

頂點是長方體的四個頂點（長方體是虛擬圖形，起輔助作用），則四面

體A3co的三視圖是（用①②③④⑤⑥代表圖形，按正視圖，側(cè)視圖,

俯視圖的順序排列）（）

A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D(zhuǎn).③④⑤

（2）（2016?天津高考）將一個長方體沿相鄰三個面的對

角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所正視圖

示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）

俯視圖

ABCI)

［解析］(1)正視圖應(yīng)該是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到

右上是實線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①；側(cè)視圖應(yīng)該是邊

長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，

因此側(cè)視圖是②；俯視圖應(yīng)該是邊長為3和5的矩形，其對角線左上

到右下是實線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.

(2)先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)(左)視圖.由

幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)(左)視圖為圖

②.

［答案］(1)B(2)B

［方法技巧］

三視圖問題的常見類型及解題策略

(1)由幾何體的直觀圖求三視圖

注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向；注意能看到的部分用

實線表示，不能看到的部分用虛線表示.

(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖

解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖

的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式.當然作為選擇題,

也可將選項逐項代入檢驗.

(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀

要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合

空間想象將三視圖還原為實物圖.

空間幾何體的直

考點三

觀圖

直觀圖與原圖形面積的關(guān)系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系:

(1)S直觀圖=4s原圖形.

(2)3原圖形=2、/5s直觀圖.

［例3］用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形

的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是

()

［解析］由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長

為啦，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2冊.

［答案］A

能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”______________

1.［考點一］如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱

錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下四個命題中，假命題是()

A.等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等

B.等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補

C.等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓

D.等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上

解析：選B因為“等腰四棱錐”的四條側(cè)棱都相等，所以它的

頂點在底面的射影到底面的四個頂點的距離相等，故A,C是真命題;

且在它的高上必能找到一點到各個頂點的距離相等，故D是真命題；

B是假命題，如底面是一個等腰梯形時結(jié)論就不成立.

2.［考點二］一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正

確的是（）

解析：選B由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角

三棱柱組成.從上往下看，外層輪廓線是一個矩形，矩形內(nèi)部是一條

水平線段連接兩個三角形.

3.［考點二］已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，

俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2

的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（）

俯視圖

ABCD

解析：選C當正視圖為等腰三角形時，則高

應(yīng)為2,且應(yīng)為虛線，排除A,D;當正視圖是直

角三角形時，由條件得一個直觀圖如圖所示，中間的線是看不見的線

E4形成的投影，應(yīng)為虛線，故答案為C.

4.［考點三］用斜二測畫法畫出的某平面圖形的

直觀圖如圖，邊43平行于y軸，BC,4。平行于x

軸.已知四邊形ABCD的面積為2啦cm2,則原平

面圖形的面積為（）

A.4cm2B.4A/2cm2C.8cm2D.8^/2cm2

解析：選C依題意可知NBAO=45°,則原平面圖形為直角梯

形，上下底面的長與BC,4。相等，高為梯形的高的26倍,

所以原平面圖形的面積為8cm2.

5.［考點二］（2017?南昌模擬）如圖，在正四棱柱

ABCD-AiBiCiDi中，點尸是平面AiBiCiDi內(nèi)一點,

則三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為

（）

A.1：1B.2：1

C.2：3D.3：2

解析：選A根據(jù)題意，三棱錐P-BCO的正視圖是三角形，且

底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，

且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高.故三棱錐尸-3C0

的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1:1.

突破點（二）空間幾何體的表面積與體積

基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”

1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

側(cè)面積公

S圓柱側(cè)=&［以S圓錐側(cè)=三豆S圓合側(cè)=7t（r+r'）/

圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積間的關(guān)系：S圓柱便J=2元//圓臺健=兀（「

+r'L"*S圓錐便j=7rr/.

2.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱表面積體積

幾何體

柱體S表面積=S側(cè)+2S

V=Sh

（棱柱和圓柱）底

錐體

V=^Sh

S表面積=3側(cè)+S底

（棱錐和圓錐）

V=j（S上+S下+

臺體S表面積=S側(cè)+S上

（棱臺和圓臺）+S下港商仍

4

球S=4nR2：3

V=~5n--R--

考點貫通抓高考命題的“形”與“神”

空間幾何體的表

考點一

面積

[例1]（1）（2017?安微江南十校聯(lián)考）某幾何體的三視圖如圖所示,

其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為（）

T

1

I

T

1

±

俯視圖

A.4n+16+4*\/3B.5元+16+4h/5

C.4兀+16+2/D.5元+16+25

(2)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()

A.1+V3B.2+小

C.1+2啦D.2^2

［解析］(1)由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱

的組合體，三棱柱的兩個側(cè)面面積之和為2X4X2=16,兩個底面面

積之和為2X：X2Xy§=2??；半圓柱的側(cè)面積為7tX4=4兀，兩個底

面面積之和為2X；X?rX12=九，所以幾何體的表面積為5幾+16+

2^3,故選D.

(2)根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，其中側(cè)面

46。_L底面BCD,另兩個側(cè)面ABC,ACO為等邊

三角形，則有S表面積=2X；X2X1+2X乎X(何

C

=2+小.

［答案］(DD(2)B

［方法技巧］

癱尚麗麻衷贏西穎屢題瓦息落一-

(1)求多面體的表面積，只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖

形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.

(2)求旋轉(zhuǎn)體的表面積，可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入

手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)

側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系.

(3)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的

柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，

再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.

空間幾何體的

考點二

體積

柱體'錐體'臺體體積間的關(guān)系

［例2］(1)(2016?北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三

棱錐的體積為()

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

C,2D.1

⑵某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

正視圖側(cè)視圖

b-2-

俯視圖

A.§+2兀

［解析］(1)通過三視圖可還原幾何體為如圖所示0

產(chǎn)二二二?

的三棱錐P-ABC,通過側(cè)視圖得高h=l,通過俯視圖；j.

得底面積S=；X1X1=；,所以體積

X1=1.

O

(2)由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱和半個圓錐組合而成的幾

何體，其體積為兀X12X2+9x占rX12xi=^|3

LJO

［答案］(1)A(2)B

［方法技巧］

求空間幾何體體積的常見類型及思路

(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直

接利用公式進行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.

(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過

分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.

（3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體

的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.

能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”

1.［考點二］（2016?山東高考）一個由半球和四棱錐組成的幾何體,

其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

解析：選C由三視圖知，四棱錐是底面邊長為1,高為1的正

四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為半，從而該幾何體的體積為:

XFxl+；x亨兀故選Q

2.［考點二］已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體

積為（）

側(cè)視圖

俯視圖

57r333

A?§cm，B.2ncm3C.孑cmD.37rcm

解析：選C該幾何體為一個圓柱挖去半個球得到的幾何體，其

,147rxi37元,

體積V=7tX1~X3—TX---=~(cm3).

/SJ

3.［考點一］某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（)

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.12正+20B.24&十20

C.44D.12^5

解析：選A由三視圖得，這是一個正四棱臺，且上、下底面的

/自一21L

邊長分別為2,4,則側(cè)面梯形的高九=A/22+^-^-J2=A/5,所以該正

四棱臺的表面積S="羋農(nóng)'4+22+42=12下+20.

4.［考點一］某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等

于（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.8+2啦B.11+2^2

C.14+2啦D.15

解析：選B由三視圖知，該幾何體是一個直四//

棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示.直角梯形A,rfp

斜腰長為迎針=啦，所以底面周長為4+啦，側(cè)一匕』

1A1B

面積為2乂（4+啦）=8+2地，兩底面的面積和為2X；

XlX（l+2）=3,所以該幾何體的表面積為8+2啦+3=11+2啦.

5.［考點二］中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344

年商鞅督造一種標準量器—商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位:

寸）：

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

若兀取3,其體積為12.6（立方寸），則圖中的x的值為

解析：由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成,

由題意得：（5.4-x）X3X14-n-M2x=12.6,解得x=L6.

答案：1.6

突破點（三）與球有關(guān)的切、接應(yīng)用問題

1.球的表面積和體積是每年高考的熱點，且多與三視圖、多面體

等綜合命題，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).解決此類問題時，一是

要善于把空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中處理；二

是要將變化的模型轉(zhuǎn)化到固定的長方體或正方體中.

2.與球有關(guān)的組合體問題主要有兩種，一種是內(nèi)切問題，一種是

外接問題.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)

“元素”間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.

考點貫通抓高考命題的“形”與“神”

多面體的內(nèi)切球

考點一

問題

［例1］若一個正四面體的表面積為Si,其內(nèi)切球的表面積為S2,

［解析］設(shè)正四面體棱長為a,

則正四面體表面積為Si=4X-^-a2=-\/3?2,其內(nèi)切球半徑為正四

面體高的;，

即r=4X3a~12a,

因此內(nèi)切球表面積為52=4幾/=%",

回國=迷

［答案］呼

［方法技巧］

處理與球有關(guān)內(nèi)切問題的策略

解答此類問題時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果內(nèi)切

的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.

多面體的外接球

考點二

問題

處理與球有關(guān)外接問題的策略

把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題.解決這

類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于

球的半徑.

［例2］（1）（2017?撫順模擬）已知直三棱柱的6個頂點

都在球O的球面上，若A3=3,AC=4,AB1AC,AAt=12,則球O

的半徑為（）

A.3^^B.2-\fl0C.號D.3y/10

（2）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊

長為2,則該球的表面積為（）

AB.167r

277r

D.

C.97r4

（3）一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示（圖

中三個四邊形都是邊長為2的正方形)，則該幾何體外接球的體積為

2

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

［解析］(1)如圖所示，由球心作平面ABC的垂

線，則垂足為的中點

又OM=^AAi=6,

所以球0的半徑K=OA=A/（jl2+62=^.

(2)如圖所示，設(shè)球半徑為R,底面中心為O'且球

心為0,

???正四棱錐P-ABCD中AB=2,

：.AO'=啦.

?:P0'=4,

??.在RtZkAOO'中，AO2=AO'2+00'2,

??.￡2=（啦）2+（4一夫）2,

9

解得R=w，

.?.該球的表面積為4元R2=4TTX髀竽

(3)依題意可知，新的幾何體的外接球也就是原正方體的外接球,

球的直徑就是正方體的體對角線，

，2￡=25(〃為球的半徑)，,￡=小，

4

?二球的體積曠=鏟爐=4班兒

［答案］(1)C(2)A(3)44元

［方法技巧］

(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距離恰為棱柱高的;.

(2)正方體外接球的直徑為正方體的體對角線的長.此結(jié)論也適合

長方體，或由同一頂點出發(fā)的兩兩互相垂直的三條棱構(gòu)成的三棱柱或

三棱錐.

(3)求多面體外接球半徑的關(guān)鍵是找到由球的半徑構(gòu)成的三角形，

解三角形即可.

能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”

1.［考點一］一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材

切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()

I-6T

A.1B.2C.3D.4

解析：選B該幾何體為直三棱柱，底面是邊長分別為6,8,10的

直角三角形，側(cè)棱長為12,故能得到的最大球的半徑等于底面直角三

2X-X6X8

角形內(nèi)切圓的半徑，其半徑為-市==后市r=2,故選以

2.［考點二］如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表

面積為（）

俯視圖

A.200元B.1507rC.100元D.507r

解析：選D由三視圖知，該幾何體可以由一個長方體截去4個

角后得到，此長方體的長、寬、高分別為5,4,3,所以外接球半徑R

滿足2￡=聲不再予=5也，所以外接球的表面積為S=4nR2=4n

xf^}=5（hr,故選D.

3.［考點二］（2016?太原模擬）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=

AD=CD=\,BD=yJl,BDVCD,將其沿對角線BD折成四面體

A'-BCD,使平面301_平面3。0，若四面體A，-BCD的頂點在

同一個球面上，則該球的表面積為（）

A.3兀B虐itC.47rD.平力

解析：選A由圖示可得C=&,BC=小,△O3C與

△A'3C都是以為斜邊的直角三角形，由此可得中點到四個

點A',B,C,D的距離相等，即該三棱錐的外接球的直徑為小，

所以該外接球的表面積S=4TTX例=3元.

4"考點二］設(shè)一個球的表面積為SI,它的內(nèi)接正方體的表面積為

S1,則3的值等于（）

r6口加_n

A.2BCD

nn-6-2

解析：選D設(shè)球的半徑為K,其內(nèi)接正方體的棱長為“，則易

知肥=%,即°=斗^￡,則3=----4nR2n

4SD2

6X2”

「全國卷5年真題集中演練一明規(guī)律1____________________

1.（2016?全國甲卷）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三

視圖，則該幾何體的表面積為（）

A.207rB.247rC.287rD.32元

解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓

柱底面圓半徑為r,周長為c,圓錐母線長為/,圓柱高為瓦由圖得r

=2,c=2nr=4n,h=4,由勾股定理得，Z=A/22+（2A/3）2=4,S褰=

元,+c/i+.以=4元+16兀+87r=28元.

2.（2016?全國丙卷）在封閉的直三棱柱4BC-4B1G內(nèi)有一個體積

為V的球.^AB-LBC,AB=6,BC=8,44=3,則V的最大值是

A.4兀B岑C.6TT

6

解析:選B設(shè)球的半徑為R,?△ABC的內(nèi)切圓半徑為+：10

34⑶97r

=2,.又2KW3,:.R與,.?.丫1^=3*九乂技『='.故選8.

3.（2015?新課標全國卷n）一個正方體被一個平面截去一部分后，

剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

（）

0N

解析：選D由已知三視圖知該幾何體是由一個正

方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截

去部分是一個三棱錐.設(shè)正方體的棱長為1,則三棱錐的

體積為%=；X：乂1><1><1=1,剩余部分的體積匕=13一.所以總

1

=|=|,故選D.

6

4.（2015?新課標全國卷U）已知A,B是球O的球面上兩點，Z

403=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐0-A5C體積的最大值

為36,則球O的表面積為（）

A.36元B.64兀C.1447rD.2567r

解析：選C如圖，設(shè)球的半徑為K,VZAOB=

，=2，=

90°,?.SAAOB^/?.?*VO-ABCVC-AOB9而△AOB面積為定值，???當

點。到平面AOB的距離最大時，VO-ABC最大，??.當C為與球的大圓

面A03垂直的直徑的端點時，體積VO-ASC最大，為:乂；尺2乂尺=36,

；.R=6,??.球O的表面積為4兀肥=4兀X62=l447r.故選C.

5.（2015?新課標全國卷I）圓柱被一個平面截去一部H-2r-H

分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖2方

正視圖

中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為

16+207T,貝!）r=（）11

俯視圖

A.1B.2

C.4D.8

解析：選B如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體,

球的半徑為r,圓柱的底面半徑為r,高為2r,則表面

積S=；X4兀3+九3+4/+九廣2廠=（571+4）/.又S=16+207r,：.（5n

4-4）^=164-207：,

.'.r2=4,r=2,故選B.

6.（2015?新謀標全國卷I）《九章算術(shù)》是我B

國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問I

題：”今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：

積及為米幾何？”其意思為：”在屋內(nèi)墻角處堆放上一3”

米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米

堆的高為5尺，間米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的

體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

解析：選B設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則。=8,所以r=逋，

所以米堆的體積為憶=］乂；兀?y?5=工X蹩］2x52毛與立方尺）.故堆

4312\TtJy

320

放的米約有行一+l.62P22（斛）.故選B.

7.（2014?新課標全國卷II）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為

1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底

面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的

體積與原來毛坯體積的比值為（）

解析：選C原毛坯的體積V=（7rX32）X6=547r（cm3）,由三視圖

2

可知該零件為兩個圓柱的組合體，其體積V=VI+V2=（7TX2）X4

V'10

+（nX32）X2=347t（cm3）,故所求比值為1一—^=行.

8.（2013?新課標全國卷I）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾

何體的體積為（）

A.16+87T

C.16+1671D.8+16兀

解析：選A根據(jù)三視圖可以判斷該幾何體由上、下兩部分組成，

其中上面部分為長方體，下面部分為半個圓柱，所以組合體的體積為

2X2X4+1x22X7rX4=16+87r,故選A.

9.（2012?新謀標全國卷）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O

的球面上，△AKC是邊長為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC

=2,則此棱錐的體積為（）

A.*B.*C.乎D卷

解析：選A由于三棱錐S-ABC與三棱錐0-A5C底面都是4

ABC,。是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱樂

錐O-ABC高的2倍，所以三棱錐S-ABC的體積也是三/f,\

棱錐0-A5C體積的2倍.

在三棱錐O-ABC中，其棱長都是1,如圖所示，SAABC=^-XA52

=乎，高00=、^12—?^2=當，所以VS-ABC=2VO-ABC=2X^X-^

亞_啦

X3-6，

［課時達標檢測1重點保分課時---■-練小題夯雙基,

二練題點過高考

［練基礎(chǔ)小題——強化運算能力］

1.下列結(jié)論正確的是()

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋

轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長都相等，則該棱錐可能是

六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線

解析：選DA錯誤，如圖①是由兩個相同的三棱錐疊放在一起

構(gòu)成的幾何體，它的各個面都是三角形，但它不是三棱錐；B錯誤，

如圖②，若△ABC不是直角三角形，或△4BC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)

軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐；C錯誤，若該棱錐是六棱

錐，由題設(shè)知，它是正六棱錐.易證正六棱錐的側(cè)棱長必大于底面邊

長，這與題設(shè)矛盾.

2.如圖是一個空間幾何體的三視圖，其中正視圖、

側(cè)視圖都是由邊長為4和6的矩形以及直徑等于4的圓

組成，俯視圖是直徑等于4的圓，該幾何體的體積是

()

,417r六62兀

A?亍B.亍

R83TT1047r

J33

解析：選D由題意得，此幾何體為球與圓柱的組合體，其體積

V=4^X234-7rX22X6=I1y0475r.

3.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

()

A.12+4地B.18+8啦

C.28D.20+8吸

解析：選D由三視圖可知該幾何體是底面為

等腰直角三角形的直三棱柱，如圖.

則該幾何體的表面積為S=2X；X2X2+4X2X2+2diX4=20

十隊回，故選D.

4.《九章算數(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹

堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的

面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為（）

A.2B.4+2巾

C.4+4啦D.6+4也

解析：選C由題可知，該幾何體的底面為等腰直角三角形，等

腰直角三角形的斜邊長為2,腰長為也，棱柱的高為2.所以其側(cè)面積

5=2X2+2^2X2=44-4^2,故選C.

5.已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若球的體積為野,

則正方體的棱長為.

解析：設(shè)正方體棱長為凡球半徑為A,則4上爐=與97r，...尺=之3，

；.y/^a=3,；.a=y/^.

答案：小

［練常考題點一一檢驗高考能力］

一、選擇題

1.已知圓錐的表面積為。，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這

個圓錐的底面直徑是（）

A,23元

2、3兀a2y［3a

3元3n

解析：選C設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,由題意知2口

=nl,*.l—2r,則圓錐的表面積S表=兀戶+^^「產(chǎn)二”，；.r2=g,

LJ7T

-2\l3mi

2r=,?

37r

jr

2.在梯形"CD中，ZABC=^,AD//BC,BC=2AD=2AB=

2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾

何體的體積為（）

C.§D.2n

解析：選C過點。作C￡垂直4。所在直線于點￡,

梯形4BCD繞4。所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由F尋,

淪

以線段Ab的長為底面圓半徑，線段5。為母線的圓柱挖匕汐B

去以線段CE的長為底面圓半徑，E0為高的圓錐，如圖所示，該幾

222

何體的體積為y=y^-vga^=7rABBC-1-7iCEjDE=7rXlX2-1

Sir

7TX12X1=—故選C.

J

3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A當

15

解析：選D該幾何體可視為正方體截去兩個三

棱錐所得，如圖所示，所以其體積為23-1x|

X2X2X2一;X；X1X1X1=￥.故選D.

4.已知正四面體的棱長為戲,則其外接球的表面積為（）

解析：選D如圖所示，過頂點A作AOJ■底A

面BCD,垂足為0,則0為正三角形BCD的中心，

連接。。并延長交3C于￡,又正四面體的棱長為

隹所以。E=噂，OD=）E=當,所以在直角三角形40。中，AO

=、4。2一。02=亭.設(shè)正四面體外接球的球心為p半徑為R連接

222

PD,則在直角三角形POD中，PD=PO+OD,即R2=（￥-R）2

+圖2,解得R=半，所以外接球的表面積5=47^2=3”.

5.（2017?鄭州質(zhì)檢）如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾

何體外接球的表面積為（）

俯視圖

A.8元B.167rC.327tD.647r

解析：選c還原三視圖可知該幾何體為一個四棱錐，將該四棱

錐補成一個長、寬、高分別為26，2啦，4的長方體，則該長方體外

接球的半徑—血物十*『2=2&,則所求外接球的表面積為

4nP=32n.

6.已知四棱錐尸-4BCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABC。

的四個側(cè)面中面積的最大值是（）

A.6B.8C.2乖D.3

解析：選A四棱錐如圖所示，作PN_L平面

ABCD,交。。于點N,PC=PD=3,DN=2,則PN

=^32-22=A/5,AB=4,BC=2,BC±CD,故BC

1.平面PDC,即BC-LPC,同理4D_LPD.設(shè)M為AB的中點，連接

PM,MN,則PM=3,SziP℃=]X4SAPBC=SAPAD=^X2X3

=3,SAMB=1X4X3=6,所以四棱錐尸-ABC。的四個側(cè)面中面積的

最大值是6.

二、填空題

7.在棱長為3的正方體ABCO-ALBIGDI中，P在線段3d上，

且黑=4,M為線段BiCi上的動點，則三棱錐M-PBC的體積為

解析：???黑'=；，,點尸到平面3G的距離是A到平面距

Jr./

離的;，

即三棱錐P-MBC的高入=弩*i=l.M為線段BiCi上的點，

19

SAMBC=\X3X3=不，

193

VM-PBC—Vp-MBC=^XTX1—T.

答案：1

8.一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m),則該幾何體的體積

為m3.

T

2

一2T

I*4"h-4一

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

解析：由三視圖可得該幾何體是組合體，上面是底面圓的半徑為

2m、高為2m的圓錐，下面是底面圓的半徑為1m、高為4m的圓

柱，所以該幾何體的體積是QX47rx2+471=—、匹(irP).

小士207r

答案：

9.如圖，正方形O'AfB'C'的邊長為a,它是

一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形0ABe

的周長是

解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知，原圖形OABC是一個平行四邊

形.

在原圖形OABC中0B=2\[ia,OA=a,

,ELOAA.OB,：.AB=3a,

???原圖形04BC的周長為2(a+3a)=8a.

答案：8a

10.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在

下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,

盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降

雨量是寸.

（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于

十寸）

解析：由題意知，圓臺中截面圓的半徑為十寸，圓臺內(nèi)水的體積

1元

為丫=鏟〃（吊+得+/＞「下）=QX9X（1O2+62+IOX6）=5887r（立方寸）,

JO

降雨量為一?=邈5=3（寸）

怦E理',142元1967r"

答案：3

三、解答題

11.已知球的半徑為K,在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱的底

面半徑與高為何值時，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？

解：如圖為其軸截面，令圓柱的高為瓦底面半

徑為r,側(cè)面積為S,（:Z）

則陟+/=上

即h=2ylR2~rl.

因為S=Inrh=Aitr^R2—^=

4周六化?一,）W4iz、l迅嗅二^~=2nli2,

當且僅當r=R2~r1,

即r=￥展時，取等號，

即當內(nèi)接圓柱底面半徑為坐￡,高為啦R時，其側(cè)面積的值最大，

最大值為271K2.

12.一個幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長為1的

平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為小、寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊

長為1的正方形拼成的矩形.

正視圖側(cè)視圖

(1)求該幾何體的體積V;

(2)求該幾何體的表面積S.

解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六

面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為由.

所以V=1X1義幣=木.

(2)由三視圖可知，該平行六面體中，■平

面ABCD,CD_L平面BCCiBi,

所以AAi=2,側(cè)面CDOiG均為矩形.

S=2X(IX14-1x73+1X2)=6+2^3.

第二節(jié)

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

本節(jié)主要包括2個知識點:

1.平面的基本性質(zhì)；2.空間兩直線的位置關(guān)系.

突破點(一)平面的基本性質(zhì)

基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”

1.公理1?3

文字語言圖形語言符號語言

X

如果一條直線上的

4白、

兩點在一個平面BGI

公理1>0lUa

內(nèi)，那么這條直線

BGa,

在此平面內(nèi)

A,B,C三點不共

過不在一條直線上

線今有且只有一個

公理2的三點，有且只有

平面a,使

一個平面

BGa,C^a

如果兩個不重合的

平面有一個公共

PWa,且pe/?今

公理3點，那么它們有且

aC\fi=l,且

只有一條過該點的

公共直線

2.公理2的三個推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面;

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；

推論3：經(jīng)過兩條壬紅直線有且只有一個平面.

考點貫通抓高考命題的“形”與“神”

點、線、面的位置

考點

關(guān)系

1.證明點共線問題的常用方法

⑴公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的

公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上;

(2)同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該

直線上.

2.證明線共點問題的方法

先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點.

3.證明點、直線共面問題的常用方法

⑴納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi);

⑵輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面a,再證明其余元

素確定平面夕，最后證明平面a,重合.

［典例］已知：空間四邊形4BCD(如圖所示)，E,

尸分別是A&AD的中點，G,H分別是BC,CD±

的點，且求證：

(DE,F,G,。四點共面;

⑵三直線EF/,EG,AC共點.

［證明］⑴連接EF,GH,

,:E,1分別是A3,AD的中點,

：.EF//BD.

又?.?CG=|BC,CH=^DC,

：.GH//BD,：.EF//GH,

：.E,F,G,H四點共面.

(2)易知P77與直線AC不平行，但共面,

，設(shè)

???"￡平面EFHG,平面ABC.

又???平面EFHGC平面ABC=EG,

AMGEG,

：.FH,EG,AC共點.

［方法技巧］

~—―—