湖南省岳陽市平江縣2023-2024學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

湖南省岳陽市平江縣2023-2024學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線m的方程為3x-yA．30° B．45° C．60° D．120°2．圓x2A．(-1，-2)，11 B．(-1，2)C．(-1，-2)，11 D．(-1，2)3．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a1=1，qA．4 B．5 C．6 D．74．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD的交點為MA．12a-C．-12a5．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺6．橢圓x225+A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AA．66 B．33 C．638．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，A．12 B．33 C．32二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9．已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}A．公差d的取值范圍是(-∞，1C．a(chǎn)8+a10．下列說法中，正確的有（）A．過點P(1，2)且在x軸，B．直線y=kx-2在C．直線x-3D．過點(5，4)且傾斜角為90°11．對于非零空間向量a，b，c，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是（）A．若a?b>0，則aB．若a=(2，3，3)，C．若a?bD．若a=(1，1，0)，b=(0，2，0)，c=(12．已知拋物線C：y2=2px(p>0)與圓O：x2+y2=5交于A，B兩點，且|AB|=4A．若直線l的斜率為33，則B．|MF|+2|C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為(0，62)，則點D．若點G(2，2)，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前n項和Sn=2n14．過雙曲線x24-y215．已知函數(shù)f(x)=x(x16．正四棱錐P-ABCD，底面四邊形ABCD為邊長為2的正方形，PA=5，其內(nèi)切球為球G，平面α過AD與棱PB，PC分別交于點M，N，且與平面ABCD所成二面角為30°，則平面α截球四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．已知a=(2，-1，-4)，b（1）若(a-b（2）若(a+3b18．已知圓C：(x-1)2+(（1）求證：直線l恒過定點；（2）當(dāng)m=0時，求直線l被圓C19．已知數(shù)列{an}的首項a（1）求證：數(shù)列{1（2）若1a1+20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA（1）判斷直線BC與平面PAD的位置關(guān)系，并證明；（2）求平面PAB與平面PBC所成二面角α余弦值的絕對值．21．已知函數(shù)f(（1）當(dāng)m=12時，求曲線f（2）當(dāng)m≤2時，求證：f22．已知雙曲線C：x2a2-y（1）求雙曲線C的方程；（2）經(jīng)過點F的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，與y軸交于P點，點P關(guān)于原點的對稱點為點Q，求△QAB

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因為直線m的方程為3x-y+2=0，則直線m的斜率為k=3，

設(shè)直線的傾斜角為α，故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系式以及直線的傾斜角的取值范圍，進而得出直線的傾斜角的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：因為圓x2+y2+2x-4y-6=0故答案為：D.【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進而得出圓心坐標(biāo)和半徑長.3．【答案】B【解析】【解答】解：因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，又因為a1=1，q=2，Sn故答案為：B.【分析】利用已知條件結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式得出n的值.4．【答案】A【解析】【解答】解：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M，

設(shè)A故答案為：A.【分析】利用已知條件結(jié)合平行六面體的結(jié)構(gòu)特征和中點的性質(zhì)，進而由空間向量基本定理找出與向量MB5．【答案】A【解析】【解答】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{an}，如冬至日的日影長為a1尺，設(shè)公差為由題可知，所以a1a2d=aa3故答案為：A．

【分析】由題意知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為a1尺，公差為d尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出d，即可求出a1，由此能求出答案.6．【答案】D【解析】【解答】解：因為橢圓x225+y29=1，所以橢圓的長軸長為2a=2×5=10,短軸長為：2b=2×3=6，

離心率為e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=1-925=45，因為c2=a2-故答案為：D.【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的長軸長公式、短軸長公式、離心率公式、焦距公式，進而找出橢圓x225+7．【答案】A【解析】【解答】解：以點D1為坐標(biāo)原點，D1

則A1,0,1,C0,1,1,C10,1,0,E1,12,0,F1,12,1,

所以，C1E→=1,-12,0,CF→=1,-12,0,所以，C1【分析】利用已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示判斷出線線平行，進而證出線面平行，所以CF∥平面AC1E，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進而得出平面A8．【答案】A【解析】【解答】解：因為O是F1F2的中點，G是△PF則由IG平行于x軸可知，PIIQ=PGGO=2,則PQIQ=3，

所以，S?PF1F2S?IF1F2=3,設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增，設(shè)公差為d，所以an>0,d>0,

又因為a5=2，則a5=a1+4d=2,所以，a1=2-4d>0，所以0<d<12，所以A錯；

因為2a7=2a1故答案為：BCD.【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列為正項和等差數(shù)列的單調(diào)性，進而得出公差的取值范圍，從而判斷出選項A；利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式判斷出選項B；利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和作差比較大小的方法判斷出選項C；利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，進而判斷出選項D，從而找出正確的選項.10．【答案】C,D【解析】【解答】解：對于A，當(dāng)截距為0時，設(shè)與x軸，y軸截距相等的直線方程為y=kx,

又因為直線過點P(1，2)，所以，2=k×1,所以，k=2,

所以，過點P(1，2)且在x軸，y軸截距相等的直線方程為y=2x，

當(dāng)截距不為0時，設(shè)與x軸，y軸截距相等的直線方程為xa+ya=1，又因為直線過點P(1，2)，

所以，1a+2a=1，所以a=3，所以，過點P(1，2)且在x軸，y軸截距相等的直線方程為x+y-3=0，

綜上所述，過點P(1，2)且在x軸，y軸截距相等的直線方程為y=2x或x+y-3=0，所以A錯；

對于B，直線y=kx-2在y軸的截距是-2，所以B錯；

對于C，直線x故答案為：CD.【分析】利用已知條件結(jié)合直線的截距式方程和點代入法以及分類討論的方法，進而得出直線方程，從而判斷出選項A；利用已知條件結(jié)合直線的縱截距的定義判斷出選項B；利用已知條件結(jié)合直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系式以及直線的傾斜角的取值范圍，進而得出直線的傾斜角的值，從而判斷出選項C；利用已知條件結(jié)合直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系，再結(jié)合代入法得出直線方程，從而判斷出選項D，進而找出正確說法的選項.11．【答案】B,D【解析】【解答】解：因為a，b，c是非零空間向量，

對于A，因為a?b>0，所以，a→?b→=a→×b→×cosa→,b→>0,

又因為兩向量夾角取值范圍為[0,π),則a，b的夾角是銳角或零角，所以A錯；

對于B，因為a=(2，3，3)，b=(-3，-1，3)，則a→·b→=2×故答案為：BD.【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的定義和三角函數(shù)值在各象限的符號、數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的運算法則和向量相等的判斷方法、空間向量的基底判斷方法和向量共面的判斷方法，從而找出真命題的選項.12．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由拋物線C：y2=2px(p>0)與圓O：x2+y2=5交于A，B兩點，且|AB|=4，

得到第一象限交點1，2在拋物線C：y2=2px(p>0)上，所以22=2p,解得p=2，

所以，拋物線C:y2=4x,則F1,0。

對于A，設(shè)直線l:x=my+1，與拋物線C:y2=4x聯(lián)立可得y2-4my-4=0,

設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2,所以，y1+y2=4m,y1y2=-4,

所以，MN=1+m2y1-y2=1+m2×y1+y故答案為：ABC.【分析】設(shè)出直線MN的方程，與拋物線方程聯(lián)立進行求解，當(dāng)m=3時，MN=16,進而判斷出選項A；再根據(jù)韋達定理和不等式求最小值后判斷出選項B；畫出大致圖象，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M'，交y軸于M1，結(jié)合拋物線的定義判斷出選項C；過G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，結(jié)合三角形△13．【答案】a【解析】【解答】解：因為數(shù)列的前n項和Sn=2n2+n+1，

當(dāng)n=1時，a1=S1=2×12+1+1=4，

當(dāng)n≥2,n∈N*故答案為：an

【分析】利用已知條件結(jié)合Sn14．【答案】2【解析】【解答】解：雙曲線x24-y23=1的左頂點為-2，0，直線2x-y+1=0故答案為：2x【分析】利用已知條件結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出左頂點坐標(biāo)，再結(jié)合兩直線平行斜率相等，從而得出所求直線的斜率，再利用點斜式方程得出過雙曲線x24-15．【答案】6【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)=x(x-c)2，

則f'(x)=(x-c)2+2x-cx=x2-2cx+c2+2x2-2cx=3x2-4cx+c2，

因為函數(shù)在x=2處有極大值，所以f'(2)=4×3-8c+c2=12-8c+c2=0,

所以，c-2c-6=0,則c故答案為：6.【分析】利用已知條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)求極值點的方法得出c的值，再利用分類討論的方法和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出極值點的方法，進而找出滿足要求的c的值.16．【答案】π【解析】【解答】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A0,0,0,D2,0,0,B0,2,0,C2,2,0,

因為PA=PD=PB=PC=5,AO=12AC=2,

所以，PO=PA2-AO2=3,所以，P1,1,3,O1,1,0,

則內(nèi)切球的球心G在PO上，設(shè)G1,1,h，內(nèi)切球的半徑為R，

S?PAD=S?PCD=S?PBC=S?PAB=12×2×52-1故答案為：π3

【分析】利用已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可得到球心坐標(biāo)，設(shè)平面α的法向量為n→=0,-1,a，再利用空間向量法表示出二面角的余弦值，即可求出參數(shù)α17．【答案】（1）解：∵a=(2，-1，-4)，∴a-b∵(a∴3解得k=（2）解：∵a=(2，-1，-4)，∴(a+3b∵(a∴(a即(-1)×1+(3k解得k=-23【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運算和向量共線的坐標(biāo)表示，進而得出實數(shù)k的值；

（2）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進而得出實數(shù)k的值.18．【答案】（1）證明：依題意直線l：(2m+1)x整理得l：(2x由2x+y所以l恒過定點(3，1（2）解：當(dāng)m=0時，直線l：x圓C：(x-1)2+((1，2)到直線l：x+所以直線l被圓C截得的弦長為2【解析】【分析】（1）將直線方程變形建立關(guān)于x，y的方程組，從而證出直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)；

（2）利用m的值得出直線的方程，再結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心坐標(biāo)和半徑長，再利用點到直線的距離公式得出圓心到直線的距離，從而由弦長公式得出直線l被圓C截得的弦長.19．【答案】（1）證明：由an+1=則1an+1-1=1∴數(shù)列{1an-1}是以（2）解：由(1)可得，1a∴1則1=2×1由1a1+即n-∵y=n-13n為單調(diào)增函數(shù)，∴即滿足條件的最大整數(shù)n=99【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合遞推公式變形和等比數(shù)列的定義，進而證出數(shù)列{1an-1}為等比數(shù)列；

（2）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的通項公式得出數(shù)列1a20．【答案】（1）解：直線BC//平面PAD延長AB、DC，交于點M，因為PA=AD=2所以AM=DM，所以BM=又因為BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以直線BC（2）解：分別以AD、AP為y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A(0，0，0)，B(3AB=(3，1，0)，AP設(shè)平面PAB的法向量為m=(x，y，令x=1，則y=-3，z=0，所以平面設(shè)平面PBC的法向量為n=(a，b，令a=1，則b=0，c=34計算cos<m，所以平面PAB與平面PBC所成二面角α余弦值的絕對值為219【解析】【分析】（1）延長AB、DC，交于點M，再利用邊與角的關(guān)系得出AM=DM，進而得出BM=CM，所以BC//AD，再利用線線平行證出線面平行，從而證出直線BC//平面PAD；

（2）分別以AD、AP為y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出平面PAB的法向量和平面PBC