人教 選擇性必修 第三冊(cè) 第八章 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 獨(dú)立性檢驗(yàn) 教案

第人教2019A版選擇性必修第三冊(cè)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)【教學(xué)內(nèi)容】獨(dú)立性檢驗(yàn)【教學(xué)目標(biāo)】（1）知識(shí)目標(biāo)：通過實(shí)例了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（2）能力目標(biāo)：掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟（3）素養(yǎng)目標(biāo)：會(huì)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決簡單的實(shí)際問題，提升數(shù)據(jù)分析能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法【教學(xué)難點(diǎn)】χ2統(tǒng)計(jì)量的導(dǎo)出和意義【教學(xué)過程】1．問題引入及情境架設(shè) (1)舊知回顧：在上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了列聯(lián)表，由隨機(jī)事件的穩(wěn)定性，了解并作出判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)同學(xué)們思考：用頻率推斷兩個(gè)分類變量是否獨(dú)立有什么缺點(diǎn)？ 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)頻率與概率的比較，由頻率具有隨機(jī)性，與概率之間存在差異； 通過數(shù)據(jù)改變，由樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的概率較大． (2)問題激發(fā)：有沒有更合理的推斷方法，同時(shí)也希望對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤推斷的概率一定的控制或估算？由概率知識(shí)分析，如果兩個(gè)事件的獨(dú)立，它們的充要條件是什么？ 我們需要更好的方法彌補(bǔ)因頻率的隨機(jī)性帶來判斷兩個(gè)分類變量的不可靠性，改進(jìn)提高判斷的結(jié)論科學(xué)性與穩(wěn)定性．如何改進(jìn)提高，先回頭看獨(dú)立事件，我們已知道，事件與事件獨(dú)立的充要條件是，這與兩個(gè)分類變量的頻率之間又有什么樣的聯(lián)系呢？2．教師引導(dǎo)分析與學(xué)生合作探究 我們將兩個(gè)分類變量的列聯(lián)表抽象簡化，以0，1分別表示事件發(fā)生的兩種結(jié)果，如下表所示，獨(dú)立的另一層含義，即我們需要了解事件與是否存在關(guān)聯(lián)？ 我們知道與不獨(dú)立，互為對(duì)立事件，與不獨(dú)立，互為對(duì)立事件． 我們需要判斷下面的假定關(guān)系：是否成立？ 通常稱為零假設(shè)或原假設(shè)(nullhypothesis)． 這里，表示從中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)，該樣本點(diǎn)屬于的概率；而表示從中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)，該樣本點(diǎn)屬于的概率． 由條件概率的定義可知，零假設(shè)等價(jià)于． ； 同理：獨(dú)立含義的全解(展示) 與獨(dú)立； 與獨(dú)立； 與獨(dú)立； 與獨(dú)立； 我們將列聯(lián)表分類匯總： 得到，， 和對(duì)應(yīng)的頻率的乘積； 發(fā)生的頻率的期望值； 其中與實(shí)際值應(yīng)當(dāng)相差不大，如何衡量兩者之間的差別呢？ 同理，，，，，這四個(gè)量差別也不應(yīng)太大， 疑問：有沒有更好的方式一次性將4個(gè)量全部考慮包含？ 于是，1900年，英國數(shù)學(xué)家卡方·皮爾遜在研究的基礎(chǔ)上，提出了如下統(tǒng)計(jì)量： 化簡得是不是看起來更好一點(diǎn)？其中具體的化簡過程為：(本部分內(nèi)容不講，留學(xué)有余力的同學(xué)自行完成)把代人上式各項(xiàng)分子，得，對(duì)上式右邊的分式進(jìn)行通分，得進(jìn)一步化簡得． 連續(xù)疑問：卡方統(tǒng)計(jì)量有什么用呢？ 統(tǒng)計(jì)學(xué)家建議，用卡方的大小作為判斷零假設(shè)是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷不成立，否則認(rèn)為成立．那么，究竟大到什么程度，可以推斷不成立呢？或者說，怎樣確定判斷卡方大小的標(biāo)準(zhǔn)呢？ 在假定的條件下，對(duì)于有放回簡單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家得到了卡方的近似分布。忽略卡方的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)，使得下面關(guān)系成立：．(*) 我們稱為的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值越小，臨界值越大．當(dāng)總體很大時(shí)，抽樣有、無放回對(duì)的分布影吅較小．因此，在應(yīng)用中往往不嚴(yán)格要求抽樣必須是有放回的． 由(*)式可知，只要把概率值取得充分小，在假設(shè)成立的情況下，事件是不大可能發(fā)生的．根據(jù)這個(gè)規(guī)律，如果該事件發(fā)生，我們就可以推斷不成立．不過這個(gè)推斷有可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過． 基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是： 當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立， 該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過； 當(dāng)時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立． 這種利用的取值推斷分類變量和是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)(testofindependence)．(小概率值)臨界值表3．典例講解，實(shí)際操作 例2．為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生，通過測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀。依據(jù)的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異？解：零假設(shè)：分類變量與相互獨(dú)立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率無差異根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有允分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異． 基于這些數(shù)據(jù)計(jì)算出的頻率與例1中的相同．然而在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下作獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率有明顯差異，結(jié)論卻發(fā)生了變化． 思考：為什么出現(xiàn)了與例1完全不同的結(jié)論？ 例1事實(shí)上是根據(jù)兩個(gè)頻率的差異進(jìn)行推斷的，沒有考慮隨機(jī)性的影響。但事實(shí)上，即便兩個(gè)樣本來自同一個(gè)總體，也會(huì)因?yàn)殡S機(jī)性使得頻率產(chǎn)生差異，因此需要用概率的方法進(jìn)行推斷，由于樣本具有隨機(jī)性，依據(jù)頻率所作的推斷可能會(huì)犯錯(cuò)誤． 通常情況下，樣本量越大，提供的信息越充分，觀測(cè)的結(jié)果通常會(huì)更準(zhǔn)確．與例1中的數(shù)據(jù)相比，這里的每個(gè)數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓉淼?0倍，即樣本量變?yōu)樵瓉淼?0倍，這種差異無法通過頻率的計(jì)算表現(xiàn)出來，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可能會(huì)得出不同的結(jié)論，可見統(tǒng)計(jì)量能夠有效地提取樣本所包含的有用信息．【設(shè)計(jì)意圖】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法得到的結(jié)論與例1用頻率估計(jì)概率的方法得到的結(jié)論截然相反，使學(xué)生體會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的必要性。例3.某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解：零假設(shè)為H0：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，問題：若對(duì)調(diào)兩種療法的位置或?qū)φ{(diào)兩種療效的位置，這樣做會(huì)影響χ2【設(shè)計(jì)意圖】重點(diǎn)放在解釋獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想上，避免學(xué)生單純地記憶處理問題的步驟和機(jī)械套用公式進(jìn)行計(jì)算。 例4．為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了9965人，得到成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如下表所示．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)．解：零假設(shè)：吸煙與患肺癌之間無關(guān)聯(lián)，根據(jù)小概率值的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，因此可以吸煙與患肺癌之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于．用頻率計(jì)算再次進(jìn)行比較： 不吸煙者中患肺癌的頻率：； 吸煙者中患肺癌的頻率：； 其中兩者的比值為：； 在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌的頻率的4倍以上．于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌。【設(shè)計(jì)意圖】①通過復(fù)習(xí)列聯(lián)表的制作，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題，熟悉運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法解決具體問題的步驟。②讓學(xué)生親自處理數(shù)據(jù)、解決問題，從中體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維和確定性思維之間的差異。③理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)處理的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。4．總結(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題主要環(huán)節(jié)： (1)提出零假設(shè)：和相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋． (2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值比較． (3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論． (4)在和不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析和間的影響規(guī)律．5．思考與升華 思考1：列聯(lián)表中，對(duì)換行或列的值，會(huì)影響卡方的取值計(jì)算結(jié)果嗎？自己動(dòng)手試一試！ 教師借助于GGB軟件展示，結(jié)論對(duì)換行或列的值是不會(huì)影響卡方的取值計(jì)算結(jié)果． 思考2：獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法有什么區(qū)別？ 反證法：在假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，則證明不成立；若未推出矛盾、不能對(duì)下任何結(jié)論，即反證法不成功． 獨(dú)立性檢驗(yàn)：在假設(shè)下，如果出現(xiàn)一個(gè)與相矛盾的小概率事件，則推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于這個(gè)小概率．否則，不能推斷不成立，通常會(huì)接受，即認(rèn)為兩個(gè)分類變量相互獨(dú)立． 通述的講，反證法只有兩種結(jié)果中的一種，在嚴(yán)密正確的推理下，結(jié)論100%可靠；但獨(dú)立性檢驗(yàn)不是，結(jié)論是否成立與犯錯(cuò)誤的概率有關(guān)系，有可能出現(xiàn)將正解的結(jié)論判斷成錯(cuò)誤，也有可能將錯(cuò)誤的結(jié)論判斷成正確．6