2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國版)專題21特殊的平行四邊形（45題）含答案及解析

專題21特殊的平行四邊形（45題）一、單選題1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．C． D．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，是坐標(biāo)原點，菱形的頂點在軸的負(fù)半軸上，頂點的坐標(biāo)為，則頂點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（

）

A． B． C． D．4．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，，于點，則的長是（

）A． B． C． D．6．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D7．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（）A．6 B．5 C．4 D．39．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動點P從菱形的點A出發(fā)，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到中點時，的長為（）A．2 B．3 C． D．11．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過點作，垂足為．設(shè)點的運動路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（

）A． B． C． D．12．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．1013．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形的對角線與相交于點．是邊上一點，是上一點，連接．若與關(guān)于直線對稱，則的周長是（

）

A． B． C． D．14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（

）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形15．（2024·四川德陽·中考真題）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．016．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形中，點E，F(xiàn)分別是邊上的動點，且滿足，與交于點O，點M是的中點，G是邊上的點，，則的最小值是（

）

A．4 B．5 C．8 D．1017．（2024·重慶·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（）A．2 B． C． D．二、填空題18．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為．

19．（2024·山東威海·中考真題）將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對折，使點C落在上的點處，折痕為，點D落在點處，交于點E．若，，，則．20．（2024·河南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點A的坐標(biāo)為，點E在邊上．將沿折疊，點C落在點F處．若點F的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)為．21．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長為．22．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．（1）線段的長為；（2）若為的中點，則線段的長為．23．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形中，，，是一條對角線，是上一點，過點作，垂足為，連接．若，則的長為．24．（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形的面積為24，點E是的中點，點F是上的動點．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．25．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關(guān)于過點O的直線l對稱，點B的對應(yīng)點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為26．（2024·黑龍江綏化·中考真題）在矩形中，，，點在直線上，且，則點到矩形對角線所在直線的距離是．三、解答題27．（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形是矩形，點E和點F在邊上，且．求證：．28．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．29．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實踐順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．【探究一】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點．求證：中點四邊形是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是、、、的中點，∴、分別是和的中位線，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中點四邊形是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．（1）請你補全上述過程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形菱形從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【探究三】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形②________（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【歸納總結(jié)】（5）請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．30．（2024·吉林長春·中考真題）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊中，，點、分別在邊、上，且，試探究線段長度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進(jìn)而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：；（2）的大小為度，線段長度的最小值為________．【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點在上，點在上．在調(diào)整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為多少米．31．（2024·河北·中考真題）情境

圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）操作

嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進(jìn)行拼接．根據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．請你按照淇淇的說法設(shè)計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．32．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接，點為的中點，的延長線交邊于點，連接(1)求證：四邊形是菱形：(2)若平行四邊形的周長為，求的長．33．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長線于點E．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作，使，且射線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)證明（1）中得到的四邊形是菱形34．（2024·貴州·中考真題）如圖，四邊形的對角線與相交于點O，，，有下列條件：①，②．

(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形；(2)在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．35．（2024·吉林·中考真題）圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C，D，E，O均在格點上．圖①中已畫出四邊形，圖②中已畫出以為半徑的，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中，面出四邊形的一條對稱軸．(2)在圖②中，畫出經(jīng)過點E的的切線．36．（2024·吉林·中考真題）小明在學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程：

【探究論證】（1）如圖①，在中，，，垂足為點D．若，，則______．（2）如圖②，在菱形中，，，則______．（3）如圖③，在四邊形中，，垂足為點O．若，，則______；若，，猜想與a，b的關(guān)系，并證明你的猜想．【理解運用】（4）如圖④，在中，，，，點P為邊上一點．小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：（ⅰ）以點K為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊，于點R，I；（ⅱ）以點P為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點；（ⅲ）以點為圓心，長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點，K在同側(cè)；（ⅳ）過點P畫射線，在射線上截取，連接，，．請你直接寫出的值．37．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形．(1)尺規(guī)作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接．求證：四邊形是菱形．38．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在中，，，，以為邊向外作有一個內(nèi)角為的菱形，對角線交于點O，連接，請用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出的面積．39．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，．(1)尺規(guī)作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．40．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．41．（2024·四川遂寧·中考真題）康康在學(xué)習(xí)了矩形定義及判定定理1后，繼續(xù)探究其它判定定理．(1)實踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點記為O；②以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；③順次連結(jié)所得的四點得到四邊形．于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．(2)猜想與證明通過和同伴交流，他們一致認(rèn)為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形．并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程．已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．

42．（2024·重慶·中考真題）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：(1)如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知：矩形，點，分別在，上，經(jīng)過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．43．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側(cè)．(1)當(dāng)點是邊的中點時，求的長；(2)當(dāng)時，點到直線的距離為________；(3)連結(jié)，當(dāng)時，求正方形的邊長；(4)若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）44．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．45．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點A在第一象限，的長度是一元二次方程的根，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線運動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動．設(shè)運動時間為t秒（），的面積為S．(1)求點A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，點M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使得以點O、P、M、N為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

專題21特殊的平行四邊形（45題）一、單選題1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查扇形面積的計算，勾股定理等知識．根據(jù)題意可得，由勾股定理得出，用矩形的面積減去2個扇形的面積即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，根據(jù)題意可得，∵矩形，∴，，在中，，∴圖中陰影部分的面積．故選：D．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，是坐標(biāo)原點，菱形的頂點在軸的負(fù)半軸上，頂點的坐標(biāo)為，則頂點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點間的距離公式，菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形．結(jié)合菱形的性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．由兩點間的距離公式結(jié)合菱形的性質(zhì)可求出，從而可求出，即得出頂點的坐標(biāo)為．【詳解】解：如圖，∵點的坐標(biāo)為，∴．∵四邊形為菱形，∴，∴，∴頂點的坐標(biāo)為．故選C．3．（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：作圖可得∴四邊形是菱形，∴∵，∴，∴，故選：C．4．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，則，∴選項A中不一定正確，故不符合題意；選項B中不一定正確，故不符合題意；選項C中一定正確，故符合題意；選項D中不一定正確，故不符合題意，故選：C．5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，，于點，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而根據(jù)等面積法，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴，，，在中，，∴，∵菱形的面積為，∴，故選：A．6．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】B【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，分式的值的大小比較，設(shè)，，，可得，，，再結(jié)合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，，，∵矩形，∴，，∴，，，∵，而，∴該矩形四個頂點中“特征值”最小的是點B；故選：B．7．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到，再由矩形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，∴，，∴軸，∴點的坐標(biāo)為，故選：C．8．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，結(jié)合，得到是等邊三角形，結(jié)合，得到，解得即可．本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，解得．故選C．9．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，求角的三角函數(shù)等知識點，正確利用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求得，，從而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，，，，，在中，，由勾股定理，得，，，，，故選：A．10．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動點P從菱形的點A出發(fā)，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到中點時，的長為（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時，，當(dāng)點P運動到點B時，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，繼而得到，當(dāng)點P運動到中點時，的長為，解得即可．本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時，，當(dāng)點P運動到點B時，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，故，當(dāng)點P運動到中點時，的長為，故選C．11．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過點作，垂足為．設(shè)點的運動路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定的長，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解．【詳解】解：由圖象得：，當(dāng)時，，此時點P在邊上，設(shè)此時，則，，在中，，即：，解得：，，故選：B．12．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．10【答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出，，證明得出，則可得出，同理，得出平行四邊形是矩形，證明，得出，進(jìn)而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，，∵E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，同理，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，同理，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，同理，∴平行四邊形是矩形，∵，，，∴，∴，又，，∴，∴矩形是正方形，在中，，∴，∴，∴正方形的面積為5，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，明確題意，靈活運用相關(guān)知識求解是解題的關(guān)鍵．13．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形的對角線與相交于點．是邊上一點，是上一點，連接．若與關(guān)于直線對稱，則的周長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，則，再求出，，即可求出答案．【詳解】解：正方形的邊長為2，∴，∴，∵與關(guān)于直線對稱，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴的周長是，故選：A．14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（

）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【答案】A【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問題的關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)得到，，進(jìn)而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：四邊形為矩形，，，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，故選：A．15．（2024·四川德陽·中考真題）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一元二次方程解的情況是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，假設(shè)存在點，且，則，利用勾股定理得到，，，可得到方程，結(jié)合，然后根據(jù)判別式的符號即可確定有幾個解，由此得解．【詳解】解：如圖所示，四邊形是黃金矩形，，，設(shè)，，假設(shè)存在點，且，則，在中，，在中，，，，即，整理得，，又，即，，，，，方程無解，即點不存在．故選：D．16．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形中，點E，F(xiàn)分別是邊上的動點，且滿足，與交于點O，點M是的中點，G是邊上的點，，則的最小值是（

）

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明得到，進(jìn)而得到，則由直角三角形的性質(zhì)可得，如圖所示，在延長線上截取，連接，易證明，則，可得當(dāng)H、D、F三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，求出，在中，由勾股定理得，責(zé)任的最小值為5．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵點M是的中點，∴；如圖所示，在延長線上截取，連接，

∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)H、D、F三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴的最小值為5，故選：B．17．（2024·重慶·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進(jìn)一步證明得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故選：D．二、填空題18．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為．

【答案】2【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個小三角形面積求解，即可解題．【詳解】解：正方形的面積為4，，，點，，，分別為邊，，，的中點，，，同理可得，四邊形的面積為．故答案為：2．19．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對折，使點C落在上的點處，折痕為，點D落在點處，交于點E．若，，，則．【答案】【分析】本題考查矩形的折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出，然后證明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解題即可．【詳解】解：在中，，由折疊可得，，又∵是矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，，∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，故答案為．20．（2024·河南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點A的坐標(biāo)為，點E在邊上．將沿折疊，點C落在點F處．若點F的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長為a，與y軸相交于G，先判斷四邊形是矩形，得出，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，在中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于的方程，求出的值，即可求解．【詳解】解∶設(shè)正方形的邊長為a，與y軸相交于G，則四邊形是矩形，∴，，，∵折疊，∴，，∵點A的坐標(biāo)為，點F的坐標(biāo)為，∴，，∴，在中，，∴，解得，∴，，在中，，∴，解得，∴，∴點E的坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用勾股定理求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．21．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長為．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長，過點作于，于，由題意易得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得，即可得到四邊形是菱形，再解可得，即可求解，得出四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作于，于，則，∵兩張紙條的對邊平行，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又∵兩張紙條的寬度相等，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，在中，，，∴，∴四邊形的周長為，故答案為：．22．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．（1）線段的長為；（2）若為的中點，則線段的長為．【答案】2/【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運用中位線定理是解題的關(guān)鍵；（1）運用正方形性質(zhì)對角線互相平分、相等且垂直，即可求解，（2）作輔助線，構(gòu)造中位線求解即可．【詳解】（1）四邊形是正方形，，在中，，，，；（2）延長到點，使，連接由點向作垂線，垂足為∵為的中點，為的中點，∴為的中位線，在中，，，在中，，為的中位線，；故答案為：2；.23．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形中，，，是一條對角線，是上一點，過點作，垂足為，連接．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，過D作于H，先判斷，都是等邊三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而求出，，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解∶過D作于H，∵菱形中，，，∴，，∴，都是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．24．（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形的面積為24，點E是的中點，點F是上的動點．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】10【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出，，根據(jù)和菱形的面積求出，，則可求出的面積，然后利用求解即可．【詳解】解：連接，∵菱形的面積為24，點E是的中點，的面積為4，∴，，設(shè)菱形中邊上的高為h，則，即，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：10．25．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關(guān)于過點O的直線l對稱，點B的對應(yīng)點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為【答案】/【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．設(shè)，，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，連接，，直線l交于點F，交于點G，得到點，D，O三點共線，，，，然后證明出，得到，然后證明出，得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵四邊形是菱形，∴設(shè)，∴，如圖所示，連接，，直線l交于點F，交于點G，∵線段與關(guān)于過點O的直線l對稱，點B的對應(yīng)點在線段上，∴，，∴∴點，D，O三點共線∴，∴∴∵∴由對稱可得，∴∴又∵∴∴∵∴又∵，∴∴∴．故答案為：．26．（2024·黑龍江綏化·中考真題）在矩形中，，，點在直線上，且，則點到矩形對角線所在直線的距離是．【答案】或或【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)交于點，點在線段上，在的延長線上，過點作，的垂線，垂足分別為，進(jìn)而分別求得垂線段的長度，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，∴∴，，如圖所示，設(shè)交于點，點在線段上，在的延長線上，過點作，的垂線，垂足分別為∵∴當(dāng)在線段上時，∴在中，∵在中，；當(dāng)E在射線上時，在中，∴∴∴∴，在中，綜上所述，點到對角線所在直線的距離為：或或故答案為：或或．三、解答題27．（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形是矩形，點E和點F在邊上，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再推出，利用證明，即可得到．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．28．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．【答案】證明見解析．【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．利用可證明，得出，根據(jù)得出，即可證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形．【詳解】證明：∵是邊的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．29．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實踐順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．【探究一】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點．求證：中點四邊形是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是、、、的中點，∴、分別是和的中位線，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中點四邊形是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．（1）請你補全上述過程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形菱形從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【探究三】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形②________（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【歸納總結(jié)】（5）請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．【答案】（1）①中位線定理（2）證明見解析（3）②矩形（4）證明見解析（5）補圖見解析；③且；④正方形【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識（1）利用三角形中位線定理即可解決問題；（2）根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問題；（3）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；（4）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；（5）根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問題.【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；（2）證明：∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中點四邊形是菱形．（3）②矩形；故答案為：矩形（4）證明∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，，∴．同理可得：．∵∴，∴∴中點四邊形是矩形．（5）證明：如圖4，∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中點四邊形是菱形．∵由（4）可知∴菱形是正方形．故答案為：③且；④正方形

30．（2024·吉林長春·中考真題）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊中，，點、分別在邊、上，且，試探究線段長度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進(jìn)而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：；（2）的大小為度，線段長度的最小值為________．【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點在上，點在上．在調(diào)整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為多少米．【答案】問題解決：（1）見解析（2）30，；方法應(yīng)用：線段長度的最小值為米【分析】（1）過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證明結(jié)論即可；（2）先證明，根據(jù)垂線段最短求出最小值；（3）過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，連接，求出，進(jìn)而得，利用垂線段最短求出即可．【詳解】解：問題解決：（1）證明：過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，四邊形是平行四邊形，；（2）在等邊中，，；當(dāng)時，最小，此時最小，在中，，線段長度的最小值為；方法應(yīng)用：過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，連接，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，當(dāng)時，最小，此時最小，作于點R，在中，，在中，，線段長度的最小值為米．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，垂線段最短及矩形性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．31．（2024·河北·中考真題）情境

圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）操作

嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進(jìn)行拼接．根據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．請你按照淇淇的說法設(shè)計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．【答案】（1）；（2），；的長為或．【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運算，本題要求學(xué)生的操作能力要好，想象能力強，有一定的難度．（1）如圖，過作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，可得，由拼接可得：，可得，，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，設(shè)，則，再進(jìn)一步解答即可；（2）由為等腰直角三角形，；求解，再分別求解；可得答案，如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，再進(jìn)一步求解的長即可．【詳解】解：如圖，過作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性質(zhì)可得：，∴，，為等腰直角三角形，∴為等腰直角三角形，設(shè)，∴，∴，，∵正方形的邊長為，∴對角線的長，∴，∴，解得：，∴；（2）∵為等腰直角三角形，；∴，∴，∵，，∴；如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，此時，，符合要求，或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，此時，，∴，綜上：的長為或．32．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接，點為的中點，的延長線交邊于點，連接(1)求證：四邊形是菱形：(2)若平行四邊形的周長為，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得再證明，得出，證明出四邊形是平行四邊形，由得出四邊形是菱形：（2）求出菱形的周長為20，得出，再證明是等邊三角形，得出．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴即∴∵為的中點，∴∴，∴∵∴四邊形是平行四邊形，又∴四邊形是菱形；（2）解：∵∴∵平行四邊形的周長為22，∴菱形的周長為：∴∵四邊形是菱形，∴又∴是等邊三角形，∵．33．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長線于點E．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作，使，且射線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)證明（1）中得到的四邊形是菱形【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)作一個角等于已知角的方法作圖即可；（2）先證明四邊形是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)菱形的判定即可得證．【詳解】（1）解：如圖，

；（2）證明：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵在中，是斜邊上的中線，∴，∴平行四邊形是菱形．34．（2024·貴州·中考真題）如圖，四邊形的對角線與相交于點O，，，有下列條件：①，②．

(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形；(2)在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)條件利用兩組對邊平行或一組對邊平行且相等證明是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的定義得到結(jié)論即可；（2）利用勾股定理得到長，然后利用矩形的面積公式計算即可．【詳解】（1）選擇①，證明：∵，，∴是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；選擇②，證明：∵，，∴是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；（2）解：∵，∴，∴矩形的面積為．35．（2024·吉林·中考真題）圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C，D，E，O均在格點上．圖①中已畫出四邊形，圖②中已畫出以為半徑的，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中，面出四邊形的一條對稱軸．(2)在圖②中，畫出經(jīng)過點E的的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，切線的判定，畫對稱軸等等：（1）如圖所示，取格點E、F，作直線，則直線即為所求；（2）如圖所示，取格點，作直線，則直線即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，取格點E、F，作直線，則直線即為所求；易證明四邊形是矩形，且E、F分別為的中點；（2）解：如圖所示，取格點，作直線，則直線即為所求；易證明四邊形是正方形，點E為正方形的中心，則．36．（2024·吉林·中考真題）小明在學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程：

【探究論證】（1）如圖①，在中，，，垂足為點D．若，，則______．（2）如圖②，在菱形中，，，則______．（3）如圖③，在四邊形中，，垂足為點O．若，，則______；若，，猜想與a，b的關(guān)系，并證明你的猜想．【理解運用】（4）如圖④，在中，，，，點P為邊上一點．小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：（?。┮渣cK為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊，于點R，I；（ⅱ）以點P為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點；（ⅲ）以點為圓心，長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點，K在同側(cè)；（ⅳ）過點P畫射線，在射線上截取，連接，，．請你直接寫出的值．【答案】（1）2，（2）4，（3），，證明見詳解，（4）10【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（2）根據(jù)菱形的面積公式計算即可；（3）結(jié)合圖形有，，即可得，問題隨之得解；（4）先證明是直角三角形，由作圖可知：，即可證明，再結(jié)合（3）的結(jié)論直接計算即可．【詳解】（1）∵在中，，，，∴，∴，∴，故答案為：2；（2）∵在菱形中，，，∴，故答案為：4；（3）∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，故答案為：，猜想：，證明：∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴；（4）根據(jù)尺規(guī)作圖可知：，∵在中，，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，∵，，∴根據(jù)（3）的結(jié)論有：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖，勾股定理的逆定理等知識，難度不大，掌握作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖方法，是解答本題的關(guān)鍵．37．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形．(1)尺規(guī)作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接．求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，垂直平分線的畫法及性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定．（1）根據(jù)垂直平分線的畫法即可求解；（2）由直線是線段的垂直平分線．得到，，，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證，可得，即可得到，即可求證．【詳解】（1）解：如圖1所示，直線為所求；（2）證明：如圖2，設(shè)與的交點為O，由（1）可知，直線是線段的垂直平分線．∴，，，，又∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．38．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在中，，，，以為邊向外作有一個內(nèi)角為的菱形，對角線交于點O，連接，請用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出的面積．【答案】圖形見解析，的面積為12或36．【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．分兩種情況討論，作，垂足為，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求得的長，再利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，所作圖形如圖，作，垂足為，∵菱形，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴的面積為；當(dāng)時，所作圖形如圖，作，垂足為，∵菱形，，∴，，∵，∴，，∴，，∴的面積為；綜上，的面積為12或36．39．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，．(1)尺規(guī)作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（1）作出線段的垂直平分線EF，交于點O，連接，則線段即為所求；（2）先證明四邊形為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；（2）證明：如圖，∵由作圖可得：，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形．40．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明．【詳解】解：，，，四邊形是正方形，，，，，又，．41．（2024·四川遂寧·中考真題）康康在學(xué)習(xí)了矩形定義及判定定理1后，繼續(xù)探究其它判定定理．(1)實踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點記為O；②以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；③順次連結(jié)所得的四點得到四邊形．于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．(2)猜想與證明通過和同伴交流，他們一致認(rèn)為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形．并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程．已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．

【答案】(1)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(2)證明見解析【分析】（1）由作圖結(jié)合對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；（2）先證明，再證明，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：由作圖可得：，，∴四邊形是平行四邊形，該判定定理是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形與矩形的判定方法是關(guān)鍵．42．（2024·重慶·中考真題）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：(1)如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知：矩形，點，分別在，上，經(jīng)過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．【答案】(1)見解析(2)①；②；③；④四邊形是菱形【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，垂線的尺規(guī)作圖：（1）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)矩形或平行四邊形的對邊平行得到，，進(jìn)而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．再由，即可證明四邊形是菱形．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵四邊形是矩形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．猜想：過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，