山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第四講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析

PAGE1-第四講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點一直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d__<__rΔ__>__0相切d__＝__rΔ__＝__0相離d__>__rΔ__<__0學(xué)問點二圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的狀況公切線條數(shù)外離__d>r1＋r2____無解__4外切__d＝r1＋r2__一組實數(shù)解3相交__|r1－r2|<d<r1＋r2__兩組不同的實數(shù)解2內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)__一組實數(shù)解__1內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)__無解__0eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．當(dāng)兩圓相交(切)時，兩圓方程(x2，y2項的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(內(nèi)公切線)所在的直線方程．兩圓相交時，兩圓連心線垂直平分公共弦；兩圓相切時，兩圓連心線必過切點．2．過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2．過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．3．過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在的直線方程為x0x＋y0y＝r2．4．直線與圓相交時，弦心距d，半徑r，弦長的一半eq\f(1,2)l滿意關(guān)系式r2＝d2＋(eq\f(1,2)l)2．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論正確的是(CD)A．假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交B．“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件C．過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2D．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條題組二走進(jìn)教材2．(必修2P132A5改編)直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝eq\r(10)．[解析]圓心的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝(eq\r(5))2，又圓心(1,2)到直線l的距離為eq\f(\r(10),2)，∴|AB|＝2eq\r(5－\f(\r(10),2)2)＝eq\r(10)．題組三考題再現(xiàn)3．(2024·浙江，12)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(－2，－1)，則m＝__－2__，r＝eq\r(5)．[解析]解法一：設(shè)直線2x－y＋3＝0為l，則AC⊥l，又kl＝2，∴kAC＝eq\f(m＋1,0＋2)＝－eq\f(1,2)，解得m＝－2，∴C(0，－2)，∴r＝|AC|＝eq\r(0＋22＋－2＋12)＝eq\r(5)．解法二：由題知點C到直線的距離為eq\f(|－m＋3|,\r(5))，r＝|AC|＝eq\r(22＋m＋12)，由直線與圓C相切得eq\r(22＋m＋12)＝eq\f(|－m＋3|,\r(5))，解得m＝－2，∴r＝eq\r(22＋－2＋12)＝eq\r(5)．4．(2024·懷柔二模)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(C)A．21 B．19C．9 D．－11[解析]圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝eq\r(25－m)(m<25)．從而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5，由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9，故選C．5．(2024·四川資陽、遂寧等七市聯(lián)考)圓x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直線l：x＋y＋eq\r(2)＝0的距離為1的點共有(C)A．1個 B．2個C．3個 D．4個[解析]與直線l距離為1的直線分別為l1：x＋y＝0，l2：x＋y＋2eq\r(2)＝0，又圓C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圓心C(－1,1)到l1、l2的距離分別為d1＝0<r、d2＝2＝r(r為圓C的半徑2)，∴l(xiāng)1、l2分別與圓C相交、相切，故選C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一直線與圓的位置關(guān)系的判定——自主練透例1(1)(2024·西安八校聯(lián)考)若過點A(3,0)的直線l與曲線(x－1)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為(D)A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)) D．[－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)](2)(多選題)(2024·山東日照一中期中)已知ab≠0，O為坐標(biāo)原點，點P(a，b)是圓x2＋y2＝r2外一點，過點P作直線l⊥OP，直線m的方程是ax＋by＝r2，則下列結(jié)論正確的是(AD)A．m∥l B．m⊥lC．m與圓相離 D．m與圓相交[解析](1)數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)，則圓心(1,0)到直線y＝k(x－3)的距離應(yīng)小于或等于半徑1，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，故選D．(2)∵點P(a，b)在圓x2＋y2＝r2外，∴a2＋b2>r2，又直線l的方程為y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by＝a2＋b2，又m：ax＋by＝r2，∴m∥l，又圓心O到直線m的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<r，∴m與圓相交，故選AD．名師點撥?推斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ推斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可推斷直線與圓相交．〔變式訓(xùn)練1〕(多選題)(2024·湖南五市十校聯(lián)考改編)已知兩點M(－1,0)，N(1,0)，若直線3x－4y＋m＝0上存在點P滿意eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，則實數(shù)m的值可以是(BCD)A．－12 B．0C．2 D．5[解析]設(shè)P(x，y)，則eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，由eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PN,\s\up6(→))得x2＋y2＝1，因P在直線3x－4y＋m＝0上，故圓心到直線的距離d＝eq\f(|m|,\r(32＋42))≤1，故m∈[－5,5]，故選B、C、D．考點二直線與圓的綜合問題——多維探究角度1圓的切線問題例2(1)過點P(2,4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為(C)A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0(2)由直線y＝x＋1上的動點P向圓C：(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為(C)A．1 B．2eq\r(2)C．eq\r(7) D．3[解析](1)當(dāng)斜率不存在時，x＝2與圓相切；當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，則eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，則切線方程為4x－3y＋4＝0，故切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0．(2)如圖：切線長|PM|＝eq\r(|PC|2－1)，明顯當(dāng)|PC|為C到直線y＝x＋1的距離即eq\f(3＋1,\r(2))＝2eq\r(2)時|PM|最小為eq\r(7)，故選C．[引申](1)若將本例(1)中“P(2,4)”改為“P(1＋eq\f(\r(2),2)，1－eq\f(\r(2),2))”，則切線方程為x－y－eq\r(2)＝0．(2)本例(1)中過切點的直線方程為__x＋3y－5＝0__．(3)本例(2)中切線長最小時切線的方程為(4－eq\r(7))x＋3y－10＋eq\r(7)＝0或(4＋eq\r(7))＋3y－10－eq\r(7)＝0．角度2圓的弦長問題例3(1)(2024·課標(biāo)全國Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝2eq\r(2)．(2)(2024·河南中原名校聯(lián)盟第三次聯(lián)考)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線，過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為(D)A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x＋4y－12＝0或x＝0[解析](1)將圓x2＋y2＋2y－3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4，則圓心坐標(biāo)為(0，－1)，半徑r＝2，∴圓心到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2)．(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4，由|AB|＝2eq\r(3)知，圓心(1,1)到直線l的距離為1，當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－0)，即kx－y＋3＝0，由eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1得k＝－eq\f(3,4)，此時直線l的方程為3x＋4y－12＝0，故選D．名師點撥?直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略(1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題．注：①過圓C內(nèi)一點P的最短弦所在直線與PC垂直，最長弦所在直線是PC．②過圓C外P作圓的切線，切點為A、B，則AB是圓C與以PC為直徑的圓的公共弦．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2024·吉林長春模擬)已知直線x＋y＝0與圓(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，則b＝(C)A．－3 B．1C．－3或1 D．eq\f(5,2)(2)(角度2)(2024·河北衡水中學(xué)調(diào)研)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓截直線x＋ay＋2＝0所得弦長的最小值等于(B)A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．eq\r(13) D．2eq\r(13)[解析](1)由圓心到切線的距離等于半徑，得eq\f(|1＋b|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，∴|1＋b|＝2，∴b＝1或b＝－3，故選C．(2)設(shè)圓心坐標(biāo)P為(a，－2)，則r2＝(1－a)2＋(3＋2)2＝(4－a)2＋(2＋2)2，解得a＝1，r＝5，所以P(1，－2)．又直線過定點Q(－2,0)，當(dāng)直線PQ與弦垂直時，弦長最短，依據(jù)圓的性質(zhì)可知弦長為2eq\r(r2－PQ2)＝2eq\r(25－13)＝4eq\r(3)，∴直線x＋ay＋2＝0被圓截得的弦長為4eq\r(3).故選B．考點三圓與圓的位置關(guān)系——師生共研例4已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為(C)A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,4) D．2eq\r(3)[解析]由圓C1與圓C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，依據(jù)基本(均值)不等式可知ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．故選C．[引申1]把本例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值．[解析]由C1與C2內(nèi)切，得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝1．即(a＋b)2＝1，又ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故ab的最大值為eq\f(1,4)．[引申2]把本例條件“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?，求公共弦所在的直線方程．[解析]把圓C1，圓C2的方程都化為一般方程．圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0， ①圓C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0， ②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0為所求公共弦所在的直線方程．[引申3]將本例條件“外切”變?yōu)椤叭魞蓤A有四條公切線”，試推斷直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置關(guān)系．[解析]由兩圓存在四條公切線，故兩圓外離，故eq\r(a＋b2＋－2＋22)>3，∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3．∴圓心(a，b)到直線x＋y－1＝0的距離d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))>1，∴直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1相離．名師點撥?如何處理兩圓的位置關(guān)系推斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑和、差之間的關(guān)系，一般不采納代數(shù)法．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2、y2項得到．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2024·山東模擬)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(B)A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離(2)若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線相互垂直，則線段AB的長度是__4__．[解析](1)由垂徑定理得(eq\f(a,\r(2)))2＋(eq\r(2))2＝a2，解得a2＝4，又a>0，所以a＝2，所以圓M：x2＋(y－2)2＝4，所以圓M與圓N的圓心距d＝eq\r(0－12＋2－12)＝eq\r(2).因為2－1<eq\r(2)<2＋1，所以兩圓相交．故選B．(2)由題意⊙O1與⊙O在A處的切線相互垂直，則兩切線分別過另一圓的圓心，∴O1A⊥OA．又∵|OA|＝eq\r(5)，|O1A|＝2eq\r(5)，∴|OO1|＝5.又A，B關(guān)于OO1對稱，∴AB為Rt△OAO1斜邊上的高的2倍．∴|AB|＝2×eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝4．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升解決直線與圓問題中的數(shù)學(xué)思想1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想例5(2024·長春模擬)過點(eq\r(2)，0)引直線l與曲線y＝eq\r(1－x2)相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于(B)A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)[解析]∵S△AOB＝eq\f(1,2)|OA||OB|sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB≤eq\f(1,2)．當(dāng)∠AOB＝eq\f(π,2)時，△AOB面積最大．此時O到AB的距離d＝eq\f(\r(2),2)．設(shè)AB方程為y＝k(x－eq\r(2))(k<0)，即kx－y－eq\r(2)k＝0.由d＝eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)得k＝－eq\f(\r(3),3)．2．轉(zhuǎn)化與化歸例6(2024·江西臨川一中、南昌二中聯(lián)考)已知兩點A(－2,0)，B(2,0)以及圓C：(x＋4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)，若圓C上存在點P，滿意eq\o(PA,\s\up6(→))·eq