2024-2025學年高中數學第一章三角函數1.5.2正弦函數的性質學案含解析北師大版必修4

PAGE5．2正弦函數的性質學問點正弦函數的圖像和性質[填一填][答一答]1．“正弦函數在第一象限為增函數”的說法正確嗎？為什么？提示：不正確．事實上，“第一象限”是由全部的區(qū)間(2kπ，2kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)構成的，在這樣若干個區(qū)間所構成的集合的并集內，明顯函數值不是隨著x值的增大而增大的．2．學習正弦函數的單調性有什么作用？提示：(1)比較三角函數值的大小．解決這類問題時，要先把所比較的三角函數值轉化成同一單調區(qū)間內的角的同名三角函數值，再比較大小；也可以先轉化成與銳角的三角函數值相關的形式，再比較大小．(2)求三角函數的單調區(qū)間．對于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k，ω>0的函數，可把ωx＋φ視為一個整體，按復合函數單調性的判定方法，結合正弦函數的單調性，干脆寫出ωx＋φ的單調區(qū)間，再解關于x的不等式即可．(3)借助正弦函數的圖像解三角不等式．對于可化為形如sin(ωx＋φ)≥a(ω>0)或sin(ωx＋φ)<a(ω>0)的正弦函數不等式，可把ωx＋φ視為一個整體，借助y＝sinx，x∈R的圖像和單調性，先在長度為2π的一個周期上找出適合條件的區(qū)間，然后兩邊加上2kπ，k∈Z，把它擴展到整個定義域上，最終解關于x的不等式，便可求出x的解．1．對周期函數定義的五點說明(1)T是非零常數．(2)隨意x∈D，都有x＋T∈D，T≠0，所以周期函數的定義域肯定是無界的．(3)任取x∈D，就是取遍D中的每一個x，所以周期性是函數在定義域上的整體性質．理解定義時，要抓住每一個x都滿意f(x＋T)＝f(x)成立才行．若只有個別x滿意f(x＋T)＝f(x)，不能把T看作周期，如sin(eq\f(π,4)＋eq\f(π,2))＝sineq\f(π,4)，但sin(eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))≠sineq\f(π,3)，所以eq\f(π,2)不是y＝sinx的周期．(4)周期也可遞推，若T是y＝f(x)的周期，那么2T也是y＝f(x)的周期．這是因為f(2T＋x)＝f[T＋(T＋x)]＝f(T＋x)＝f(x)，所以若T是y＝f(x)的周期，k∈Z且k≠0，則kT也是f(x)的周期．(5)并不是全部的函數都是周期函數．2．對函數最小正周期的兩點說明(1)最小正周期是指能使函數值重復出現的自變量x要加上的那個最小正數，這個正數是對x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因為y＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)，即π是使函數值重復出現的自變量x加上的最小正數，π是對x而言的，而非2x.(2)并不是全部的周期函數都有最小正周期，譬如，常數函數f(x)＝C，任一個正實數都是它的周期，因而不存在最小正周期.類型一求函數的定義域【例1】求下列函數的定義域．(1)y＝eq\r(2sinx＋1)；(2)y＝eq\r(sinx)＋eq\r(25－x2).【思路探究】(1)滿意2sinx＋1≥0的x的取值集合，即滿意sinx≥－eq\f(1,2)的x的取值集合．(2)可轉化為解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,25－x2≥0，))先將滿意兩個不等式的x的范圍解出，再借助數軸求交集．【解】(1)由題意可知2sinx＋1≥0，故sinx≥－eq\f(1,2).因為在一個周期eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上符合條件的角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以該函數的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．(2)依據函數關系式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,25－x2≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，－5≤x≤5.))如圖，可得該函數的定義域為[－5，－π]∪[0，π]．規(guī)律方法正弦函數y＝sinx的定義域為R，但在求由它們與其他函數復合而成的函數的定義域時，可由關系式有意義得到關于正弦函數的三角不等式(組)．而解三角不等式(組)，可以利用基本三角函數的圖像或單位圓中三角函數線．求函數y＝eq\r(2sinx＋\r(3))的定義域．解析：要使函數有意義，只需2sinx＋eq\r(3)≥0，即sinx≥－eq\f(\r(3),2).如圖所示，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上，適合條件的x的取值范圍是－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(4π,3).所以該函數的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z.類型二求函數的值域【例2】求下列函數的值域．(1)y＝3－3sinx；(2)y＝－|sinx|+sinx；(3)y＝sin2x－2sinx＋1.【思路探究】充分利用sinx的有界性及二次函數區(qū)間最值求解．【解】(1)∵－1≤sinx≤1，∴－3≤－3sinx≤3，∴0≤－3sinx＋3≤6，∴y∈[0,6]．(2)當sinx≥0時，y＝0，當sinx<0時，y＝2sinx，∴y∈[－2,0)，∴函數的值域為[－2,0]．(3)y＝(sinx－1)2，∵sinx∈[－1,1]，∴sinx－1∈[－2,0]，∴(sinx－1)2∈[0,4]，∴y∈[0,4]．規(guī)律方法函數y＝asin2x＋bsinx＋c，x∈D型函數可以通過換元，令t＝sinx化為二次函數，用配方法求其值域，但求解過程中肯定要留意中間變量的取值范圍，是一個有條件的二次函數求最值問題．求函數f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq\f(1,2)，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]的值域．解：令t＝sinx，因為x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]，所以eq\f(1,2)≤sinx≤1，即eq\f(1,2)≤t≤1.∴y＝2t2＋2t－eq\f(1,2)＝2(t＋eq\f(1,2))2－1，t∈[eq\f(1,2)，1]，且該函數在[eq\f(1,2)，1]上單調遞增．∴f(x)的最小值為f(eq\f(1,2))＝1，最大值為f(1)＝eq\f(7,2).∴f(x)的值域為[1，eq\f(7,2)]．類型三求函數的單調區(qū)間【例3】求函數y＝logeq\f(1,2)sinx的單調遞增區(qū)間．【思路探究】設u＝sinx，先由sinx>0得出x的范圍，再利用y＝logeq\f(1,2)u的單調性求解．【解】由sinx>0得2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，∵eq\f(1,2)<1，∴函數y＝logeq\f(1,2)sinx的單調遞增區(qū)間即為u＝sinx的單調遞減區(qū)間．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x<2kπ＋π，k∈Z，故函數y＝logeq\f(1,2)sinx的單調遞增區(qū)間為：[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋π)，k∈Z.規(guī)律方法求復合函數的單調區(qū)間時，要先求定義域，同時還要留意內層、外層函數的單調性．求函數y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的單調遞增區(qū)間．解：∵y＝2sin(eq\f(π,4)－x)＝－2sin(x－eq\f(π,4))，∴函數y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的單調遞增區(qū)間就是函數u＝2sin(x－eq\f(π,4))的單調遞減區(qū)間．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．得2kπ＋eq\f(3,4)π≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)．∴函數y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的單調遞增區(qū)間為：[2kπ＋eq\f(3,4)π，2kπ＋eq\f(7π,4)](k∈Z)．類型四推斷函數的奇偶性【例4】推斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))；(2)f(x)＝eq\r(1－sinx)＋eq\r(sinx－1).【思路探究】首先推斷所給函數的定義域是否關于原點對稱，其次用定義干脆推斷函數的奇偶性．【解】(1)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))＝－coseq\f(3x,4)，x∈R.又f(－x)＝－cos(－eq\f(3x,4))＝－coseq\f(3x,4)＝f(x)，所以函數f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))是偶函數．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－sinx≥0，,sinx－1≥0，))得sinx＝1，所以f(x)＝0，x∈{x|x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}，定義域不關于原點對稱．所以函數f(x)＝eq\r(1－sinx)＋eq\r(sinx－1)是非奇非偶函數．規(guī)律方法推斷函數的奇偶性時，必需先推斷其定義域是否關于原點對稱，假如是，再驗證f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，進而推斷函數的奇偶性；假如不是，那么該函數必為非奇非偶函數．推斷函數f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．解：∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，∴f(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx.即f(－x)＝f(x)，又f(x)的定義域為R，∴f(x)為偶函數．類型五利用正弦函數的單調性比較大小【例5】比較下列各組數的大小．(1)sineq\f(π,4)和sineq\f(2π,3)；(2)sin(－eq\f(π,18))和sin(－eq\f(π,10))；(3)sineq\f(21,5)π和sineq\f(42π,5)；(4)sin194°和cos160°.【思路探究】變形主要有兩種：一是異名函數化為同名函數；二是利用誘導公式將角變換到同一單調區(qū)間上．【解】(1)sineq\f(2π,3)＝sin(π－eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3).∵0<eq\f(π,4)<eq\f(π,3)<eq\f(π,2)，且y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上單調遞增，∴sineq\f(π,4)<sineq\f(π,3)，即sineq\f(π,4)<sineq\f(2π,3).(2)∵－eq\f(π,2)<－eq\f(π,10)<－eq\f(π,18)<0，且y＝sinx在區(qū)間[－eq\f(π,2)，0]上單調遞增，∴sin(－eq\f(π,18))>sin(－eq\f(π,10))．(3)sineq\f(21,5)π＝sin(4π＋eq\f(π,5))＝sineq\f(π,5)，sineq\f(42π,5)＝sin(8π＋eq\f(2π,5))＝sineq\f(2π,5).∵0<eq\f(π,5)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，且y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上單調遞增，∴sineq\f(π,5)<sineq\f(2π,5)，即sineq\f(21,5)π<sineq\f(42,5)π.(4)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，且y＝sinx在[0°，90°]上單調遞增，∴sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.規(guī)律方法比較三角函數值大小的關鍵是利用誘導公式將三角函數式化成同名函數并將角轉化到同一單調區(qū)間上，然后利用三角函數的單調性進行比較．比較下列各組中兩個三角函數值的大?。?1)sin250°與sin260°；(2)sin(－eq\f(54π,7))與sin(－eq\f(63π,8))．解：(1)∵sin250°＝sineq\f(25π,18)，sin260°＝sineq\f(26π,18)，y＝sinx在(π，eq\f(3π,2))上為減函數，∴sineq\f(25π,18)>sineq\f(26π,18)，即sin250°>sin260°.(2)sin(－eq\f(54π,7))＝sin(－8π＋eq\f(2π,7))＝sineq\f(2π,7)，sin(－eq\f(63π,8))＝sin(－8π＋eq\f(π,8))＝sineq\f(π,8)，∵eq\f(π,2)>eq\f(2π,7)>eq\f(π,8)>0，∴sineq\f(2π,7)>sineq\f(π,8)，即sin(－eq\f(54π,7))>sin(－eq\f(63π,8)).——易錯警示——忽視y＝sinx的有界性導致錯誤【例6】已知sinx＋siny＝eq\f(1,3)，求siny－cos2x的最大值．【錯解】∵sinx＋siny＝eq\f(1,3)，∴siny＝eq\f(1,3)－sinx，∴siny－cos2x＝eq\f(1,3)－sinx－(1－sin2x)＝sin2x－sinx－eq\f(2,3)＝(sinx－eq\f(1,2))2－eq\f(11,12).∵－1≤sinx≤1，∴當且僅當sinx＝－1時，siny－cos2x取得最大值eq\f(4,3).【正解】∵sinx＋siny＝eq\f(1,3)，∴siny＝eq\f(1,3)－sinx.又－1≤siny≤1，∴－1≤eq\f(1,3)－sinx≤1，又－1≤sinx≤1，∴－eq\f(2,3)≤sinx≤1.∴siny－cos2x＝eq\f(1,3)－sinx－(1－sin2x)＝sin2x－sinx－eq\f(2,3)＝(sinx－eq\f(1,2))2－eq\f(11,12)，∴當且僅當sinx＝－eq\f(2,3)時，siny－cos2x取得最大值eq\f(4,9).【錯解分析】求三角函數值時，很多三角函數式本身隱含了一些條件，在解題過程中若不挖掘出來，就會出現錯誤．求函數y＝sin2x＋sinx－1的值域．解：令t＝sinx，則t∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1＝(t＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，t∈[－1,1]，∴t＝－eq\f(1,2)，即sinx＝－eq\f(1,2)，x＝2kπ－eq\f(π,6)或2kπ－eq\f(5,6)π(k∈Z)時，ymin＝－eq\f(5,4)，當t＝1，即sinx＝1，x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，ymax＝1.∴原函數的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)).一、選擇題1．函數y＝2－sinx的最大值及相應的x的值為(C)A．y＝3，x＝eq\f(π,2)B．y＝1，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)C．y＝3，x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)D．y＝3，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)解析：當sinx＝－1時，y有最大值3，此時x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．2．函數y＝9－sinx的單調遞增區(qū)間是(B