2024屆江蘇省南京市重點(diǎn)中學(xué)高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2023屆江蘇省南京市重點(diǎn)中學(xué)高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．2．已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬(wàn)元3．在直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線x+my﹣1=0上存在點(diǎn)P，使得|PA|=2|PB|，則正實(shí)數(shù)m的最小值是()A． B．3 C． D．4．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．35．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．86．函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．18．已知集合（），若集合，且對(duì)任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．9．如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．10．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．211．（）A． B． C．1 D．12．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．2 C．3 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.14．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為________.15．已知，則________.(填“>”或“=”或“<”).16．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知定點(diǎn)，，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。18．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（12分）如圖，已知拋物線：與圓：（）相交于，，，四個(gè)點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）設(shè)四邊形的面積為，當(dāng)最大時(shí)，求直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).20．（12分）如圖，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與焦點(diǎn)在軸上的橢圓都過(guò)點(diǎn)，中心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M的互相垂直的兩直線分別與，交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A、B不同于點(diǎn)M），當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求兩直線MA，MB斜率的比值.21．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACC1A1為矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．22．（10分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求AD的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行，x=1-2=-1<0，程序運(yùn)行結(jié)束，得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．2．D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此判斷出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬(wàn)元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項(xiàng)說(shuō)法正確；月收益最低，B選項(xiàng)說(shuō)法正確；月總收益萬(wàn)元，月總收益萬(wàn)元，所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益，C選項(xiàng)說(shuō)法正確，后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬(wàn)元，所以D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

設(shè)點(diǎn)，由，得關(guān)于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍，即求正實(shí)數(shù)m的最小值.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn).，即，整理得，則，解得或..故選：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與方程，考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，屬于中檔題.4．C【解析】

否命題與逆命題是等價(jià)命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價(jià)命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行判斷．(2)當(dāng)一個(gè)命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個(gè)命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過(guò)邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．5．B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，，且，由于，所以..所以，即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)由得，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即，，解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.6．D【解析】由題意得，函數(shù)點(diǎn)定義域?yàn)榍?，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選D.7．C【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，分子分母同時(shí)乘以，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知；結(jié)合即可證明，進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10．B【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.11．A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和．【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，.又當(dāng)時(shí)，，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準(zhǔn)線方程，求出三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解面積．【詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，則三角形的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．14．60【解析】

直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為：，取，則的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.15．【解析】

注意到，故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知，，故有.又由，故有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.16．【解析】試題分析：由題意得，因?yàn)閽佄锞€，即，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．(1)；(2)存在定點(diǎn)，見解析【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，利用，求出曲線的方程．（2）由已知直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組，消去得，設(shè)，，，利用韋達(dá)定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程，推出結(jié)果．【詳解】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，，，即，化簡(jiǎn)得：。由已知，故曲線的方程為。（2）由已知直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組，消去得，設(shè)，，則又直線與斜率分別為，，則。當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，。所以存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值?！军c(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．18．見解析【解析】

（1）因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，由余弦定理可得，因?yàn)椋?，即，所以．?）若B為直角，則，，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時(shí)平方，可得，所以（*）．又，所以，，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角．19．（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】

將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,拋物線與圓有四個(gè)交點(diǎn)需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達(dá)式,令,由及知,對(duì)關(guān)于的面積函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時(shí)的值,進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程消去，得.由題意可知在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.所以解得，所以的取值范圍為.（2）根據(jù)（1）可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，（），則，，，，且，，所以直線、的方程分別為，,聯(lián)立方程可得,點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?所以，令，則，所以，因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值，因?yàn)?點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以當(dāng)四邊形的面積取得最大值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線相關(guān)的最值問(wèn)題；考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.20．（1），（2）【解析】分析：(1)根據(jù)題的條件，得到對(duì)應(yīng)的橢圓的上頂點(diǎn)，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；(2)設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo)，將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.詳解：（Ⅰ）依題意得對(duì)：，，得：；同理：.（Ⅱ）設(shè)直線的斜率分別為，則MA：，與橢圓方程聯(lián)立得：，得，得,，所以同理可得.所以,從而可以求得因?yàn)椋?，不妨設(shè)，所以當(dāng)最大時(shí)，，此時(shí)兩直線MA，MB斜率的比值.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過(guò)程中，注意橢圓的對(duì)