2022新高考數(shù)學(xué)：熱點(diǎn)08 立體幾何（解析版）

熱點(diǎn)08立體幾何

命題趨勢(shì)

從新高考的考查情況來(lái)看，立體幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點(diǎn)是：①幾何體的表面積

和體積，與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等；②異面直

線所成的角和線面位置關(guān)系；③直線與平面以及平面與平面平行（垂直）的判定和性質(zhì)，常

出現(xiàn)在解答題的第（1）問(wèn)中，難度中等；④利用向量法求空間角和空間距離是高考的重點(diǎn)，

考查頻率較高，線、面的平行和垂直問(wèn)題一般不用向量法求解，但向量法的使用有時(shí)可以加

快求解速度，主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.

該部分主要考查考生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素

養(yǎng).

滿(mǎn)分技巧

1、幾何體的表面積（體積）問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：

（1）若所給定的兒何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行

求解.

（2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)

行求解.

①等體積法：一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面面積

和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法講行求解.等體積法也稱(chēng)等積轉(zhuǎn)化或等積變形，

它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積，特別

是三棱錐的體積.

②割補(bǔ)法：運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題,

關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切

割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個(gè)

規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和;如果是由一個(gè)規(guī)

則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被

挖去的幾個(gè)幾何體的體積.

2、球面幾何的解題技巧：

1）確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積：

反之，已知球

的體積或表面積也可以求其半徑.

2）球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：（1）長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)；

（2）正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3：1；（3）直棱柱的外接球：找出

直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的

球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑

等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；（5）球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑

等于圓臺(tái)的高.

3）與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積

之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系.

4）有關(guān)球的截面問(wèn)題，常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓，將空間兒何問(wèn)題轉(zhuǎn)億為平面中圓的有關(guān)問(wèn)

題解決.球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿(mǎn)足關(guān)系式：

d=.

3、向量法求空間角度和距離的方法策略：

建立空間直角坐標(biāo)系，把空間中的點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組（即坐標(biāo)）表示出來(lái)，通過(guò)坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)

算解決空間幾何問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題（形）與代數(shù)問(wèn)題（數(shù)）的結(jié)合.

1）用向量法求異面直線所成的角：（1）建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求出兩條直線的方向

向量；（3）代入公式求解.

2）向量法求直線與平面所成的角：（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向

向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；（2）通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜

線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

3）向量法求二面角：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向

量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所

求角是銳角還是鈍角.

4）求點(diǎn)P到平面a的距離的三個(gè)步驟：（1）在平面a內(nèi)取一點(diǎn)A,選定向量麗的坐標(biāo).

熱點(diǎn)1、球面幾何

主要考查多面體的外接球的表面積、體積等，一般應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。

熱點(diǎn)2、直線與平面以及平面與平面平行（垂直）的判定和性質(zhì)

（1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。

（2）利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.

熱點(diǎn)3、空間向量的應(yīng)用（求角、距離等）

主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算。

（D兩條異面直線所成的角：①平移法；②補(bǔ)形法；③向量法。

（2）直線和平面所成的角：①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一

三角形中計(jì)算，或用向量計(jì)算。②用公式計(jì)算。

（3）二面角：①平面角的作法：⑴定義法；（ii）垂面法。②平面角的計(jì)算法：⑴找到平面角，

然后在三角形中計(jì)算（解三角形）或用向量計(jì)算；（ii）射影面積法；（iii）向量夾角公式。

（4）求點(diǎn)到平面的距離：一般找出（或作出）過(guò)此點(diǎn)與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性

質(zhì)過(guò)該點(diǎn)作出平面的垂線，進(jìn)而計(jì)算;也可以利用“等體積法”直接求距離。

限時(shí)檢測(cè)

A卷（建議用時(shí)90分鐘）

一、單選題

1.（2021?山東?泰安一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，位于費(fèi)州黔南的“中國(guó)天眼”是具有我國(guó)自主知識(shí)

產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡，其反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平

面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的

高，設(shè)球冠所在球的半徑為R,球冠底的半徑為，球冠的高為。，球冠底面圓的周長(zhǎng)為C.

已知球冠的表面積公式為S=2萬(wàn)股，若S=65000匹。=500乃，則球冠所在球的表面積為

（）

A.1620000萬(wàn)B.16900C0乃C.1720000萬(wàn)D.1790000萬(wàn)

【答案】B

【分析】如圖，點(diǎn)o是球冠所在球的球心，點(diǎn)。是球冠底面圓的圓心，點(diǎn)A是球冠底面圓

周上點(diǎn)，線段是球冠的高，先求/?=正《，再求出「二9=250,力二%|四，即得R

2h2乃R

和球的表面積.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。是球冠所在球的球心，點(diǎn)。1是球冠底面圓的圓心，點(diǎn)A是球冠底

面圓周上點(diǎn)，線段。乃是球冠的高.

依題意，OB垂直于球冠底面，顯然QB=瓦Oq=R_A。爪=r,

在心△0?A中，042=00：+?不，即/?2=（我_?2+/

整理化簡(jiǎn)得/?=邑￡,所以球冠所在球的半徑R=g±《＞.

2h2h

C

因?yàn)榍蚬诘酌鎴A的周長(zhǎng)C=5（XR,所以「=k=250,

24

c32SG0

又球冠的表面積公式為5=2%川?，且S=65000乃，則力=三=三衿，

2不及R

因?yàn)镽="^,所以65000=%羋+2502,解得R=650,

2hR-

故球。的表面積為44方=44x6502=1690000乃.故選：B.

2.（2021?重慶市涪陵實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高三期中）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲

空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面

體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面

角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂

點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是：，所以正四面體在各

JT

頂點(diǎn)的曲率為2兀-3乂5=兀，故其總曲率為4兀，則四棱錐的總曲率為（）

A.2乃B.4兀C.54D.6萬(wàn)

【答案】B

【分析】根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，

因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，

所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)??角形和1個(gè)四邊形組成，所以面角和為4萬(wàn)+2萬(wàn)=6萬(wàn),

故總曲率為5x24一6%=4萬(wàn).故選：B.

3.（2021?山東濰坊?高三期中）“迫拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪

拜舉行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明.它的形狀

可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛(ài)好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑

為12cm,外層底面直徑為16cm,且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為20cm的球面上.

此模型的體積為（

A.304兀cm,B.840兀cm，C.91271cm1D.9847tcm

【答案】C

【分析】求出內(nèi)層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內(nèi)層圓

柱高出的幾何體的體積之和，計(jì)算可得解.

【詳解】如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為12cm,且其底面圓周在?個(gè)直徑為20cm的球面

上,

可知內(nèi)層圓柱的高九=2/當(dāng)(\2

=16

同理，該模型外層圓柱底面直徑為16cm,且其底面I員I周在?個(gè)直徑為20cm的球面上,

可知外層圓柱的高山=2=12

此模型的體積為丫x12+^lyIx(16-12)=912n故選：C

4.（2021?廣東龍崗?高三期中）如圖，在AAHC中，AB=BC=4,ZBAC=30f。為AC的

中點(diǎn)，將△回￡＞沿B。折起到△PHD的位置，使得二面角尸力-C為60,則三棱錐

P-MC的體積為（）

A.2百B.4C.6D.2

【答案】A

【分析】結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得為等邊三角形，作C力中點(diǎn)E,可證PE_L平面3cO,再

由錐體體積公式即可求解.

由AB=3C=4,N3AC=30。，由旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等可得：

BD=2,AD=CD=PD=2^,又二面角尸一3D-C為60,即/2叱=60°,

故△PDC為等邊三角形，作8中點(diǎn)E,連接PE,可得心又BD1CD,BDLPD,所

以8。1平面尸C0,所以BD上PE,即PE_L平面8C。，結(jié)合幾何關(guān)系可得尸E=3,

故/BDC=LLBDCDPE='X2X26X3=26故選:A

326

5.（2021?山東?膠州市教育體育局教學(xué)研究室高三期中）己知/,〃，是空間中兩條不同的直

線，。，夕是空間中兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若/_La,mill,mu。,則。_1_夕B.若a//,l//a,則〃/夕

C.若11〃?,/la,al甲,則皿〃尸D.若a上0,IHa,則/

【答案】A

【分析】由線面平行、垂直，面面平行、垂直的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】由/_La,mill,所以a_La,又mu。,所以a_L/,故A對(duì).

由?！ā?，///a,則〃/6或者/u4,則B錯(cuò).

由/J_a,allp,所以/_L〃，又11m,則〃〃//或mu力，故C錯(cuò).

由a，/,〃/a,則/，〃/4、lu/3,故D錯(cuò).故選：A.

6.（2021?江蘇南通?高三期中）已知圓錐S。的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB,SC兩兩垂直，且

SA=SB=SC=6,則圓錐S。的體積為（）

A.184rB.54瘍C.16&D.48信

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理與正弦定理，求出圓錐底面半徑和高，再根據(jù)體積公式,

即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)镾A，SB,SC兩兩垂直，且SA=SB=SB=6,所以

AB=AC=BC=SO,

7_6j2

設(shè)圓錐底面半徑為「，結(jié)合正弦定理，知VT，即r=2#，

T

因止匕SOMJG—Q后丫=2百,故V=；x24;rx2G=16伍.故選：C

7.（2021?浙江?高三期中）一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐各棱棱長(zhǎng)的最大值為

【答案】C

【分析】由幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖，通過(guò)計(jì)算求得即可.

【詳解】解析：，計(jì)算可得：PD=AD=BAP=2舊PB=PC=BC=AB=2,8=1.故

8.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知某正四棱錐的體積是也，該幾何體的表面積最小值是

3

我們?cè)诶L畫(huà)該表面積最小的幾何體的直觀圖時(shí)所畫(huà)的底面積大小是邑，則，和邑的值分別

是（）

A.3；—B.4；JC.4；—D.3；；

4242

【答案】C

【分析】設(shè)該正四棱錐底面邊長(zhǎng)為,,高為力，由體積得到1產(chǎn)〃=①，再算出側(cè)面積和底

33

面積，進(jìn)而得到該四棱錐的表面積，然后通過(guò)基本不等式求得答案.

【詳解】如圖，O為底面A3CO的中心，E為3C的中點(diǎn)，連接PO,OE,

設(shè)該正四棱錐底面邊長(zhǎng)為匕高為〃，且f,人＞0,由題意，-t2h=^^Ch=y/2.

33

易有，PE7Po'OE?=#+：，則久詠

所以，￡=2/卜++產(chǎn)，將力=,代入并化簡(jiǎn)得：￡=2后4+產(chǎn)，

工日，-fliiiiiii""?2

JZt：?5.=2J-r+-rdrdrdr+-r+-rdr4----\'t

V4r4r4t4廠4/4/4廠4r24

1r4

當(dāng)且僅當(dāng)日產(chǎn)4nLi時(shí),

取易知，此時(shí)底面ABCO直觀圖的面積

2

S2=lx（gxsin45o）=￥.選:C.

9.（2021?浙江?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻薨"〃成〃g）是底

面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五面體ABCDEF是一個(gè)芻要，其中四邊形

A5CD為矩形，所//平面48cO,且a8=2即=述4）（AO的長(zhǎng)度為常數(shù)），△83是等

3

邊三角形，當(dāng)五面體體積最大時(shí)，記二面角七-4）-8的大小為a,二面角

E—A8—C的大小為夕，直線AE與0c所成的角為/,貝I］（）

【答案】C

［分析】設(shè)AB=26求EF,AD的長(zhǎng)度，根據(jù)△BCF是等邊三角形及五面體ABCDEF的構(gòu)成,

判斷ABC。M體積最大時(shí)幾何體中相關(guān)線面、面面的位置關(guān)系，進(jìn)而確定。、夕、產(chǎn)的大

小關(guān)系.

【詳解】設(shè)A8=2右，則所=G.AD=3,如下圖：若分別為A8QC的中點(diǎn)，連接

EH,HI,IE，則ABCDEF由四棱錐E-4〃/。和斜棱柱EHI-用C組合而成，

又ABC廠是等邊三角形，即/話=尸。=8。=3,而對(duì)于四棱錐E—AH/￡＞：底面加〃。面積

為定值，斜棱柱石印-尸8C：底而日"刑C面積為定值，

???要使五面體ABC。m體積最大，E到面A7/0的距離及底面EHlyFBC的高都最大即可,

故只需EVL平面8cA即E”/-陽(yáng)C為直三棱柱，此時(shí)，面E機(jī)尸BC都與面45C。垂直，

如下圖不：

，1、二面角E-A8—C的平面角為N"5C且大小為〃二60,

2、直線4E與DC所成角的平面角為產(chǎn)NEAH,而面￡77/〃面FBC,則石尸JL面EHI,EHu

面E”7,故￡F_LE〃，又EF//AB,即石

，在氏△A/7E中，EH=FB=3,AH=5易知：片NE4H為60,

3、若G,“為的中點(diǎn)，連接MG,易知：MGJLAD,而2EHI三AFBC,即△EH7為

等邊三角形，故EG_L〃/,又HI3AD,則EG_LAD,EGcMG=G,

工A￡）_L面EGM,即二面角七-4）-8的平面角為。二/磯6,

???在RIAEMG中,EG=￥，MG=AH=B故1211/016=篇=1<31160。.故選：C.

10.（2021?浙江?高三期中）在正方體人HCD-AMGR中P，。分別是BG和CR的中點(diǎn)，則

下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.PQ1CC,B.PQJ?平面AACGC.PQ//BDD.P。〃平面48%

【答案】D

【分析】取CG中點(diǎn)E,連接PE，2E,通過(guò)證明CG，平面PQ￡可判斷A；分別取CD8c

中點(diǎn)憶G,連接QF,尸G,PG,可證明尸Q//尸G,即可證明PQ〃由），可判斷C；進(jìn)一步即

可證明PQ1平面A4CG判斷B；根據(jù)PQc平面ABGR=尸可判斷D.

【詳解】取CG中點(diǎn)E,連接PE,0E,因?yàn)镻,。分別是8G和CA的中點(diǎn)，易得

CG_LPE,CG，QE，又PEcQE=E,「.CCil平面尸QE,?.尸Qu平面PQE,「.CG_LPQ,

故A正確；

分別取中點(diǎn)F.G,連接QRR7PG,易得PG//QF口PG=QF,

所以四邊形P8G為平行四邊形，「.PQ〃尸G,又FGffBD,：.PQ"BD,故C正確；

-BDLAC,：.PQ±ACtXP01CC,,ACC|CG=C，■平面AACG，故B正確；

平面A8R即為平面ABGR,顯然PQC平面人8CQ=p,故D錯(cuò)誤.故選：D.

Dx

H.（2021?上海?曹楊二中高三期中）已知正方體ABC。-的棱長(zhǎng)為2,E、尸分別

是棱AA、AR的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為底面A5C。內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面3EF

無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為：)

C.a+3

D.網(wǎng)

2

【答案】B

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、?？谒谥本€分別為％、）'、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸計(jì)算出平面6所的一個(gè)法向量行的坐標(biāo)，由已知條件得出

印?而=0,可得出。、人所滿(mǎn)足的等式，求出點(diǎn)P的軌跡與線段A。、6C的交點(diǎn)坐標(biāo)，即

可求得結(jié)果.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。口所在直線分別為工、）'、z軸建立如下圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(220)、￡(2,0,1).尸(1,0,2)、0,(0,0,2),設(shè)點(diǎn)P(a也0),

UU./、一

BE=(O,-2J),EF=(-1,0,1),設(shè)平面麻尸的法向量為利=(x,y,z),

,in-BE=—2y+z=0____—,、

由E八，取z=2,可得利=(2,1,2),

[ih-EF=-x+z=0'7

即二(a,b,-2),由題意可知，RP〃平面BEF,則可?記=次+6-4=0,

令6=0,可得。=2；令)=2,可得a=l.

所以，點(diǎn)P的軌跡交線段40于點(diǎn)A僅0,0）,交線段BC的中點(diǎn)”（1,2,0）,

所以，點(diǎn)產(chǎn)的軌跡長(zhǎng)度為|AM|='（2-1）2+（0-2）2=舊.故選:B.

12.（2021?新疆?昌吉市第九中學(xué)高三期末）已知梯形CEPO如下圖所示，其中PQ=8,CE=6,

A為線段尸。的中點(diǎn)，四邊形A5CQ為正方形，現(xiàn)沿A8進(jìn)行折疊，使得平面PA3￡_L平面

ABCD,得到如圖所示的幾何體.已知當(dāng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足通=4通（Ov/lvl）時(shí)，平面OE尸_L平面

PCE,則4的值為（）

【答案】D

【分析】構(gòu)建以4為原點(diǎn)，射線AB、AD.4P為1、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，由

題設(shè)標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求面￡>a、面PCE的法向量，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示

求參數(shù)人

【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、A。、A尸為小y、z軸正方向的空間直角

坐標(biāo)系，

???C(4,4,0),0(0,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),F(42,0,0),則麗=(4,0,-2),PC=(4,4,-4),

EF=(4(2-1),0,-2),DE=(4,-4,2),

若蔡=(x,y,z)是面OM-個(gè)法向量，則【：。二"二22;°，可得而二(工，二7,2),

[4x-4y+2z=02-1A-1

4。-2c=0_

若力=(“,》,c)是面尸CE一個(gè)法向量，則〈，可得〃=(1,1,2),

4。+46—4。=0

?23

???山面DEF_L面尸CEW—_-+-~-+4=0,解得％=￡.故選：D

%—1，―15

二、多選題

13.(2021?福建?永安市第三中學(xué)高中校高三期中)在正方體中，P為底面

A8CD的中心，E為線段AR上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn))，Q為線段AE的中點(diǎn).現(xiàn)有以

下結(jié)論中正確的是()

A.尸石與。。是異面直線；B.過(guò)A、P、E三點(diǎn)的正方體的截面是等腰

梯形；

C.平面APE_L平面D.尸E〃平面CQQG.

【答案】BC

【分析】連接PC,證明PQ//CE,即可判斷選項(xiàng)A；連接4G,過(guò)E作EF//4G交CB

于點(diǎn)凡連接C凡證明E尸〃4G//AC,且EF<ACi=AC,即可判斷選項(xiàng)B,利用面面垂直

的判定定理即可判斷選項(xiàng)C,假設(shè)PE〃平面CDQiG,推出E為4。的中點(diǎn)，與已知矛盾，

即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】連接尸C，因?yàn)镻為正方形ABCO的中心，所以P是AC的中點(diǎn)，

又。為線段AE的中點(diǎn)，所以PQ〃CE,故點(diǎn)P,Q,E,。四點(diǎn)共面，即PE與QC共面，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

連接4G,過(guò)E作即〃4cl交CQ于點(diǎn)尸，

連接C凡則四邊形ACPE是正方體過(guò)A,P,E三點(diǎn)的截面，

因?yàn)樗?ci〃4C,且七/VAiG=AC,E4=CF，故四邊形4c所為等腰梯形，故選項(xiàng)B正

確；

由正方體ABCO-AiBCiOi中，可得AP_L平面8。。山I,又APu平面APE,

所以平面人。及1_平面5￡）。9i,故選項(xiàng)C正確；

假設(shè)尸E〃平面COQCi,又尸Eu平面4CEF,平面D平面AC尸,所以尸E〃

CF,又EF〃PC,

所以四邊形PCFE為平行四邊形，故即=PC=《AC=gAG,

所以E/為AAGA的中位線，即E為4G的中點(diǎn)，這與點(diǎn)E為線段4n上的動(dòng)點(diǎn)矛盾，

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

14.（2021?江蘇?南京師大附中高三期中）如圖，正方體ABCO-AMGR的棱長(zhǎng)為1,E,F

分別是棱AA，CC1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E尸的平面分別與棱8印。R交于點(diǎn)G,H,以下四個(gè)結(jié)論

正確的是（）

Di

Ci

A.正方體夕卜接球的表面積為MB.平面EGM與平面所成角的最大值盯

C.四棱錐G-W的體積為定值D.點(diǎn)B倒平面前產(chǎn)”的距離的最大值為當(dāng)

【答案】ACD

【分析】直接計(jì)算表面積得到A正確，成最大角時(shí)/。田。＜：,B錯(cuò)誤，計(jì)算%「房做=

C正確，建立坐標(biāo)系利用向量計(jì)算得到D正確，得到答案.

【詳解】對(duì)于A：/?當(dāng)S=4成2=3兀，正確;

對(duì)于B：成最大角時(shí)為平面四皿或平面陰出所成角“乃。4,錯(cuò)誤；

==xXX

對(duì)于C：Vq_￡CFH^Q-EHF+%-EGF=^Ct-EGF~^E-QGF~-1-"?正確;

對(duì)于D：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)”(0,0,m),

n-EF=-x+y=0

設(shè)平面EGF”的法向量為7=(用j,z),則-前Jnn，取z=l得到

n-EH=-x+\Im—2Jz=0

15.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知圓錐OP的底面半徑/?=6,側(cè)面積為2岳，

內(nèi)切球的球心為。|，外接球的球心為。2,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.外接球。2的表面積為164

B.設(shè)內(nèi)切球01的半徑為心外接球。2的半徑為弓，則弓=34

C.過(guò)點(diǎn)P作平面。截圓錐。尸的截面面積的最大值為G

D.設(shè)長(zhǎng)方體AG為圓錐。尸的內(nèi)接長(zhǎng)方體，且該長(zhǎng)方體的一個(gè)面與圓錐底面重合，則該長(zhǎng)

方體體積的最大值為g

【答案】AD

【分析】結(jié)合底面半徑和側(cè)面積求出母線，由外接和內(nèi)接的性質(zhì)，結(jié)合幾何關(guān)系和勾股定理

即可求解小與，進(jìn)而求出外接球半徑；由力vr可判斷過(guò)點(diǎn)P作平面。載圓錐OP的截面面積

最大時(shí)對(duì)應(yīng)三角形為等腰直角三角形，結(jié)合面積公式可求解；由圓的內(nèi)接四邊形面積最大時(shí)

為正方形，確定上下底面為正方形，列出關(guān)于V的關(guān)系式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解.

【詳解】因?yàn)?=4〃=加/=2而，解得/=2,即圓錐母線長(zhǎng)為2,則高〃=1,

設(shè)圓錐外接球半徑為弓，如圖，

則對(duì)AAOQ由勾股定理得即；=（6）2+（1-弓=2,外接球面積為

S=4*=16-故A正確：設(shè)內(nèi)切球。1的半徑為小旦。垂直于交R4于點(diǎn)。，如圖，

則對(duì)△/＞。01,20：=00：+尸。2,即（i—4）2=/+（2—百解得12后-3,故8項(xiàng)錯(cuò)誤;

過(guò)點(diǎn)P作平面a截圓錐OP的截面面積的最大時(shí)，如圖,

因?yàn)榱Γ紡V，故恰好△尸4c為等腰直角三角形時(shí)取到，點(diǎn)。在圓錐底面上，S?c=gx2x2=2,

故C項(xiàng)錯(cuò)誤：設(shè)圓錐OP有一內(nèi)接長(zhǎng)方體，其中一個(gè)上頂點(diǎn)為E,上平面中心為OQEQ=4,

如圖，

則f。3=*&。。|=1-理4,當(dāng)長(zhǎng)方形上平面為正方形時(shí)，上平面面積最大,

1-條"'="-2島2,當(dāng)石電鬢）

長(zhǎng)方體體積為丫=；（24。時(shí)，r>o,^e

時(shí)，V'＜0,故匕-=苴9）（1一程］）=￡，故0正確，故選：AD

三、填空題

16.（2021?福建?上杭一中模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖曬提出了計(jì)算體積的祖唯原

理：“恭勢(shì)既同，則積不容異?！币馑际牵簝蓚€(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面

積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等。如圖，陰影部分是由雙曲線丁一9二/包〉。）與它

的漸近線以及直線了=±。所圍成的圖形，將此圖形繞丁軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，（1）

如用與X軸相距為力（/7＜。），且垂直于V軸的平面，截這個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則截面圖形的面積為

;（2）則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為.

【分析】（1）其截面應(yīng)為一個(gè)圓環(huán)，其內(nèi)徑為2|耳，外徑為2曲工7，貝!該圓環(huán)的面積為萬(wàn)/；

（2）根據(jù)祖咂原理，該旋轉(zhuǎn)體的體積與底面積為4a?,高為物的圓柱的體積相等，故其體

積為2M

【詳解】（1）該雙曲線的漸近線為y=±x.作直線y=〃，其與漸近線交于點(diǎn)4-九〃），B（h,h）,

與雙曲線交于點(diǎn)c（-后了"，⑨，。（＞/7二,力），則旋轉(zhuǎn)體的截面應(yīng)為一個(gè)圓環(huán)，

其內(nèi)徑AB=2/1,外徑CD=+A，故截面積為n（T.

高為2a的圓柱的體積相等，故其體積為2TUP.

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是作出直線￥二人與漸近線和雙曲線的交點(diǎn)，確定截面圖形為圓環(huán)，從

而求出其截面積.

17.（2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）占希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究曲線,

如圖①，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所成的角不同時(shí)，可以得到

不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為1的圓錐中，

AB.8是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，E是母線P8的中點(diǎn)，尸是線段EO的中點(diǎn),

已知過(guò)CQ與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以上為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為

,M,N是該曲線上的兩點(diǎn)且MN//CD,若MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,則|MN|=.

【答案】拋物線72

【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義直接判斷即可，再根據(jù)拋物線通徑的性質(zhì)直接得出答案即可.

【詳解】由已知底面半徑和高均為1,得=

又E為PB中點(diǎn)、,OE=LAP=包,旦OEMAP,所以4P〃平面CDE,

22

根據(jù)圓錐曲線的定義可知截面與圓錐母線平行時(shí)，曲線為拋物線，又尸為0E中點(diǎn)，故

—P=—'OCEF=,p=—729

2242

又。尸_L底面，故OP_LC。，由CDJLAB,ABIAP=A,故C0J_平面以3,CD.LOE,

又MNHCD,故MN為拋物線的通徑，MN=2p=42.

18.（2021?河北?衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中）如圖，三個(gè)半徑都是15cm的小球放在一

個(gè)半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同一水平面，則碗的半徑是

【答案】15+5直

【分析】設(shè)三個(gè)小球的球心。|、。2、。3在上底面圓O（碗口所在的截面圓）所在平面內(nèi)的

射影分別為〃2、%，可知幾何體。。2。3-4冉2%為正三棱柱，且該正三棱柱的底面

邊長(zhǎng)為30cm,高為15cm,求出0弘的長(zhǎng)，利用兩球相切可求得碗的半徑.

【詳解】設(shè)三個(gè)小球的球心。I、。2、。3在上底面圓。（碗口所在的截面圓）所在平面內(nèi)的

射影分別為小、也、凡,如下圖所示:

則幾何體002。-兄為正三棱柱，且該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為30cm,高為15cm,

則3：=105設(shè)半球面的半徑為Rem，因?yàn)榍?。與球?！?jī)?nèi)切，

2sin60

則/?-15=。9==/300+152=5后,所以，R=I5+5歷.

因此，碗的半徑為（15+5歷）cm.故答案為：15+5歷.

19.（2021?上海虹口?一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體人88-44&。中，P為底面A8CO

內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足與直線CG所成角的大小為則線段。P掃過(guò)的面積為

O

【答案】1

【分析】根據(jù)題設(shè)描述易知P的軌跡是以。為圓心，蟲(chóng)為半徑的四分之一圓，即可求OP掃

3

過(guò)的面積.

【詳解】由題設(shè)ODJ/CG，要使D,與直線CC1所成角的大小為只需RP與直線。烏所

O

成角的大小為

O

5

???RP繞。A以?夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：P的軌跡是以。為圓心，也為半

63

徑的四分之一圓，

???。尸在鉆8上掃過(guò)的面積為L(zhǎng)（無(wú)了X"=二.故答案為：三.

431212

如.（2021?江蘇?海門(mén)中學(xué)高三期中）己知。，￡分別是邊長(zhǎng)為2的等邊邊AB,AC的

中點(diǎn)，現(xiàn)將“IDE沿翻折使得平面4）E_L平面BCOE,則棱錐A-8CDE外接球的表面

積為.

【答案】蔡13乃

【分析】取BC的中點(diǎn)G,連接ZX7，EG,可得G為等腰梯形BCEO的外接圓的圓心，再過(guò)

折起后的AADE的外心作平面ADE的垂線，得出兩垂線的交點(diǎn)O為棱港A-BCDE外接球的

球心，求出半徑，利用球的表面積公式即可求解.

【詳解】取3c的中點(diǎn)G,連接以ZEG,可知。G=EG=BG=CG,

則G為等腰梯形BCED的外接圓的圓心，過(guò)G作平面BCED的垂線，

再過(guò)折起后的^ADE的外心作平面ADE的垂線，

設(shè)兩垂線的交點(diǎn)為O，則。為四棱錐A“外接球的球心，

??△4）石的邊長(zhǎng)為1,「.。6=，（=立，

6

BG

則四棱錐A-8CDE外接球的半徑OB=卜+'*、=嚕，

???四棱錐4-8CDE外接球的表面積為4乃x（粵］=晟兀.故答案為：米

21.（2021?江蘇常州?高三期中）正方體ABCDVCR的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為線段A。的中點(diǎn)，

三棱錐O-ABC的體積為,過(guò)點(diǎn)。且垂直于4。的平面與底面ABCD的交線長(zhǎng)

為.

【答案】I夜

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三棱錐的體積公式，以及線面垂直的判定，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，易知%皿=；匕_皿=9?”?e=白3竽x2=:；

如圖，分別作A8、8趺、8C、CQ、DJ）、AO的中點(diǎn)E、尸、G、H、/、J,

連接EF、FG、GH、HI、"、JE,易知平面EAG”〃過(guò)點(diǎn)O,

根據(jù)正方體的性質(zhì)，易知E尸_LAB、EFtBC,因?yàn)锳BIBC=B,所以所J_平面ABC,

又因?yàn)锳Cu平面ABC,所以EF1AC,同理E/JLAC,

又因?yàn)椤闒u平面EFGHIJ,EJu平面EPG”〃，且石/口臼=E，所以AC_L平面EFGHIJ,

因此過(guò)點(diǎn)。且垂直于AC的平面與底面48CO的交線長(zhǎng)為EJ=—=0+22=&故答案

22

為：I：&.

四、解答題

22.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-A8C中，△秒W是等邊三角形，

"4C=NPBC=90°.

（1）證明：A8J_PC；⑵若PC=6,且平面PAC_L平面P5C,求三棱錐P-ABC體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）9

【分析】（1）取AB中點(diǎn)D，連接產(chǎn)。，8,證明平面PDC,得線線垂直；（2）作BErPC,

垂足為E,連接AE.得證PC_L平面AE8,利用全等三角形的性質(zhì)得E是尸C中點(diǎn)，求得

各線段長(zhǎng)后，由體積公式計(jì)算體積.

（1）證明：因?yàn)椤鱎48是等邊三角形，4%C=NP8C=9（r,所以,

可得AC=8C.

如圖，取中點(diǎn)O,連接尸。，CD,則CDLAB,PDcCD=D、PD,CDu平

面PDC,

所以AB_L平面尸DC,又尸Cu平面POC,所以AB_LPC.

（2）解：作AEJ_PC,垂足為E,連接AE.因?yàn)镽sP8CgRt/4C,所以AE_LPC,AE=BE

AEc8E=E,A￡5Eu平面ABE,所以PC_L平面,由已知，平面PACJ?平面P8C,

故NA￡B=90°.

在RtAABE中，NA￡B=90。，AE=BE，AE?=3-BE?.在RtaPBE中,PE?=PB?-BE?，

119

???AB=P8,???尸￡=他=8E.???在Rl△尸8c中，BE=-PC=3.A=-x3x3=-.

19

???PCJ_平面AE8,???三棱錐P-ABC體積匕L=-x-x6=9.

23.（2021?浙江?臺(tái)州一中高三期中）如圖，在四棱錐P-A68中，平面E4D_L平面A8CD,

AB1AD,AB=—,AACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△。4￡＞是以A￡＞為斜邊的等腰直角

2

三角形，點(diǎn)E為線段尸。的中點(diǎn).（1）證明：CE//平面R4B；（2）求直線尸。與平面P8C所

成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3叵.

13

【分析】（1）取AO的中點(diǎn)O,連接CO,PO,證明。CQA,。尸兩兩垂直，如圖建系，求

出屋的坐標(biāo)以及平面R記的一個(gè)法向?qū)徲?，證明建.蔬=0結(jié)合CEa面Q4B，即可求證;

（2）求出所的坐標(biāo)以及平面PBC的法向后3，根據(jù)空1川向后夾角公式計(jì)算即可求解.

（1）如圖：取AD的中點(diǎn)。，連接CO,PO,

因?yàn)锳ACO是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△2￡>是以A￡>為斜邊的等腰直角三角形，可得

COA.AD,POLAD,

因?yàn)槊?4￡>_1面488,面尸40。面A3CD二AO.POYAD,POu面PA。，

所以「。1平面A8CO,因?yàn)镃Ou面ABCO,所以PO_LCO,

可得OCOAOP兩兩垂直，分別以O(shè)CO4OP所在的直線為xy，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（OJO）,8停,1,0）,C（30,0）,。（0,一1,0）,P（0,0,V2）,后,一支孝，

,設(shè)平面的一個(gè)法向量

m=(x,y,z),

與

+y

inPB=2

令y=

由《272則z=1,所以而二（0,&11

o

m-AB-2=

因?yàn)榍?—6x0—1x0+立=0,所以在_L而，因?yàn)镃E<Z面秒^，所以CE〃平面

22

PAB.

（2）PD=（0,-1,-72）,而='等JO,而=（等」,一應(yīng),設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量

力=（不，加4），

V3

nCB=一萬(wàn)/+%=02

由，r，令甬=不，%=1，4=&，所以百=

nPB-^■與+券一夜20=0

設(shè)直線PD與平面P8C所成角為。，則

n-PD3后

sin^=cos(w,

板忖+l+2xg13.

所以直線尸。與平面P8C所成角的正弦值為述.

13

D

24.（2021?福建省福州第一中學(xué)高三期中）如圖所示，在底半徑為R、高為H（H,R為定

值，且//4R）的圓錐內(nèi)部?jī)?nèi)接一個(gè)底半徑為八高為人的圓柱，甲、乙兩位同學(xué)采用兩種

不同的方法來(lái)解決.甲采用圓柱底面與圓錐底面重合的“豎放”方式（圖甲），乙采用圓柱母

線與圓錐底面直徑重合的“橫放”方式（圖乙）.

豎放橫放

（1）設(shè)匕、匕分別“豎放”、“橫放”時(shí)內(nèi)接圓柱的體積，用內(nèi)接圓柱的底半徑「為自變量分

別表示匕、匕；

(2)試分別求匕、匕的最大值“；)儂、化)皿，并比較化)3、化)四的大小?

⑵(K)皿《決"，化)。m=全加，(KL>⑻A

【分析】(1)作出圓錐的軸截面，截圓柱得一內(nèi)接矩形，殳AC=H,CB=R,DE=x,E7

由相似形得出為丁的關(guān)系，豎放，x=rt橫放，y=j由體積公式計(jì)算可得匕匕：

(2)由導(dǎo)數(shù)求得匕匕的最大值，并比較可得.

(1)如圖是圓錐的軸截面截圓柱得一內(nèi)接矩形，設(shè)AC=H,CB=R,DE=x,EF=y,

ACFB

根據(jù)三角形相似得，4=fl^2=l-77-,-x=/?f1-^V

Atinyn)

①若圓柱“豎放”，貝Ijx=r'%=%/=〃(1一\)(0</<」

R)

22F2

Vx=7rrh=rrrHI-^=TTH~~(0<r</?)

②若圓柱“橫放”，則W，y=2r,/./?=2R(1子)(0<J

:.V2=4//?=4/27?(1—")=2萬(wàn)/?(八一^_(o<rv?

(lr2\(一手］=0,解得r=^R

(2)①，匕=乃"2r--(0<r</?),由匕2r

IR)I

當(dāng)re(0的時(shí)，K>0,匕遞增;當(dāng)小學(xué)，可時(shí)，

匕<0,K遞減:

/、2

」.(％廠加爭(zhēng)奈板

(2)/.匕'=2乃/?(2/一答)(0<r<R)由匕'=2%R2r-^-

=。解得

當(dāng)「€(0弓〃)時(shí)，K>0,匕遞增；當(dāng)，時(shí)，

K<0,匕遞減;

.-.（V,）=乃（且）-R=—TTRH2

\-人必I3J327

47?

v（V：）一（匕）=——冗R2H——frRH2=—7rRH（2R-H]：H＜R,：.（V.）＞（匕）

\1/max\"max