2023教師版 步步高 大二輪 數(shù)學 新高考一 函數(shù)與導數(shù)

ZHUANTIYI

專題一函數(shù)與導數(shù)

第1講函數(shù)的圖象與性質

[考情分析]1.函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點和熱點，主要考查函數(shù)的定義域、分段函

數(shù)、函數(shù)圖象的識別與應用以及函數(shù)性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性)的綜合應用，

難度屬于中等及以上.2.此部分內容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時在壓軸題的位置，

多與導數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題相結合命題.

考點一函數(shù)的概念與表示

【核心提煉】

1.復合函數(shù)的定義域

(1)若/(%)的定義域為n],則在/(g(x))中，由機解得x的范圍即為/(gQ))的定義

域.

(2)若的定義域為[m，n\,則由加WxW〃得到g(x)的范圍，即為危)的定義域.

2.分段函數(shù)

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.

例1(1)(2022?南陽檢測)已知函數(shù);(x)=lg不，則函數(shù)g(x)=/(x—l)+d2x—1的定義域是

()

A.{小<0或x>2}B.jx|2^-r<2j

C.{x\x>2]D.]x卜苗j

答案B

1—v1—V

解析要使有意義，則髭>0,

即(1一尤)(l+x)>0,解得一

所以函數(shù)人元)的定義域為(一1,1).

要使g(x)=/(%-1)+12冗-1有意義,

則f-Kx-Kl,

'x—INO,解得

所以函數(shù)g(x)的定義域為口呆x<2j.

[X2+2(2,X<\,

(2)已知實數(shù)q￡R,函數(shù)次i)=若火1—/1+a),則實數(shù)a的取值范圍是

[-X,X>1,

答案(-2,-1)U(O,+8)

解析由題意知aWO,

①當〃<0時，1—a>l,l~\~a<l,

:.一(1—〃)>(1+〃)2+2〃，

化簡得〃2+3〃+2<0,

解得一2<〃<一1,

又〃<0,.?.〃￡(—2,—1);

②當〃>0時，1—

(1—a)。+2a>—(1+(2),

化簡得"+〃+2>0,解得〃金R,

又。>0,.*.67^(0,+°°),

綜上，實數(shù)〃的取值范圍是(一2,-1)U(O,+8).

規(guī)律方法(1)形如月g(x))的函數(shù)求值時，應遵循先內后外的原則.

⑵對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解.

[x~3,%210,

跟蹤演練1(1)(2022?濰坊模擬)設函數(shù)段)=L,一、、0則48)等于()

x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

解析因為於)%—1。，

則式8)=用(12))=犬9)=歡13))

=X10)=7.

(2)(多選)設函數(shù)兀0的定義域為D,如果對任意的尤GD,存在ye。，使得大只=一處)成立,

則稱函數(shù)人x)為函數(shù)”.下列為“M函數(shù)”的是()

A.y=sinxcosxB.y=lnx+eT

C.y—2xD.y=/—2元

答案AB

解析由題意，得函數(shù)”的值域關于原點對稱.A中，尸sinxcosx=*in2xe1,

其值域關于原點對稱，故A是“M函數(shù)”；B中，函數(shù)y=lnx+e￡的值域為R,故B是“M

函數(shù)”；C中，因為y=2￡>0,故C不是函數(shù)”；D中，y=x2-2x=(x-l)2-l^-l,

其值域不關于原點對稱，故D不是“加函數(shù)”.

考點二函數(shù)的圖象

【核心提煉】

1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、

伸縮變換、對稱變換.

2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點.

考向1函數(shù)圖象的識別

JT7T

例2(1)(2022?全國甲卷涵數(shù)y=(3%—3r>cos%在區(qū)間［一句上的圖象大致為()

答案A

解析方法一(特值法)

取x=l,貝!jy=(3—§cosl=5cos1>0；

?。?—1,則尸3)cos(—l)

Q

=-1cos1<0.結合選項知選A.

方法二令》=危)，

則A-X)=(3r—33os(-X)

=-(3%-3-x)COSX=—fix),

所以函數(shù)丁=(3%—3一？cosx是奇函數(shù),

排除B,D；

取x=l,則y=(3—l^cos1=圣05l>0,排除C,故選A.

（2）（2022?全國乙卷）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［—3,3］的大致圖象，則該函數(shù)是

-%3+3%

A-尸f+l

-2xcosx

C?產RF

答案A

解析對于選項B,當x=l時，y=0,與圖象不符，故排除B；對于選項D,當x=3時，y

=|sin3>0,與圖象不符，故排除D；對于選項C,當0<無時，0<cosx<l,故丫=管手

〈離yWl,與圖象不符，所以排除C.故選A.

考向2函數(shù)圖象的變換及應用

3\xWl,

例3（1）已知函數(shù)兀y則函數(shù)y=/（l—X）的大致圖象是（）

人JL,

解析方法一作函數(shù)式X）的圖象關于y軸對稱的圖象，得到函數(shù)八一X）的圖象，再把函數(shù)式一

x）的圖象向右平移1個單位長度即得到函數(shù)/U—x）的圖象，如圖.故選D.

尸危）

3\xWl,

方法_因為函數(shù)八幻=<log/,%〉1,

、3

3i,冗20,

所以函數(shù)式1-x)=logjj),x<0,

、3

當x=0時，尸")=3,即y=/(l—x)的圖象過點(0,3),排除A；

當x=-2時，y=/(3)=-1,即丁=火1—x)的圖象過點(一2,—1),排除B；

當x<0時，1—尤>1,#1—%)=log]—排除C.

3

f2_|_9_|_1

rr%wo,”

(2)已知函數(shù)犬x)='

若存在的，X2，X3(Xl<X2<X3)使y(Xl)=/(X2)=/(X3)，則

[2x,尤＞0,f

J{x\+彳2+尤3)的取值范圍是()

A.(0,1]B.[0,1]

C.D.(—8,1)

答案B

解析作出1工)的大致圖象如圖，交點橫坐標為修，X2,%3,自左向右依次排列，

由圖可知，XI,X2關于直線

即》1+尤2=-2,

又X3>0,.?.無1+&+%3>—2.

由圖象知，當X>—2時，於)

.,.>1+%2+%3)e[0,1].

規(guī)律方法(1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質，如定義域、奇偶性、單調性等，

特別是利用一些特殊點排除不符合要求的圖象.

(2)函數(shù)圖象的應用主要體現(xiàn)為數(shù)形結合思想，借助于函數(shù)圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關

不等式恒成立、最值、交點、方程的根等問題.

跟蹤演練2(1)已知圖①中的圖象是函數(shù)y=#x)的圖象，則圖②中的圖象對應的函數(shù)可能是

A.y=fl\x\)B.y=\f(x)\

C.y=f(~\x\)D.y=-f(-\x\)

答案C

解析圖②中的圖象是在圖①的基礎上，去掉函數(shù)y=/(x)的圖象在y軸右側的部分，然后將

y軸左側圖象翻折到y(tǒng)軸右側，y軸左側圖象不變得來的，所以圖②中的圖象對應的函數(shù)可能

是。=K—W).

cosv—P9

(2)函數(shù)穴無)=4,2+氏+"的圖象如圖所示,貝|()

A.。>0,6=0,c<0

B.〃>0,。=0,c>0

C.〃<0,Z?<0,c=0

D.a<0,Z?=0,c<0

答案A

解析因為函數(shù)八x)的圖象關于y軸對稱,

所以九0為偶函數(shù)，

cosx+2cosx+2

ax2-6尤+c加+bx+c**)，

解得b=0,

3

由圖象可得犬0)=]<0,得c<0,

由圖象可得分母加+c=0有解,

所以爐=一。有解，

所以一。>0,解得a>0.

考點三函數(shù)的性質

【核心提煉】

1.函數(shù)的奇偶性

(1)定義：若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則有

八X)是偶函數(shù)，(一無)=危)=八國)；

八X)是奇函數(shù)，(一無)=

(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質法(如奇函數(shù)X奇函數(shù)是偶函數(shù)).

2.函數(shù)單調性判斷方法：定義法、圖象法、導數(shù)法.

3.函數(shù)的周期性

若函數(shù)/(x)滿足Kr+“)=/(x—。)或/(x+2a)=y(x),則函數(shù)y=/(無)的周期為21al.

4.函數(shù)圖象的對稱中心和對稱軸

⑴若函數(shù)兀0滿足關系式式。+x)+;(a—x)=26,則函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(a,b)對稱.

(2)若函數(shù)於)滿足關系式/(a+x)=/3—尤)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線了=^^對稱.

考向1單調性與奇偶性

例4(2022?廣東大聯(lián)考)已知函數(shù)/(尤)=陰一cosx,貝4圖，的)，/(一包的大小關系為()

A.

B.即)一加(|)

c./?</H)<A0)

D.7(-1)<?</?

答案B

角星析,?"(%)=e兇一cosx,

x)=—cos(—x)=e|x|—cosx=fix),

，段)為偶函數(shù),

當x>0時，f(x)=ex—cosx,

則，a)=e*+sinx,

???當x￡(0,+8)時，/(x)=ex+sinx>0,

I.函數(shù)兀x)在(0,+8)上單調遞增，

二頒制碟,

即旭)<4—￡)勺(|).

考向2奇偶性、周期性與對稱性

例5(多選)(2022?新高考全國I)已知函數(shù)式尤)及其導函數(shù)/(X)的定義域均為R,記g(x)=

f'(%).若2x),g(2+無)均為偶函數(shù)，貝心)

A.八0)=0B.g(_￡)=0

C.人-1)=A4)D.g(—l)=g(2)

答案BC

解析方法一(轉化法)因為2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以/(1_您)=/?+2%)，

即謂-x)=/(|+J

g(2+x)=g(2—x),

所以八3—x)=/(x),g(4~x)=g(x),

則八一D=A4),故C正確；

,3

函數(shù)式無)，g(x)的圖象分別關于直線x=],x=2對稱，又g(無)=/'(尤)，且函數(shù)式尤)可導，

所以g(D=。，g(3—x)=—g(x),

所以g(4—x)=g(x)=-g(3—x),

所以g(x+2)=—g(x+l)=g(x),

所以g(—g=g?=°，

g(—l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯誤;

若函數(shù)/(x)滿足題設條件，

則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設條件，

所以無法確定八0)的函數(shù)值，故A錯誤.

方法二(特例法)因為/(1—2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，所以函數(shù)段)的圖象關于直線x=|對

稱，函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=2對稱.取符合題意的一個函數(shù);(x)=l(xeR),則式0)=1,

排除A；

取符合題意的一個函數(shù)#x)=sinTIX,

貝If'(%)=兀COS71X,即g(x)=71COS71X,

以g(1)=71COS(兀)=兀，g(2)=71COS2兀=兀，

所以g(一l)Wg(2),排除D.故選BC.

二級結論(1)若/U+a)=-A無)(或於+。)=點，其中/(x)WO,則/(x)的周期為21al.

(2)若?x)的圖象關于直線x=a和x=b對稱，則“X)的周期為2|a一回.

(3)若兀0的圖象關于點(。，0)和直線無=》對稱，則八x)的周期為41a一例.

跟蹤演練3⑴若函數(shù)於尸e'+aer(aGR)為奇函數(shù)，則不等式4n尤)勺(|lnx|)的解集為

答案(0,1)

解析易知危)定義域為R,

又大x)為奇函數(shù)，.\/(0)=0,得a=-1,

.,.J[x)=ex—e^x.

，八幻為奇函數(shù)且在R上單調遞增，

又加ix)勺(|lnx|),

/.Inx<|lnx\,Inx<0,0<x<1.

(2)(2022?新高考全國II)已知函數(shù)y(x)的定義域為R,且y(x+y)+/(x—y)=Axm),人1)=1,則

22

24%)等于()

A.-3B.-2C.0D.1

答案A

解析因為黃1)=1,

所以在<x+y)+兒￥—y)=/0才。)中,

令y=l,

得負x+l)+於一l)=Axy(l),

所以7(x+l)+/(x—l)=Ax),①

所以/U+2)+/(x)=Ax+i).②

由①②相加，得式x+2)+兀C—1)=0,

故大x+3)+/(x)=0,

所以力>+3)=—八。，

所以f(x+6)=~f(x+3)=f(x),

所以函數(shù)五x)的一個周期為6.

在1Ax+y)y)中,

令y=0,得式x)+/(x)=Axy(o),

所以大0)=2.

令尸產1,得式2)+的)=加求1),

所以八2)=-1.

由人x+3)=-/(x),

得犬3)=-八0)=—2,遙4)=一式1)=-1,

八5)=-八2)=1,犬6)=一八3)=2,

所以41)+式2)1-----PX6)=1-1-2-1+1+2=0,

22

根據(jù)函數(shù)的周期性知，區(qū)激)=黃1)+次2)+<3)+型)=1—：1—2—1=-3,故選A.

專題強化練

一、單項選擇題

1.（2022?哈爾濱檢測）下列既是奇函數(shù)，又在（0,+8）上單調遞增的是（）

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=tanxD.y=—~

答案D

解析對于A,y=sinx是奇函數(shù),且在（0,十8）上有增有減，故不滿足；

對于B,y=lnx的定義域不關于原點對稱，是非奇非偶函數(shù)，故不滿足；

對于C,y=tanx是奇函數(shù)，且在（0,+8）上只有單調遞增區(qū)間，但不是一直單調遞增，故

不滿足；

對于D,y=—5是奇函數(shù)，且在（0,+8）上單調遞增，故滿足.

2.（2022?西安模擬）設危）=（='：若段）=3,則%的值為（）

Uog2（W—l）,x>3,

A.3B.1

C.—3D.1或3

答案B

解析當x<3時，令2#1—1=3,解得x=l,

當x>3時，<log2（x2-l）=3,

解得x=±3,這與x>3矛盾，

??x—1.

3.（2022?常德模擬）函數(shù)兀暗的圖象大致是（）

答案c

解析函數(shù)40=號暗的定義域為R,

sin（—TLX）—sing）

式一勸=/工+4=e'+er=一五元），

即/（x）是奇函數(shù)，A,B不滿足；

當x￡（O,l）時，即0〈心〈兀，

則sin（7ix）＞0,而e%+e-%＞0,

因此1x）＞0,D不滿足，C滿足.

e'—1

4.（2022?張家口檢測）已知函數(shù)/（x）=1Zpp貝1（）

A.函數(shù)五x）是奇函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調遞增

B.函數(shù)/U）是奇函數(shù)，在區(qū)間（一8,0）上單調遞減

C.函數(shù)八尤）是偶函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調遞減

D.函數(shù)兀0非奇非偶，在區(qū)間（一8,0）上單調遞增

答案A

1—H

ex—1e'

解析一/（一勸=一寧7=一中

ex

==x

eA_1_/（）?故人入）是奇函數(shù)?

「e^+l-22

=x=1-x

又?；胑+le+T

由復合函數(shù)的單調性可知/U）在R上單調遞增.

1---Y

5.（2021?全國乙卷）設函數(shù)危尸不，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.>-1)-1B.>-D+l

c.>+i)-iD.危+1)+1

答案B

解析方法一段)="=21,+1)=_^__1,為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)

八1十X1十X1十X

y=/U)的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的圖象對應的函數(shù)為

y=A尤-1)+1.

]—X

方法二因為危)=在7

所以/(1)=苴m=寧

,1—(x+1)—X

/+D=]+(x+l)=rf?

2—JC2—2x

對于A,5(x)=/(x—1)—1=丁-1=下~,定義域關于原點對稱，但不滿足網(wǎng);i)=—F(一

%);

2—x2

對于B,G(x)=#x—1)+1=—1+1=[，定義域關于原點對稱，且滿足G(%)=—G(—x)；

-

對于c,小+1)_]=三—X一]—=X.—4X—2Dx—I，定義域不關于原點對稱；

%十2%十2x十2

一,—x,—%+%+22、、…、一、,一.―一，

對于D,/(x+l)+]=_|_O+1=_|_9=，定乂域不關于原點對稱.

6.設定義在R上的函數(shù)段)滿足加)/+2)=13,若人1)=2,則型9)等于()

A.1B.2

C.0D.-y-

答案D

解析依題意危)式工+2)=13,

13

八-2)=麗，

13

所以加+4)=/(x+2+2)=抵百

=*=於)，

而

所以於)是周期為4的周期函數(shù)，

所以/(99)=A25X4-1)=八-1)

_13_13_13

7.已知函數(shù)八x)是定義在(-8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，且當尤>o時，的=

(龍一2齊0"4,

輸-4—4,則方程於門的解的個數(shù)為()

A.4B.6C.8D.10

答案D

解析由題意知，當x>0時,

(%—2)2,0<xW4,

函數(shù)?=輸―4),x>4,

作出函數(shù)人x)的圖象，如圖所示,

又由方程|x)=l的解的個數(shù)，即為函數(shù)y=/(x)與y=l的圖象交點的個數(shù)可知，

當x>0時，結合圖象，函數(shù)y=?r)與y=l的圖象有5個交點，

又因為函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，圖象關于/軸對稱，所以當x<0時，函數(shù)y=/(x)與y=l的圖

象也有5個交點，

綜上可得，函數(shù)y=?r)與y=l的圖象有10個交點，即方程風燈=1的解的個數(shù)為10.

8.(2022?河北聯(lián)考)若函數(shù)式2關+1)。€見是周期為2的奇函數(shù)，則下列結論不正確的是()

A.函數(shù)7U)的周期為4

B.函數(shù)%)的圖象關于點(1,0)對稱

C.X2021)=0

D./(2022)=0

答案D

解析：函數(shù)五2x+l)(尤GR)是奇函數(shù)，

1)=—/(—2x+1)=^

/(2x+1)+/(—2x+1)=0,

???函數(shù)/U)的圖象關于點(1,0)對稱，故B正確；

?.?函數(shù)式2尤+l)(xGR)的周期為2,

.?式2(x+2)+l)=A2x+l),

即缺+5)=心+1),

??/x)的周期為4,故A正確；

/(2021)=y(4X505+l)=Xl)=0,故C正確;

/(2022)=H4X505+2)=/(2),無法判斷黃2)的值，故D錯誤.

二、多項選擇題

9.下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是()

B.y=ln尤

答案AD

解析對于A,

定義域、值域都為(一8,0)U(0,+°°),滿足題意；

對于B,定義域為(0,+8),值域為R,不滿足題意;

對于C,定義域為(一8,0)U(0,+8),

又3，>0,且3-1,

故1,且3工一1/0,故產一1或y>0,

故值域為(一8,—1)U(0,+°°),不滿足題意；

定義域、值域都為(一8,l)U(l,+8),滿足題意.

1,尤eQ,

10.(2022?淄博檢測)函數(shù)￡>(%)=被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結論成立的是

0,遇Q

()

A.函數(shù)。(x)的值域為[0,1]

B.若O(xo)=l,則。(xo+l)=l

C.若。(X1)—0(X2)=。，則XI—X2GQ

D.Z)(x+爽)=1

答案BD

解析選項A,函數(shù)。(無)的值域為{0,1},A錯誤;

選項B,若。(尤o)=l,則xoGQ,xo+lGQ,

則。(尤o+1)=1,B正確；

選項C,。(2兀)一。(兀)=0—0=0,

但2兀一兀=7teQ,C錯誤；

選項D,當了=一表時，

0(尤+的=0(一立+的=0(0)=1,

則mxdR,D(x+g)=1,D正確.

?7Y|h

11.下列可能是函數(shù)式無)=講了(其中a,b,ce{-1,0,1})的圖象的是()

答案ABC

解析A選項中的圖象關于y軸對稱，B選項中的圖象關于原點對稱，兩個選項均可得函數(shù)

的定義域為{x|xW0},可得c=0,又函數(shù)兀0的零點只能由ax+b產生，所以函數(shù)/(x)可能沒

有零點，也可能零點是x=—1,0,1,所以A,B選項可能符合條件；

而由D選項中的圖象知，函數(shù)/(x)的零點在(0,1)上，但此種情況不可能存在，所以D選項不

符合條件；觀察C選項中的圖象，由定義域猜想c=l,由圖象過原點得b=0,猜想a=l,

可能符合條件.

12.已知函數(shù)1)的圖象關于直線x=—1對稱，且對V尤GR,有x)=4.當

XG(O,2］時，_/U)=x+2,則下列說法正確的是()

A.8是大x)的周期

B.八x)的最大值為5

C.42023)=1

D.尤+2)為偶函數(shù)

答案ACD

解析因為函數(shù)y=Ax—1)的圖象關于直線x=—1對稱，

故兀0的圖象關于直線x=~2對稱，

因為對VxGR有人力+八-x)=4,

所以函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(0,2)成中心對稱，所以八一2+x+2)=/(—2—(x+2)),

即式x)=/(—4—x)=4-/(—x),

又八一4—x)+y(x+4)=4,

即五一4—無)=4—大尤+4),

所以八x+4)=八一x),

所以五(x+4)+4)=A—。+4))=八尤)，

所以“r+8)=/(x),

所以8是八x)的周期，故A正確；

又八x+2)=/(—x+2),故函數(shù)?r+2)為偶函數(shù)，故D正確；

因為當尤d(0,2］時,fix)=x+2,

且共助+八一x)=4,

則當xd［—2,0)時，-xe(0,2］,

所以六-x)=—x+2=4—兀0，

所以*x)=x+2,

故當彳6［—2,2］時，fix)=x+2,

又函數(shù)了=大尤)的圖象關于直線尤=-2對稱，

所以在同一個周期［—6,2］上，

八x)的最大值為黃2)=4,

故人x)在R上的最大值為4,故B錯誤；

因為近2023)=/253X8-1)

=/-1)=4-/(1)=1,

所以C正確.

三、填空題

13.(2022.瀘州模擬)寫出一個具有下列性質①②③的函數(shù)氏0=.①定義域為R；

②函數(shù)?r)是奇函數(shù)；③A尤+兀)=?x).

答案sin2x(答案不唯一)

14.已知函數(shù)負x)=1nhp不1—x)+1,則/(In5)+f(in§=.

答案2

解析令g(x)=ln(q/+l—尤),

則g(x)的定義域為R,

g(一尤)+g(x)=InN'+l+無)+InN'+l—尤)=In1=0,

；.g(x)為奇函數(shù)，

5)+f(in￡)=/ln5)+式一In5)

=g(ln5)+1+g(—In5)+1=2.

(x-a)2,xWO,

15.已知函數(shù)加)=(若式0)是兀0的最小值，則〃的取值范圍為________.

x+~+a,x>0,

答案[0,2]

解析由于當尤>0時，/(x)=x+：+a在x=l時取得最小值2+a,

因為犬。)是犬尤)的最小值，

所以當xWO時，式x)=(x—op單調遞減,

則此時最小值為式0)=〃，

因此/W〃+2,解得0WaW2.

16.(2022.濟寧模擬)已知函數(shù)危尸eLU-sin停x),則使得加)》⑵)成立的尤的取值范圍是

解析令g(x)=eN—cos&：),將其向右平移1個單位長度，

得y=U—cos卷一習=炭一U—sin(^x),

所以"r)=eWf—sin(|x)是函數(shù)g(x)向右平移1個單位長度得到的.

而易知g(x)是偶函數(shù)，

當x>Q時，g(x)=e“一cos&:),

，/、r?兀.「兀\

g(x)=er+2Sin|jx|,

當0<xW2時,顯然g'(x)>0,

當x>2時，e*>e2,

一產科13六萬，

所以屋(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調遞增，在(一8,0)上單調遞減.

從而可知式X)在(1,+8)上單調遞增，

在(一8,1)上單調遞減.

所以當尤)時，有以一1|>|2無一1|,

2

解得00yl.

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

［考情分析］1.基本初等函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點，利用函數(shù)性質比較大小、解不

等式是常見題型2函數(shù)零點的個數(shù)判斷及參數(shù)范圍是?？碱}型，常以壓軸題的形式出現(xiàn).3.函

數(shù)模型及應用是近幾年高考的熱點，通常考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型.

考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質

【核心提煉】

指數(shù)函數(shù)且與對數(shù)函數(shù)y=logax(〃>0,且互為反函數(shù)，其圖象關于)

=x對稱，它們的圖象和性質分兩種情況，著重關注兩種函數(shù)圖象的異同.

例1(1)(2022?杭州模擬)已知lgi+lgZ?=0(〃>0且方>0且6W1),則函數(shù)/(x)=/與g(x)

=log/的圖象可能是()

b

答案B

解析：lga+lgb=0(a>0且aWl,6>0且6W1),

1

--

力

函數(shù)1X)=爐與函數(shù)g(x)=log/互為反函數(shù)，

b

???函數(shù)八%)=戶與8(%)=1。84的圖象關于直線y=x對稱，且具有相同的單調性.

b

(2)若對正實數(shù)x,y有l(wèi)ogM—log2y<3一”一3一匕貝版)

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0

C.ln|x_y|>0D.ln|x-y|<0

答案A

解析設函數(shù)"r)=logzr—3r.

因為y=log2%與y=-3一”在(0,+8)上均單調遞增，所以?x)在(0,+8)上單調遞增，

原不等式等價于log2X—3一”〈log2y—3一，

即於)勺U)，

所以y>x>0,即y—x>0,

所以A正確，B不正確；

又|x—y|與1的大小關系不確定，

所以C,D不正確.

規(guī)律方法(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質受底數(shù)〃的影響，解決與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)有關的問題時，首先要看底數(shù)〃的取值范圍.

(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉化.

跟蹤演練1(1)(2022?山東名校大聯(lián)考)若a=log32,&=log52,c=e°V貝!Ja,b,c的大小關

系為()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

答案A

解析由對數(shù)函數(shù)的單調性可知

0=log3I<log32<log33=1,

即0<a<1,且(=log23,

又0=log51<log52<log55=1,

即0</?<1且/=log25,又Iog23<log25,

即!<1,所以原也

又根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性可得。=?。2>?°=1,

所以b<a<c.

(2)(2022?邯鄲模擬)不等式1，一6%—的解集為.

答案［1,+°°)

解析由1，-6%—3%21,

可得(吉)+!!}+扁卜5L

令人月=闔工+(1〉+(得〉,

因為y=/},y=(1)，y=島>均在R上單調遞減，則/(x)在R上單調遞減，且11)=1,

所以即

故不等式1(7—6，一3工21的解集為［1,+°°).

考點二函數(shù)的零點

r核心提煉］

判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法

(1)利用函數(shù)零點存在定理判斷.

(2)代數(shù)法：求方程式X)=0的實數(shù)根.

(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質找出

零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質時，可用求導的方法判斷函數(shù)的單調

性.

考向1函數(shù)零點個數(shù)的判斷

例2已知人尤)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，且當時，人龍)=2，—1,則函數(shù)g(x)

=/(X)—log5|x|的零點個數(shù)是()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析當xG［O』］時，風r)=2*—1,函數(shù)y=/(x)的周期為2且為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，

可作出函數(shù)/(x)的圖象.函數(shù)y=log5|x|的圖象關于y軸對稱，函數(shù)y=g(x)的零點，即為兩函

數(shù)圖象交點的橫坐標，當x>5時，y=log5|x|>l,此時兩函數(shù)圖象無交點，如圖，

又兩函數(shù)的圖象在無>0上有4個交點，由對稱性知兩函數(shù)的圖象在x<0上也有4個交點，且

它們關于y軸對稱，可得函數(shù)g(x)=/(x)—log5|x|的零點個數(shù)為8.

考向2求參數(shù)的值或范圍

例3(2022?河北聯(lián)考)函數(shù)_Ax)=e，和8(尤)=成的圖象有三個不同交點，則Z的取值范圍是

答案停，+8)

解析因為函數(shù)/(x)=ex和且。)=丘2的圖象有三個不同交點，

所以方程。%=扇有三個不同的實數(shù)根，顯然x=0不是方程的實數(shù)根，

所以方程-Q0)有三個不同的非零實數(shù)根，

令〃(x)=},則h'(x)=aj)e,

所以當x<0時，h'(x)>0,

當0a<2時，〃(尤)<0,

當x>2時，h'(x)>0,

所以函數(shù)陽)=亳在(一8,0)和(2,+8)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減，

因為當x趨近于一8時，/?(%)趨近于0,當x趨近于+8時，/?&)趨近于+8,當x趨近于0

時，4(%)趨近于+8,

_2

所以函數(shù)/z(x)的大致圖象如圖所示，/z(2)=ew，

I\y=h(x)/

■'2

所以當方程*=WQ0)有三個不同的實數(shù)根時，上的取值范圍是仔，+8)

規(guī)律方法利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法

I~~~~利用零點存在定理構建不等式確定參

I旦.百數(shù)的取值定菌_______________________

|分離，數(shù)法T將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題|

I晶彩1人一I—先對解析式變形，在同一平面直角坐標系

I數(shù)序中作出函藪的圖象，然后數(shù)形結合求解

跟蹤演練2(1)已知函數(shù)兀0={廠'若關于x的方程火工)=〃(%+1)有三個不相等的

Qx,x20,

實數(shù)根，則實數(shù)〃的取值范圍是.

解析作出函數(shù)危)的圖象，又直線y=a(x+l)過定點尸(一1,0),如圖，當直線y=Q(x+l)與

的圖象有兩個交點時滿足題意，需滿足〃>0,

(y=a(x+l),

由1r得<%+〃=0,令t=yjx,

則at1—t+a=0有兩個正根，

所以J=l—4a2>0,解得一義<44,

此時，1亥=1>0,九+亥=1>0,所以Ovav,

(2)函數(shù)加)=sin與一士在區(qū)間［-4,8］上的所有零點之和為

答案16

解析由題意得函數(shù)段尸sin號一士在區(qū)間L4,8］上的零點，即方程sin號一士=0的根,

作出函數(shù)丫=$出與和尸七的圖象，如圖所示,

乙NX

由圖可知，兩個函數(shù)的圖象有8個不同的交點，且兩兩關于點(2,0)對稱，故8個點橫坐標之

和為16,所以函數(shù)加尸sin券一十在區(qū)間［—4,8］上的所有零點之和為16.

乙乙X

考點三函數(shù)模型及其應用

t核心提煉】

解函數(shù)應用題的步驟

(1)審題：縝密審題，準確理解題意，分清條件和結論，理清數(shù)量關系.

(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相

應的數(shù)學模型.

(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論.

(4)反饋：將得到的數(shù)學結論還原為實際問題的意義.

例4(1)(2022?衡陽模擬)2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二

號廠遙十三運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預定時間精準點火發(fā)射，順利將翟志剛、王

亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，火箭在發(fā)射時

會產生巨大的噪音，已知聲音的聲強級4(x)(單位：dB)與聲強龍(單位：W/n?)滿足d(x)=

101g,.若人交談時的聲強級約為50dB,且火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約

為IO)則火箭發(fā)射時的聲強級約為()

A.130dBB.140dB

C.150dBD.160dB

答案B

解析當人交談時的聲強級約為50dB,

XXe—

50=101gJQ-I2=^JQ-I2=105=>x=107,

即人交談時的聲強為l(T7w/m2,因為火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為109,

所以火箭發(fā)射時的聲強為10-7X109=100W/m2,

因此火箭發(fā)射時的聲強級為101g學5=101g10M=10X14=140(dB).

(2)(2022?福州模擬)深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經網(wǎng)絡為出

G

發(fā)點的.在神經網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為乙=4。石，其中L表示每一輪優(yōu)化

時使用的學習率，工o表示初始學習率，。表示衰減系數(shù)，G表示訓練迭代輪數(shù)，Go表示衰減

速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5,衰減速度為22,且當訓練迭代

輪數(shù)為22時，學習率衰減為0.45,則學習率衰減到0.05以下(不含0.05)所需的訓練迭代輪數(shù)

至少為(參考數(shù)據(jù)：lg3po.4771)()

A.11B.22C.227D.481

答案D

_2_G_

解析由于乙=4。5,所以L=0.5X。亞，

烏9

依題意0.45=0.5義D220。二左，

貝I￡=0.5X

由￡=0.5義

G-(lg9-lg10)<-22,G-(lg10-lg9)>22,

22

所以G>imio-

lg10-lg9

222222

G>l-21g3^1-2X0.4771=0.0458^480-35'

所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為481輪.

易錯提醒構建函數(shù)模型解決實際問題的失分點

(1)不能選擇相應變量得到函數(shù)模型.

(2)構建的函數(shù)模型有誤.

(3)忽視函數(shù)模型中變量的實際意義.

跟蹤演練3(1)(2022?荊州聯(lián)考)“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河

道生態(tài)環(huán)境治理，科學治污.某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為。立方米，每天的進出水量為

上立方米.已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段f(單位：天)河水污染質量指數(shù)為

加⑺(每立方米河水所含的污染物)滿足比⑺+丁(冽0為初始質量指數(shù))，經測

kVk)

算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍.若從現(xiàn)在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下

降到初始時的10%,需要的時間大約是(參考數(shù)據(jù)：In10"2.30)()

A.1個月B.3個月

C.半年D.1年

答案C

80

解析由題可知，m(0=moe=0.1恤，

e疝'=0.1,

0.12一2.30,；.r?184（天）,

...要使河水的污染水平下降到初始時的10%,結合選項知需要的時間大約是半年.

(2)(2022.廣東大聯(lián)考)水果采摘后，如果不進行保鮮處理，其新鮮度會逐漸流失，某水果產地

的技術人員采用一種新的保鮮技術后發(fā)現(xiàn)水果在采摘后的時間f(單位：小時)與失去的新鮮度

1

r,0W/<10,

1000

y滿足函數(shù)關系式:為了保障水果在銷售時的新鮮度不低于

y=[20+?

—2^,10<?<100,

120

85%,從水果采摘到上市銷售的時間間隔不能超過(參考數(shù)據(jù)：log23PL6)()

A.20小時B.25小時

C.28小時D.35小時

答案C

解析由題意可知當長10時，失去的新鮮度小于10%,沒有超過15%,

]20+r20+￡

當時，則有--230W15%,即2刀"W3,

20

20+t

...-30-Wlog23pl.6,

???08—20=28.

專題強化練

一、單項選擇題

1.塞函數(shù)五彳）滿足式4）=3戒2）,則等于（）

A.gB.3C.—wD.—3

答案A

解析設嘉函數(shù)兀0=非，貝［40=3X2。，

解得a=Iog23,所以八x）=xlog23,

所以/（，=2—唾23=/

2.（2022?瀘州模擬）若log/>l,其中a>0且aWl,b>l,則（）

A.0<a<l<bB.\<a<b

C.l<b<aD.l<b<a2

答案B

解析當0<〃<1時，y=log小單調遞減，

由/?>1,貝!Ilog/<0,與log?Z?>l矛盾，故a>l9

由logfl/?>l得log?/?>log^,貝Ib>a,故b>a>l.

3.函數(shù)人無）=笠;;二K的零點有（)

A.2個B.3個

C.5個D.無數(shù)個

答案B

解析/(x)的定義域為(一5,5),

令7(x)=°，得sinx=0,:?x=kR,kRZ,

又x^(—5,5),.\x=0或不=±兀，

故兀0有3個零點.

4.朗伯比爾定律（Lambert—Beerlaw）是分光光度法的基本定律，是描述物質對某一波長光吸

收的強弱與吸光物質的濃度及其液層厚度間的關系，其數(shù)學表達式為A=lg4=Kbc,其中A

為吸光度，T為透光度，K為摩爾吸光系數(shù)，c為吸光物質的濃度，單位為mol/L,6為吸收

層厚度，單位為cm.保持K,b不變，當吸光物質的濃度增加為原來的兩倍時，透光度由原來

的T變?yōu)椋ǎ?/p>

A.2TB.F

c.|rD.ior

答案B

解析由A=lg/=K6c,得/=10\

所以7=（玄〉，

保持K,b不變，當吸光物質的濃度增加為原來的兩倍時，透光度變?yōu)?,

則KZ?-2c=2A=lg^^,所以/-=1。2匕

所以T，=（金』［闔"=『2,

所以透光度由原來的T變?yōu)閞2.

5.（2022?十堰統(tǒng)考）已知a=ln3,b=305,c=lg9,貝！1（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>a>cD.b>c>a

答案c

解析因為0=lgl<c=lg9<lg10=1,

a=ln3>lne=l,所以a>c,

-3

又e3>2H>32,所以e2>3,則］>ln3,

3

則fe=305>2>ln3=a.

故b>a>c.

6.（2022?聊城模擬）“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸?！?，隨著經濟的發(fā)展和社

會的進步，人們的環(huán)保意識日益增強.某化工廠產生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cn?,

排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%,當?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含

量不能超過0.2mg/cn?,若要使該工廠的廢氣達標排放，那么該污染物排放前需要過濾的次

數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：1g2-0.30,1g3q048）（）

A.6B.7C.8D.9

答案C

解析設該污染物排放前過濾的次數(shù)為“（WGN*）,

由題意得1.2X0.8"W