第02講 全等三角形（解析版）-八年級數(shù)學

第02講全等三角形1．理解全等三角形及其對應邊、對應角的概念；能準確辨認全等三角形的對應元素.2．掌握全等三角形的性質；會用全等三角形的性質進行簡單的推理和計算，解決某些實際問題.一、全等三角形1.定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．2.三角形全等的符號：“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．3.三角形對應頂點、對應邊、對應角把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角．二、全等三角形的性質（1）性質1：全等三角形的對應邊相等性質2：全等三角形的對應角相等說明：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉前后的圖形全等（2）關于全等三角形的性質應注意①全等三角形的性質是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應用時要會找對應角和對應邊．②要正確區(qū)分對應邊與對邊，對應角與對角的概念，一般地：對應邊、對應角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．要點詮釋：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質是今后研究其它全等圖形的重要工具.題型一：全等三角形概念例1．（2021秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習）能夠完全重合的兩個三角形叫做_______．【答案】全等三角形【變式1】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做_________，重合的邊叫做_________，重合的角叫做_________．記兩個三角形全等時，通常把表示_________的字母寫在對應位置上．【答案】對應頂點對應邊對應角對應頂點【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，以及對應頂點、對應邊、對應角的概念填空．【詳解】解：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角．記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上．故答案為：對應頂點；對應邊；對應角；對應頂點．【點睛】此題主要考查了全等形及相關概念，屬于基本概念題，是需要識記的內容．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，，和，和是對應邊．寫出其他對應邊及對應角．【答案】其他對應邊：和．對應角：和，和，和．【分析】根據(jù)全等三角形的概念，寫出相對應的邊和角即可．【詳解】解：∵△ABC≌△CDA，∴其他對應邊：AC和CA．對應角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的概念，解題的關鍵在于能夠熟記概念．例2．（2023秋·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習）關于全等三角形，下列說法正確的是（

）A．大小相等的三角形是全等三角形B．面積相等的三角形是全等三角形C．三個角對應相等的三角形是全等三角形D．兩個三角形全等，它們的形狀一定相同【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形，對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、大小相等的三角形，形狀不一定相同，所以不一定完全重合，故該選項不符合題意；B、面積相等的三角形，形狀不一定相同，所以不一定完全重合，故該選項不符合題意；C、三個角對應相等的三角形，邊長不一定相等，所以不一定完全重合，故該選項不符合題意；D、兩個三角形全等，它們的形狀一定相同，故該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的概念，熟記概念，要從形狀和大小兩個方面來考慮兩個三角形是否完全重合是解題關鍵．例3．（2021秋·江蘇常州·八年級?？茧A段練習）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線經(jīng)過點E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，則∠AFE＝_______°．【答案】85【分析】利用三角形內角和定理求出∠BAC＝25°，再根據(jù)三角形外角的性質可得答案．【詳解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，∴∠BAC＝25°，∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，故答案為：85．【點睛】本題考查了全等三角形的定義，三角形內角和定理，三角形外角的性質等知識，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和是解題的關鍵．例4．（2022秋·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學校聯(lián)考階段練習）如圖，已知AB=AC，D為∠BAC的角平分線上的一點，連接BD，CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的角平分線上的兩點，連接BD，CD，BE，CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的角平分線上的三點，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次規(guī)律，第5個圖形中有全等三角形的對數(shù)是_____．【答案】15【分析】根據(jù)圖形得出當有1點D時，有1對全等三角形；當有2點D、E時，有3對全等三角形；當有3點D、E、F時，有6對全等三角形；根據(jù)以上結果得出當有n個點時，圖中有個全等三角形，進而即可求解．【詳解】解：當有1點D時，有1對全等三角形；當有2點D、E時，有3對全等三角形；當有3點D、E、F時，有6對全等三角形；當有4點時，有10個全等三角形；…當有n個點時，圖中有個全等三角形．∴第5個圖形中有全等三角形的對數(shù)是：．故答案為：15．【點睛】本題考查了全等三角形的概念，關鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但有一定的難度．題型二：全等三角形性質例5.如圖，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，（1）求DE的長．（2）若A、B、C在一條直線上，則DB與AC垂直嗎？為什么？【思路點撥】（1）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根據(jù)DE=BD﹣BE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；（2）DB⊥AC．根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一條直線上，根據(jù)平角的定義得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定義即可得到DB⊥AC．【答案與解析】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，∴DE=BD﹣BE=3cm；（2）DB⊥AC．理由如下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．【總結升華】本題主要考查了全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等．也考查了平角的定義與垂直的定義，熟記性質與定義是解題的關鍵．【變式】下列命題中：（1）形狀相同的兩個三角形是全等形；（2）在兩個全等三角形中，相等的角是對應角，相等的邊是對應邊；（3）全等三角形對應邊上的高、中線及對應角平分線分別相等，其中真命題的個數(shù)有（）A.3個 B.2個 C.1個 D.0個【答案】C；提示：（1）形狀相同、大小相等的兩個三角形是全等形，而原說法沒有指出大小相等這一點，故（1）錯誤；（2）在兩個全等三角形中，對應角相等，對應邊相等，而非相等的角是對應角，相等的邊是對應邊，故（2）錯誤；（3）全等三角形對應邊上的高、中線及對應角平分線分別相等，故（3）正確．綜上可得只有（3）正確．故選C．例6、如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度數(shù)是_________.【思路點撥】（1）由∠1，∠2，∠3之間的比例關系及利用三角形內角和可求出∠1，∠2，∠3的度數(shù)；（2）由全等三角形的性質求∠EBC，∠BCD的度數(shù)；（3）運用外角求∠α的度數(shù).【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，設∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°【總結升華】此題涉及到了三角形內角和，外角和定理，并且要運用全等三角形對應角相等的性質來解決問題.見“比例”設未知數(shù)是比較常用的解題思路.【變式】如圖，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4【答案】D；提示：設∠A＝3，∠ABC＝5，∠BCA＝10，則3＋5＋10＝18＝180°，＝10°.又因為△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠ABC＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?亭湖區(qū)期中）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等推知BD＝AC＝7，然后根據(jù)線段的和差即可得到結論．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝2，故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的性質，仔細觀察圖形，根據(jù)已知條件找準對應邊是解決本題的關鍵．2．（北塘區(qū)期中）若△ABC≌△DEF，且△ABC的周長為20，AB＝5，BC＝8，則DF長為（）A．5 B．8 C．5或8 D．7【分析】根據(jù)三角形全等的性質可得DF＝AC，再利用已知條件可求得AC的長，可得出答案．【解答】解：∵△ABC的周長為20，AB＝5，BC＝8，∴AC＝7，∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝7，故選：D．【點評】本題主要考查全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．3．（常熟市校級期中）如圖，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，則∠BCB′的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．70° D．90°【分析】根據(jù)全等三角形對應角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠BCB′＝∠BCB′，再根據(jù)角的和差關系代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．故選：C．【點評】本題主要考查全等三角形對應角相等的性質，對應角都減去∠A′CB得到兩角相等是解決本題的關鍵，難度適中．4．（2022秋?云龍區(qū)校級月考）如圖，△ABC≌△DEF，點A與D，B與E分別是對應頂點，且測得BC＝5cm，BF＝7cm，則EC長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根據(jù)全等三角形性質求出EF＝BC＝5cm，求出CF，代入EF﹣CF即可求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝5cm，∵BF＝7cm，BC＝5cm，∴CF＝7cm﹣5cm＝2cm，∴EC＝EF﹣CF＝3cm，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的性質的應用，關鍵是求出BC和CF的長，注意：全等三角形的對應邊相等．5．（2022秋?漣水縣期中）如圖，△ABC≌△DEC，點B，C，D在同一條直線上，且CE＝1，CD＝3，則BD的長是（）A．1.5 B．2 C．4 D．6【分析】根據(jù)全等三角形的性質得出對應邊相等，進而解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝3，∴BC＝CE＝1，∴BD＝BC+CD＝3+1＝4，故選：C．【點評】本題考查全等三角形的性質，關鍵是根據(jù)全等三角形的性質得出對應邊相等解答．6．（2022秋?灌南縣校級月考）如圖，△ABC≌△EFD，則下列說法錯誤的是（）A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．AC平行且等于DE D．CD＝ED【分析】利用全等三角形的性質進行推理即可．【解答】解：A、∵△ABC≌△EFD，∴FD＝CB，∴FD﹣CD＝BC﹣CD，即FC＝BD，故此選項不合題意；B、∵△ABC≌△EFD，∴∠F＝∠B，EF＝AB，∴EF∥AB，故此選項不合題意；C、∵△ABC≌△EFD，∴∠FDE＝∠BCA，∴AC∥DE，AC＝DE，故此選項不合題意；D、不能證明CD＝ED，故此選項符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等．7．（2021秋?儀征市期末）若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．30 B．27 C．35 D．40【分析】直接利用全等三角形的性質得出對應邊相等進而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故選：A．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，正確得出對應邊是解題關鍵．8．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，△ABC≌△AMN，點M在BC上，連接CN，下列結論：①AM平分∠BMN②∠CMN＝∠BAM③∠MAC＝∠MNC其中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】根據(jù)全等三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形外角性質及角的和差求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△AMN，∴AB＝AM，∠ABC＝∠AMN，∴∠ABM＝∠AMB，∴∠AMB＝∠AMN，∴AM平分∠BMN，故①正確，符合題意；∵△ABC?△AMN，∴∠ABC＝∠AMN，∵∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝∠ABC+∠BAM，∴∠CMN＝∠BAM，故②正確，符合題意；∵△ABC?△AMN，∴∠BAC＝∠MAN，AB＝AM，AC＝AN，∠ACB＝∠ANM，∴∠BAM＝∠CAN，∠ACN＝∠ANC，∠ABM＝∠AMB，∴∠ACN＝∠ANC＝∠ABM＝∠AMB，∵∠AMB＝∠MAC+∠ACB，∠ANC＝∠ANM+∠MNC，∴∠MAC＝∠MNC故③正確，符合題意；故選：D．【點評】此題考查了全等三角形的性質，熟記全等三角形的性質是解題的關鍵．9．（2022秋?濱海縣期中）如圖，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，則CD的長度為（）A．9 B．6 C．3 D．2【分析】根據(jù)全等三角形的性質，可以得到AC和AD的長，然后根據(jù)CD＝AC﹣AD，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，AE＝3，AB＝6，∴AD＝AE＝3，AC＝AB＝6，∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3，故選：C．【點評】本題考查全等三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．10．（2022秋?海安市期末）已知圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（）A．72° B．60° C．58° D．50°【分析】直接利用全等三角形的性質得出對應角進而得出答案．【解答】解：∵圖中的兩個三角形全等，∴∠α＝50°．故選：D．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質，正確找出對應角是解題關鍵．二．填空題（共5小題）11．（2022秋?啟東市期末）如圖，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，則∠ACD的度數(shù)為127°．【分析】根據(jù)三角形內角和定理求出∠ACB，根據(jù)全等三角形的性質解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAC＝23°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝127°，∵△ABC≌△ADC，∴∠ACD＝∠ACB＝127°，故答案為：127°．【點評】本題考查的是全等三角形的性質、三角形內角和定理，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．12．（2022秋?溧水區(qū)期末）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周長為12，若AB＝5，BC＝4，AC＝3．【分析】根據(jù)全等三角形的周長相等求出△ABC的周長，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周長為12，∴△ABC的周長為12，又AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，故答案為：3．【點評】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的周長相等，面積相等是解題的關鍵．13．（2022秋?常州期末）如圖，△ABC≌△EDF，則AC的長為4．【分析】利用全等三角形的性質以及勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△EDF，∴BC＝DF＝3，∵AC2+BC2＝AB2，AB＝5，∴．故答案為：4．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質及勾股定理，解決問題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質．14．（2022秋?宜興市月考）三個全等三角形按如圖的形式擺放，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)等于180°．【分析】直接利用平角的定義結合三角形內角和定理以及全等三角形的性質得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，進而得出答案．【解答】解：如圖所示：由圖形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，∵三個三角形全等，∴∠4+∠9+∠6＝180°，又∵∠5+∠7+∠8＝180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3的度數(shù)是180°．故答案為：180°．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質以及三角形內角和定理，正確掌握全等三角形的性質是解題關鍵．15．（2021秋?射陽縣校級期末）如圖，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，則DE的長是5．【分析】先求出AB的長度，再根據(jù)全等三角形對應邊相等解答即可．【解答】解：∵BE＝4，AE＝1，∴AB＝BE+AE＝4+1＝5，∵△ABC≌△DEF，∴DE＝AB＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了全等三角形對應邊相等的性質，先求出DE的對應邊AB的長度是解題的關鍵．三．解答題（共13小題）16．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，求DF的長．【分析】根據(jù)△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，可以得到AD的長，然后根據(jù)DF＝AD﹣AF，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，∴AE＝AF，AD＝AC，∵AC＝11，AF＝5，∴AD＝11，∴DF＝AD﹣AF＝11﹣5＝6．【點評】本題考查全等三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．17．（2022秋?揚州期中）如圖，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝45°，∠DCF＝25°，求∠EFC的度數(shù)；（2）若BD＝10，EF＝5，求BF的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的對應角相等，三角形的外角的性質計算；（2）根據(jù)全等三角形的對應邊相等計算．【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∠B＝45°，∴∠D＝∠B＝45°，∵∠DCF＝25°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝5，∴BE＝（10﹣5）÷2＝，∴BF＝BE+EF＝．【點評】本題考查的是全等三角形的性質，三角形的外角的性質，掌握全等三角形的對應邊相等，對應角相等是解題的關鍵．18．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，求∠E的度數(shù)．【分析】根據(jù)全等三角形的性質得到∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，根據(jù)三角形的外角性質求出∠DCB，根據(jù)角平分線的定義、三角形內角和定理計算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∴∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，∵∠CGF＝88°，∴∠DCB＝∠CGF﹣∠D＝88°﹣30°＝58°，∵CD平分∠BCA，∴∠ACB＝2∠DCB＝116°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣116°＝34°，∴∠E＝∠B＝34°．【點評】本題考查的是全等三角形的性質、三角形內角和定理、角平分線的定義，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．19．（2022秋?姜堰區(qū)月考）如圖，△ABC≌△DBE，點A、D、C在同一條直線上，且∠A＝60°，∠C＝35°，求∠DBC的度數(shù)．【分析】由△ABC≌△DBE，推出AB＝BD，推出∠A＝∠BDA＝60°，再根據(jù)∠BDA＝∠C+∠DBC，求出∠DBC即可．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴AB＝BD，∴∠A＝∠BDA＝60°，∵∠BDA＝∠C+∠DBC，∠C＝35°，∴∠DBC＝60°﹣35°＝25°，故∠DBC的度數(shù)為25°．【點評】本題考查全等三角形的性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．20．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：（1）∠1的度數(shù)．（2）AC的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質及三角形外角性質求解即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質及線段的和差求解即可．【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝27°，∴∠E＝∠F＝27°，∵∠1＝∠B+∠E，∠B＝33°，∴∠1＝60°；（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm，∴AD＝BC＝5cm，∵CD＝2cm，∴AC＝AD+CD＝7cm．【點評】此題考查了全等三角形的性質，熟記全等三角形的性質是解題的關鍵．21．（2022秋?京口區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度數(shù)與AB的長．【分析】根據(jù)三角形內角和定理求出∠ACB，根據(jù)全等三角形的性質得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案．【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝35°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，∵△ABC≌△DEF，ED＝10cm，∴∠F＝∠ACB＝70°，DE＝AB＝10（cm）．【點評】本題考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理，平行線的判定的應用，解此題的關鍵是掌握：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．22．（2022秋?東臺市月考）如圖所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求證：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形內角和即可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，進而解決問題．【解答】（1）證明：∵△ABD≌△CFD，∴∠BAD＝∠DCF，又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CDF＝90°，∴CE⊥AB；（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．【點評】此題考查了全等三角形的性質，熟練應用全等三角形的性質是解決問題的關鍵．23．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，△ABO≌△CDO，點E、F在線段AC上，且AF＝CE．試判斷FB與ED的關系，并說明理由．【分析】根據(jù)全等三角形的性質可得BO＝DO，AO＝CO，進一步可證△BOF≌△DOE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質可得BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，根據(jù)平行線的判定可得BF∥ED．【解答】解：FB＝ED，F(xiàn)B∥ED，理由如下：∵△ABO≌△CDO，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AF＝CE，∴OF＝OE，在△BOF和△DOE中，，∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，∴BF∥ED，∴FB＝ED，F(xiàn)B∥ED．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的性質和判定是解題的關鍵．24．（2022秋?句容市期末）如圖，已知△ABC≌△DEB，點E在AB上，DE與AC相交于點F．（1）當DE＝8，BC＝5時，求線段AE的長；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC與∠AFD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質得到AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，結合圖形計算，得到答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質得到∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，根據(jù)三角形內角和定理求出∠ABC，計算即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，∵∠ABC＝85°，∴∠DEB＝85°，∴∠AED＝95°，∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．【點評】本題考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．25．（2022秋?鹽都區(qū)月考）如圖，A，E，C三點在同一直線上，且△ABC≌△DAE．（1）線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．（2）請你猜想△ADE滿足什么條件時，DE∥BC，并證明．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；（2）當∠AED＝90°時，DE∥BC，根據(jù)全等三角形的性質得出∠AED＝∠C，求出∠DEC＝∠C，再根據(jù)平行線的判定得出即可．即可．【解答】（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC．∵A，E，C三點在同一直線上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC；（2）當△ADE滿足∠AED＝90°時，DE∥BC，證明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，∴∠C＝∠DEC．∴DE∥BC，即當△ADE滿足∠AED＝90°時，DE∥BC．【點評】本題考查了全等三角形的性質和平行線的判定，能熟記全等三角形的性質是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．26．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）已知：如圖，△ABC≌△DCB，AC、DB相交于點E．求證：AE＝DE．【分析】由△ABC≌△DCB，得出∠A＝∠D，AB＝DC，再利用對頂角∠AOB＝∠DOC，證得結論成立．【解答】證明：∵△ABC≌△DCB，∴∠A＝∠D，AB＝DC，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS）．∴AE＝DE．【點評】此題考查三角形全等的判定與性質，注意邊角關系的對應．27．（2022秋?溧水區(qū)期中）如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△ABC≌△BAD．求證：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD．【分析】（1）要證OA＝OB，由等角對等邊需證∠CAB＝∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可證．（2）要證AB∥CD，根據(jù)平行線的性質需證∠CAB＝∠ACD，由已知和（1）可證∠OCD＝∠ODC，又因為∠AOB＝∠COD，所以可證∠CAB＝∠ACD，即AB∥CD獲證．【解答】證明：（1）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB＝∠DBA，∴OA＝OB．（2）∵△ABC≌△BAD，∴AC＝BD，又∵OA＝OB，∴AC﹣OA＝BD﹣OB，即：OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝∠COD，∠CAB＝，∠ACD＝，∴∠CAB＝∠ACD，∴AB∥CD．【點評】本題考查了全等三角形的性質和等腰三角形的性質及平行線的性質．解答時，除必備的知識外，還應將條件和所求聯(lián)系起來，即將所求的角與已知角通過全等及內角之間的關系聯(lián)系起來．28．（2022秋?靖江市月考）如圖，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD），根據(jù)三角形外角性質可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因為∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度數(shù)；根據(jù)三角形內角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD）＝×110°＝55°．∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．綜上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．【點評】本題主要考查三角形全等的性質，找到相應等量關系的角是解題的關鍵，做題時要結合圖形進行思考．一、單選題1．（2022秋·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）下列結論中正確的有（

）①全等三角形對應邊相等；②全等三角形對應角相等；③全等三角形周長相等；④全等三角形面積相等．⑤全等三角形對應中線、對應高線、對應角平分線相等；A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質即可求解．【詳解】解：①全等三角形對應邊相等，此結論正確；②全等三角形對應角相等，此結論正確；③全等三角形周長相等，此結論正確；④全等三角形面積相等，此結論正確；⑤全等三角形對應中線、對應高線、對應角平分線相等，此結論正確，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等，全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等，全等三角形的周長相等，面積相等，解題的關鍵是牢記性質．2．（2022秋·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）如圖，，點與，與分別是對應頂點，且測得，，則長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形性質求出，求出CF，代入即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質的應用，關鍵是求出BC和CF的長，注意：全等三角形的對應邊相等．3．（2022秋·江蘇常州·八年級?？茧A段練習）已知圖中的兩個三角形全等，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】的對應角為，根據(jù)三角形的內角和計算出的度數(shù)即可得到的度數(shù)．【詳解】解：如圖，由三角形內角和定理得到，圖中的兩個三角形全等，．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內角和以及三角形全等的性質，解決本題的關鍵是找到的對應角．4．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質得出，，求出，根據(jù)三角形內角和定理求出即可．【詳解】解：，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的性質的應用，能正確運用全等三角形的性質進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．5．（2022秋·八年級單元測試）如圖，已知，平分，若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質得到，根據(jù)全等三角形的性質得到，根據(jù)三角形的外角性質求出，再求出，然后利用全等三角形的性質求即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質、三角形內角和定理，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．6．（2022秋·八年級課時練習）小明學習了全等三角形后總結了以下結論：①全等三角形的形狀相同、大小相等；②全等三角形的對應邊相等、對應角相等；③面積相等的兩個三角形是全等圖形；④全等三角形的周長相等其中正確的結論個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定及性質逐一判斷即可．【詳解】解：①全等三角形的形狀相同、大小相等；①正確，②全等三角形的對應邊相等、對應角相等；②正確，③面積相等的兩個三角形不一定是全等圖形，故③錯誤，④全等三角形的周長相等，④正確，∴①②④正確，故答案為：C．【點睛】全等三角形的判定及性質，理解并掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．7．（2022秋·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，且，則的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】先根據(jù)三角形內角和定理求出，再由全等三角形的性質即可得到．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理，熟知全等三角形對應角相等是解題的關鍵．8．（2023秋·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知，若，則的度數(shù)為（

）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】C【分析】在中，根據(jù)三角形內角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)“全等三角形對應角相等”可得的度數(shù).【詳解】中（全等三角形對應角相等）故選:C【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理和全等三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.9．（2022秋·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）下列說法中正確的是（

）A．兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形 B．兩個等邊三角形是全等圖形C．兩個全等圖形的面積一定相等 D．若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的判定和性質，對每個選項進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、兩個面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯誤；B、兩個等邊三角形不一定是全等圖形，故B錯誤；C、兩個全等圖形的面積一定相等，正確；D、若兩個圖形的周長相等，則它們不一定是全等形，故D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了全等圖形的判定和性質，解題的關鍵是熟記全等圖形的判定和性質進行判斷．10．（2022秋·八年級課時練習）如圖，沿直角邊所在的直線向右平移得到，下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質，結合圖形，對選項進行一一分析，選擇正確答案．【詳解】解：A、沿直角邊所在的直線向右平移得到，則成立，故正確，不符合題意；B、為直角三角形，則成立，故正確，不符合題意；C、不能成立，故錯誤，符合題意；D、為對應角，正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平移的基本性質：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．二、填空題11．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學校考期中）已知的周長為，若_______．【答案】6【分析】根據(jù)全等三角形的性質可得，即可求解．【詳解】解∶∵，∴，∵的周長為，∴，∵，∴，∴．故答案為：6【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．12．（2022秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）已知三邊的長分別為3，5，7，三邊的長分別為3，7，，若這兩個三角形全等，則______．【答案】3【分析】利用全等的性質列式計算即可．【詳解】解：∵與全等，∴，解得：，故答案為：3．【點睛】本題主要考查三角形全等的性質，能夠通過全等得到對應邊相等并列式是解題關鍵．13．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）已知，，則________．【答案】【分析】直接根據(jù)全等三角形的性質解答即可．【詳解】解：∵∴．故答案為．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應角相等是解答本題的關鍵．14．（2022秋·江蘇常州·八年級?？计谥校┤鐖D，，則的度數(shù)為_____．【答案】/65度【分析】先根據(jù)全等三角形，得到，然后根據(jù)外角定理得到的度數(shù)．【詳解】∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題是全等三角形與三角形外角定理結合的題型，能夠找到角的關系是解決本題的關鍵．15．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，若，，，則的度數(shù)為______°．【答案】【分析】先根據(jù)三角形內角和定理求出的度數(shù)，然后根據(jù)全等的性質求出的度數(shù)，最后由角的和差即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，又，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和三角形內角和定理的應用，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等．16．（2022秋·八年級單元測試）如圖，在中，，，，D是坐標平面上一點，若以A，B，D為頂點的三角形與全等，則點D的坐標是________．【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）【分析】若要，則D點可在AB的上方或下方，分別討論即可．【詳解】如圖，要和全等，且有一邊為AB的三角形，D點可為：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）故答案為：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．【點睛】本題考查判定全等三角形的概念，注意不要遺漏可能的情況是解題關鍵．17．（2020秋·江蘇常州·八年級常州市第二十四中學?？计谥校┤鐖D，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點E為線段的中點．如果點P在線段上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為______厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構成的三角形全等．【答案】或【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得到點Q的運動速度．【詳解】解：設點P運動的時間為t秒，則，，∵，∴①當，時，，此時，解得，∴，此時，點Q的運動速度為厘米/秒；②當，時，，此時，，解得，∴點Q的運動速度為厘米/秒；綜上所述，點Q的運動速度為3厘米/秒或厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構成的三角形全等．故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用．解決問題的關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．18．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，中，．點P從A點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1cm和3cm的運動速度同時開始運動，當一個點到達終點時另一個點也停止運動，在某時刻，分別過P和Q作于E，于F．設運動時間為t秒，則當_______秒時，與全等．【答案】1或【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質得出，代入得出關于t的方程，求出即可．【詳解】解：分以下情況：①如圖1，P在上，Q在上，∵，∴，∵，∴，∴，∵與全等，∴，即，；②如圖2，P在上，Q在上，∵由①知：，∴，∴；∵，∴此種情況不符合題意；③當P、Q都在上時，如圖3，，；④當Q到A點停止，P在上時，此時，則該情況不成立．故答案為：1或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質的應用，以及一元一次方程的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等．三、解答題19．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，求的長．【答案】6【分析】根據(jù)全等三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，熟知全等三角形對應邊相等，對應角相等是解題的關鍵．20．（2022秋·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）如圖，．點P在線段上以的速度由點A向點B勻速運動，同時，點Q在線段上由點B向點D勻速運動，設點Q的運動速度為．當與全等時，求x的值．【答案】3或【分析】與全等，則分兩種情況：①，②，建立方程組求得答案即可．【詳解】解：∵，∴為對應頂點，①若，則，即，解得：；②若，則，，解得：；綜上所述，當或時，與全等．【點睛】本題主要考查了全等三角形性質