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新題型專練(三)(25分鐘50分)一、多選題(每小題5分,共25分,全部選對的得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)1.(2021·日照高一檢測)已知平面α,β,γ兩兩垂直,直線a,b,c滿足aα,bβ,cγ,則直線a,b,c可能滿足()A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面【解析】選ACD.如圖1,a,b,c可能兩兩垂直.如圖2,a,b,c可能兩兩相交;如圖3,a,b,c可能兩兩異面.2.設(shè)α,β,γ為兩兩不重合的平面,l,m,n為兩兩不重合的直線,則下列命題中正確的是()A.若mα,nα,m∥β,n∥β,則α∥βB.若m⊥α,n⊥β且m⊥n,則α⊥βC.若l∥α,α⊥β,則l⊥βD.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n【解析】選BD.由α,β,γ為兩兩不重合的平面,l,m,n為兩兩不重合的直線,知:A.若mα,nα,m∥β,n∥β,則α與β相交或平行,故A錯誤;B.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則由面面垂直的判定得α⊥β,故B正確;C.若l∥α,α⊥β,則l與β相交、平行或lβ,故C錯誤;D.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則由線面平行的性質(zhì)定理得m∥n.故D正確.3.如圖所示,AB為圓O的直徑,點C在圓周上(異于點A,B),直線PA垂直于圓O所在的平面,點M為線段PB的中點,以下四個命題正確的是()A.PA∥平面MOB B.MO∥平面PACC.OC⊥平面PAC D.平面PAC⊥平面PBC【解析】選BD.因為PA平面MOB,故A錯誤;因為OM是△PAB的中位線,所以O(shè)M∥PA,又OM平面PAC,PA平面PAC,所以O(shè)M∥平面PAC,故B正確;因為AB是直徑,所以BC⊥AC,所以又PA⊥平面ABC,BC平面ABC,所以PA⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,故C錯誤;又BC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正確.4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分別為棱C1D1,CC1A.A,M,N,B四點共面B.直線BN與B1MC.BN∥平面ADMD.平面ADM⊥平面CDD1C【解析】選BD.對于A,A,B,M在平面ABC1D1內(nèi),N在平面ABC1D1外,故A錯誤;對于B,如圖,取CD中點E,連接BE,NE,可得BE∥B1M,∠EBN為直線BN與B1M所成角(或其補角),由題意可得△BEN為邊長為2eq\r(2)的等邊三角形,則∠EBN=60°,故B正確;對于C,若BN∥平面ADM,又BC∥平面ADM,則平面BCC1B1∥平面ADM,而平面BCC1B1∥平面ADD1A1,矛盾,故C錯誤;對于D,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面CDD1C1,AD平面ADM,所以平面ADM⊥平面CDD15.(2021·三明高一檢測)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,截面BDE與直線PC平行,與PA交于點E,則下列判斷正確的是()A.E為PA的中點B.PB與CD所成的角為eq\f(π,3)C.平面BDE⊥平面PACD.點P與點A到平面BDE的距離相等【解析】選ACD.對于A,連接AC,交BD于點F,連接EF,則平面PAC∩平面BDE=EF,因為PC∥平面BDE,EF平面BDE,PC平面PAC,所以EF∥PC,因為四邊形ABCD是正方形,所以AF=FC,所以AE=EP,選項A正確;對于B,因為CD∥AB,所以∠PBA(或其補角)為PB與CD所成的角,因為PA⊥平面ABCD,AB平面ABCD,所以PA⊥AB,在Rt△PAB中,PA=AB,所以∠PBA=eq\f(π,4),所以PB與CD所成的角為eq\f(π,4),選項B錯誤;對于C,因為四邊形ABCD為正方形,所以AC⊥BD,因為PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,所以PA⊥BD,因為PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,又BD平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC,選項C正確;對于D,則V三棱錐A-BDE=V三棱錐P-BDE=eq\f(1,2)V三棱錐P-ABD,所以點P與點A到平面BDE的距離相等,選項D正確.二、雙空題(每小題5分,共15分,其中第一空3分,第二空2分)6.已知過球面上三點A,B,C的截面到球心的距離等于球半徑的一半,且AB=6,AC=8,BC=10,則球的半徑等于________;球的表面積等于________.【解析】△ABC的外接圓半徑為r=5,則R=eq\r(52+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2)),解得球的半徑為R=eq\f(10\r(3),3),表面積為S=4πR2=eq\f(400π,3).答案:eq\f(10\r(3),3)eq\f(400π,3)7.(2021·上海高一檢測)已知矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,現(xiàn)有以下五個數(shù)據(jù):(1)a=eq\f(1,2);(2)a=1;(3)a=eq\r(3);(4)a=2;(5)a=4,當在BC邊上存在點Q,使PQ⊥QD時,則a可以取________.(填上一個正確的數(shù)據(jù)序號即可)【解析】連接AQ,因為PQ⊥QD,根據(jù)三垂線定理可得AQ⊥QD.在平面ABCD內(nèi),直徑所對的圓周角為直角,所以Q點在以AD為直徑的圓上,故當BC與以AD為直徑的圓有公共點時,在BC邊上存在點Q,使PQ⊥QD,因此AB≤eq\f(1,2)AD=1,即a≤1.答案:(1)或(2)8.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,且PA=eq\r(3),AB=1,BC=2,AC=eq\r(3),則異面直線PB與CD所成的角等于________;二面角P-CD-B的大小為________.【解析】因為底面ABCD為平行四邊形,所以AB平行于CD,則∠PBA是異面直線PB與CD所成的角,因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,又PA=eq\r(3),AB=1,所以∠PBA=60°,即異面直線PB與CD所成的角是60°.因為AB=1,BC=2,AC=eq\r(3),所以BC2=AB2+AC2,所以∠BAC=90°,所以∠ACD=90°,即AC⊥CD.又因為PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PA⊥CD,又因為PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又因為PC平面PAC,所以PC⊥CD,所以∠PCA是二面角P-CD-B的平面角.因為在直角三角形PAC中,PA⊥AC,PA=eq\r(3),AC=eq\r(3),所以∠PCA=45°,即二面角P-CD-B的大小為45°.答案:60°45°三、解答題9.(10分)如圖,四邊形ABCD為矩形,點A,E,B,F(xiàn)共面,且△ABE和△ABF均為等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°.(1)若平面ABCD⊥平面AEBF,證明平面BCF⊥平面ADF;(2)問在線段EC上是否存在一點G,使得BG∥平面CDF,若存在,求出此時三棱錐G-ABE與三棱錐G-ADF的體積之比.【解析】(1)因為四邊形ABCD為矩形,所以BC⊥AB,又因為平面ABCD⊥平面AEBF,BC平面ABCD,平面ABCD∩平面AEBF=AB,所以BC⊥平面AEBF,又因為AF平面AEBF,所以BC⊥AF,因為∠AFB=90°,即AF⊥BF,且BC,BF平面BCF,BC∩BF=B,所以AF⊥平面BCF,又因為AF平面ADF,所以平面ADF⊥平面BCF.(2)因為BC∥AD,AD平面ADF,所以BC∥平面ADF.因為△ABE和△ABF均為等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,所以∠FAB=∠ABE=45°,所以AF∥BE,又AF平面ADF,所以BE∥平面ADF,因為BC∩BE=B,所以平面BCE∥平面ADF.延長EB到點H,使得BH=AF,又BCAD,連接CH,HF,易證四邊形ABHF是平行四邊形,所以HFABCD,所以四邊形HFDC是平行四邊形,所以CH∥DF.過點B作CH的平行線,交EC于點G,即BG∥CH∥DF(DF平面CDF),所以BG∥平面CDF,即此點G為所求的G點.又BE=eq\r(2)A
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