2022年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步新題型專練（含解析）

新題型專練(三)(25分鐘50分)一、多選題(每小題5分，共25分，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．(2021·日照高一檢測)已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足aα，bβ，cγ，則直線a，b，c可能滿足()A．兩兩垂直B．兩兩平行C．兩兩相交D．兩兩異面【解析】選ACD.如圖1，a，b，c可能兩兩垂直．如圖2，a，b，c可能兩兩相交；如圖3，a，b，c可能兩兩異面．2．設(shè)α，β，γ為兩兩不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，則下列命題中正確的是()A．若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥βB．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，則α⊥βC．若l∥α，α⊥β，則l⊥βD．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n【解析】選BD.由α，β，γ為兩兩不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，知：A.若mα，nα，m∥β，n∥β，則α與β相交或平行，故A錯誤；B.若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則由面面垂直的判定得α⊥β，故B正確；C.若l∥α，α⊥β，則l與β相交、平行或lβ，故C錯誤；D.若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則由線面平行的性質(zhì)定理得m∥n.故D正確．3．如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點，以下四個命題正確的是()A.PA∥平面MOB B．MO∥平面PACC．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC【解析】選BD.因為PA平面MOB，故A錯誤；因為OM是△PAB的中位線，所以O(shè)M∥PA，又OM平面PAC，PA平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC，故B正確；因為AB是直徑，所以BC⊥AC，所以又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C錯誤；又BC平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正確．4．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1A.A，M，N，B四點共面B．直線BN與B1MC．BN∥平面ADMD．平面ADM⊥平面CDD1C【解析】選BD.對于A，A，B，M在平面ABC1D1內(nèi)，N在平面ABC1D1外，故A錯誤；對于B，如圖，取CD中點E，連接BE，NE，可得BE∥B1M，∠EBN為直線BN與B1M所成角(或其補角)，由題意可得△BEN為邊長為2eq\r(2)的等邊三角形，則∠EBN＝60°，故B正確；對于C，若BN∥平面ADM，又BC∥平面ADM，則平面BCC1B1∥平面ADM，而平面BCC1B1∥平面ADD1A1，矛盾，故C錯誤；對于D，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面CDD1C1，AD平面ADM，所以平面ADM⊥平面CDD15．(2021·三明高一檢測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE與直線PC平行，與PA交于點E，則下列判斷正確的是()A.E為PA的中點B．PB與CD所成的角為eq\f(π,3)C．平面BDE⊥平面PACD．點P與點A到平面BDE的距離相等【解析】選ACD.對于A，連接AC，交BD于點F，連接EF，則平面PAC∩平面BDE＝EF，因為PC∥平面BDE，EF平面BDE，PC平面PAC，所以EF∥PC，因為四邊形ABCD是正方形，所以AF＝FC，所以AE＝EP，選項A正確；對于B，因為CD∥AB，所以∠PBA(或其補角)為PB與CD所成的角，因為PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，在Rt△PAB中，PA＝AB，所以∠PBA＝eq\f(π,4)，所以PB與CD所成的角為eq\f(π,4)，選項B錯誤；對于C，因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，因為PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD，因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，又BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC，選項C正確；對于D，則V三棱錐A-BDE＝V三棱錐P-BDE＝eq\f(1,2)V三棱錐P-ABD，所以點P與點A到平面BDE的距離相等，選項D正確．二、雙空題(每小題5分，共15分，其中第一空3分，第二空2分)6．已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝6，AC＝8，BC＝10，則球的半徑等于________；球的表面積等于________．【解析】△ABC的外接圓半徑為r＝5，則R＝eq\r(52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))，解得球的半徑為R＝eq\f(10\r(3),3)，表面積為S＝4πR2＝eq\f(400π,3).答案：eq\f(10\r(3),3)eq\f(400π,3)7．(2021·上海高一檢測)已知矩形ABCD的邊AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，現(xiàn)有以下五個數(shù)據(jù)：(1)a＝eq\f(1,2)；(2)a＝1；(3)a＝eq\r(3)；(4)a＝2；(5)a＝4，當在BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，則a可以取________．(填上一個正確的數(shù)據(jù)序號即可)【解析】連接AQ，因為PQ⊥QD，根據(jù)三垂線定理可得AQ⊥QD.在平面ABCD內(nèi)，直徑所對的圓周角為直角，所以Q點在以AD為直徑的圓上，故當BC與以AD為直徑的圓有公共點時，在BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD，因此AB≤eq\f(1,2)AD＝1，即a≤1.答案：(1)或(2)8．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(3)，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，則異面直線PB與CD所成的角等于________；二面角P-CD-B的大小為________．【解析】因為底面ABCD為平行四邊形，所以AB平行于CD，則∠PBA是異面直線PB與CD所成的角，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又PA＝eq\r(3)，AB＝1，所以∠PBA＝60°，即異面直線PB與CD所成的角是60°.因為AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，所以BC2＝AB2＋AC2，所以∠BAC＝90°，所以∠ACD＝90°，即AC⊥CD.又因為PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又因為PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又因為PC平面PAC，所以PC⊥CD，所以∠PCA是二面角P-CD-B的平面角．因為在直角三角形PAC中，PA⊥AC，PA＝eq\r(3)，AC＝eq\r(3)，所以∠PCA＝45°，即二面角P-CD-B的大小為45°.答案：60°45°三、解答題9．(10分)如圖，四邊形ABCD為矩形，點A，E，B，F(xiàn)共面，且△ABE和△ABF均為等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°.(1)若平面ABCD⊥平面AEBF，證明平面BCF⊥平面ADF；(2)問在線段EC上是否存在一點G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此時三棱錐G-ABE與三棱錐G-ADF的體積之比．【解析】(1)因為四邊形ABCD為矩形，所以BC⊥AB，又因為平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，所以BC⊥平面AEBF，又因為AF平面AEBF，所以BC⊥AF，因為∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC，BF平面BCF，BC∩BF＝B，所以AF⊥平面BCF，又因為AF平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCF.(2)因為BC∥AD，AD平面ADF，所以BC∥平面ADF.因為△ABE和△ABF均為等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，所以∠FAB＝∠ABE＝45°，所以AF∥BE，又AF平面ADF，所以BE∥平面ADF，因為BC∩BE＝B，所以平面BCE∥平面ADF.延長EB到點H，使得BH＝AF，又BCAD，連接CH，HF，易證四邊形ABHF是平行四邊形，所以HFABCD，所以四邊形HFDC是平行四邊形，所以CH∥DF.過點B作CH的平行線，交EC于點G，即BG∥CH∥DF(DF平面CDF)，所以BG∥平面CDF，即此點G為所求的G點．又BE＝eq\r(2)A