高職高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三章函數(shù)3-2二次函數(shù)及其圖像課件

高職高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)§3.2二次函數(shù)及其圖像【復(fù)習(xí)目標(biāo)】1.掌握二次函數(shù)圖像的畫法及圖像的特征.2.掌握二次函數(shù)的性質(zhì),能利用性質(zhì)解決實(shí)際問題.3.會求二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最大(小)值.4.掌握二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系.

【說明】

1.我們研究二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)常用的方法有兩種:配方法和公式法.2.無論是公式法還是配方法,我們利用它們都可以直接得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸,但我們討論函數(shù)的最值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要考慮圖像的開口方向.【例題精解】【例1】已知函數(shù)y=x2-4x+3.求:(1)函數(shù)圖像的開口方向;(2)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸方程;(3)函數(shù)的最值及取得最值時(shí)x的值;(4)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【點(diǎn)評】1.研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對稱軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí),有兩種方法:(1)配方法;(2)公式法(公式法適用于不容易配方的題目).2.注意:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)最值時(shí),需要考慮圖像的開口方向.【對點(diǎn)練習(xí)1】(1)已知函數(shù)y=x2+6x+2.①確定函數(shù)圖像的開口方向;②求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸方程;③求函數(shù)的最值及取得最值時(shí)x的值;④求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解】(1)①由a>0,可得函數(shù)圖像的開口方向向上.

②由y=x2+6x+2=(x+3)2-7,得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-7),對稱軸方程為x=-3.

③當(dāng)x=-3時(shí),函數(shù)取得最小值為-7.

④函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-3,+∞),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-3].【對點(diǎn)練習(xí)1】(2)已知函數(shù)y=-x2+4x+5.①確定函數(shù)圖像的開口方向;②求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸方程;③求函數(shù)的最值及取得最值時(shí)x的值;④求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解】

(2)①由a<0,可得函數(shù)圖像的開口方向向下.

②由y=-x2+4x+5=-(x2-4x)+5=-(x-2)2+9,得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9),對稱軸方程為x=2.

③當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)取得最大值為9.

④函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,2],函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2,+∞).【例2】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,且f(1)=f(3)=0,則f(-1)=(

) A.5 B.6 C.7 D.8

【點(diǎn)評】本題可利用待定系數(shù)法,根據(jù)f(1)=f(3)=0代入給定函數(shù)表達(dá)式中,解方程求出相應(yīng)系數(shù)的值后,再把系數(shù)回代得出函數(shù)表達(dá)式f(x)=x2-4x+3,最后求出f(-1)的值.【對點(diǎn)練習(xí)2】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(0)=3,f(1)=f(-3)=0,求該函數(shù)的表達(dá)式.

【例3】(1)求函數(shù)y=x2+4x+2在給定區(qū)間[-3,6]上的最值.【解】(1)圖像法:∵y=x2+4x+2=(x+2)2-2,∴圖像的對稱軸為x=-2,且x=-2∈[-3,6].由右圖可得出,當(dāng)x=-2時(shí),ymin=-2.當(dāng)x=6時(shí),ymax=(6+2)2-2=62.【例3】(1)求函數(shù)y=x2+4x+2在給定區(qū)間[-3,6]上的最值.【解】(1)代數(shù)法:∵y=x2+4x+2=(x+2)2-2,∴圖像的對稱軸為x=-2,且x=-2∈[-3,6].∵當(dāng)x=-2時(shí),y=-2,當(dāng)x=-3時(shí),y=-1,當(dāng)x=6時(shí),y=62,∴當(dāng)x=-2時(shí),ymin=-2,當(dāng)x=6時(shí),ymax=62.(2)∵y=-x2+2x+5=-(x-1)2+6,∴圖像的對稱軸為x=1,且x=1?[2,5].由右圖可得出,當(dāng)x=2時(shí),ymax=-(2-1)2+6=5,當(dāng)x=5時(shí),ymin=-(5-1)2+6=-10.【例3】

(2)求函數(shù)y=-x2+2x+5在給定區(qū)間[2,5]上的最值.【點(diǎn)評】

1.利用圖像法求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值,步驟如下:(1)觀察頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否出現(xiàn)在給定區(qū)間內(nèi);(2)若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)出現(xiàn)在給定區(qū)間內(nèi),則其中一個(gè)最值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處,另一個(gè)出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)處,若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不出現(xiàn)在給定區(qū)間內(nèi),則兩個(gè)最值均出現(xiàn)在端點(diǎn)處;(3)求最值時(shí),需要結(jié)合圖像的開口方向進(jìn)行求值.【點(diǎn)評】

2.利用代數(shù)法求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值,步驟如下:(1)觀察頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否出現(xiàn)在給定區(qū)間內(nèi);(2)若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)出現(xiàn)在給定區(qū)間內(nèi),則求三個(gè)自變量(給定區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)、頂點(diǎn)橫坐標(biāo))所對應(yīng)的函數(shù)值,在三個(gè)函數(shù)值中找出最大值、最小值;(3)若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不出現(xiàn)在給定區(qū)間內(nèi),則求兩個(gè)自變量(給定區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn))所對應(yīng)的函數(shù)值,確定最大值、最小值.【對點(diǎn)練習(xí)3】(1)求函數(shù)y=x2+2x-5在給定區(qū)間[-3,0]上的最值;(2)求函數(shù)y=x2+2x-5在給定區(qū)間[0,3]上的最值.【解】(1)y=x2+2x-5=(x+1)2-6,可知對稱軸為x=-1,且x=-1∈[-3,0].

∵當(dāng)x=-1時(shí),y=-6;當(dāng)x=-3時(shí),y=-2;當(dāng)x=0時(shí),y=-5,

∴當(dāng)x=-1時(shí),ymin=-6;當(dāng)x=-3時(shí),ymax=-2.

(2)y=x2+2x-5=(x+1)2-6,可知對稱軸為x=-1,且x=-1?[0,3].

∵當(dāng)x=0時(shí),y=-5;當(dāng)x=3時(shí),y=10,

∴當(dāng)x=0時(shí),ymin=-5;當(dāng)x=3時(shí),ymax=10.【例4】已知矩形周長為16,一邊長為x,面積為S.求:(1)S與x的關(guān)系式;(2)S的最大值.【解】(1)周長為16,一邊長為x,則另一邊長為8-x,其中0<x<8.故S=x(8-x),0<x<8.(2)S=x(8-x)=-x2+8x=-(x2-8x+16)+16=-(x-4)2+16.當(dāng)x=4時(shí),S有最大值為16.答:S與x的關(guān)系式為S=x(8-x),0<x<8;當(dāng)x=4時(shí),S有最大值為16.【對點(diǎn)練習(xí)4】如下圖,一個(gè)長為5,寬為3的矩形被平行于邊的兩條直線所割,其中矩形的左上角是一個(gè)邊長為x的正方形,求陰影部分面積的最小值.【解】設(shè)陰影部分的面積為S,其中0<x<3,則S=x2+(5-x)(3-x)=2x2-8x+15=2(x-2)2+7,故當(dāng)x=2時(shí),S有最小值為7.【仿真訓(xùn)練】一、選擇題1.函數(shù)y=(x-2)2+3圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (

) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)【答案】A2.二次函數(shù)y=x2-4x-7圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (

) A.(2,11) B.(-2,7) C.(2,-11) D.(2,-3)【答案】C3.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2圖像的對稱軸為x=1,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (

) A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,2]【答案】C4.已知函數(shù)f(x)=1+2x-x2,則下列結(jié)論正確的是 (

)

A.f(x)在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù)

B.f(x)在區(qū)間(-∞,1]上是減函數(shù)

C.f(x)在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù)

D.f(x)在區(qū)間[-1,+∞)上是減函數(shù)【答案】A

【答案】B6.如果二次函數(shù)y=5x2+mx+4在區(qū)間(-∞,-1)上是減函數(shù),在區(qū)間(-1,+∞)上是增函數(shù),則m= (

) A.2 B.-2 C.10 D.-10

7.函數(shù)y=-2x2-4x-2的圖像具有性質(zhì) (

) A.開口方向向上,對稱軸為x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0) B.開口方向向上,對稱軸為x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0) C.開口方向向下,對稱軸為x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0) D.開口方向向下,對稱軸為x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

9.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-5,且x∈[0,4],則函數(shù)最小值和最大值分別為 (

) A.-5,3 B.-6,3 C.-6,-5 D.-6,無最大值

10.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,5)兩點(diǎn),則二次函數(shù)的解析式為 (

)

A.y=x2+2x-3 B.y=x2-2x-3

C.y=x2+2x+3 D.y=x2-2x+6

二、填空題11.二次函數(shù)y=x2-6x+2圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

.

12.若函數(shù)f(x)=2x2+x-1,則f(x)的圖像的對稱軸是直線

.

13.已知函數(shù)y=-4x2+28x+1,則y有最

值為

.

【答案】大5014.二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),則它的對稱軸為

.【答案】

x=115.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+3,且f(1)=0,f(-3)=0,則函數(shù)f(x)=

.

三、解答題16.已知二次函數(shù)y=-x2+4x-3.(1)確定函數(shù)圖像的開口方向;(2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸;(3)求函數(shù)的最值及取得最值時(shí)x的取值;(4)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

17.已知二次函數(shù)f(x)=-x2+2(m-1)x+2m-m2.(1)如果它的圖像經(jīng)過原點(diǎn),求m的值.(2)如果它的圖像關(guān)于y軸對稱,寫出函數(shù)的關(guān)系式.

18.如下圖,有長為24m的籬笆,圍成中間隔有一道籬笆的長方形的花圃,且花圃的長可借一段墻體(墻體的最大可用長度15m),設(shè)AB的長為xm,所圍的花圃面積為ym2,求花圃的最大面積.【解】由題可得y=x(24-3x).∵0<24-3x≤15,∴3≤x<8.故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=x(24-3x),3≤x<8.

∵y=x(24-3x)=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,且4∈[3,8),

∴當(dāng)x=4時(shí),花圃有最大面積為48m2.【提高訓(xùn)練】一、選擇題1.函數(shù)y=(x+1)2+2圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (

) A.(1,2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(-1,-2)【答案】B2.已知二次函數(shù)y=x2-2x+3,則函數(shù)圖像的對稱軸為 (

)

A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2【答案】A

【答案】C

【答案】B5.函數(shù)f(x)=x2-2x的最小值是 (

) A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】B6.若函數(shù)f(x)=x2-2(b+1)x+3在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù),在區(qū)間[2,+∞)是增函數(shù),則b= (

) A.-3 B.1 C.-1 D.-2【答案】B7.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1的圖像的對稱軸為x=1,并且通過點(diǎn)(-1,7),則 (

)

A.f(x)=2x2+4x+1 B.f(x)=2x2-4x+1

C.f(x)=-2x2+4x+1 D.f(x)=-2x2-4x+1【答案】B8.函數(shù)f(x)=-x(x-2)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (

) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)【答案】C9.若函數(shù)y=x2-6x-7,則它在[-2,4]上的最大值、最小值分別是(

) A.9,-15 B.12,-15 C.9,-16 D.9,-12【答案】C10.若函數(shù)y=x2+2ax+3圖像的對稱軸為x=-1,則f(1)= (

) A.6 B.-6 C.1 D.-1【答案】A二、填空題11.二次函數(shù)y=x2+6x-7圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

.

12.函數(shù)f(x)=x2+2x-6的單調(diào)遞增區(qū)間是