激光束的自聚焦-自散焦與自調(diào)制

激光束的自聚焦、自散焦與相位調(diào)制引言：在各向同性的非線性介質(zhì)中，光場會引起介質(zhì)極化率的實部發(fā)生變化，或者說光致折射率變化或產(chǎn)生非線性折射率。光致折射率變化的效應(yīng)有多種，這里只介紹光學(xué)克爾效應(yīng)，它表述為介質(zhì)某處折射率變化的大小與該處光強大小成正比。本文介紹自作用（自相位調(diào)制）和互作用（交叉相位調(diào)制）兩種光克爾效應(yīng)。還要討論由于高斯光束橫向分布的不均勻性，光束在傳播過程中引起的自聚焦，自散焦效應(yīng)的理論，以及相關(guān)的時間和空間自相位調(diào)制的現(xiàn)象。一．光學(xué)克爾效應(yīng)光克爾效應(yīng)是指光電場直接引起的折射率變化（即非線性折射率）的效應(yīng)，其折射率變化大小與光電場的平方成正比，即。這種效應(yīng)屬于三階非線性光學(xué)效應(yīng)。具有克爾效應(yīng)的介質(zhì)稱為克爾介質(zhì)。光學(xué)克爾效應(yīng)因其產(chǎn)生的非線性極化率的方式不同而被分為兩種：自作用光學(xué)克爾效應(yīng)利用頻率為ω的信號光自身的光強引起介質(zhì)折射率變化，同時用一束信號光直接探測在該頻率ω下的非線性極化率實部或非線性折射率的大小?；プ饔霉鈱W(xué)克爾效應(yīng)演示這種光克爾效應(yīng)，需要兩束光：泵浦光---引起折射率變化的強光；信號光----探測介質(zhì)折射率變化大小的弱光。也就是用頻率不同（ω’）或偏振方向不同的強泵浦光引起介質(zhì)折射率變化，同時用頻率為ω的弱信號光探測介質(zhì)非線性極化率實部或非線性折射率的大小。圖1.給出了自作用克爾效應(yīng)和互作用克爾效應(yīng)的兩個典型例子。(a)自作用克爾效應(yīng)（b）互作用克爾效應(yīng)圖1.兩種光克爾效應(yīng)設(shè)信號光頻率為ω，泵浦光頻率為ω’，忽略吸收，自作用克爾效應(yīng)和互作用克爾效應(yīng)的非線性極化強度分別表示為（）（）在光波傳播過程中，折射率的變化會引起光的相位的變化?？紤]一個沿Z方向傳播的平面單色波,光從z=0出發(fā)傳至z=L,引起介質(zhì)的折射率變化為Δn,傳播常數(shù)變化為Δk,相應(yīng)光波的相位變化為（）上式表明光致折射率變化調(diào)制了相位，對自作用光克爾效應(yīng)和互作用光克爾效應(yīng)，相應(yīng)地存在自相位調(diào)制（SPM）和交叉相位調(diào)制（XPM）兩種。自相位調(diào)制光克爾效應(yīng)為討論自作用光克爾效應(yīng)中折射率與光場的關(guān)系，設(shè)頻率為ω的強激光入射各向同性介質(zhì)，僅考慮一階和三階效應(yīng)，其中一階極化率和三階極化率皆取實部，則總極化強度為（）根據(jù)和，并定義有效三階極化率,由（）得（）式中是總介電系數(shù)，為實數(shù)。利用線性介電系數(shù)的關(guān)系和，得到,將它代入式（）得到（）利用（），得總折射率n為（）式中，考慮到等式右邊圓括號中的后一項比1小得多。式（）的前項n0為線性折射率，后項為非線性折射率，即為（）可見非線性折射率與場振幅平方成正比，比例系數(shù)為非線性折射系數(shù)，即（）它與有效三階非線性極化率實部成正比。（）變?yōu)椋ǎ├?由式得（）可見非線性折射率與光強成正比，比例系數(shù)n2稱為非線性折射系數(shù)，它與三階極化率實部的關(guān)系為（）總之克爾介質(zhì)的總折射率包括線性和非線性兩部分，它與光強成線性關(guān)系，即光克爾效應(yīng)引起的光致折射率變化的物理機制很多，例如：電子極化，電致伸縮，熱效應(yīng)等。克爾介質(zhì)的非線性折射系數(shù)越大，介質(zhì)的響應(yīng)速度越慢，響應(yīng)時間越長。當(dāng)光束傳播一定距離L時，因為克爾效應(yīng)引起介質(zhì)折射率的變化，而產(chǎn)生光束的非線性相位差為（）交叉相位調(diào)制光克爾效應(yīng)考慮一種特殊的互作用光克爾效應(yīng)。頻率為ω的單色信號光與頻率為ω’的單色泵浦光同沿Z方向傳播，但兩者的偏振方向不同：泵浦光沿y方向偏振；信號光沿x-y平面內(nèi)的某任意方向偏振，如圖2所示圖2.信號光（ω）與泵浦光（ω’）的傳播方向和偏振方向泵浦光引起介質(zhì)折射率或極化率（實部）發(fā)生變化，從而分別由信號光電場的x和y方向分量Ex(ω,z)和Ey(ω,z)所產(chǎn)生的非線性極化強度的x和y分量分別為（）（）y方向的耦合波方程為將（）代入上式，并且Δk=0,得（）若認(rèn)為泵浦光E（）不隨x變化，就可得y方向的信號光場強（）上式中方括弧內(nèi)的量正是信號光在y方向的非線性折射率，記為Δn聚焦與自散焦示意圖對于自聚焦，沿介質(zhì)的徑向從軸心到邊沿高斯光束的光強是逐步衰減的，根據(jù)Δn=n2I,因而其折射率也是逐步減小的?？梢园压馐?jīng)過的路徑看成一個折射率漸變的波導(dǎo)，其作用就像一個自聚焦透鏡，如圖4所示圖4.自聚焦透鏡對光束的會聚作用根據(jù)漸變折射率自聚焦透鏡端面處最大數(shù)值孔徑公式（）式中n0是介質(zhì)的線性折射率，θs為最大的會聚角。n(0)為中心軸上的折射率，n(0)=n0+Δn。n(R)是邊沿的折射率，該處光場近似為0，則有n(R)=n0,所以由（）得由于會聚角一般很小，近似有。因此自聚焦會聚角與激光引起的非線性折射率的關(guān)系為（）另一方面，若介質(zhì)入射面是高斯光束的束腰位置（如圖5），高斯型激光的衍射角近似為圖5.高斯光束的衍射（）K為波矢，a為束腰半徑。所以自聚焦會聚角與激光衍射角的平方比為（）由此可見，在自聚焦過程中，同時存在著兩種互相競爭的作用：Δn引起光束會聚；衍射引起光束發(fā)散。光越強，光束會聚光斑越小，則衍射作用越強。在本節(jié)末會證明，只要滿足或（）則自聚焦始終強與衍射，直至其它非線性效應(yīng)終止自聚焦過程?？紤]到Δn=n2I,為產(chǎn)生自聚焦所需的Δn，根據(jù)（）必須使用的激光光強為（）例如，設(shè)n2=10-13cm2/W,a=1mm,,由（）得當(dāng)光強超過1MW/cm2就能產(chǎn)生自聚焦。如果激光的自聚焦作用與激光的衍射作用達(dá)到平衡θs=(1/2)θd,就會出現(xiàn)一種自陷效應(yīng)。穩(wěn)定自陷實際上就是空間光孤子。根據(jù)入射激光脈沖寬度與激光感生介質(zhì)折射率變化的響應(yīng)時間的關(guān)系可以把自聚焦分為：穩(wěn)態(tài)自聚焦，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦和瞬態(tài)自聚焦。下面我們分別來介紹三種自聚焦現(xiàn)象。穩(wěn)態(tài)自聚焦如果激光的脈沖寬度比較長，遠(yuǎn)大于介質(zhì)的響應(yīng)時間，自聚焦后的光斑尺寸、焦距都保持相對穩(wěn)定，此時自聚焦現(xiàn)象的理論可以用穩(wěn)態(tài)方法處理。以下介紹自聚焦的近軸穩(wěn)態(tài)理論。非線性介質(zhì)的波動方程為（）假設(shè)介質(zhì)是各向同性的，方程中的介電常數(shù)為標(biāo)量；并設(shè)E為線偏振的，則（）可寫成標(biāo)量形式。方程左邊第一項為（）式中對于克爾介質(zhì)，利用（）將方程（）右邊的PNL寫成（）利用和，則方程（）變?yōu)樵诜匠蹋ǎ┲写胍韵卵豘方向傳播的單色平面光電場和極化強度（）（）式中k=k0n0=n0ω/c;n0為介質(zhì)的線性折射率。則方程（）左邊的第二項為（）這里考慮到復(fù)數(shù)場振幅是z的緩變函數(shù)，因此在方程（）中略去了含項。方程（）中左邊的第三項和右邊的項都含有（）這里考慮到在穩(wěn)態(tài)情況下方程式（）中可略去含和的項。將（）和（）代入（），該式變?yōu)椋ǎ┻@就是拋物線型的穩(wěn)態(tài)自聚焦波動方程。一般情況光波不是平面波，復(fù)振幅可表示為如下形式（）式中表示光場的振幅函數(shù)，S（r,z）表示實際波面與平面波的幾何差異，二者皆為軸對稱的實數(shù)。kS(r,z)=φ是光場的相位。將式（）代入（）再分成實部和虛部兩個方程，成為位相和振幅相互耦合的一組耦合方程（）（）方程（）反映能量關(guān)系。因為功率，，對（）兩邊在整個截面上積分，可得，這表明P在傳播的過程中是不變的（能量守恒）。對于高斯光束，在z=0的束腰處，a(z)=a0,場強，，該處截面積為，則通過光束橫截面的總功率P（與傳播位置z無關(guān)）為（）方程（）描述光的波面（相位）變化，表明波面的變化由等式右邊兩項所代表的作用確定：第一項為衍射作用，第二項為非線性作用。此方程難于直接求解，只能近似求解。方程（）可以在近軸條件下近似求解。在該條件下，光束橫截面內(nèi)的光束為高斯型，光斑尺寸沿z軸變化,此時（）和（）就可看做是描述在介質(zhì)中高斯光束傳播的規(guī)律。當(dāng)Δn=0時為球面波形式。當(dāng)時波面仍可近似看成球面波，只是球面曲率中心在軸上的位置沿z軸連續(xù)變化，方程（）的解的形式可寫成（）（）R為徑向坐標(biāo)。a(z)為光束的半徑，R（z）為波面的半徑。當(dāng)時為平面波，S=Φ(z)利用（），（）的（Δn/n0）可做如下近似計算。對于近軸光有r2<<a(z)2,則；根據(jù)（）,。因此（）將（），（）和（）代入方程式（），可得以下兩個方程（）（）式中（）設(shè)入射光強和波面的分布具有圓柱對稱性，故采用柱坐標(biāo)，以r,φ,z代替x,y,z,,，將（），（）代入（）?？傻茫ǎ⒎匠蹋ǎ﹥蛇厡求導(dǎo)，利用（）?？傻脤⑸鲜絻蛇叧艘?，并積分可得積分常數(shù)C由初始條件R（0）=R0，a(0)=a0和φ(0)=0來確定，得到，則方程（）變?yōu)椋ǎ┻@是各向同性非線性介質(zhì)中旁軸近似解的光束半徑變化規(guī)律。若入射光為平面波。，方程（）簡化為（）可見，當(dāng)B>1/2時，a(z)<a0，光束會聚，為自聚焦情況。光束在焦點z=zf處形成焦點，即a(zf)=0。當(dāng)B<1/2時，a(z)>a0，光束發(fā)散，為自散焦情況。當(dāng)B=1/2時，a(z)=a0,保持光束半徑不變，屬于自陷獲情況。因此，B決定了光束傳播的規(guī)律。根據(jù)（），B也可以表達(dá)為（）可見B的意義是光致折射率變化的作用和光衍射的作用之比。當(dāng)B=1/2時，有。根據(jù)（），，相當(dāng)于非線性作用與衍射作用達(dá)到平衡。一般情況下，令a(zf)=0,由方程（）可算出自聚焦焦點位置zf,即（）此式可寫成光功率表示形式，根據(jù)式（），（）和k=ω/c,則有（）定義B=1/2時的功率為臨界功率Pc,由（）得（）可見材料的非線性越強，產(chǎn)生自聚焦的閾值功率越低。利用（），（）和（），式（）可改寫為（）以下討論在不同的入射波面的情況下，聚焦光束截面尺寸隨傳播距離的變化的情況：當(dāng)平面波入射，，P>Pc,自聚焦的焦距zf為正值（）由式（）可以看出：a0越小，P越大，zf越小。(2)當(dāng)會聚光入射,R<0,則焦距zf滿足（）若入射波為弱會聚，當(dāng)，式（）右邊第二項取“+”號，此時只有一個向入射方向移動的焦點；若入射波為強會聚，即，式（）右邊第二項取“”號，即有兩個聚焦點存在。（3）當(dāng)入射波為發(fā)散波，R0>0,則焦距zf滿足光束在介質(zhì)中逐漸由發(fā)散轉(zhuǎn)為會聚的條件為zf>0,即。表明當(dāng)入射光率一定時，只有入射光發(fā)散不太大時，才有可能在介質(zhì)中形成自聚焦。圖6給出了在不同入射條件下的自聚焦光斑尺寸變化的圖像。（a）平行光入射（b）弱會聚光入射（c）強會聚光入射（d）弱發(fā)散光入射圖6.不同入射條件下的自聚焦光斑隨z的變化圖像準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦當(dāng)入射激光是短脈沖的，必須考慮光束參量隨時間的變化。如果脈沖寬度較短，但比介質(zhì)對場的響應(yīng)時間大很多，或者說介質(zhì)對場的響應(yīng)仍可以被認(rèn)為是瞬時的，自聚焦的焦距隨激光強度的變化而隨時間變化，這就是準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦。比如激光脈寬為10-9秒（納秒），介質(zhì)響應(yīng)時間為10-12秒（分子弛豫機制），成為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦。對于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦，不能完全忽略振幅隨時間的變化，在求解波動方程（）時，可略去對時間的二階導(dǎo)數(shù)，但要保留對時間的一階導(dǎo)數(shù)，同時仍然保留場對z坐標(biāo)的緩變條件。公式（）變成（）為群速度。引入新的獨立變量t’=t-z/v和z’=z（）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，于是（）因此（）可改寫為（）比較（）和（）可看出兩個方程的形式相同。所解得的自聚焦焦距公式形式也應(yīng)當(dāng)相同。只是對方程（），焦距是時間的函數(shù)。在平面波入射的情況下，自聚焦焦距應(yīng)為（）如果仍用（z,t）作變量，式（）可表示為（）可見在動態(tài)自聚焦情況下，自聚焦焦距是隨時間變化的，而t時刻的zf是由t-z/v時間的光功率引起的。上面是旁軸近似得到的解，嚴(yán)格的數(shù)值解給出zf與P的關(guān)系為（）常數(shù)K和臨界功率都可以由實驗測定。由（）可見，在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦中，焦點位置在介質(zhì)中并不固定，而是隨時間t變動。Zf(t)與t的關(guān)系曲線如圖7所示。從圖中可看出，當(dāng)激光入射至介質(zhì)后，因為自聚焦要滿足閾值條件，所以在tD時刻首先在zD處產(chǎn)生一個焦點。然后它沿著U形線分成兩支運動。焦點的運動速度由曲線的斜率確定。沿DAE一支向光束的前進(jìn)方向運動，速度可大于c/n。沿另一支DBC表示自聚焦焦點先是向后運動，在到達(dá)最短焦距zB后又返回，再向前運動（zB與輸入脈沖峰值功率相對應(yīng)）。這一支焦點的運動速度始終小于光速，特別在zB處焦點的運動速度為零。這種雙焦點的運動圖像在實驗中已經(jīng)得到證實。圖7（a）自聚焦焦點隨時間變化曲線圖7（b）入射激光脈沖功率P（t）波形值得注意的是，自聚焦焦點的運動速度超過光速并不違背狹義相對論，因為不同時刻的焦點是來源于入射脈沖的超過自聚焦閾值的不同部分的自聚焦，因而焦點的運動并不代表整個光脈沖信號進(jìn)入介質(zhì)的能量傳輸過程，光脈沖的傳播速度必須用群速度來描述，它不會超光速。從自聚焦破壞的角度來講，焦點運動由速度比較慢的地方即停留時間長的地方最易發(fā)生介質(zhì)破壞，這相當(dāng)于圖中的zB處。確實在透明的液體中已經(jīng)在這個區(qū)域觀測到激光引起的氣泡。瞬態(tài)自聚焦當(dāng)激光脈寬比介質(zhì)Δn的響應(yīng)時間更短（或接近）時，自聚焦的過程就必須考慮Δn隨時間的變化了，必須考慮因Δn的時間延遲引起的光脈沖的前沿部分如何影響其尾部的自聚焦，這就是瞬態(tài)自聚焦現(xiàn)象?？梢杂脠D8定性說明。圖8.激光脈沖在介質(zhì)中形成喇叭形傳播的瞬態(tài)自聚焦過程圖(a)激光功率隨時間的變化曲線中a~f表示滿足閾值條件的各個時刻的功率。當(dāng)a部位脈沖輸入時，由于介質(zhì)來不及對場響應(yīng)，Δn很小，因而它在傳播時幾乎是線性地衍射，到b部位有稍微大一些的Δn，但還未大到足夠引起自聚焦，因此它依然是衍射，但較a段脈沖的衍射要小。當(dāng)c段脈沖輸入時，由于先前a、b段脈沖產(chǎn)生的Δn已經(jīng)足夠大，足以克服衍射效應(yīng)使光線向中間會聚。同樣可分析d~f段脈沖，它們的聚焦點一個比一個向前移，且聚焦后不發(fā)散。這是因為雖然e~f段的峰值功率變小，但由于以前引起介質(zhì)折射率變化的累積使Δn變得很大仍可形成自聚焦。如果我們在同一時刻把a~f各時刻輸入脈沖的各時刻輸入脈沖的各自波前連接起來，就得到如圖喇叭型的脈沖激光的橫向輪廓。自聚焦的危害及消除非線性自聚焦具有非常大的危害性。過去的幾十年,人們一直對此進(jìn)行著廣泛深入的研究。圓對稱超高斯激光束在克爾介質(zhì)中傳輸時也會由于非線性自聚焦效應(yīng)而形成自聚焦環(huán),自聚焦環(huán)在擾動的作用下將分裂成絲。自聚焦環(huán)的形成及分裂是影響光束質(zhì)量,甚至造成光學(xué)元件損傷的主要因素之一。重慶文理學(xué)院物理與信息工程系的趙華君發(fā)表在《激光雜志》中的一篇論文指出可以采用具有負(fù)非線性折射率系數(shù)(n<0)的非線性介質(zhì)來補償非線性自聚焦效應(yīng),從而抑制光束傳輸時的非線性增長。他在實驗中采用的是具有較大負(fù)折射系數(shù)的GaAs。結(jié)果表明,圓對稱超高斯光束在通過克爾介質(zhì)時會出現(xiàn)明顯的自聚焦環(huán),然而當(dāng)使用具有負(fù)折射率系數(shù)的非線性介質(zhì)對自聚焦效應(yīng)進(jìn)行補償，可以大大減小光束的累積B積分，有效防止圓對稱超高斯光束自聚焦環(huán)的產(chǎn)生。四川大學(xué)光電系和中國工程物理研究院高溫高密度等離子體物理國防科技重點實驗室的研究人員發(fā)表在《光學(xué)學(xué)報》上的一篇論文指出適當(dāng)?shù)剡x取圓對稱超高斯光束的初始參量，如合理選取其階數(shù)和寬度，可以降低自聚焦成環(huán)效應(yīng)，從而降低因自聚焦環(huán)分裂在光束邊緣出現(xiàn)的細(xì)光束對介質(zhì)造成的成絲破壞。三．自相位調(diào)制時間自相位調(diào)制實驗發(fā)現(xiàn)一個線寬很窄（~1cm-1）的激光脈沖經(jīng)過自聚焦后，從細(xì)絲區(qū)出射的光有很強的頻譜展寬。對納秒脈沖，展寬約數(shù)十個波數(shù)（cm-1），而對皮秒脈沖，展寬可達(dá)幾千個波數(shù)以上。對亞飛秒脈沖，甚至可展成白光連續(xù)譜。這種自聚焦光的譜線自增寬效應(yīng)是由自聚焦的相位自調(diào)制引起的。以下用一個物理理論模型加以解釋。設(shè)入射激光脈沖的光電場表示為（）式中τ=t-(z/v);v是光脈沖的群速度；光功率密度為。光脈沖在自聚焦細(xì)絲中傳播，使介質(zhì)的折射率發(fā)生的變化為。光束通過長為L的細(xì)絲，其相位被調(diào)制，發(fā)生如下的相位變化（）設(shè)入射光脈沖的中心頻率為ω0，自相位調(diào)制引起的頻移為Δω=ω-ω0。在t時刻相位變化引起的頻率增寬為（）在頻域中的光振幅是頻率增寬的函數(shù)，可由傅里葉變換得到（）相應(yīng)的光強的頻譜分布為（）假設(shè)入射脈沖為脈寬約為5ps的高斯型光脈沖，因，也應(yīng)是高斯型對稱的，用公式（）可算得隨時間變化的波形，如圖9上部所示；按公式（）算得頻移啁啾曲線，Δω(t)的兩個負(fù)的和正的峰分別對應(yīng)高斯型的兩個拐點，如圖9中部所示；用（）和算得的光強頻譜分布曲線如圖9下部所示?？梢姽β首V相對于激光的頻率ω0也是對稱的.頻譜增寬約300cm-1。如果入射功率引起的相位調(diào)制是上升比下降陡得多的，則功率譜是不對稱的。如圖（b）所示圖9（a）上升和下降對稱的相位調(diào)制Δφ及其對應(yīng)的功率譜圖9（b）上升比下降陡得多的相位調(diào)制Δφ及其對應(yīng)的功率譜因為，此處有最大的斜率，因此譜振幅最大，它們處于頻率譜上最遠(yuǎn)的兩端：-Δω(即ω=ω0+Δω)在左邊；Δω(即ω=ω0-Δω)在右邊?？拷€的中心部分斜率最小，因而譜振幅最小。在Δω(t)曲線上存在著許多頻率相同，但位相不同的兩對應(yīng)點，這兩個點相當(dāng)于兩個頻率相同但位相不同的兩個波發(fā)生干涉，是相長干涉還是相消干涉，由它們間的相位差決定，因此輸出譜上出現(xiàn)峰和谷交替的半周期振蕩結(jié)構(gòu)。每一邊的峰數(shù)目由的整數(shù)倍數(shù)決定。由于Δω(t)曲線的峰頂較平坦，因此譜邊沿的峰較寬。由于不對稱的輸出功率譜，因為響應(yīng)的太小，變化緩慢，使振蕩數(shù)太少，且周期太