數(shù)學(xué)熱點(diǎn)-幾何體的內(nèi)接球與外接球阿氏球等17類(lèi)題型匯 總（解析版）

專(zhuān)題8-1幾何體的外接球與內(nèi)接球，阿氏球等17類(lèi)題型模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】球的截面問(wèn)題【題型2】可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體的外接球模型【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論【題型5】直棱錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）【題型6】球心在高上（圓錐形）【題型7】圓臺(tái)，棱臺(tái)外接球模型【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個(gè)面垂直外接圓直徑）【題型9】?jī)蓚€(gè)外心+中垂線確定球心【題型10】外接球之共斜邊拼接模型【題型11】外接球之二面角模型【題型12】?jī)?nèi)切球之棱錐，圓錐模型【題型13】?jī)?nèi)切球之圓臺(tái)，棱臺(tái)模型【題型14】多球相切問(wèn)題【題型15】棱切球問(wèn)題【題型16】構(gòu)造球解決空間中動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直角問(wèn)題【題型17】阿氏球問(wèn)題模塊二核心題型·模塊二核心題型·舉一反三【題型1】球的截面問(wèn)題球體的相關(guān)計(jì)算關(guān)鍵是找出球心到相關(guān)平面的距離，再結(jié)合勾股定理計(jì)算求值【例1】（2020·全國(guó)2卷T11）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.【例2】（24-25高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知，，，四點(diǎn)都在球的球面上，且，，三點(diǎn)所在平面經(jīng)過(guò)球心，，，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為，球的表面積為.【答案】4【分析】利用正弦定理求得外接圓半徑，結(jié)合題意可得球的半徑，再利用球的截面性質(zhì)與球的表面積公式即可得解.【詳解】在中，，.根據(jù)正弦定理（為外接圓半徑），這里，，所以，解得.因?yàn)椤?、三點(diǎn)所在平面經(jīng)過(guò)球心，所以球的半徑.因?yàn)?、、三點(diǎn)所在平面經(jīng)過(guò)球心，當(dāng)垂直于平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，這個(gè)最大值就是球的半徑，所以點(diǎn)到平面的距離的最大值為.則球的表面積為.【例3】（23-24高三下·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為，過(guò)該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為．【答案】【分析】由內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球的半徑，過(guò)點(diǎn)A作平面BCD，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接，記內(nèi)切球球心為O，過(guò)O作，設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為，然后結(jié)合正四面體的性質(zhì)可求出，從而可求出截面的面積.【詳解】解：由內(nèi)切球的表面積，得內(nèi)切球半徑如圖，過(guò)點(diǎn)A作平面BCD，則點(diǎn)H為等邊的中心連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接，記內(nèi)切球球心為O，過(guò)O作，設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為，則，所以，又因?yàn)?，所以，由，得，即，解得因?yàn)檫^(guò)棱AB和球心O，所以即為所求截面且.【鞏固練習(xí)1】已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上，若球的表面積為，則點(diǎn)到平面的距離為．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為R，由球的表面積解出，設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，解出，由勾股定理求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得．設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，所以，解得，由，所以，所以球心到平面的距離．【鞏固練習(xí)2】已知過(guò)球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，則球的表面積是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用球面的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即得答案.【詳解】在中，，則，，由正弦定理得外接圓半徑，設(shè)球半徑為，于是，解得，所以球的表面積是.【鞏固練習(xí)3】（2024·遼寧丹東·一模）已知球的直徑為，，為球面上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，平面，若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則球心到平面的距離為．【答案】【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，可得球的半徑為，將球心到平面的距離轉(zhuǎn)化為為到平面的距離的2倍，進(jìn)而根據(jù)等體積變換可得.【詳解】因?yàn)?，為球的直徑，所以，故球心到平面的距離即為到平面的距離的2倍，如圖設(shè)球的半徑為，由題意可知，由，，可得，故如圖，由題意平面，則，，且，設(shè)到平面的距離為，則由可得，，得，得，則球心到平面的距離為【題型2】可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體的外接球模型一、長(zhǎng)方體外接球：長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．二、補(bǔ)成長(zhǎng)方體（1）若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如下圖所示． （2）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示注：《九章算術(shù)》中的三棱錐均可補(bǔ)為長(zhǎng)方體【例1】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”如圖所示，平面，，，，則該“陽(yáng)馬”外接球的表面積為A． B． C． D．【解答】解：把四棱錐放置在長(zhǎng)方體中，則長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐的外接球，，，，長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方體的外接球的半徑，該“陽(yáng)馬”外接球的表面積為．【例2】在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體．如圖，在直角中，為斜邊上的高，，現(xiàn)將沿翻折成，使得四面體為一個(gè)鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為【答案】【分析】找出鱉臑外接球的球心，并得出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】由題設(shè)，都是直角三角形，只需平面即可，所以鱉臑外接球的球心在過(guò)中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，而在直角三角形中，的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等，所以的中點(diǎn)是外接球的球心，所以．【例3】如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，將，，分別沿，，折起，使得三點(diǎn)重合于點(diǎn)，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，把三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)求得外接球的半徑，結(jié)合球的體積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，且，所以三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，可得，所以，所以外接球的體積為.故選：C.

【例4】在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體．在直角中，為斜邊上的高，，，現(xiàn)將沿翻折成，使得四面體為一個(gè)鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出各個(gè)邊長(zhǎng)，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此時(shí)，由勾股定理逆定理得⊥，故滿(mǎn)足四面體為一個(gè)鱉臑，取中點(diǎn)，連接，得到，故點(diǎn)即為該鱉臑外接球的球心，半徑為，從而求出外接球表面積.【詳解】因?yàn)橹苯侵?，為斜邊上的高，，，所以，，，，如圖，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此時(shí)，由勾股定理逆定理得⊥，結(jié)合⊥，⊥，故滿(mǎn)足四面體為一個(gè)鱉臑，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椤停?，故，故點(diǎn)即為該鱉臑外接球的球心，半徑為，故該鱉臑外接球的表面積為為.【鞏固練習(xí)2】將邊長(zhǎng)為的正方形紙片折成一個(gè)三棱錐，使三棱錐的四個(gè)面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_______【答案】【分析】作出三棱錐的直觀圖，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，可計(jì)算出該三棱錐的外接球的半徑，結(jié)合球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在邊長(zhǎng)為的正方形中，設(shè)、分別為、的中點(diǎn)，、、分別沿、、折起，使、、三點(diǎn)重合于點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，如下圖所示：翻折前，，，翻折后，則有，，，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，其中，，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，，故該三棱錐的外接球的表面積為.【鞏固練習(xí)3】（2024·廣東揭陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以可以將三棱錐如圖放置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，則該棱錐外接球的半徑即為該長(zhǎng)方體外接球的半徑，所以有，所以所求的球體表面積為：．【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2 圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【例1】已知正三棱柱所有棱長(zhǎng)都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B．60 C． D．【答案】D【解析】如圖，為棱的中點(diǎn)，為正△的中心，為外接球的球心根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，外接球半徑，∵正△的邊長(zhǎng)為6，則∴外接球的表面積.故選：D．【例2】設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)?，所?于是（是外接圓的半徑），.又球心到平面的距離等于側(cè)棱長(zhǎng)的一半，所以球的半徑為.所以球的表面積為，解得.因此.于是直三棱柱的表面積是.【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上·安徽亳州·開(kāi)學(xué)考試）已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圓柱半徑可得圓柱的高，然后可解.【詳解】球的體積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A．【鞏固練習(xí)2】在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【解析】因?yàn)槭侵比忮F，底面是正三角形，所以可以將圖補(bǔ)形成為正三棱柱，如圖所示，此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，設(shè)球心為O，作平面，則為的外接圓圓心，連接，則，設(shè)的外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，由正弦定理，得，所以，中，，所以，解得，所以．【鞏固練習(xí)3】已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍颍虻谋砻娣e為，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，由球的表面積為，得，根據(jù)軸截面為正方形列方程解得，代圓柱的體積公式得解.【詳解】設(shè)外接球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，所以圓柱的高，由球的表面積，得，又，得，所以圓柱的體積【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論在棱長(zhǎng)為a的正四面體中設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，則有1、正四面體的高為2、正四面體外接球半徑為3、正四面體內(nèi)切球半徑為4、正四面體體積【例1】（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為．【答案】【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，所以該正四面體的表面積為，所以，又正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成正四面體，若正四面體棱長(zhǎng)為，可得正方體的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，所以球O的體積為．【例2】（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）外接球半徑為的正四面體的體積為（

）A． B．24 C．32 D．【答案】A【分析】設(shè)出正四面體棱長(zhǎng)，通過(guò)作輔助線表示出四面體的高，解直角三角形表示外接球半徑，由已知外接球半徑為可得棱長(zhǎng)，再由三棱錐體積公式可得.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的下底面中心為，連接，則平面，連接并延長(zhǎng)，交于，設(shè)此正四面體的棱長(zhǎng)為x，則，，，即四面體的高．設(shè)四面體外接球的球心為，連接，外接球半徑為，則，化簡(jiǎn)得，由，得，即正四面體棱長(zhǎng)為，所以正四面體的體積.【例3】正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四面體的外接球球心為，為的中心，設(shè)棱長(zhǎng)為，即可求出外接球的半徑，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的外接球球心為，為的中心，則平面，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，設(shè)棱長(zhǎng)為，在中，由正弦定理得，所以，所以，由，即解得（負(fù)值舍去）；由等體積法得到，所以，所以.故選：C.【鞏固練習(xí)1】已知正三棱錐，各棱長(zhǎng)均為，則其外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】抓住正三棱錐的特征，底面是正三角形，邊長(zhǎng)為，則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，構(gòu)造直角三角形，從而即可求出外接球的半徑為，進(jìn)而可求出外接球的體積．【詳解】由是正三棱錐，底面是正三角形，邊長(zhǎng)為，則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，如圖，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)作平面，且垂足為，則，由，則在中，有，所以，則在中，有，設(shè)外接球的半徑為，則，即，解得，故外接球的體積為．【鞏固練習(xí)2】正四面體中，其側(cè)面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為.【答案】【解析】設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為，則該正四面體每個(gè)面的面積為，正四面體的側(cè)面積與底面積之差為，解得.如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為點(diǎn)，連接，可知外接球球心在上，設(shè)球的半徑為，的外接圓半徑為，，由圖可知，，即，解得.因此，正四面體的外接球體積為.【鞏固練習(xí)3】一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出輔助線，求出外接球和內(nèi)切球的半徑，從而得到體積之比.【詳解】正四面體中，取中點(diǎn)，連接，則⊥，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥平面，外接球球心在上，連接，則，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，則，，，由勾股定理得，即，解得，

設(shè)內(nèi)切球球心為，則在上，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，故，，因?yàn)椤?，所以，即，解得，故它的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，體積之比為.

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）題設(shè)：如圖，平面，求外接球半徑.（一條側(cè)棱垂直底面） 解題步驟：第一步：將畫(huà)在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過(guò)球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②.【例1】已知三棱錐的底面為直角三角形，且.若平面，且，，三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，記球的體積和表面積分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意外接圓的直徑為斜邊，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積、表面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉橹苯侨切吻?，則，又平面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，因此，取中點(diǎn)，連接，則，從而點(diǎn)即為球的球心，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，所以，則.

【例2】已知三棱錐的底面為直角三角形，且.若平面，且，，三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，記球的體積和表面積分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意外接圓的直徑為斜邊，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積、表面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉橹苯侨切吻遥瑒t，又平面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，因此，取中點(diǎn)，連接，則，從而點(diǎn)即為球的球心，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，所以，則.

【鞏固練習(xí)1】已知S，A，B，C是球O表面上的不同點(diǎn)，平面，，，，若球O的表面積為，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四面體的性質(zhì)可構(gòu)造長(zhǎng)方體模型求得外接球半徑即可得.【詳解】如下圖所示：由平面可知，又，所以四面體的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別為三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球半徑，設(shè)外接球半徑為，由球的表面積為，可得，即；又，，，所以.【鞏固練習(xí)2】2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)T16已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因?yàn)?，即，解?故答案為：2.【鞏固練習(xí)3】已知三棱錐所在頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，若，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出外接圓半徑，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑作答.【詳解】在中，，由余弦定理得，令外接圓圓心，則平面，且，而平面，因此，取中點(diǎn)，連接，有，又平面，即有，，于是四邊形為平行四邊形，則，球的半徑，體積為.

【題型6】球心在高上（圓錐形）如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn). 解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.【注意】：若是已知外接球半徑R和小圓半徑r求圓錐的高，則有2個(gè)解【例1】（2024·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的外接球的體積為.【答案】【解析】由題設(shè)，圓錐體的高為，若外接球的半徑為，則，可得，所以圓錐的外接球的體積為.【例2】已知三棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】如圖：過(guò)P點(diǎn)作平面ABC的垂線，垂足為M，則都是直角三角形，又，同理可得，，所以M點(diǎn)是的外心；又，是以斜邊的直角三角形，在底面的射影為斜邊的中點(diǎn)，如下圖：則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，則在上，則，即，得，外接球的表面積為；【鞏固練習(xí)1】已知球的體積為，圓錐的頂點(diǎn)及底面圓上所有點(diǎn)都在球面上，且底面圓半徑為，則該圓錐側(cè)面的面積為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】先由球的體積求球的半徑，再畫(huà)圖，用勾股定理結(jié)合扇形面積公式即可求出圓錐側(cè)面的面積.【詳解】由球的體積為，得，所以.如圖1，當(dāng)時(shí)，有，所以，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，所以該圓錐側(cè)面的面積為.如圖2，當(dāng)時(shí)，有，所以，，又因?yàn)椋?，所以該圓錐側(cè)面的面積為.【鞏固練習(xí)2】在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的半徑為．【答案】【分析】依題為直角三角形，又由，可得點(diǎn)在底面的射影為的外心，故球心在直線上，易求出半徑得解.【詳解】如圖，由，可得，所以的外心為的中點(diǎn)，又由，點(diǎn)在底面的射影為H，則平面，連接，則，，所以點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，點(diǎn)在底面的射影為的外心，顯然三棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)，在中，有，解得．故答案為：【鞏固練習(xí)3】已知三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影恰好是內(nèi)切圓的圓心，底面的最短邊長(zhǎng)為6．若三個(gè)側(cè)面面積分別為，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為；三棱錐的外接球的表面積為．【答案】5【分析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓半徑為，圓分別切于點(diǎn)，連接，，連接，則可證得，再利用三個(gè)側(cè)面面積可求，，從而可求出，進(jìn)而可求出，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，連接，則平面，然后利用勾股定理列方程組可求出外接球的半徑，從而可求出其表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓半徑為，圓分別切于點(diǎn)，連接，，連接，則平面，，，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，平面，平面，所以平面，平面，平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，，因?yàn)椋怨策?，所以≌≌，所以，設(shè)的最短邊為，則，所以，解得，所以，因?yàn)?，所?所以，所以為直角三角形，且，所以，所以，即頂點(diǎn)到底面的距離為5，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則為的外心，則，所以，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，連接，則平面，設(shè)，三棱錐的外接球的半徑為，則（在面上方），或（在面下方），所以，或，則或，解得或（舍去），所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：5，.【題型7】圓臺(tái)，棱臺(tái)外接球模型圓臺(tái)，棱臺(tái)外界球，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．基本規(guī)律:正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主注：若球心位置不確定，也可以直接設(shè)，若解出來(lái)為負(fù)數(shù)則說(shuō)明球心在另一側(cè)【例1】（2024·云南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長(zhǎng)為，若該圓臺(tái)的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得圓臺(tái)的高為，設(shè)圓臺(tái)的上下底面圓心為，，，球的半徑為，當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心異側(cè)時(shí)，，所以，解得，；當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心同側(cè)時(shí)，，，解得，，此時(shí)，不合題意，舍去，故球的體積【例2】2022年新高考II卷T7——臺(tái)體外接球已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．

【例3】在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱(chēng)為“芻童”．已知棱臺(tái)是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中，，則該“芻童”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)芻童的幾何性可知外接球的球心在四棱臺(tái)上下底面中心連線上，設(shè)球心為O，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑即可求其表面積．【詳解】如圖，連接AC、BD、、，設(shè)AC∩BD＝M，∩＝N，連接MN．∵棱臺(tái)側(cè)棱相等，∴易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設(shè)外接球球心為O，如圖當(dāng)球心在線段MN延長(zhǎng)線上時(shí)，易得，MC＝2，，，MN＝1，由得，，即，故OC＝，∴外接球表面積為．如圖當(dāng)球心在線段MN上時(shí)，由得，，即舍去，【鞏固練習(xí)1】（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）正四棱臺(tái)高為2，上下底邊長(zhǎng)分別為2和4，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，，，為外接球球心，設(shè)外接球半徑為R，分別為棱臺(tái)上下底面的中心，則，由勾股定理得：，，設(shè)，則，，故，解得：，故，故球的表面積為.【鞏固練習(xí)2】已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長(zhǎng)為，若該圓臺(tái)的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得圓臺(tái)的高為，設(shè)圓臺(tái)的上下底面圓心為，，，球的半徑為，當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心異側(cè)時(shí)，，所以，解得，；當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心同側(cè)時(shí)，，，解得，，此時(shí)，不合題意，舍去，故球的體積【鞏固練習(xí)3】我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱(chēng)為芻童，如圖的芻童有外接球，且，點(diǎn)E到平面距離為4，則該芻童外接球的表面積為_(kāi)_______．【答案】【分析】由已知得，球心在上下底面中心的連線上，該連線與上下底面垂直，球心必在該垂線上，然后根據(jù)，利用直角三角形與直角三角形，即可列出外接球半徑的方程，求解即可.【詳解】連接、交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，由球的幾何性質(zhì)可知，芻童外接球的球心必在線段上，如圖，由題意可知，平面，平面，，設(shè)，在中，，在矩形中，，，，在中，，在矩形中，，，，設(shè)外接球半徑，，解得，則，即該芻童的外接球半徑為該芻童外接球的表面積為：【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個(gè)面垂直外接圓直徑）如圖4-1，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出；事實(shí)上，的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出.2．如圖4-2，平面平面，且（即為小圓的直徑），且，利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②3．如圖4-3，平面平面，且（即為小圓的直徑）4．題設(shè)：如圖4-4，平面平面，且（即為小圓的直徑）第一步：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出.【例1】（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考）已知三棱錐，是以為斜邊的直角三角形，為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件知，外接球的球心在過(guò)的中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，又平面平面，所以可得等邊三角形的中心即為外接球的球心，求出外接圓的半徑即得三棱錐外接球的半徑．【詳解】直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作一條垂直于平面的直線．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以所作直線在平面內(nèi)，且經(jīng)過(guò)等邊三角形的中心，所以等邊三角形的中心就是三棱錐外接球的球心，所以外接圓的半徑也是三棱錐外接球的半徑．由正弦定理知，(是的外接圓的半徑)，即，所以，于是三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球的表面積為．【鞏固練習(xí)1】（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側(cè)面積為，該圓錐內(nèi)接于球，則球的表面積為.【答案】【解析】作圓錐的軸截面，則該軸截面等邊△的外接圓圓心即為圓錐的外接球球心，且△ABC外接圓半徑等于圓錐的外接球半徑，如下圖所示，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積，所以,設(shè)球的半徑為R，由正弦定理得，因此，這個(gè)球的表面積為.【鞏固練習(xí)2】（2024·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以由余弦定理可得，解得，所以，所以是以為斜邊的直角三角形，因?yàn)椋渣c(diǎn)P在平面內(nèi)的射影是的外心，即斜邊的中點(diǎn)，且平面平面，于是的外心即為三棱錐的外接球的球心，因此的外接圓半徑等于三棱錐的外接球半徑．因?yàn)?，，所以，于是，根?jù)正弦定理知的外接圓半徑R滿(mǎn)足，所以三棱錐的外接球半徑為，因此三棱錐的外接球的表面積為．【鞏固練習(xí)3】在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以的外接圓圓心即點(diǎn)，三棱錐外接球球心在過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線上，由于平面平面即球心在平面內(nèi)，所以球心即為的外接圓圓心，球的半徑即為的外接圓半徑.因?yàn)?，所以，從?設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理有，所以，由正弦定理得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：【題型9】?jī)蓚€(gè)外心+中垂線確定球心垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．【例1】如圖，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點(diǎn)在某個(gè)球面上，則該球體的表面積為.

【答案】【解析】作出底面的外心，側(cè)面的外心，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，面平面，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?，由球的性質(zhì)可得平面，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，故，在中，因?yàn)?，，則，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理有，則，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，則外接球的表面積為.故答案為：.【例2】（2024·四川樂(lè)山·高二期末）已知正邊長(zhǎng)為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為．【答案】【解析】如圖，取BC中點(diǎn)G，連接AG,DG，則，，分別取與的外心E,F分別過(guò)E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，所以正方形OEGF的邊長(zhǎng)為，則，所以四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．【例3】（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為.【答案】【解析】依題意，點(diǎn)是三棱錐外接球的球心，設(shè)球的半徑為是外接圓的圓心，設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)到底面的距離為，由題意，可得，則.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以由正弦定理，可得，則.所以三棱錐的體積為，三棱錐的體積取最大值則需要最大.由題意可知，點(diǎn)在過(guò)且與底面（此處底面為水平）垂直的截面圓的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到該圓的最高點(diǎn)時(shí)，最大.取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作.如圖所示，由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)，則.又平面平面，且平面平面平面，所以平面.因?yàn)樵谥?，，又，所?易得四邊形為矩形，所以.因?yàn)樵谥校?，所以，所?【鞏固練習(xí)1】在四棱錐中，平面平面，且為矩形，，，，，則四棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由矩形的邊長(zhǎng)可得底面外接圓的半徑，再由為等腰直角三角形可得其外接圓的半徑，又平面平面可得底面外接圓的圓心即為外接球的球心，由題意可得外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的體積．【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以為矩形的外接圓的圓心，又，，，，則，，，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，面，所以面，因?yàn)槊?，所以，所以，因?yàn)?，所以為外接球的球心，則外接球的半徑為，所以外接球的體積．【鞏固練習(xí)2】在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】如圖所示，作中點(diǎn)，連接、，在上作的中心，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使得，因?yàn)槿忮F底面是等邊三角形，是的中心，所以三棱錐外接球球心在過(guò)點(diǎn)的平面垂線上，又因，則即為球心，因?yàn)槠矫嫫矫?，，，平面平面，，所以平面，，，，，設(shè)球的半徑為，則，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.【鞏固練習(xí)3】已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P為棱的中點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取三角形，四邊形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根據(jù)球的表面積公式求表面積即可.【詳解】設(shè)四棱錐的外接球球心為，取中點(diǎn)，連接，取三角形，四邊形的外心，，連接，，，，，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，，，，，所以，外接球的表面積.【鞏固練習(xí)4】（2024·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，，沿對(duì)角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

【答案】【解析】在平面四邊形中設(shè)，即在Rt中，.在等腰中，.設(shè)外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設(shè)三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，則，所以四邊形為直角梯形.設(shè)外接球的半徑為，在平面四邊形中，過(guò)做于，在中，為的中點(diǎn)，，由，所以.令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)（滿(mǎn)足）等號(hào)成立.所以，所以外接球表面積的最小值為.故答案為：【題型10】外接球之共斜邊拼接模型兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐)模型題設(shè)：如圖，，求三棱錐外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)，連接，則，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.【例1】在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知．∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖所示．【鞏固練習(xí)1】（河北唐山·三模）把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖形的幾何性質(zhì)得球心位置，利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)面距離即可.【詳解】由圖所示，易知三棱錐D-ABC的外接球球心為AC的中點(diǎn)O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，計(jì)算可得BC=CD=BD=，設(shè)球心到平面的距離為，則.【鞏固練習(xí)2】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?設(shè)，所以，所以球的體積為.【鞏固練習(xí)3】在平行四邊形中，，，將此平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積是．【解答】解：如圖，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，同理可證，在中，，所以，取中點(diǎn)為，連接，，由直角三角形的性質(zhì)可知，，，又，即到，，，四點(diǎn)的距離相等，為三棱錐外接球的球心，，球的體積【題型11】外接球之二面角模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6)第一步：先畫(huà)出如圖6所示的圖形，將畫(huà)在小圓上，找出和的外心和；第二步：過(guò)和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：注：易知四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略.【例1】在四面體PABC中，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點(diǎn)，因?yàn)椋允堑耐饨訄A的圓心，過(guò)作平面，過(guò)作平面，，如圖，則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，，則在中，，設(shè)四面體PABC的外接球的半徑為，則，所以四面體PABC的外接球的表面積為.【例2】（2024·四川南充·二模）已知菱形中，對(duì)角線，將沿著折疊，使得二面角為，，則三棱錐的外接球的表面積為.

【答案】【分析】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，得到，在中由余弦定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出的長(zhǎng),分別記三角形與的重心為、，記該幾何體的外接球球心為，連接，，證明與全等，求出，再推出，連接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面積.【詳解】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，則，，可知即為二面角的平面角，即；設(shè)，則，在中，由余弦定理可得：，即解得，即，可得，所以與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，分別記三角形與的重心為、，則，；；因?yàn)榕c都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以點(diǎn)是的外心，點(diǎn)是的外心；記該幾何體的外接球球心為，連接，，

根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以；因?yàn)?，，，平面，所以平面；又平面，所以，連接，則外接球半徑為，所以外接球表面積為.【例3】長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2024屆高三月考(二)T16已知菱形中，對(duì)角線，將沿著折疊，使得二面角為120°，，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，得到，在中由余弦定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出的長(zhǎng),分別記三角形與的重心為、，記該幾何體的外接球球心為，連接，，證明與全等，求出，再推出，連接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面積.【詳解】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，則，，所以即為二面角的平面角，所以；設(shè)，則,在中，即解得，即，所以所以與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.分別記三角形與的重心為、，則，；即；因?yàn)榕c都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以點(diǎn)是的外心，點(diǎn)是的外心；記該幾何體的外接球球心為，連接，，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以；因?yàn)椋?，，且平面，平面，所以平面；又平面，所以，連接，則外接球半徑為，所以外接球表面積為.【鞏固練習(xí)1】在四面體中，與都是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π【答案】A【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，分別取和的外心與，過(guò)兩點(diǎn)分別作平面和平面的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心，連接，則為二面角的平面角，即，則是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，，在中，，所以，又由，所以，所以四面體的外接球的表面積為.故選：A.【鞏固練習(xí)2】（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點(diǎn)均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)均在球的表面上，所以四邊形內(nèi)接于圓，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角為，所以，在中，因?yàn)椋?，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圓的直徑為：，即四邊形外接圓的直徑為，因?yàn)槠矫?，所以，四棱錐外接球的半徑為：所以四面體外接球的表面積為.【鞏固練習(xí)3】（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為.【答案】【分析】先確定球心位置，再建立半徑R的方程求解即可.【詳解】取和的中點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作面于點(diǎn)，連結(jié)，，,平面,故，又，則又平面,故平面，平面，故則為二面角的補(bǔ)角，，因?yàn)?，，則，且，易知，因?yàn)闉榈妊苯侨切危允堑耐庑?設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則面，易知，作，易知為矩形，，設(shè)，，則在中，，且中，，解得，所以外接球表面積為.故答案為：.【鞏固練習(xí)4】（2024·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋缘降木嚯x相等，故即為球心．由球的表面積等于，設(shè)外接球半徑為，故，解得，過(guò)作垂直于于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，同理，過(guò)點(diǎn)作，且，則，是二面角的平面角，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).因?yàn)椋?，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，,且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，則為三棱錐的高，故三棱錐的高為，其中，所以三棱錐的體積．【題型12】?jī)?nèi)切球之棱錐，圓錐模型錐體的內(nèi)切球問(wèn)題題設(shè)：如圖，三棱錐上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求，，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出2．題設(shè)：如圖8-2，四棱錐是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點(diǎn)共線；第二步：求，，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出3．題設(shè)：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑（最優(yōu)法）方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出【例1】（2024·天津·統(tǒng)考二模）已知一個(gè)圓錐的高為，底面直徑為，其內(nèi)有一球與該圓錐的側(cè)面和底面都相切，則此球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓錐的母線長(zhǎng)為，取圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)該圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，，因此，球的體積為.【例2】圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐母線與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計(jì)算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計(jì)算球的體積，作比即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長(zhǎng)為l，則側(cè)面積為，側(cè)面積與底面積的比為,則母線l=2r,圓錐的高為h=,則圓錐的體積為,設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,展開(kāi)整理得R=所以外接球的體積為,故所求體積比為【鞏固練習(xí)1】已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，點(diǎn)為球心，內(nèi)切球的半徑為，為切點(diǎn)，設(shè)，即由條件可知，，中，，即，解得：，所以圓錐內(nèi)切球的表面積.【鞏固練習(xí)2】（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．【答案】【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，

由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.【鞏固練習(xí)3】已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球狀零件，則該零件表面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用扇形的弧長(zhǎng)公式可求得圓錐半徑，結(jié)合等面積法可求得三角形的內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求得圓錐內(nèi)切球的表面積.【詳解】由題意，得該圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，如圖所示，

由，得，所以，圓錐PO內(nèi)切球的半徑等于內(nèi)切圓的半徑，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，其半徑為r，由，得，解得，故能制作的零件表面積的最大值為.【題型13】?jī)?nèi)切球之圓臺(tái)，棱臺(tái)模型首先需要明確，并不是所有的圓臺(tái)都有內(nèi)切球，如果一個(gè)圓臺(tái)又矮又胖，最多只能找到一個(gè)與上下底面相切的球，無(wú)法做到與所有母線相切，圓臺(tái)內(nèi)切球指的是與圓臺(tái)上下底面和每條母線均相切的球。如下圖所示：此時(shí)圓臺(tái)的上下底面圓的半徑與圓臺(tái)的高必須滿(mǎn)足一定關(guān)系，下面進(jìn)行詳細(xì)分析，為了分析方便，采用平面輔助法，上圖的軸截面如下：假設(shè)上底面圓半徑為r2，下底面圓半徑為r1，內(nèi)切球半徑為R，圓臺(tái)的高為h，母線長(zhǎng)為l。上圖軸截面是等腰梯形的內(nèi)切圓，點(diǎn)E，F(xiàn)，G為切點(diǎn)，可得如下全等關(guān)系：；由射影定理可得：【例1】（2024·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征求解，然后代入圓臺(tái)體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處，設(shè)球O與母線切于M點(diǎn)，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過(guò)A作，垂足為G，則，，所以，所以，所以，所以，所以該圓臺(tái)的體積為.【例2】若圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為1、2，、分別為圓臺(tái)上下底面圓心.若該圓臺(tái)存在內(nèi)切球，則該圓臺(tái)的體積為.【答案】【分析】作出圓臺(tái)的軸截面，然后根據(jù)題意可求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，從而可求出圓的高，進(jìn)而可求出圓臺(tái)的體積.【詳解】圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球與母線切于點(diǎn)，則，所以，過(guò)點(diǎn)作于，則，所以，所以圓臺(tái)的體積為，故答案為：【鞏固練習(xí)1】（2024·湖北咸寧·統(tǒng)考期末）已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【解析】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，，設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設(shè)臺(tái)體體積為，球體體積為，則.故選：B【鞏固練習(xí)2】（2023汕頭一模）如圖，在正四棱臺(tái)中，，，若半徑為r的球O與該正四棱臺(tái)的各個(gè)面均相切，則該球的表面積．【答案】【分析】作出正棱臺(tái)以及球的截面圖，作輔助線結(jié)合圓的切線性質(zhì)，求得球的半徑，即可求得答案.【詳解】設(shè)球O與上底面、下底面分別切于點(diǎn)，與面，面分別切于點(diǎn)，作出其截面如圖所示，則，，于是，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，則，由勾股定理可得︰,所以，所以該球的表面積【鞏固練習(xí)3】一個(gè)封閉的圓臺(tái)容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）的上底面半徑為2，下底面半徑為12，母線與底面所成的角為.在圓臺(tái)容器內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，則此正方體棱長(zhǎng)的最大值是（

）A． B．8 C． D．10【答案】B【分析】設(shè)圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的球心為，求得球的半徑，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，進(jìn)而求得正方體的最大棱長(zhǎng).【詳解】如圖所示，由題意知，母線與底面所成的角，可得，設(shè)圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于兩點(diǎn)，可知球的半徑，此時(shí)球的直徑為，即此時(shí)球與圓臺(tái)上底面不相切，因此圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的直徑為；若放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，要求正方體棱長(zhǎng)最大，需要正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，設(shè)正方體的最大棱長(zhǎng)為，滿(mǎn)足，解得.故選：B.

【題型14】多球相切問(wèn)題處理多個(gè)球的切接問(wèn)題時(shí)一般①通過(guò)連球心構(gòu)造“球心截面”降維解題②通過(guò)連球心構(gòu)造“球心幾何體”將抽象問(wèn)題具體化．【例1】已知正四面體的棱長(zhǎng)為12，先在正四面體內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及正四面體的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，正四面體，設(shè)點(diǎn)是底面的中心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接.則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點(diǎn)在線段上，分別設(shè)為.則易知，，設(shè)球的半徑分別為.因?yàn)?，根?jù)重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的體積為.【例2】（2024·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)校考二模）如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開(kāi)路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長(zhǎng)為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，過(guò)點(diǎn)作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椤?，所以，即，解得，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長(zhǎng)度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個(gè)球的表面積和為.【鞏固練習(xí)1】如圖，在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐中，大球內(nèi)切于該四棱錐，小球與大球及四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切，則小球的表面積為．【答案】【解析】設(shè)O為正方形ABCD的中心，AB的中點(diǎn)為M，連接PM，OM，PO，則，，，如圖，在截面PMO中，設(shè)N為球與平面PAB的切點(diǎn)，則N在PM上，且，設(shè)球的半徑為R，則，∵，∴，則，，∴，設(shè)球與球相切于點(diǎn)Q，則，設(shè)球的半徑為r，同理可得，∴，故小球的表面積.故答案為：【鞏固練習(xí)2】棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的表面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，由題意知球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，為的中心，易知面，為中點(diǎn)，球和球分別與面相切于和.易得，，，由，可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即小球的最大半徑為.所以小球的表面積最大值為.【鞏固練習(xí)3】如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個(gè)面均相切，若，則該模型中一個(gè)小球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長(zhǎng)為，高為，的中點(diǎn)為，連接，，，，，，則，正四面體的高.因?yàn)椋?，所以，設(shè)小球的半徑為，小球也可看作一個(gè)小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高，所以，所以小球的體積為.【鞏固練習(xí)4】南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中記載了“三角垛”．如圖，某三角垛最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，每個(gè)球的半徑相等，且相鄰的球都外切，記由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體的體積為，記能將該三角垛完全放入的四面體的體積為，則的最大值為．【答案】【分析】要使取得最大值，則使取最小值，通過(guò)計(jì)算出球心在一面的投影點(diǎn)到該邊的距離，可算出四面體的最小棱長(zhǎng)【詳解】設(shè)球的半徑為，由題意可知四面體為正四面體，邊長(zhǎng)為，所以四面體的高為，所以，要使取得最大值，則使取最小值，由題意可知此時(shí)該三角垛與四面體相切.等邊的高為，由余弦定理可算出正四面體任意兩面二面角大小的余弦值為，因?yàn)槲挥谌嵌忭數(shù)那蚺c三面都相切，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，如圖可得截面，若設(shè)則，所以，已知球心到面的距離為，則，在平面里過(guò)點(diǎn)作的垂線，所以，所以邊上三個(gè)球的球心在該面的投影與該邊和兩個(gè)頂點(diǎn)形成等腰梯形，底角為，上底為，高為，所以下底可計(jì)算得，所以的最小值為，所以的最大值為.【題型15】棱切球問(wèn)題方法：找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形【例1】已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，上底面中心為，下底面中心為，連接，則球的球心在的中點(diǎn)上，設(shè)球切棱于，切棱于，則、分別為所在棱的中點(diǎn)，由題意，①因?yàn)?，，又，所以，所以，解得，②?lián)立①②可得，所以球的半徑為，所以球O的表面積為【例2】已知球與一正方體的各條棱相切，同時(shí)該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（

）A．2：3 B．3：2 C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，因?yàn)榍蚺c正方體的各條棱相切，所以球的直徑大小為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)度，即半徑；正方體內(nèi)接于球，則球的直徑大小為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度，即半徑；所以球與球的表面積之比為.【例3】已知某棱長(zhǎng)為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，正方體中，棱長(zhǎng)為，所以，四面體是棱長(zhǎng)為的正四面體，當(dāng)正四面體的各條棱都與同一球面相切時(shí)，該球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，半徑為，所以，該球的體積為，因?yàn)檎拿骟w的體積為，所以，該球與此正四面體的體積之比為.故選：A【鞏固練習(xí)1】正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)為4，若球O與正四面體的每一條棱都相切，則球O的表面積為（

）A．2π B．8π C． D．12π【答案】B【解析】將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體球與正四面體的棱都相切．則球與正方體的內(nèi)切球，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，故選：B.【鞏固練習(xí)2】已知正三棱柱(底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直)，它的底面邊長(zhǎng)為2，若存在一個(gè)球與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為.【答案】2【解析】如圖，作正三棱柱的中截面正，作上下底面三角形內(nèi)切圓，與正三棱柱的所有棱都相切的球必過(guò)的外接圓和上下底面內(nèi)切圓，取上下底面內(nèi)切圓心?，連接，取中點(diǎn)，為的外心，以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱的球，于是，，所以，，故答案為：2【鞏固練習(xí)3】（廣東省茂名市五校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知正三棱柱的高等于1.一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形內(nèi)切圓，與正三棱柱的所有棱都相切的球必過(guò)△的外接圓和上下底面內(nèi)切圓，取上下底面內(nèi)切圓心、，連接，取中點(diǎn)，為△的外心，以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱所有棱都相切的球，∴，，，在直角△OMN中，由得，，，∴球的半徑，∴球的體積.故選：B.【鞏固練習(xí)4】（福建省三明市2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為.【答案】【解析】由題意三棱柱是正三棱柱，分別是棱柱下底面和上底面的中心，由對(duì)稱(chēng)性知中點(diǎn)為球的球心，取中點(diǎn)（為切點(diǎn)），則（等于到棱距離．設(shè)球半徑為，由正三角形性質(zhì)知，與底面垂直，則必與底面上直線垂直，因此，解得，球體積為．故答案為：．【題型16】構(gòu)造球解決空間中動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直角問(wèn)題【例1】在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在該正方體的表面上，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件得到點(diǎn)軌跡為以為直徑的球，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡是六個(gè)半徑為a的圓，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故P點(diǎn)軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點(diǎn)即為正方體中心，球心在每個(gè)面上的射影為面的中心，設(shè)在底面上的射影為，又正方體的棱長(zhǎng)為，所以，易知，，又動(dòng)點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡是六個(gè)半徑為a的圓，軌跡長(zhǎng)度為，【例2】（2024·廣東深圳一模改）如圖，八面體的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)．若點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的最小值為_(kāi)_______.

【答案】【分析】以AE為直徑作球N，A,E與球上任意一點(diǎn)均能構(gòu)成直角，故M點(diǎn)軌跡為球N與平面的交線.【詳解】記球心N在平面上的投影為K，故即點(diǎn)的軌跡以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段弧，到的距離為，弧上的點(diǎn)到的距離最小值為 【鞏固練習(xí)1】如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面EFGH上的動(dòng)點(diǎn)，若，存在唯一的點(diǎn)P滿(mǎn)足，則________.【答案】4【詳解】以AM為直徑構(gòu)造球，A,M與球上任意一點(diǎn)均能構(gòu)成直角，故球與平面EFGH相切時(shí)存在唯一P點(diǎn)，即半徑，設(shè)，則有,由勾股定理可得：，故【鞏固練習(xí)2】已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.【答案】【分析】由，故點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且