山西省大同市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué)

高一數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，，則（）A. B. C. D.3.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）A.3 B.2 C. D.5.已知函數(shù)在內(nèi)的一個零點附近的函數(shù)值如下表：則該零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.6設(shè)，，，則（）A. B. C. D.7.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，若，則可能為（）A. B. C. D.8.若函數(shù)且在上的值域為，則的值為（）A.或 B.0或 C.或 D.或二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列與的值相等的是（）A. B. C. D.10.已知，且，則（）A. B.C D.11.如圖，天津永樂摩天輪有著“天津之眼”的美譽，也是世界上唯一一座建在橋上的摩天輪.以摩天輪某座艙距離地面高度的最小值處為初始位置，摩天輪（勻速轉(zhuǎn)動）的轉(zhuǎn)動時間（單位：分鐘）與座艙距離地面的高度（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為，，，且開始轉(zhuǎn)動5分鐘后，座艙距離地面的高度為37.5米，轉(zhuǎn)動10分鐘后，座艙距離地面的高度為92.5米，則（）A.B.該摩天輪轉(zhuǎn)動一圈所用的時間為30分鐘C.D.該摩天輪座艙距離地面的最大高度為120米12.已知定義在上奇函數(shù)滿足，且當時，，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C. D.函數(shù)恰有8個零點三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.__________；__________.14.函數(shù)（）的圖象經(jīng)過定點，則點的坐標為______．15.已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為______．16.已知函數(shù)（）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知冪函數(shù)．（1）求的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．18.已知角是第一象限角，且滿足．（1）求，，的值；（2）求，的值．19.已知函數(shù)，．（1）求的值域；（2）求方程的解集．20.某企業(yè)制定了一個關(guān)于銷售人員的提成方案，如下表：銷售人員個人每月銷售額/萬元銷售額的提成比例不超過100萬元的部分5%超過100萬元的部分記銷售人員每月的提成為（單位：萬元），每月的銷售總額為（單位：萬元）．注：表格中的（）表示銷售額超過100萬元的部分．另附參考公式：銷售額×銷售額的提成比例＝提成金額．（1）試寫出提成關(guān)于銷售總額的關(guān)系式；（2）若某銷售人員某月的提成不低于7萬元，試問該銷售人員當月的銷售總額至少為多少萬元？21.已知函數(shù)（，）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是，將圖象上所有的點先向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù)．（1）求的解析式；（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍．22已知函數(shù)．（1）當時，求的零點；（2）設(shè)，若，，，，求的取值范圍．高一數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式化簡集合，再由交集運算可得.【解析】，，則．故選：A.2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩角和的正切公式可得.【解析】．故選：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“充分”和“必要”條件的定義判斷即可.【解析】因為，所以，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用扇形的面積公式計算可得答案.【解析】設(shè)該扇形的圓心角為，則，解得．故選：C.5.已知函數(shù)在內(nèi)的一個零點附近的函數(shù)值如下表：則該零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判定函數(shù)的單調(diào)性，然后將表中數(shù)據(jù)按照從小到大排列，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理即可求解.【解析】因為函數(shù)和都是上的單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).將表格中數(shù)據(jù)按照從小到大排列如下：由表格可得：.由函數(shù)零點存在性定理可得：函數(shù)有唯一零點，所在的區(qū)間為.故選：C.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷大小關(guān)系.【解析】因為，所以．故選：C7.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，若，則可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖求出，,，由求出，由求出即可求解.【解析】由圖可得，，則，解得，由，得，解得，因為，所以，或，，解得，或，，所以，符合題意．故選：D.8.若函數(shù)且在上的值域為，則的值為（）A.或 B.0或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，再分和兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的值域為，當時，在上單調(diào)遞減，則，解得，則，得，當時，在上單調(diào)遞增，則，解得或（舍去），則，得，綜上，或.故選：A.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列與的值相等的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求出結(jié)果，對比選項可得答案.【解析】，，，，．故選：AD.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，對于B，由基本不等式即可得到結(jié)果；對于C，由“1”的代換及基本不等式即可得到結(jié)果；對于D，由對數(shù)的運算及基本不等式即可求得結(jié)果.【解析】對于A，由題意可得，A正確.對于B，因為,，所以，當且僅當時，等號成立，B正確.對于C，，當且僅當，即時，等號成立，C錯誤.對于D，，D正確.故選：ABD11.如圖，天津永樂摩天輪有著“天津之眼”的美譽，也是世界上唯一一座建在橋上的摩天輪.以摩天輪某座艙距離地面高度的最小值處為初始位置，摩天輪（勻速轉(zhuǎn)動）的轉(zhuǎn)動時間（單位：分鐘）與座艙距離地面的高度（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為，，，且開始轉(zhuǎn)動5分鐘后，座艙距離地面的高度為37.5米，轉(zhuǎn)動10分鐘后，座艙距離地面的高度為92.5米，則（）A.B.該摩天輪轉(zhuǎn)動一圈所用的時間為30分鐘C.D.該摩天輪座艙距離地面的最大高度為120米【答案】BCD【解析】【分析】由即可求出，結(jié)合周期，即可求解.【解析】依題知，則，因為，所以，A錯誤；由，則周期為，則該摩天輪轉(zhuǎn)動一周需30分鐘，B正確；，由，可得，故座艙距離地面的最大高度為，CD正確.故選：BCD12.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C. D.函數(shù)恰有8個零點【答案】AC【解析】【分析】利用周期定義求出周期可判斷A；結(jié)合周期畫出的部分圖象可判斷B；利用周期計算可判斷C；畫出函數(shù)、的圖象可判斷D．【解析】對于A，由，得，可得的周期為4，A正確；對于B，當時，，則，得，結(jié)合周期畫出的部分圖象如圖所示，由圖可得在上單調(diào)遞增，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，因為，所以為偶函數(shù)，當時，令，得，畫出函數(shù)的圖象，因為，所以與在上的圖象只有8個零點，根據(jù)函數(shù)奇偶性可得恰有16個零點，D錯誤．故選：AC.【小結(jié)】關(guān)鍵點小結(jié)：D選項解題的關(guān)鍵點是畫出函數(shù)與的圖象解題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.__________；__________.【答案】①.②.1【解析】【分析】利用指數(shù)運算性質(zhì)，對數(shù)運算性質(zhì)，對數(shù)的概念進行運算即可．【解析】，.故答案為：；1．14.函數(shù)（）圖象經(jīng)過定點，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】借助對數(shù)函數(shù)定點問題，令，計算即可.【解析】令，得，所以點的坐標為．故答案為：.15.已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和偶函數(shù)的對稱性可解.【解析】當時，，令，得，解得，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以不等式的解集為．故答案為：16.已知函數(shù)（）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式化簡求解，即可利用整體法求解函數(shù)的單調(diào)性，即可得的范圍，進而可求解.【解析】，當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以（），解得（），由（）得，故的取值范圍為．故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17已知冪函數(shù)．（1）求的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．【答案】（1）（2）為奇函數(shù)，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求出可得答案；（2）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義判斷可得答案.【小問1解析】依題意可得，解得，所以；【小問2解析】為奇函數(shù)．理由如下：的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以為奇函數(shù)．18.已知角是第一象限角，且滿足．（1）求，，的值；（2）求，的值．【答案】（1），，（2），【解析】【分析】（1）解方程得，再由同角基本關(guān)系式求解；（2）根據(jù)二倍角公式和和差角公式求解.【小問1解析】因為角是第一象限角，所以，，．由，解得或（舍去），則，．【小問2解析】，，．19.已知函數(shù)，．（1）求值域；（2）求方程的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）換元令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求值域；（2）分和兩種情況，結(jié)合指、對數(shù)運算求解.【小問1解析】令，，因為，則，可得，所以，即的值域為．【小問2解析】由，即，當時，即，整理得，可得或，解得或；當時，即，整理得，可得，解得；綜上所述：方程的解集為．20.某企業(yè)制定了一個關(guān)于銷售人員的提成方案，如下表：銷售人員個人每月銷售額/萬元銷售額的提成比例不超過100萬元的部分5%超過100萬元的部分記銷售人員每月的提成為（單位：萬元），每月的銷售總額為（單位：萬元）．注：表格中的（）表示銷售額超過100萬元的部分．另附參考公式：銷售額×銷售額的提成比例＝提成金額．（1）試寫出提成關(guān)于銷售總額的關(guān)系式；（2）若某銷售人員某月的提成不低于7萬元，試問該銷售人員當月的銷售總額至少為多少萬元？【答案】（1）（2）135萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意寫出提成與銷售額的關(guān)系式即可；（2）根據(jù)關(guān)系式，通過求解對數(shù)不等式可得答案.【小問1解析】根據(jù)題意可知，當時，；當時，．故提成關(guān)于銷售總額的函數(shù)關(guān)系式為【小問2解析】當時，，則該銷售人員當月的銷售總額必定超過100萬元，令，得，解得，即該銷售人員當月的銷售總額至少為135萬元．21.已知函數(shù)（，）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是，將圖象上所有的點先向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù)．（1）求的解析式；（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）通過周期求出，利用圖象平移，借助偶函數(shù)求出;（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，借助基本不等式求解即可.【小問1解析】由，得，則，則，因為為偶函數(shù)，所以（），解得（），因為