數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：向量數(shù)量積的物理背景與定義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3平面向量的數(shù)量積2。3。1向量數(shù)量積的物理背景與定義5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.力使一個(gè)物體產(chǎn)生的位移為H,F與H的夾角為α，那么力F所做的功可表示為（)A.|F||H|sinαB.｜F|｜H｜c(diǎn)osαC。｜F｜｜H|tanαD。|F|｜H|cotα解析:由功的物理意義.答案：B2。以下命題中，不與“非零向量a、b夾角為鈍角”等價(jià)的是（）A。非零向量a在非零向量b上的正射影為負(fù)值B。非零向量a、b的內(nèi)積為負(fù)值C.非零向量a、b的長(zhǎng)度皆小于a—b的長(zhǎng)度D。非零向量a、b的平方和大于a+b的平方解析：由三角形法則知a、b、a—b恰構(gòu)成一個(gè)三角形，令|a｜＜｜b|＜｜a-b|,且a與b夾角為銳角即可否定C選項(xiàng)的條件.答案：D3。已知｜p｜=2,|q｜=3，且p與q的夾角為120°，則向量p在q方向上的正射影值為_____________；向量q在p方向上的正射影值為_____________.解析：向量p在q方向上的正射影值為|p｜sθ=2×cos120°=-1。同理,｜q｜c(diǎn)osθ=3×cos120°=.答案：—14.已知｜a|=10，｜b｜=12，且（3a)·（b）=-36，則a與b的夾角為____________。解析：（3a)·(b）=3｜a||b｜c(diǎn)os<a，b〉=3×10××12cos<a，b〉=—36,∴cos〈a，b〉=?！遚os〈a，b〉∈［0°，180°].∴cos〈a,b〉=120°。答案:120°10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.下列命題正確的是()A。若｜a｜=｜b｜，則a=bB.若a、b為非零向量，則|a—b｜＜｜a+b|C.若x、y滿足|x+y|=｜x|+｜y|，則x·y=|x||y｜D。若x、y為非零向量,則x與y同向的條件是存在實(shí)數(shù)k，使得x=ky解析：對(duì)于A，顯然不成立；對(duì)于B，｜a—b｜＜｜a+b|｜a-b|2＜|a+b｜2（a-b)2＜(a+b)2a2+b2—2a·b＜a2+b2+2a·ba·b＞0，所以當(dāng)a與b夾角為銳角時(shí)命題才能成立；對(duì)于C，｜x+y｜=|x|+|y||x+y|2=（｜x|+|y|)2（x+y）2=|x|2+|y｜2+2|x|｜y｜x2+y2+2x·y=x2+y2+2｜x｜|y|x·y=|x|｜y｜，所以該命題正確;對(duì)于D,當(dāng)且僅當(dāng)k為正實(shí)數(shù)時(shí)才能成立.答案：C2。已知a、b都是單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A。a·b=1B。a2=b2C.a∥ba=bD.a·b=0解析：?jiǎn)挝幌蛄渴侵改ｉL(zhǎng)為1的向量,對(duì)方向沒有要求，因此夾角也無從得知，故A、C、D不正確，而|a｜=，故B正確。答案：B3.在△ABC中，=a,=b,且a·b＞0，則△ABC為三角形.（）A.銳角B。直角C.鈍角D。等腰直角解析：∵·＞0，∴·＜0，即∠ABC為鈍角。答案：C4.若｜a|=3,|b|=4，a,b的夾角為135°，則a·b等于（）A。B.C。D。12解析：∵a·b=|a||b|cos135°=3×4×（）=。答案：B5。若|a｜=2，b=—2a，則a·b=______________解析：｜b｜=2|a｜=4，且b與a反向,∴<a，b〉=180°.∴a·b=｜a||b｜c(diǎn)os180°=2×4×(-1)=-8。答案:-86。已知|a|=4,｜b|=5，當(dāng)①a∥b；②a⊥b；③〈a，b〉=120°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積。解：①a∥b，則a與b同向時(shí)，〈a,b〉=0°，此時(shí)a·b=｜a|｜b|cos0°=4×5=20.a與b反向時(shí),〈a，b〉=180°，此時(shí)a·b=｜a||b｜c(diǎn)os180°=4×5×（—1)=-20。②a⊥b時(shí),a·b=0。③〈a，b>=120°,則a·b=|a|｜b｜s〈a,b〉=4×5×（)=—10。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后)1。對(duì)任意向量x和y，|x｜｜y｜與x·y的大小關(guān)系是（）A。|x｜|y|≤x·yB。|x||y｜＞x·yC。｜x||y｜≥x·yD。|x|｜y｜＜x·y解析：設(shè)x與y夾角為θ，則x·y=｜x|｜y|cosθ≤|x||y｜·1=｜x|｜y|.特別地，當(dāng)x或y等于0時(shí),x·y=|x｜|y｜=0；當(dāng)θ=0°時(shí)，x·y=｜x||y｜.答案:C2。在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4,則·等于（）A。16B.8C解析：∵∠C=90°，AC=BC=4,故△ABC為等腰直角三角形,∴BA=，∠ABC=45°?！唷?4×cos45°=16。答案：A3。（2006高考陜西卷，9）向量、滿足()·=0且，則△ABC為（）A.等邊三角形B.直角三角形C。等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形解析：由=∠A=60°。又由()·=0,知∠A的平分線與BC垂直，所以△ABC為等邊三角形.答案：A4。已知｜a｜=4，b在a方向上的正射影的數(shù)量為—8，則a·b等于（）A.16B。32C解析:∵ab=|a｜|b｜c(diǎn)os〈a，b〉=4×(-8）=-32。答案:D5。已知a·b=2，｜a｜=｜b|=，則下面正確的是(）A.〈a,b>=45°B。a⊥bC.a與b同向D。a與b反向解析：a·b=｜a||b|cos〈a，b〉，即2=cos〈a，b>,∴cos<a,b〉=1.∴〈a，b>=0°，即a∥b，且a與b同向。答案：C6。已知|a|=8，e為單位向量,當(dāng)它們之間夾角為60°時(shí)，a在e方向上的正射影為()A?！?B。4C解析：∵|a|cos60°=8×=4.答案:B7。若非零向量α，β滿足|α+β|=|α—β｜，則α與β所成角的大小為_____________.解析：設(shè)=α，=β,作平行四邊形ABCD，則α+β=,α—β=,∴||=｜|.∴平行四邊形ABCD為矩形.∴α⊥β。答案:90°8。已知a·b=,｜a|=4，〈a，b>=135°，則｜b|=______________。解析：a·b=|a|｜b|cos〈a,b〉，∴=4×｜b|cos135°.∴|b｜=6。答案:69.若四邊形ABCD滿足+=0,且·=0，試判斷四邊形ABCD的形狀。解：∵+=0，∴=,即AB∥DC且AB=DC,∵四邊形ABCD為平行四邊形，又∵·=0，∴⊥,即AB⊥BC?！嗨倪呅蜛BCD為矩形.10。已知△ABC中，=c，=a,=b，若|c｜=m，|b