初中數(shù)學(xué)同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題02點的坐標(biāo)與面積的五種考法含答案及解析

專題02點的坐標(biāo)與面積的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、三角形面積問題 2類型二、多邊形面積問題 4類型三、含參數(shù)面積問題 5類型四、動點問題 7類型五、直線分面積比問題 9壓軸能力測評 10三角形面積公式S＝12梯形面積公式S＝12坐標(biāo)平移1.點的平移：①將點(x,y)向右（或向左）平移a個單位可得對應(yīng)點(x+a,y)或(x-a,y)；②將點(x,y)向上（或下）平移b個單位，可得對應(yīng)點(x,y+b)或(x,y-b)；2.圖形平移：①把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位；②如果把圖形各個點的縱坐標(biāo)都加上（減去）一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位；坐標(biāo)軸上線段的長度的表示若A（a,0）,B（b,0）,則線段AB＝|a-b|;若A（0，a）,B（0,b）,則線段AB＝|a-b|;類型一、三角形面積問題在平面直角坐標(biāo)系中，解決三角形的面積問題，常常講面積問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，會用到點到坐標(biāo)軸的距離和點與點之間的距離問題，通過直接求解和間接求解兩種方法。常見的類型主要有：三角形的一邊在坐標(biāo)軸上、三角形的一邊平行于坐標(biāo)軸。三角形的三遍不與坐標(biāo)軸平行也不在坐標(biāo)軸上。例．如圖所示：

(1)寫出三角形頂點C與B的位置．(2)求出三角形的面積．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三角形，點A的坐標(biāo)是，點B的坐標(biāo)為，點C在x軸的負(fù)半軸，且(1)求點C的坐標(biāo)；(2)在y軸上是否存在點P，使得三角形的面積等于三角形的面積？若存在，求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由【變式訓(xùn)練2】．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位，建立平面直角坐標(biāo)系，三角形是三角形向右平移4個單位，向上平移1個單位后得到的，且三個頂點的坐標(biāo)分別為．(1)請畫出三角形；(2)寫出點A，B，C的坐標(biāo)；(3)求出三角形的面積．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形的三個頂點的坐標(biāo)分別是．將三角形向上平移5個單位長度，再向右平移8個單位長度，得到三角形．(1)寫出點的坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出三角形；(3)求三角形的面積．類型二、多邊形面積問題多邊形的面積計算，一般采用分割法或圍欄法。例．如圖，四邊形所在的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度.(1)建立以O(shè)為原點，邊所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，并寫出點C的坐標(biāo)；(2)求出四邊形的面積；(3)請畫出將四邊形向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度后所得的四邊形．【變式訓(xùn)練1】．已知的三個頂點的坐標(biāo)分別是，，．(1)在所給的直角坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出；(2)如果內(nèi)任意一點Mx,y，經(jīng)過平移后的對應(yīng)點為，將作同樣的平移得到，求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練2】．如圖，將向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到，(1)請畫出平移后的圖形；(2)寫出各頂點的坐標(biāo)；(3)連接和，求出四邊形的面積．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三點的坐標(biāo)分別為，然后依次連接得到三角形．(1)將三角形先向左平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到三角形，在平面直角坐標(biāo)系中畫出三角形．(2)在（1）中畫出的圖中，連接，點在軸的負(fù)半軸上，且三角形的面積與四邊形的面積相等，求點的坐標(biāo)．類型三、含參數(shù)面積問題此類問題中，點的坐標(biāo)可能含有參數(shù)，或者坐標(biāo)未知，通過用參數(shù)（或設(shè)未知數(shù)）來表示點的坐標(biāo)，從而表示出線段長，進(jìn)而表示出圖形面積，再結(jié)合題目給出的條件建立關(guān)系式來解決問題。例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B是x軸上兩點，，，現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到A，B兩點的對應(yīng)點C，D，連接．(1)直接寫出點C，D的坐標(biāo)．(2)若平移后得到的四邊形為平行四邊形，求出四邊形的面積．(3)在x軸上是否存在點F，使的面積是的面積的2倍？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】．在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為，現(xiàn)將線段先向上平移3個單位，再向右平移1個單位，得到線段，連接．(1)如圖1，求點C，D的坐標(biāo)及四邊形的面積；(2)如圖1，在y軸上是否存在點P，連接，使？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在；(3)如圖2，在直線上是否存在點Q，連接，使，若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，其中滿足，現(xiàn)將線段先向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到線段．

(1)直接寫出點的坐標(biāo)：______，______，_______，_______；(2)若點在軸上，且使得三角形的面積是三角形面和的倍，求點坐標(biāo)；(3)如圖2，點是三角形內(nèi)部的一個動點，連接，若三角形與三角形面積之比為，求之間滿足的關(guān)系式．【變式訓(xùn)練3】．如圖所示，三個頂點均在平面直角坐標(biāo)系的格點上．(1)若把向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度得到，在圖中畫出，并直接寫出三個頂點坐標(biāo)；(2)求出的面積；(3)點為軸上一點，且的面積是面積的一半，求點坐標(biāo)．類型四、動點問題動點類問題，題目沒有明確坐標(biāo)的情況下，先設(shè)好坐標(biāo)，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)、，平行線的性質(zhì)、平移規(guī)律，分類思想、三角形的面積問題、平面直角坐標(biāo)點的坐標(biāo)特征、線段長的求法，點的坐標(biāo)的確定、三角形四邊形面積的計算等知識點進(jìn)行求解。例．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為，，且，滿足．現(xiàn)同時將點，分別向上平移2個單位，再向左平移2個單位，分別得到點，的對應(yīng)點，，連接，．(1)請直接寫出的坐標(biāo)__________，的坐標(biāo)__________；(2)如圖2，點是線段上的一個動點，點是線段的中點，連接，，當(dāng)點在線段上移動時（不與，重合），請找出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點，使的面積與的面積相等？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．【變式訓(xùn)練1】．在平面直角坐標(biāo)系中，，若x，y滿足，(1)寫出點A，B的坐標(biāo)；(2)過y軸上點作直線l交直線于點P，若，求點P的坐標(biāo)；(3)過y軸上點作直線，點為直線t上一動點，己知點，若，求出m的取值范圍．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別為Aa,0，，，其中，滿足，與軸交于點．(1)求，的值及點的坐標(biāo)；(2)如圖2，是軸上位于上方的一動點，①連接，，，當(dāng)和的面積相等時，求點的坐標(biāo)；②如圖3，過點作，平分，平分，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸上，點在軸上，，且，．(1)直接寫出點，，的坐標(biāo)；(2)若動點從原點O出發(fā)沿軸以每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動，當(dāng)直線把四邊形分成面積相等的兩部分時，求點的運(yùn)動時間；(3)在（2）的條件下，在軸上是否存在一點，連接，使的面積與四邊形的面積相等？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型五、直線分面積比問題例．在平面直角坐標(biāo)系中，Aa,0，，滿足，過點C作軸于點B．(1)如圖1，連接，求三角形的面積．(2)如圖2，連接，若過點B作交y軸于點D，且，分別平分，，求？(3)如圖3，過C作垂直于點D，連接，點P從D點出發(fā)，沿“”移動，若點P的速度為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間t秒，當(dāng)P運(yùn)動到什么位置時，直線將四邊形面積分為兩部分？求出的坐標(biāo)？【變式訓(xùn)練1】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點在軸正半軸上，平移線段到線段，使點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，連接，．(1)點的坐標(biāo)為________，點的坐標(biāo)為________；(2)如圖2，連接，與軸交于點，連接，，求與的數(shù)量關(guān)系；(3)在2的條件下，若的面積為7，在軸上是否存在一點，使與的面積之比為？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，．將點A向下平移個單位，B點先向右平移4個單位，再向下平移個單位，分別得到點，．(1)若與坐標(biāo)軸平行，則m與n的數(shù)量關(guān)系是；(2)分別過，作y軸的垂線，垂足分別為M，N，且．①求四邊形的面積；②連接，，，線段交x軸于點C，若OC將三角形的面積分成的兩部分，求點C的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，連接，將向下平移5個單位得線段，其中點A的對應(yīng)點為點C．(1)填空，點C的坐標(biāo)為_______，點D的坐標(biāo)為_______．線段平移到掃過的面積為_______．(2)若點P是y軸上的動點，連接．①如圖（1），當(dāng)點P在y軸正半軸時，線段與線段相交于點E，用等式表示三角形的面積與三角形的面積之間的關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)將四邊形的面積分成2：3兩部分時，求點P的坐標(biāo)．1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點，，．(1)點C到y(tǒng)軸的距離為______；(2)求的面積；(3)若點P的坐標(biāo)為，①直接寫出線段的長為______；（用含m的式子表示）②當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)．2．已知四邊形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將四邊形先向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到四邊形．

(1)畫出四邊形；(2)求四邊形的面積．3．如圖1，，，我們能夠容易地計算出的面積，根據(jù)所給的平面直角坐標(biāo)系探究下列問題．（說明：三角形記作）【思維啟迪】．（1）若點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，則①的面積是________，的面積是________；②的面積與的面積之間的數(shù)量關(guān)系是________；③，，三點所在的直線與x軸的位置關(guān)系是________．請利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，嘗試解決以下問題．【學(xué)以致用】（2）是軸上方一點，點的坐標(biāo)是，若的面積與的面積相等，且，求點的坐標(biāo)．【發(fā)散思維】（3）如圖2，若點的坐標(biāo)是，連接，點在軸上，若的面積與的面積相等，請直接寫出點的坐標(biāo)，4．綜合探究如1圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Aa,0，，且滿足，過點作軸于點．(1)求，的值；(2)求的面積；(3)如2圖，若過點作交軸于點，且，分別平分和，求的度數(shù)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度）．

(1)將沿x軸正方向平移3個單位長度，再沿y軸負(fù)方向平移4個單位長度得到，請畫出；(2)求出四邊形的面積；(3)在y軸上是否存在點P，使得的面積為4？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．已知點，點，且，滿足．(1)______，______；(2)如圖1，點，連接交于點，連接，．求三角形與三角形的面積差；(3)如圖2，點在第二象限，且為直線左側(cè)一點，求三角形的面積？7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為，且m，n滿足，點C的坐標(biāo)為0,3．(1)直接寫出m，n的值；(2)求三角形的面積；(3)若動點P在坐標(biāo)軸上運(yùn)動，是否存在點P，使得，若存在請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．8．作圖題

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．(1)作出向左平移3個單位長度，向下平移4個單位長度的，并寫出三個頂點的坐標(biāo)：（________），（________），（________）；(2)求四邊形的面積9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別是，B?4,?1，，將平移，使點與點重合，得到，點，的對應(yīng)點分別為、．(1)畫出并寫出點、的坐標(biāo)；(2)求的面積；(3)若直線經(jīng)過點且與軸垂直，點在直線l上，且的面積等于1，直接寫出點的坐標(biāo)．10．已知：點(1)在坐標(biāo)系中描出各點，畫出三角形．(2)求三角形的面積（三角形的面積表示為）(3)若點在軸上，且與的面積相等，求點的坐標(biāo)．

專題02點的坐標(biāo)與面積的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、三角形面積問題 1類型二、多邊形面積問題 6類型三、含參數(shù)面積問題 10類型四、動點問題 16類型五、直線分面積比問題 24壓軸能力測評 34三角形面積公式S＝12梯形面積公式S＝12坐標(biāo)平移1.點的平移：①將點(x,y)向右（或向左）平移a個單位可得對應(yīng)點(x+a,y)或(x-a,y)；②將點(x,y)向上（或下）平移b個單位，可得對應(yīng)點(x,y+b)或(x,y-b)；2.圖形平移：①把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位；②如果把圖形各個點的縱坐標(biāo)都加上（減去）一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位；坐標(biāo)軸上線段的長度的表示若A（a,0）,B（b,0）,則線段AB＝|a-b|;若A（0，a）,B（0,b）,則線段AB＝|a-b|;類型一、三角形面積問題在平面直角坐標(biāo)系中，解決三角形的面積問題，常常講面積問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，會用到點到坐標(biāo)軸的距離和點與點之間的距離問題，通過直接求解和間接求解兩種方法。常見的類型主要有：三角形的一邊在坐標(biāo)軸上、三角形的一邊平行于坐標(biāo)軸。三角形的三遍不與坐標(biāo)軸平行也不在坐標(biāo)軸上。例．如圖所示：

(1)寫出三角形頂點C與B的位置．(2)求出三角形的面積．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)圖形，直接寫出點C和點B的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知：；（2）解：三角形的面積．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，利用網(wǎng)格求三角形面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點坐標(biāo)的表示方法．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三角形，點A的坐標(biāo)是，點B的坐標(biāo)為，點C在x軸的負(fù)半軸，且(1)求點C的坐標(biāo)；(2)在y軸上是否存在點P，使得三角形的面積等于三角形的面積？若存在，求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查平面直角坐標(biāo)中圖形的與坐標(biāo)，掌握平面直角坐標(biāo)系的特點，點坐標(biāo)與線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)，線段AC的長即可求解；（2）根據(jù)題意可求出，，結(jié)合幾何圖形面積的計算方法即可求解．【詳解】（1）∵點A的坐標(biāo)是∴，∵，，∴.∴點C的坐標(biāo)是.（2）存在，如圖所示∵，，∴.∴設(shè)，則，∴，∴，解得：，∴或.【變式訓(xùn)練2】．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位，建立平面直角坐標(biāo)系，三角形是三角形向右平移4個單位，向上平移1個單位后得到的，且三個頂點的坐標(biāo)分別為．(1)請畫出三角形；(2)寫出點A，B，C的坐標(biāo)；(3)求出三角形的面積．【答案】(1)見詳解(2)點、、的坐標(biāo)分別為：(3)【分析】本題考查作圖-平移變換、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）利用平移的性質(zhì)即可解答；（2）利用平移的性質(zhì)即可解答；（3）利用三角形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：將三角形向左平移4個單位長度，向下平移1個單位，即為求作的三角形，如圖所示：（2）解：∵是由是向右平移4個單位長度，向上平移1個單位后得到的后得到的，且，∴點、、的坐標(biāo)分別為：．（3）解：三角形的面積．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形的三個頂點的坐標(biāo)分別是．將三角形向上平移5個單位長度，再向右平移8個單位長度，得到三角形．(1)寫出點的坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出三角形；(3)求三角形的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)8.5【分析】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．（1）直接寫出點的坐標(biāo)即可；（2）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；（3）直接利用矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）由圖形與坐標(biāo)可得：．（2）三角形如圖所示．（3）．類型二、多邊形面積問題多邊形的面積計算，一般采用分割法或圍欄法。例．如圖，四邊形所在的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度.(1)建立以O(shè)為原點，邊所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，并寫出點C的坐標(biāo)；(2)求出四邊形的面積；(3)請畫出將四邊形向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度后所得的四邊形．【答案】(1)畫圖見解析，(2)9(3)畫圖見解析【分析】此題考查了平面直角坐標(biāo)系及點的坐標(biāo)、圖形的平移作圖、網(wǎng)格中圖形的面積等知識，準(zhǔn)確建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．（1）按照要求建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)建立的坐標(biāo)系寫出點C的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)四邊形的面積求出面積即可；（3）按照平移規(guī)律找出、、、平移后的對應(yīng)的、、、，再依次連接即可．【詳解】（1）解：建立平面直角坐標(biāo)系如下圖：由圖可得：點C的坐標(biāo)為；（2）解：由圖可得：四邊形的面積；（3）解：如圖所示，四邊形即為所求．【變式訓(xùn)練1】．已知的三個頂點的坐標(biāo)分別是，，．(1)在所給的直角坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出；(2)如果內(nèi)任意一點Mx,y，經(jīng)過平移后的對應(yīng)點為，將作同樣的平移得到，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)7【分析】此題考查了平移變換，割補(bǔ)法求面積，（1）根據(jù)點A，B，C三點的坐標(biāo)作圖即可；（2）由點M的坐標(biāo)變化得到點的變化規(guī)律，確定點，，的坐標(biāo)，再畫出，然后利用割補(bǔ)法求解即可．【詳解】（1）如圖所示，即為所求；（2）如圖所示，Mx,y經(jīng)過平移后的對應(yīng)點為，作同樣的平移∴向右平移一個單位，向下平移2個單位得到，∴四邊形的面積．【變式訓(xùn)練2】．如圖，將向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到，(1)請畫出平移后的圖形；(2)寫出各頂點的坐標(biāo)；(3)連接和，求出四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)，，(3)【分析】本題考查作圖平移變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，學(xué)會用割補(bǔ)法求四邊形面積．（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點，，即可；（2）根據(jù)，，的位置寫出坐標(biāo)即可；（3）把四邊形的面積看成長方形面積減去周圍的四個三角形面積即可．【詳解】（1）如圖，△即為所求；（2）由（1）得，，；（3）四邊形的面積為．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三點的坐標(biāo)分別為，然后依次連接得到三角形．(1)將三角形先向左平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到三角形，在平面直角坐標(biāo)系中畫出三角形．(2)在（1）中畫出的圖中，連接，點在軸的負(fù)半軸上，且三角形的面積與四邊形的面積相等，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)圖見解析(2)點的坐標(biāo)為【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—平移，坐標(biāo)與圖形：（1）先根據(jù)“上加下減，左減右加”的平移規(guī)律得到A、B、C對應(yīng)點的坐標(biāo)，描出，再順次連接即可；（2）利用割補(bǔ)法求出，則，設(shè)點，則，解之即可．【詳解】（1）解：∵將三角形先向左平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到三角形，且，平移后的坐標(biāo)為．平移后的三角形，如圖所示：（2）解：，．點在軸的負(fù)半軸上，設(shè)點，∴，解得，點的坐標(biāo)為．類型三、含參數(shù)面積問題此類問題中，點的坐標(biāo)可能含有參數(shù)，或者坐標(biāo)未知，通過用參數(shù)（或設(shè)未知數(shù)）來表示點的坐標(biāo)，從而表示出線段長，進(jìn)而表示出圖形面積，再結(jié)合題目給出的條件建立關(guān)系式來解決問題。例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B是x軸上兩點，，，現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到A，B兩點的對應(yīng)點C，D，連接．(1)直接寫出點C，D的坐標(biāo)．(2)若平移后得到的四邊形為平行四邊形，求出四邊形的面積．(3)在x軸上是否存在點F，使的面積是的面積的2倍？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】本題考查了平移、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、點的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的性質(zhì)．（1）直接根據(jù)變化情況，寫出兩點坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；（3）根據(jù)的面積是的面積的2倍求出的長，進(jìn)而可求出點F的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵，，現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到A，B兩點的對應(yīng)點C，D，∴，；故答案為：，；（2）；（3）存在，∵，，∴，∵的面積是的面積的2倍∴∴∴．∵，∴點F的坐標(biāo)為或．【變式訓(xùn)練1】．在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為，現(xiàn)將線段先向上平移3個單位，再向右平移1個單位，得到線段，連接．(1)如圖1，求點C，D的坐標(biāo)及四邊形的面積；(2)如圖1，在y軸上是否存在點P，連接，使？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在；(3)如圖2，在直線上是否存在點Q，連接，使，若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，18(2)存在，或(3)存在，或．【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)、三角形的面積計算、點的坐標(biāo)特征等知識點，根據(jù)平移變換的性質(zhì)求出點C，D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平移的性質(zhì)求出點C，D的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的面積公式求出四邊形的面積；（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）根據(jù)直線上點的坐標(biāo)特征設(shè)出點Q的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：∵點A，B的坐標(biāo)分別為，線段先向上平移3個單位，再向右平移1個單位，得到線段，∴點C的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為，，∴四邊形的面積．（2）解：存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為，由題意得：，解得：，∴點P的坐標(biāo)為或．（3）解：設(shè)點Q的坐標(biāo)為，則，由題意得：，解得：或，則點Q的坐標(biāo)為2,3或．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，其中滿足，現(xiàn)將線段先向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到線段．

(1)直接寫出點的坐標(biāo)：______，______，_______，_______；(2)若點在軸上，且使得三角形的面積是三角形面和的倍，求點坐標(biāo)；(3)如圖2，點是三角形內(nèi)部的一個動點，連接，若三角形與三角形面積之比為，求之間滿足的關(guān)系式．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的面積公式，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到m，n之間滿足的關(guān)系．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，∴，∵將線段先向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到線段，∴；故答案為：；（2）解：由（1）可知，，∴，∴，∵，∴，且點在軸上，，∴，∴，∵，∴；（3）解：已知，如圖所示，連接，，

∴，，∵三角形與三角形面積之比為，∴，化解得：或者或者．【變式訓(xùn)練3】．如圖所示，三個頂點均在平面直角坐標(biāo)系的格點上．(1)若把向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度得到，在圖中畫出，并直接寫出三個頂點坐標(biāo)；(2)求出的面積；(3)點為軸上一點，且的面積是面積的一半，求點坐標(biāo)．【答案】(1)圖形見解析，(2)6(3)或【分析】本題考查的是作圖-平移變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點即可；（2）利用三角形面積公式求解；（3）設(shè)點，根據(jù)面積公式建立方程，解方程即可．【詳解】（1）解：如下圖所示，由圖知三個頂點坐標(biāo)為：；（2）解：；（3）解：設(shè)點，根據(jù)題意得：，解得：，或，∴或．類型四、動點問題動點類問題，題目沒有明確坐標(biāo)的情況下，先設(shè)好坐標(biāo)，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)、，平行線的性質(zhì)、平移規(guī)律，分類思想、三角形的面積問題、平面直角坐標(biāo)點的坐標(biāo)特征、線段長的求法，點的坐標(biāo)的確定、三角形四邊形面積的計算等知識點進(jìn)行求解。例．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為，，且，滿足．現(xiàn)同時將點，分別向上平移2個單位，再向左平移2個單位，分別得到點，的對應(yīng)點，，連接，．(1)請直接寫出的坐標(biāo)__________，的坐標(biāo)__________；(2)如圖2，點是線段上的一個動點，點是線段的中點，連接，，當(dāng)點在線段上移動時（不與，重合），請找出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點，使的面積與的面積相等？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；點M的坐標(biāo)為或或或【分析】本題考查了實數(shù)的非負(fù)性，平行線的性質(zhì)，平移規(guī)律，分類思想，熟練掌握實數(shù)的非負(fù)性，平行線的性質(zhì)，平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）過點P作，利用平行線的性質(zhì)即可得三角的關(guān)系；（3）分點M在x軸上與M在y軸上兩種情況考慮即可．【詳解】（1）解：由于，且，所以，即，∴；故答案為：；（2）解：；證明如下：如圖，過點P作，；點，分別向上平移2個單位，再向左平移2個單位，分別得到其對應(yīng)點，，，，；；而，；（3）解：存在；①當(dāng)點M在x軸上時，由平移知，，，；設(shè)點M坐標(biāo)為，則，，解得：或，故或；②當(dāng)點M在y軸上時，設(shè)，則，，，解得：或，即或；綜上，點M的坐標(biāo)為或或或．【變式訓(xùn)練1】．在平面直角坐標(biāo)系中，，若x，y滿足，(1)寫出點A，B的坐標(biāo)；(2)過y軸上點作直線l交直線于點P，若，求點P的坐標(biāo)；(3)過y軸上點作直線，點為直線t上一動點，己知點，若，求出m的取值范圍．【答案】(1)A的坐標(biāo)為，點B的標(biāo)為(2)點P坐標(biāo)為(3)或【分析】本題主要考查了三角形的面積問題、平面直角坐標(biāo)點的坐標(biāo)特征，熟練掌握以上知識和分類討論是解題關(guān)鍵．（1）利用二次根式和絕對值的非負(fù)性即可求出x、y，進(jìn)而求得A、B坐標(biāo)；（2）先求出面積，再得出面積，的底是，高是點P的橫坐標(biāo)的長度，進(jìn)而利用面積公式求出或1，進(jìn)而求解（3）根據(jù)t經(jīng)過的一二三象限分類討論即可，根據(jù)范圍列出不等式求解．【詳解】（1）解：，點A的坐標(biāo)為，點B的標(biāo)為（2）解：如圖，過點P作軸于點E，過點P作軸于點F，由，則或，．，如圖，過點P作軸于點軸于點，同理可得，綜上所述，點P得到坐標(biāo)為．（3）解：或．如圖（2），由直線，且過點C，可得直線t的方程：，又在直線t上，①當(dāng)在第一象限，，得，，又，無解．②當(dāng)在第二象限，，得，，又，．③當(dāng)在第三象限，得，同理可得；又；．綜上所述：或．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別為Aa,0，，，其中，滿足，與軸交于點．(1)求，的值及點的坐標(biāo)；(2)如圖2，是軸上位于上方的一動點，①連接，，，當(dāng)和的面積相等時，求點的坐標(biāo)；②如圖3，過點作，平分，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)，點的坐標(biāo)為(2)①點的坐標(biāo)為；②【分析】本題是三角形綜合題，考查的是平行線的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，由非負(fù)性可求，，的值，再由列出等式，即可求解；（2）①過點B作，由可得，從而得出，求得，可得，得出點的坐標(biāo)為；②過點作，交軸于點，則，由可得，再由得出，從而可得，再由EM平分可得，再由AM平分可得，從而得出．【詳解】（1）解：連接，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，依題可得，解得，∴，∵∴即∴，∴點的坐標(biāo)為，（2）解：①過點B作，∵∴∴∴∴∴∴點的坐標(biāo)為，②過點作，交軸于點，則∵，∴∵∴∴∵EM平分∴∴∵AM平分∴∴【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸上，點在軸上，，且，．(1)直接寫出點，，的坐標(biāo)；(2)若動點從原點O出發(fā)沿軸以每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動，當(dāng)直線把四邊形分成面積相等的兩部分時，求點的運(yùn)動時間；(3)在（2）的條件下，在軸上是否存在一點，連接，使的面積與四邊形的面積相等？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，；(2)4(3)，【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了線段長的求法，點的坐標(biāo)的確定，三角形四邊形面積的計算，解本題的關(guān)鍵是面積的計算．（1）根據(jù)線段的長和線段的特點確定出點的坐標(biāo)；（2）先求出，從而得到，求出，即可得到答案；（3）根據(jù)四邊形的面積求出的面積是32，最后求出點Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵點A、C在x軸上，．∴，∵C在y軸上，，∴，∵，，∴；（2）解：∵，設(shè)運(yùn)動時間t秒，∴，

∴，∴；（3）解：設(shè)，∵，∴

∴，，

∴，．類型五、直線分面積比問題例．在平面直角坐標(biāo)系中，Aa,0，，滿足，過點C作軸于點B．(1)如圖1，連接，求三角形的面積．(2)如圖2，連接，若過點B作交y軸于點D，且，分別平分，，求？(3)如圖3，過C作垂直于點D，連接，點P從D點出發(fā)，沿“”移動，若點P的速度為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間t秒，當(dāng)P運(yùn)動到什么位置時，直線將四邊形面積分為兩部分？求出的坐標(biāo)？【答案】(1)4(2)(3)或【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求解的值，可得的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得三角形的面積；（2）過E作，如圖2，證明，可得，，證明，從而可得結(jié)論；（3）當(dāng)P在時，如圖①，則，由題意得，當(dāng)P在上時，，如圖②，，再解方程可得答案；【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，∵，∴，，，∴三角形的面積；（2）解：過E作，如圖2，∵，∴，如圖所示，∵，分別平分，，∴，，∵軸，∴，∵軸，，∴，，即，∴．（3）解：當(dāng)P在時，如圖①，則，由題意得，解得，即．當(dāng)P在上時，，如圖②，由題意得，解得，∴，即，綜上，或．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點在軸正半軸上，平移線段到線段，使點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，連接，．(1)點的坐標(biāo)為________，點的坐標(biāo)為________；(2)如圖2，連接，與軸交于點，連接，，求與的數(shù)量關(guān)系；(3)在2的條件下，若的面積為7，在軸上是否存在一點，使與的面積之比為？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，角的和差，割補(bǔ)法求圖形面積等知識，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合．（1）設(shè)點，則可確定平移，從而可確定點D的坐標(biāo)，由求得a的值，則可得C、D的坐標(biāo)；（2）由平移得，得，結(jié)合已知與圖形得；再由，可得，此即與的數(shù)量關(guān)系；（3）由已知面積關(guān)系可求得面積；分點P在x軸上方與下方兩種情況，利用面積關(guān)系求得的長，即可求得點P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)點，由于平移線段到線段，點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，所以點B向左平移3個單位長度再向上平移a個單位長度得到點C，點A按此平移得到點D，點D的坐標(biāo)為，由于，則，解得：，則點C的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為；故答案為：0,4，；（2）解：由平移性質(zhì)知：，，，，；，，即；（3）解：由（1）知，；，；①當(dāng)點P在x軸上方時，如圖1，由于，解得：，；②當(dāng)點P在x軸下方時，如圖2，由于，解得：，；綜上，點P的坐標(biāo)為或．【變式訓(xùn)練2】．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，．將點A向下平移個單位，B點先向右平移4個單位，再向下平移個單位，分別得到點，．(1)若與坐標(biāo)軸平行，則m與n的數(shù)量關(guān)系是；(2)分別過，作y軸的垂線，垂足分別為M，N，且．①求四邊形的面積；②連接，，，線段交x軸于點C，若OC將三角形的面積分成的兩部分，求點C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①四邊形的面積；②點C的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了坐標(biāo)的平移，兩點間的距離，三角形面積等知識，（1）先表示出，，根據(jù)與坐標(biāo)軸平行可知，的橫坐標(biāo)相等或者縱坐標(biāo)相等，據(jù)此作答即可；（2）①結(jié)合，表示出，，畫出圖形，可知四邊形是梯形，則面積可求；②，，分若和若兩種情況討論，解答即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得：，，∵與坐標(biāo)軸平行，且，∴，即：，故答案為：；（2）①∵，∴，由平移得，，∴四邊形的面積．②，，分兩種情況：若，則，解得：．∴,，∴，解得：，∴．若，則，解得：，∴，．∴，解得：，∴．綜上所述：點C的坐標(biāo)為或．【變式訓(xùn)練3】．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，連接，將向下平移5個單位得線段，其中點A的對應(yīng)點為點C．(1)填空，點C的坐標(biāo)為_______，點D的坐標(biāo)為_______．線段平移到掃過的面積為_______．(2)若點P是y軸上的動點，連接．①如圖（1），當(dāng)點P在y軸正半軸時，線段與線段相交于點E，用等式表示三角形的面積與三角形的面積之間的關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)將四邊形的面積分成2：3兩部分時，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)，，20(2)①②坐標(biāo)為或【分析】此題是幾何變換綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)，三角形的面積公式，用分類討論的思想是解本題的關(guān)鍵．（1）由平移的性質(zhì)得出點坐標(biāo)，，再求出，即可得出結(jié)論；（2）①先求出，再用三角形的面積公式得出，，即可得出結(jié)論；②分交線段和交兩種情況，利用面積之差求出和，最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：點，將向下平移5個單位得線段，，即：，由平移得，，四邊形是長方形，，，，，即：線段平移到掃過的面積為20，故答案為：，，20；（2）①如圖1，過點作于，由平移知，軸，，，由平移知，，，，，即：；②（?。┤鐖D2，當(dāng)交線段于，且將四邊形分成面積為兩部分時，連接，延長交軸于點，則，，連接，則，將四邊形的面積分成兩部分，，由①知，，，，，．（ⅱ）如圖3，當(dāng)交于點，將四邊形分成面積為兩部分時，連接，延長交軸于點，則，，連接，則，將四邊形的面積分成兩部分，，，過點作交的延長線于點，，，，，，，，即：點坐標(biāo)為或．1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點，，．(1)點C到y(tǒng)軸的距離為______；(2)求的面積；(3)若點P的坐標(biāo)為，①直接寫出線段的長為______；（用含m的式子表示）②當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)1(2)(3)①；②或【分析】本題考查圖形與坐標(biāo)，結(jié)合圖形，理解題意是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點的坐標(biāo)即可求解；（2）利用長方形減去周圍三個小直角三角形的面積即可求解；（3）①根據(jù)，兩點坐標(biāo)即可求解；②根據(jù)，，，列出方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點的坐標(biāo)為，∴點到軸的距離為1，故答案為：1；（2）的面積為；（3）①∵，，∴，故答案為：；②∵，，，∴，即，∴或，∴點的坐標(biāo)為或．2．已知四邊形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將四邊形先向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到四邊形．

(1)畫出四邊形；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平移作圖，在網(wǎng)格中求四邊形的面積．（1）分別作出各頂點的對應(yīng)點，依次連接即可解答；（2）運(yùn)用割補(bǔ)法即可解答．【詳解】（1）解：如圖，四邊形為所求；

（2）解：四邊形的面積．3．如圖1，，，我們能夠容易地計算出的面積，根據(jù)所給的平面直角坐標(biāo)系探究下列問題．（說明：三角形記作）【思維啟迪】．（1）若點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，則①的面積是________，的面積是________；②的面積與的面積之間的數(shù)量關(guān)系是________；③，，三點所在的直線與x軸的位置關(guān)系是________．請利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，嘗試解決以下問題．【學(xué)以致用】（2）是軸上方一點，點的坐標(biāo)是，若的面積與的面積相等，且，求點的坐標(biāo)．【發(fā)散思維】（3）如圖2，若點的坐標(biāo)是，連接，點在軸上，若的面積與的面積相等，請直接寫出點的坐標(biāo)，【答案】（1）①4，4；②；③平行；（2）或；（3）點或【分析】本題考查了圖形與坐標(biāo)，涉及三角形面積在坐標(biāo)系中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對以上知識的靈活運(yùn)用．（1）根據(jù)三角形在坐標(biāo)系的特征，利用三角形的面積來求坐標(biāo)；（2）設(shè)點坐標(biāo)：，在平面直角坐標(biāo)系中，取上一點，連接，，過點作軸垂線交軸于點，過作軸垂線交軸于，，，點在所在的直線上，，，分類列方程求解即可求得點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點，，，代值求解得到或，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）①過點作的高，長度為點的縱坐標(biāo)2，，的高與的高相等，且長度為2，，故答案為：4，4；②，，故答案為：相等；③，，三點的縱坐標(biāo)都是2，，，三點所在的直線與軸的位置關(guān)系是：平行，故答案為：平行；（2）設(shè)點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，取一點，連接，，過點作軸垂線交軸于點，過作軸垂線交軸于，如圖所示：，，點的坐標(biāo)是，即，，即的縱坐標(biāo)，則點在所在的直線上，又，，如圖所示：或，解得或，點的坐標(biāo)為或；（3）設(shè)點，如圖所示：，，點的坐標(biāo)是，，，，，解得，則或，點的坐標(biāo)點0,1或0,3．4．綜合探究如1圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Aa,0，，且滿足，過點作軸于點．(1)求，的值；(2)求的面積；(3)如2圖，若過點作交軸于點，且，分別平分和，求的度數(shù)．【答案】(1)，(2)4(3)【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，角平分線的定義．也考查了平行線的性質(zhì)和三角形面積公式．（1）根據(jù)非負(fù)性，求出的值即可；（2）根據(jù)三角形面積公式計算即可．（3）作，如圖②，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，則，而，，所以，于是，則．【詳解】（1）解：，，，∴，；（2）由（1）知，，，軸，∴，，，；（3）解：作，如圖，，，，，，，分別平分，，，，，，，，．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度）．

(1)將沿x軸正方向平移3個單位長度，再沿y軸負(fù)方向平移4個單位長度得到，請畫出；(2)求出四邊形的面積；(3)在y軸上是否存在點P，使得的面積為4？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)16(3)存在，或．【分析】本題考查了平移作圖，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是要掌握平移圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離，按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．（1）根據(jù)平移性質(zhì)求解即可；（2）利用平行四邊形面積公式求解即可；（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為0,m，根據(jù)的面積為4列方程求解即可．【詳解】（1）如圖所示，即為所求