初中數(shù)學(xué)同步八年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題07三角形的角的模型九種考法含答案及解析

專題07三角形的角的模型九種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 4類型一、雙垂直模型 4類型二、A字模型 5類型三、雙內(nèi)角平分線模型 6類型四、內(nèi)外角平分線模型 8類型五、雙外角平分線模型 10類型六、8字模型 12類型七、燕尾模型 14類型八、折角模型 16類型九、“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型） 18壓軸能力測(cè)評(píng) 19模型1雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.模型2A字模型【結(jié)論】∠BDE+∠CED=180°+∠A模型3雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.模型4內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結(jié)論】∠A=∠P.模型5雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.模型68字模型【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.模型7燕尾模型【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.模型8折角模型模型9“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）【結(jié)論】類型一、雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.例．如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交于點(diǎn)，分別以、為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊在直線b上，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，，于點(diǎn)C，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．類型二、A字模型【結(jié)論】∠BDE+∠CED=180°+∠A例．如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，與的角平分線交于點(diǎn)D，且、，則與的數(shù)量關(guān)系可表示為（

）A． B．C． D．類型三、雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.例．如圖，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶數(shù)，求這個(gè)三角形的周長．(2)如果BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．a(chǎn)、當(dāng)∠A=45°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．b、當(dāng)∠A=x°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數(shù)．（2）當(dāng)∠A為多少度時(shí)，∠BPC＝3∠A？【變式訓(xùn)練2】，已知、的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)且．

（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，，求、的度數(shù)．【變式訓(xùn)練3】．如圖，ΔABC的角平分線相交于點(diǎn)．（1）若，則________；（2）試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．類型四、內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結(jié)論】∠A=∠P.例．如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點(diǎn)E，∠A=80°，求∠E的度數(shù)【變式訓(xùn)練1】．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，和的平分線交于，則的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在中，的平分線和的外角的角平分線交于，則與的關(guān)系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在中，外角的角平分線和的外角的角平分線交于，請(qǐng)直接寫出與的關(guān)系是______．

【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點(diǎn)．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？【變式訓(xùn)練3】．如圖所示，已知為的角平分線，為外角的平分線，且與交于點(diǎn)D；

(1)若，，則；(2)若，，則；(3)當(dāng)和在變化，而始終保持不變，則是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么結(jié)論？（用含的式子表示）類型五、雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.例．（1）如圖所示，在中，分別是和的平分線，證明：．（2）如圖所示，的外角平分線和相交于點(diǎn)D，證明：．（3）如圖所示，的內(nèi)角平分線和外角平分線相交于點(diǎn)D，證明：．【變式訓(xùn)練1】．如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點(diǎn)D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度數(shù)；（2）若∠A=a，求∠E；（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB=．【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖（a），平分，平分.①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).②猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（2）如圖（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請(qǐng)你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.

【變式訓(xùn)練3】．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點(diǎn)

（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長至K，使∠QKA＝∠QAK，再過點(diǎn)Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問當(dāng)點(diǎn)H在射線AB上移動(dòng)時(shí)，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．類型六、8字模型【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.例．如圖1，線段相交于點(diǎn)，連接，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)，并且與、分別相交于、．試解答下列問題：(1)在圖1中，證明：；(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：_____個(gè)；(3)圖2中，當(dāng)度，度時(shí)，求的度數(shù)．(4)圖2中和為任意角時(shí)，其他條件不變，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【變式訓(xùn)練1】．（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：．（2）如圖②，分別平分，若，求的度數(shù)．（3）如圖③，直線平分的外角平分的外角，若，則________用的代數(shù)式表示）【變式訓(xùn)練2】．平面內(nèi)，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次連接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)M（如圖1），求∠AMC的大?。?）點(diǎn)E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點(diǎn)N（如圖2），求∠ANC．【變式訓(xùn)練3】．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示∠P）；②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

類型七、燕尾模型【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.例．如圖，在中，D是上一點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，、相交于點(diǎn)F，，，．求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】．如圖，中，(1)若、的三等分線交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；(2)若、的等分線交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，已知四邊形，求證．【變式訓(xùn)練3】．如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與之間的關(guān)系，并說明理由；(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若，直接寫出的結(jié)果；②如圖3，平分，平分，若，求的度數(shù)；③如圖4，的10等分線相交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．類型八、折角模型例．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，將沿直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．無法確定【變式訓(xùn)練2】．如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【變式訓(xùn)練3】．如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．類型九、“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）【條件】：AE⊥BC,AD平分∠BAC,【結(jié)論】例．如圖所示，為的高，，為的角平分線，若，．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】．（1）如圖①，在中，，分別是的高和角平分線，若，．求的度數(shù)；（2）如圖②，已知平分，交邊于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．若，①__________（含的代數(shù)式表示）；②求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練2】．在中，，，是的角平分線．

（1）如圖1，若是的高，則的度數(shù)為．（2）如圖2，若是的角平分線，G是延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，是的平分線，是邊上的高．(1)若，求的度數(shù)．(2)求證．1．如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則．2．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．3．如圖，若，則．4．如圖，在中，已知，、的平分線、相交于點(diǎn)O，則的度數(shù)為．

5．如圖，把紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在圖中的處，若，，則的大小為．6．如圖，在中，為邊上的高，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)為邊上的中線時(shí)，若，的面積為24，求的長；(2)當(dāng)為的平分線時(shí)，若，，求的度數(shù)．7．小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，平分，于點(diǎn)．猜想，，的數(shù)量關(guān)系．(1)小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入，的值求的值，得到下面幾組對(duì)應(yīng)值：/度1030302020/度7070606080/度30152030上表中__________，于是得到，，的數(shù)量關(guān)系為__________；(2)小明繼續(xù)探究，如圖2，在線段上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)嘗試寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)小明突發(fā)奇想，交換，兩個(gè)字母位置，如圖3，過的延長線上一點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，的度數(shù)為__________．8．如圖，，相交于點(diǎn)，連結(jié)，，，分別平分，，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．求證：．

9．我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？(1)如圖，和分別是的兩個(gè)外角，請(qǐng)說明與之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖，在中裁去得到四邊形，若，則利用（1）的結(jié)論可得_____°．(3)如圖，兩個(gè)外角平分線相交于點(diǎn)，直接利用（1）的結(jié)論說明和的數(shù)量關(guān)系．(4)如圖，在四邊形中，、分別平分外角和，利用（1）（3）得到的結(jié)論，直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系：____________________．

專題07三角形的角的模型九種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 4類型一、雙垂直模型 4類型二、A字模型 6類型三、雙內(nèi)角平分線模型 9類型四、內(nèi)外角平分線模型 14類型五、雙外角平分線模型 18類型六、8字模型 26類型七、燕尾模型 34類型八、折角模型 39類型九、“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型） 42壓軸能力測(cè)評(píng) 47模型1雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.模型2A字模型【結(jié)論】∠BDE+∠CED=180°+∠A模型3雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.模型4內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結(jié)論】∠A=∠P.模型5雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.模型68字模型【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.模型7燕尾模型【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.模型8折角模型模型9“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）【結(jié)論】類型一、雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.例．如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交于點(diǎn)，分別以、為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作垂線、直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，理解并掌握作垂線的尺規(guī)作圖方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”可得，結(jié)合題意可知，然后計(jì)算的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，，∴，由作圖可知，，∴．故選：A．【變式訓(xùn)練1】．如圖，的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊在直線b上，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形是特征；由平行線的性質(zhì)得，再由直角三角形的特征即可求解；掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，故選：A．【變式訓(xùn)練2】．如圖，，于點(diǎn)C，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得解．掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為．故選：B．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三角形中求角度，涉及直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，在中求出，再由互余定義得到的度數(shù)，熟記直角三角形兩銳角互余等知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，在中，，則，故選：A．類型二、A字模型【結(jié)論】∠BDE+∠CED=180°+∠A例．如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可．【詳解】解：，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定理，熟練掌握角平分線定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出，根據(jù)角平分線的定理求出，即可得到答案．【詳解】解：，，和分別平分和，，，．故選C．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∵∴；故選B．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，與的角平分線交于點(diǎn)D，且、，則與的數(shù)量關(guān)系可表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線定義，三角形內(nèi)角和，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵；由角平分線定義及三角形內(nèi)角和得．再由、及三角形內(nèi)角和即可求得與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：分別是與的角平分線，，，．、，；，，，整理得：．故選：D．類型三、雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.例．如圖，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶數(shù)，求這個(gè)三角形的周長．(2)如果BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．a(chǎn)、當(dāng)∠A=45°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．b、當(dāng)∠A=x°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．【答案】(1)13cm(2)a、112.5°；b、90°＋x°【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩之差小于第三邊，得出BC的取值范圍為1＜BC＜7，再根據(jù)BC是能被3整除的偶數(shù)，得到BC=6cm，再求出周長為13cm．（2）利用三角形的內(nèi)角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分線平分角的知識(shí)，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形內(nèi)角和等于180°，求出∠BPC．【詳解】（1）∵AB=4cm，AC=3cm∴1＜BC＜7∴BC=6cm∴三角形的周長為：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm（2）a、當(dāng)∠A=45°時(shí)，由三角形的內(nèi)角和可知：∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?45°=135°∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×135°=67.5°∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?67.5°=112.5°b、當(dāng)∠A=x°時(shí)，由三角形的內(nèi)角和可知：∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?x°∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°?x°)=90°?x°∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?(90°?x°)=90°＋x°【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)三角形的知識(shí)．第一小問的解題關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩之差小于第三邊進(jìn)行解答；第二小問的解題關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的內(nèi)角和等于180°，以及角平分線平分角的知識(shí)結(jié)合一起解答，在求角度時(shí)，有時(shí)不一定需要每個(gè)角都求出來，可以利用整體思想．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數(shù)．（2）當(dāng)∠A為多少度時(shí)，∠BPC＝3∠A？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，求得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得；（2）根據(jù)（1）的方法求得，再結(jié)合條件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A．【詳解】（1）平分，平分，，∠ABC+∠ACB＝130°，，，（2）平分，平分，，，，，∠BPC＝3∠A，．【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知、的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)且．

（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，，求、的度數(shù)．【答案】（1）125°

（2）60°；40°【分析】（1）由角平分線的定義可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）由已知條件易求∠1，∠2的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得∠OBC，∠OCB的度數(shù)，利用角平分線的定義可求解；【詳解】解：（1）∵和的平分線與相交于點(diǎn)，∴，，又，，∴，，∴；（2）∵，∴，∵，∴，，∵，∴，，∵和的平分線與相交于點(diǎn)，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．【變式訓(xùn)練3】．如圖，ΔABC的角平分線相交于點(diǎn)．（1）若，則________；（2）試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）60；（2），見解析．【分析】（1）直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根據(jù)平角的定義解答即可．【詳解】（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠A=180°-50°-70°=60°．故答案為60．（２）∠DPC=90°-∠A，理由：的平分線相交于點(diǎn)，，，∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A．故答案為：90°-∠A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°，本題探討了三角形兩角的平分線的夾角與第三個(gè)角之間的關(guān)系．類型四、內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結(jié)論】∠A=∠P.例．如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點(diǎn)E，∠A=80°，求∠E的度數(shù)【答案】40°【分析】由題意：設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程組解決問題即可．【詳解】由題意：設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，則有，①-2×②可得∠A=2∠E，∴∠E=∠A=40°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題．【變式訓(xùn)練1】．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，和的平分線交于，則的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在中，的平分線和的外角的角平分線交于，則與的關(guān)系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在中，外角的角平分線和的外角的角平分線交于，請(qǐng)直接寫出與的關(guān)系是______．

【答案】（1）110°；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根據(jù)角平分線的定義解答；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論然后用角分線的定義，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵和的平分線交于，∴，，∴故答案為110°（2），證明：∵是的外角，是的外角，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（3）由（1）得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用以及角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和等于180°和三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點(diǎn)．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由見解析；(2)∠BOC=∠A；理由見解析【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，最后得出結(jié)論；(2)根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根據(jù)∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【詳解】(1)∠BOC=∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°．∴∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A．(2)∠BOC=∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC又∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACE的平分線，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC=(∠ACE-∠ABC)=∠A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握外角性質(zhì)并能正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖所示，已知為的角平分線，為外角的平分線，且與交于點(diǎn)D；

(1)若，，則；(2)若，，則；(3)當(dāng)和在變化，而始終保持不變，則是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么結(jié)論？（用含的式子表示）【答案】(1)(2)(3)的大小不變，；理由見解析【分析】（1）和（2）根據(jù)角平分線的定義求出和，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)外角的性質(zhì)得出，，根據(jù)角平分線的定義得出，，兩式聯(lián)立可得．【詳解】（1）解：∵為的角平分線，，∴，∵，∴；故答案為：40；（2）解：∵，，∴，∴，∵為的角平分線，∴，∵為外角的平分線，∴，∴；故答案為：40；（3）解：的大小不變，；理由如下：∵，∴，∵，∴，∵為的角平分線，為外角的平分線，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．類型五、雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.例．（1）如圖所示，在中，分別是和的平分線，證明：．（2）如圖所示，的外角平分線和相交于點(diǎn)D，證明：．（3）如圖所示，的內(nèi)角平分線和外角平分線相交于點(diǎn)D，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）設(shè)．由的內(nèi)角和為，得．①由的內(nèi)角和為，得．②由②得．③把③代入①，得，即，即（2）∵BD、CD為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∴由三角形內(nèi)角和定理得，，=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-（∠A+180°），=90°-∠A；（3）如圖：∵BD為△ABC的角平分線，交AC與點(diǎn)E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點(diǎn)D∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=∠A．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學(xué)常規(guī)題．【變式訓(xùn)練1】．如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點(diǎn)D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度數(shù)；（2）若∠A=a，求∠E；（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB=．【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β【分析】（1）由角平分線的定義得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2））根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠E=90°-α；（3）根據(jù)角平分線的定義可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α；（3）如圖，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=∠ACB=β．故答案為：β．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的角平分線，三角形外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖（a），平分，平分.①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).②猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（2）如圖（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請(qǐng)你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.

【答案】（1）①；②，證明見解析；（2）不正確，【分析】（1）①首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線定義求出的度數(shù)，然后再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；②首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線定義求出的度數(shù)，然后再利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可得出結(jié)論；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后根據(jù)補(bǔ)角的定義求出，然后根據(jù)角平分線定義求出的度數(shù)，然后再利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①，．∵平分，平分，，；（2）①，．∵平分，平分，，；（2），，．∵平分，平分，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點(diǎn)

（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長至K，使∠QKA＝∠QAK，再過點(diǎn)Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問當(dāng)點(diǎn)H在射線AB上移動(dòng)時(shí)，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）∠E+∠F＝108°，證明見解析；（3）不變，是定值，值為15°【分析】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，進(jìn)而得到AP⊥CP；（2）過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，再根據(jù)∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E＋∠F＝108°；（3）過Q作QE∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，依據(jù)∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根據(jù)∠M＝∠MQH﹣∠K進(jìn)行計(jì)算，即可得出∠QMK的大小不變，是定值15°．【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD，∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E＋∠F＝108°．證明：如圖2，過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，

∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA，∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA，∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°；（3）如圖，過Q作QE∥AB，

∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K∠AQH，∵QM是∠CQH的平分線，∴∠MQH∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°，即∠QMK的大小不變，是定值15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決問題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)作平行線．類型六、8字模型【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.例．如圖1，線段相交于點(diǎn)，連接，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)，并且與、分別相交于、．試解答下列問題：(1)在圖1中，證明：；(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：_____個(gè)；(3)圖2中，當(dāng)度，度時(shí)，求的度數(shù)．(4)圖2中和為任意角時(shí)，其他條件不變，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【答案】(1)見解析(2)6(3)(4)【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理與對(duì)頂角相等可得結(jié)論；（2）由交點(diǎn)有點(diǎn)，再分類確定即可得到答案；（3）由（1）可得，，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得，再把，代入計(jì)算即可得到答案；（4）由（1）可得，，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得．【詳解】（1）證明：∵，又∵，∴；（2）交點(diǎn)有點(diǎn)，以為交點(diǎn)的8字形有1個(gè)，為與，以為交點(diǎn)的8字形有4個(gè)，為與，與，與，與，以為交點(diǎn)的8字形有1個(gè)，為與，所以，“8字形”圖形共有6個(gè)．故答案為：6；（3）由（1）可得，①，②，∵和的平分線和相交于點(diǎn)，∴，，由①+②，得，即，又∵，，∴，∴；（4）關(guān)系：．理由：由（1）得①，②，∵和的平分線和相交于點(diǎn)，∴，，由①＋②，得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用、角平分線的定義等知識(shí)，掌握利用三角形的內(nèi)角和定理解決“8字形”中的角度問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：．（2）如圖②，分別平分，若，求的度數(shù)．（3）如圖③，直線平分的外角平分的外角，若，則________用的代數(shù)式表示）【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得證；（2）設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建方程組即可解決問題；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出等式并整理即可得解．【詳解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）∵分別平分，設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，則有，∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，∴；（3）如圖，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并運(yùn)用好“8字形”的結(jié)論，然后列出兩個(gè)等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．【變式訓(xùn)練2】．平面內(nèi)，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次連接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)M（如圖1），求∠AMC的大?。?）點(diǎn)E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點(diǎn)N（如圖2），求∠ANC．【答案】（1）33°；（2）123°【分析】（1）AM與BC交于E，AD與MC交于F，利用角平分線性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得，是和的外角，是和的外角，列出關(guān)于的方程組，計(jì)算得出的度數(shù)．（2）AN與BC交于點(diǎn)G，AD與BC交于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得，是和的外角，是和的外角，列出關(guān)于的方程組，計(jì)算得出的度數(shù)．【詳解】解：（1）AM與BC相交于E，AD與MC相較于F，如圖：∵M(jìn)A和MC是∠BAD和∠BCD的角平分線，∴設(shè)∠BAM=∠MAD=a，∠BCM=∠MCD=b，∵∠BEM是△ABE和△MCE的外角，∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，即：∠M+b=24°+a①，又∵∠MFD是△MAF和△CDF的外角，可得∠M+a=42°+b②，①式＋②式得2∠M=24°+42°，解得：∠M=33°，∴．（2）AN與BC相交于G，AD與BC相較于F，如圖:∵NA和NC是∠EAD和∠BCD的角平分線，∴設(shè)∠EAN=∠NAD=m，∠BCN=∠NCD=n，∵∠BFD是△ABF和△FCD的外角，∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，即：24°+(180°-2m）=42°+2n，可得m+n=81°①，又∵∠AGC是△NGC和△ABG的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m），得∠N=204°-（m+n）②，①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，用設(shè)未知數(shù)列方程組的方法計(jì)算角度是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示∠P）；②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=②∠P=【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）直接利用（1）中的結(jié)論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題．（4）①同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．②同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．【詳解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如圖3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．（4）①設(shè)∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=．故答案為：∠P=．②設(shè)∠BAP=x，∠PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=．故答案為：∠P=．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考幾何問題，屬于中考?？碱}型．類型七、燕尾模型【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.例．如圖，在中，D是上一點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，、相交于點(diǎn)F，，，．求的度數(shù)．【答案】【分析】先由三角形外角的性質(zhì)求得，再由三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴在中，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)角和定理，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，中，(1)若、的三等分線交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；(2)若、的等分線交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，．【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再由、的三等分線交于點(diǎn)、，可得再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再由、的等分線交于點(diǎn)、，可得再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵、的三等分線交于點(diǎn)、，∴∴，；（2）解：∵，∴，∵、的等分線交于點(diǎn)、，∴∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線三角形的內(nèi)角和問題，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，已知四邊形，求證．【答案】見解析【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；方法2作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，，兩式相加即可得到結(jié)論；方法3延長BD，交AC于點(diǎn)E，兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】方法1如圖所示，連接BC.在中，，即.在中，，；方法2如圖所示，連接AD并延長.是的外角，.同理，..即.方法3如圖所示，延長BD，交AC于點(diǎn)E.是的外角，.是的外角，..【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理．【變式訓(xùn)練3】．如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與之間的關(guān)系，并說明理由；(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若，直接寫出的結(jié)果；②如圖3，平分，平分，若，求的度數(shù)；③如圖4，的10等分線相交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【答案】(1)，見解析(2)①；②；③【分析】（1）首先連接并延長，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出；（2）①由（1）可得，然后根據(jù)，，即可求出的值；②由（1）可得，再根據(jù)，求出的值；然后根據(jù)，即可求出的度數(shù)；③設(shè)，，結(jié)合已知可得，，再根據(jù)（1）可得，，即可判斷出的度數(shù)．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖，連接并延長．根據(jù)外角的性質(zhì)，可得，，又∵，，∴，故答案為：；（2）①由（1）可得，∵，，∴；②由（1）可得，∴，∴，∴；③設(shè)，，則，，則，，解得，所以，即的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．類型八、折角模型例．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，將沿直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得到，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，根據(jù)外角性質(zhì)得：，，則，則．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換（折疊問題）以及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可知,再利用平角的定義可求出的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∵∴∴故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】．如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角定義證得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，進(jìn)而求得∠1＋∠2=110°即可求解．【詳解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義，熟練掌握折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．類型九、“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）【條件】：AE⊥BC,AD平分∠BAC,【結(jié)論】例．如圖所示，為的高，，為的角平分線，若，．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形內(nèi)角和等于以及分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）分和兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：∵為的角平分線．∴，，∵為的高，∴，∴，在中，，∵為的角平分線，∴∴；（2）解：∵，，∴，①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵∴；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，綜上，的度數(shù)為或．【變式訓(xùn)練1】．（1）如圖①，在中，，分別是的高和角平分線，若，．求的度數(shù)；（2）如圖②，已知平分，交邊于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．若，①__________（含的代數(shù)式表示）；②求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）①；②【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等于，三角形的一個(gè)外角度數(shù)等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)之和，也考查了直角三角形兩銳角互余．（1）要求的度數(shù)，可以先求得和的度數(shù)再將它們相減；（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和，x表示，根據(jù)角平分線的定義，用x表示和，利用三角形外角的相關(guān)結(jié)論，可以得到的度數(shù)；②根據(jù)，利用對(duì)頂角和直角三角形兩銳角的關(guān)系可以得到的度數(shù)．【詳解】（1）∵，，∴在中，．∵是的角平分線，∴．∵是的高，∴，∴；（2）①，∴在中，．∵平分，∴．故答案為：．②∵平分，∴．∵是的一個(gè)外角，∴，∴．∵，∴在中，．【變式訓(xùn)練2】．在中，，，是的角平分線．

（1）如圖1，若是的高，則的度數(shù)為．（2）如圖2，若是的角平分線，G是延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，則的度數(shù)為．【答案】/10度30°/30度【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，角平分線的定義，高線的定義，求出是解本題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后由角平分線概念得到，然后由三角形外角的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；（2）首先由角平分線的概念得到，然后由三角形外角的性質(zhì)得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∵是的高，∴∴；（2）∵是的角平分線∴∴∴∵∴∴．故答案為：；．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，是的平分線，是邊上的高．(1)若，求的度數(shù)．(2)求證．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】本題考查了三角形的角平分線和高，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，垂線等知識(shí)，注意綜合運(yùn)用三角形的有關(guān)概念是解題關(guān)鍵．（1）結(jié)合角平分線的定義，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，求出的度數(shù)，從而求出的度數(shù)，度數(shù)，再由角平分線定義求出度數(shù)，然后由求解即可；（2）先求得，再由，代入即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：是邊上的高，．，，．是的平分線，．（2）證明：是的平分線，，，．1．如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則．【答案】61°【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解答的關(guān)鍵．2．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．【答案】900°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠