初中數(shù)學(xué)同步八年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專(zhuān)題13全等三角形模型之半角模型和邊邊角模型含答案及解析

專(zhuān)題13全等三角形模型之半角模型和邊邊角模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類(lèi)型一、半角模型 3類(lèi)型二、邊邊角模型 5壓軸能力測(cè)評(píng) 7模型七、半角全等模型【模型分析】過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線(xiàn)，使兩條射線(xiàn)的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱(chēng)為半角模型?！境Ｒ?jiàn)模型】常見(jiàn)的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.模型八、邊邊角模型（胖瘦模型）【條件】如圖，AB=AC，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上（P不是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)）胖瘦模型——兩條邊對(duì)應(yīng)相等，一組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)角互補(bǔ)分析：△APB與△APC并不全等AB＝AC2條邊對(duì)應(yīng)相等AP＝AP1個(gè)角相等胖瘦模型∠B＝∠C2個(gè)角互補(bǔ)∠APC＋∠APC＝180°◎結(jié)論1：（變胖）如圖，△ABQ≌△ACP,AP=AQ◎結(jié)論2：（變瘦）如圖，△ABP≌△ACQ,AP=AQ◎結(jié)論3：（找中間狀態(tài)）如圖，△ABM≌△ACM類(lèi)型一、半角模型例．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練3】．如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱(chēng)之為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接、、．

(1)試判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，連接，請(qǐng)寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)如圖③，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練4】．（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，線(xiàn)段之間的關(guān)系是；（不需要證明）（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【變式訓(xùn)練5】．如圖，四邊形是正方形，E是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接，則的值為_(kāi)_________；(3)連接，設(shè)與交于點(diǎn)H，連接，探究之間的關(guān)系．【變式訓(xùn)練6】．如圖所示，ΔABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長(zhǎng).【變式訓(xùn)練7】．如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線(xiàn)BP從BA所在位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<180°）．（1）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點(diǎn)D在射線(xiàn)BP上．若∠CDP=120°，則∠ACD__________∠ABD（填“＞”“=”“＜”），線(xiàn)段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點(diǎn)D在射線(xiàn)BP上，若∠CDP=60°，求證：BD-CD=AD；（3）將圖3中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)30°<α<180°時(shí)，點(diǎn)D是直線(xiàn)BP上一點(diǎn)（點(diǎn)P不在線(xiàn)段BD上），若∠CDP=120°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系（不必證明）．類(lèi)型二、邊邊角模型例．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D、E，AD=3，BE=1，則DE的長(zhǎng)是（）A．1.5 B．2

C．

D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，BN為∠MBC的平分線(xiàn)，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式訓(xùn)練2】．如圖，OC平分∠MON，A、B分別為OM、ON上的點(diǎn)，且BO＞AO，AC＝BC，求證：∠OAC+∠OBC＝180°．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求證：AD＝CD．【變式訓(xùn)練4】．如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線(xiàn)OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線(xiàn)OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線(xiàn)段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.【變式訓(xùn)練5】．在和中，，連接，恰好平分．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，在射線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使，連接．當(dāng)，時(shí)，試說(shuō)明與的位置關(guān)系；(3)如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，連接并延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)，，若，，，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值．1．如圖，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論：①M(fèi)N＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④2．在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線(xiàn)AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．3．（2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且∠EAF∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．4．如圖①，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=45°，易證：AE+CF=EF（不用證明）．（1）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=α，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．

專(zhuān)題13全等三角形模型之半角模型和邊邊角模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類(lèi)型一、半角模型 3類(lèi)型二、邊邊角模型 19壓軸能力測(cè)評(píng) 27模型七、半角全等模型【模型分析】過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線(xiàn)，使兩條射線(xiàn)的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱(chēng)為半角模型。【常見(jiàn)模型】常見(jiàn)的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.模型八、邊邊角模型（胖瘦模型）【條件】如圖，AB=AC，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上（P不是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)）胖瘦模型——兩條邊對(duì)應(yīng)相等，一組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)角互補(bǔ)分析：△APB與△APC并不全等AB＝AC2條邊對(duì)應(yīng)相等AP＝AP1個(gè)角相等胖瘦模型∠B＝∠C2個(gè)角互補(bǔ)∠APC＋∠APC＝180°◎結(jié)論1：（變胖）如圖，△ABQ≌△ACP,AP=AQ◎結(jié)論2：（變瘦）如圖，△ABP≌△ACQ,AP=AQ◎結(jié)論3：（找中間狀態(tài)）如圖，△ABM≌△ACM類(lèi)型一、半角模型例．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設(shè)AE=x，則BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問(wèn)題．【詳解】解：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝CF，連接DG，EF，∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵F是BC的中點(diǎn)，∴AG=CF=BF=3，設(shè)AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2，∴DE＝，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為．【答案】5【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由“”可證，可得，由勾股定理可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，四邊形為正方形，．又，．．．在和中，，，，，，，，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為．【答案】4+4．【分析】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長(zhǎng)＝BD+DC，代入求出即可．【詳解】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點(diǎn)共線(xiàn)，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，∴△DMN的周長(zhǎng)為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，故答案為4+4．【點(diǎn)睛】此題主要考查利用三角形全等的性質(zhì)和解直角三角形，進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，關(guān)鍵是做輔助線(xiàn).【變式訓(xùn)練3】．如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱(chēng)之為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接、、．

(1)試判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，連接，請(qǐng)寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)如圖③，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）首先利用證明，得，從而得出答案；（2）在上取,連接，首先由，得，，再利用證明，得，即可證明結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得點(diǎn)、、共線(xiàn)，由（1）同理可得，得，從而解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：，證明如下：四邊形是正方形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，點(diǎn)、、共線(xiàn)，，，，，在和中，，，，；（2）解：，證明如下：如圖，在上取，連接，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，

，，，，，點(diǎn)、、共線(xiàn)，，，，，在和中，，，，．【變式訓(xùn)練4】．（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，線(xiàn)段之間的關(guān)系是；（不需要證明）（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】（）；（）（）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（）（）中的結(jié)論不成立，．【分析】()延長(zhǎng)至，使，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合圖形計(jì)算，即可證明結(jié)論；()延長(zhǎng)至，使，連接，仿照()的證明方法解答；()在上截取，連接，仿照()的證明方法解答．【詳解】解：（），理由如下：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，

在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（）（）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（）（）中的結(jié)論不成立，，理由如下：如圖，在上截取，連接，

同（）中證法可得，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理、靈活運(yùn)用類(lèi)比思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】．如圖，四邊形是正方形，E是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接，則的值為_(kāi)_________；(3)連接，設(shè)與交于點(diǎn)H，連接，探究之間的關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，并連接，通過(guò)正方形和等腰直角三角形的基本性質(zhì)，證明，即可得出結(jié)論；（2）連接后，由點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，推出為的中位線(xiàn)，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)換邊長(zhǎng)，根據(jù)中位線(xiàn)定理求解即可；（3）結(jié)合（1）的結(jié)論，可得到，從而考慮運(yùn)用“半角”模型，因此延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，運(yùn)用兩次基礎(chǔ)全等證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，并連接，∴，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∵正方形外角的平分線(xiàn)為，∴，∴，在和中，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴為的中位線(xiàn)，∴，由（1）得，∴，∴，∴，故答案為：；（3）解：，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，由正方形基本性質(zhì)得：，，∴，∴，，由（1）知，，且，∴，∴，∴，即：，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)點(diǎn)，在證明第一小問(wèn)時(shí)要合理作出輔助線(xiàn)，才能為后面的問(wèn)題做良好的鋪墊，掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用基本定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6】．如圖所示，ΔABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長(zhǎng).【答案】△AMN的周長(zhǎng)為2．【分析】根據(jù)已知條件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，證明△DMN≌△DEN，得到對(duì)應(yīng)邊相等即可解題.【詳解】如圖，延長(zhǎng)NC到E，使CE=BM，連接DE，

∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用,截長(zhǎng)補(bǔ)短的數(shù)學(xué)方法,中等難度,作輔助線(xiàn)證明全等是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練7】．如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線(xiàn)BP從BA所在位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<180°）．（1）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點(diǎn)D在射線(xiàn)BP上．若∠CDP=120°，則∠ACD__________∠ABD（填“＞”“=”“＜”），線(xiàn)段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點(diǎn)D在射線(xiàn)BP上，若∠CDP=60°，求證：BD-CD=AD；（3）將圖3中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)30°<α<180°時(shí)，點(diǎn)D是直線(xiàn)BP上一點(diǎn)（點(diǎn)P不在線(xiàn)段BD上），若∠CDP=120°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系（不必證明）．【答案】（1）=；BD=CD+AD；（2）證明見(jiàn)解析；（3）BD+CD=AD或CD-BD=AD【分析】（1）①根據(jù)兩三角形中若兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則第三個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等得：∠ACD=∠ABD；②作輔助線(xiàn)，構(gòu)建兩個(gè)全等三角形：△ABE≌△ACD，得AD=AE，再證明△ADE是等邊三角形，則AD=DE，相加后得結(jié)論；（2）同理作輔助線(xiàn)，證明全等，再證明△ADE是等腰直角三角形，得DE=AD，代入DE=BD-BE中得結(jié)論；（3）①如圖4，BD-CD=AD，在BD上取一點(diǎn)E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，證明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根據(jù)特殊三角函數(shù)求得DF=AD，代入BD-BE=DE中得出結(jié)論；②如圖5，BD+CD=AD，延長(zhǎng)DB到E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，證明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根據(jù)特殊三角函數(shù)求得DF=AD，代入BD+BE=DE中得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖2，∵∠CDP=120°，∴∠CDB=60°，∵∠BAC=60°，∴∠CDB=∠BAC=60°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠ACD=∠ABD．在BP上截取BE=CD，連接AE．在△DCA與△EBA中，，∴△DCA≌△EBA（SAS），∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE=AD．∵BD=BE+DE，∴BD=CD+AD．故答案為：=，BD=CD+AD；（2）如圖3，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，在BP上截取BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F．∵∠CDP=60°，∴∠CDB=120°．∵∠CAB=120°，∴∠CDB=∠CAB，∵∠DOC=∠AOB，∴△DOC∽△AOB，∴∠DCA=∠EBA．在△DCA與△EBA中，，∴△DCA≌△EBA（SAS），∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，∴∠DAE=120°，∴∠ADE=∠AED==30°．∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，∴DF=AD，∴DE=2DF=AD，∴BD=DE+BE=AD+CD，∴BD﹣CD=AD；（3）①如圖4，BD-CD=AD，理由是：在BD上取一點(diǎn)E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，得△ABE≌△ACD，∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，∴DF=FE，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=120°，∴∠CAD+∠CAE=120°，即∠DAE=120°，∴∠DAF=60°，sin∠DAF=sin60°=，∴DF=AD，∴DE=2DF=AD，∴BD-CD=BD-BE=DE=AD；②如圖5，BD+CD=AD，理由是：延長(zhǎng)DB到E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴∠EBA=150°-∠DBC，∵∠CDP=120°，∴∠BCD=120°-∠DBC，∴∠ACD=∠BCD+30°=150°-∠DBC，∴∠ACD=∠EBA，∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD，∠EAB=∠CAD，∴DF=EF，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAF=60°，同理得：DF=AD，∴ED=AD，∴DE=BD+BE=BD+CD=AD．綜上所述：BD+CD=AD或CD-BD=AD．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形、全等三角形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)建兩三角形全等是本題的關(guān)鍵；要證明全等時(shí)，兩邊夾角的得出各問(wèn)都不相同，是一個(gè)難點(diǎn)；同時(shí)運(yùn)用了特殊角的三角函數(shù)值表示邊的長(zhǎng)度，在幾何證明中線(xiàn)段的和與差是一個(gè)難點(diǎn)，思路為：想辦法將線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到同一條直線(xiàn)上：①在長(zhǎng)邊截取短邊，②延長(zhǎng)短邊等于長(zhǎng)邊；簡(jiǎn)稱(chēng)“截或接”．類(lèi)型二、邊邊角模型例．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D、E，AD=3，BE=1，則DE的長(zhǎng)是（）A．1.5 B．2

C．

D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以得出∠E=∠ADC=90°，進(jìn)而得出?CEB??ADC，就可以得出BE=DC，進(jìn)而求出DE的值．【詳解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°，∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA，在?CEB和?ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴?CEB??ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，BN為∠MBC的平分線(xiàn)，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB，垂足為點(diǎn)K．證明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB，垂足為點(diǎn)K．

∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正確，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正確，∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正確，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，∴S四邊形ABCP＝S四邊形KBDP＝2S△PBD．故④正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練2】．如圖，OC平分∠MON，A、B分別為OM、ON上的點(diǎn)，且BO＞AO，AC＝BC，求證：∠OAC+∠OBC＝180°．【答案】見(jiàn)解析.【分析】如圖，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．【詳解】如圖，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∴CE＝CF，∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），∴∠ACF＝∠ECB，∴∠ACB＝∠ECF，∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.【變式訓(xùn)練3】．如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求證：AD＝CD．【答案】見(jiàn)解析【詳解】試題分析：在邊BC上截取BE=BA，連接DE，根據(jù)SAS證△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．試題解析：證明：在邊BC上截取BE=BA，連接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD．點(diǎn)睛：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是正確作輔助線(xiàn)，又是難點(diǎn)，解題的思路是把AD和CD放到一個(gè)三角形中，根據(jù)等腰三角形的判定進(jìn)行證明，題型較好，有一定的難度．【變式訓(xùn)練4】．如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線(xiàn)OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線(xiàn)OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線(xiàn)段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.【答案】（1）；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，，見(jiàn)解析.【分析】（1）先判斷出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出ODOC，同OEOC，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵OM是∠AOB的角平分線(xiàn)，∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°．∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°．在Rt△OCD中，OD=OC?cos30°OC，同理：OEOC，∴OD+OEOC；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°．∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得：OFOC，OGOC，∴OF+OGOC．∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線(xiàn)OM上一點(diǎn)，∴CF=CG．∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OEOC；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣ODOC，理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°．∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得：OFOC，OGOC，∴OF+OGOC．∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線(xiàn)OM上一點(diǎn)，∴CF=CG．∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣ODOC．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了角平分線(xiàn)的定義和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】．在和中，，連接，恰好平分．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，在射線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使，連接．當(dāng)，時(shí)，試說(shuō)明與的位置關(guān)系；(3)如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，連接并延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)，，若，，，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意確定，再利用三角形的內(nèi)角和計(jì)算即可：（2）由題干條件推出為等邊三角形，然后進(jìn)一步證明，從而利用全等三角形和平行線(xiàn)的判定證明即可；（3）首先將沿對(duì)稱(chēng)至，沿對(duì)稱(chēng)至，可確定且，分別在、上，并連接，此時(shí)與和交點(diǎn)即為所求、，此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，即為的長(zhǎng)度，然后根據(jù)全等三角形的判定以及對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)證明，即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：，恰好平分，，，，；（2）證明：，恰好平分，，，為等邊三角形，，，，，，即，在和中，，，，，；（3）如圖所示，將沿對(duì)稱(chēng)至，沿對(duì)稱(chēng)至，

由（2）可知是的角平分線(xiàn)，故在上，∵，，∴，∴平分，∴垂直平分，即所在的直線(xiàn)是的對(duì)稱(chēng)軸，故在上，連接，此時(shí)與和交點(diǎn)即為所求、，此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)的最小值即為的長(zhǎng)度，∵所在的直線(xiàn)是的對(duì)稱(chēng)軸，∴，又∵，∴，∴點(diǎn)與是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)，∴與的交點(diǎn)在上，故與重合.此時(shí)∵，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：，，，∴，為等邊三角形，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖所示，，為等邊三角形，，由（2）知，，．由（2）可知，∴，∴，在和中，，，，，即：，周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，掌握全等三角形的判定方法，熟練運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)變化確定最短路徑是解題關(guān)鍵．1．如圖，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論：①M(fèi)N＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可證△AMN≌△AM′N(xiāo)，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正確；由“SAS”可證△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正確；通過(guò)證明△DAE∽△BFA，可得，可證BC2=DE?BF，故③正確；通過(guò)證明點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可證MO=EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④錯(cuò)誤，即可求解．【詳解】解：將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADM′，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，∴∠ADM'+∠ADC=180°，∴點(diǎn)M'在直線(xiàn)CD上，∵∠MAN=45°，∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，∴∠M′AN=∠MAN=45°，又∵AN=AN，AM=AM'，∴△AMN≌△AM′N(xiāo)（SAS），∴MN=NM′，∴M′N(xiāo)=M′D+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；故①正確；∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，∴∠D'BE=90°，∵∠MAN=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，∴∠D'AE=∠EAF=45°，又∵AE=AE，AF=AD'，∴△AEF≌△AED'（SAS），∴EF=D'E，∵D'E2=BE2+D'B2，∴BE2+DF2=EF2；故②正確；∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，∴∠BAF=∠AEF，又∵∠ABF=∠ADE=45°，∴△DAE∽△BFA，∴，又∵AB=AD=BC，∴BC2=DE?BF，故③正確；∵∠FBM=∠FAM=45°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，∴∠EOM=45°=∠EMO，∴EO=EM，∴MO=EO，∵∠BAM≠∠DAN，∴∠BFM≠∠DEN，∴EO≠FO，∴OM≠FO，故④錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線(xiàn)AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【答案】（1）BM+NC＝MN，23；（2）結(jié)論仍然成立，詳見(jiàn)解析；（3）NC﹣BM＝MN，【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD＝BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN，此時(shí)；（2）在CN的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易證得∠CDN＝∠MDN＝60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后證得∠CDN＝∠MDN＝60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC﹣BM＝MN．【詳解】（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．此時(shí)．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在NC的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠