初中數(shù)學(xué)同步八年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題14全等三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的四種類型含答案及解析

專題14全等三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的四種類型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、分類討論的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 1類型二、分動(dòng)點(diǎn)相遇問(wèn)題 3類型三、動(dòng)點(diǎn)中的線段關(guān)系 5類型四、動(dòng)點(diǎn)與面積 7壓軸能力測(cè)評(píng) 9全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)式表示線段的大小，從而尋找線段間的等量關(guān)系，建立方程，進(jìn)而快速解題。策略：①明晰點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度；②根據(jù)已知和求證的目標(biāo)，尋求線段或角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。注意：很多情況下，在不明確對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的時(shí)候，注意分類討論的問(wèn)題。類型一、分類討論的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例．如圖（1），，，，．點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)如圖（1）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，①與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；②判斷線段和線段的關(guān)系？(2)如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其他條件不變，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B分別為x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點(diǎn)，；(1)分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．點(diǎn)P在動(dòng)過(guò)程中，若，求此時(shí)t的值；(3)在（2）的條件下，連接，過(guò)點(diǎn)A作垂足為C，交y軸交于點(diǎn)M，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以B、A、M為頂點(diǎn)的三角形與全等（點(diǎn)N不與點(diǎn)M重合），若存在，請(qǐng)求出N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存，在請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)和點(diǎn)分別以和的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．在某時(shí)刻，分別過(guò)點(diǎn)和作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，①用含的式子分別表示和：________，________．②當(dāng)時(shí)，與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)時(shí)，與有沒(méi)有可能全等？若有可能，直接寫出符合條件的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），在中，，，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)如圖（1），當(dāng)________時(shí)，的面積等于面積的一半：(2)如圖（2），在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好全等于，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．類型二、分動(dòng)點(diǎn)相遇問(wèn)題例．如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)秒后，與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)__時(shí)，在某一時(shí)刻也能夠使與全等．(2)若點(diǎn)以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按逆時(shí)針?lè)较蜓氐娜呥\(yùn)動(dòng)．求經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，并寫出第一次相遇點(diǎn)在的哪條邊上？【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2cm的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)．(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng)度；(2)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？(4)若點(diǎn)Q以（3）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為20cm，點(diǎn)E在AB邊上，．(1)如果點(diǎn)P在線段上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)在線段上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，與是否全等？并說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，？(2)如果點(diǎn)P，點(diǎn)Q不同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)1秒時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，兩點(diǎn)都沿正方形四邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度的1.2倍，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)96cm時(shí)與點(diǎn)Q相遇，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P在線段上以的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)后，與是否全等？說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，與全等？求出此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出：①經(jīng)過(guò)多少秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？②點(diǎn)P與點(diǎn)Q第2023次相遇在哪條邊上？類型三、動(dòng)點(diǎn)中的線段關(guān)系例．【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，已知垂足分別為點(diǎn)A，B．若，，探究與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【嘗試應(yīng)用】如圖2，垂足分別為點(diǎn)A，B，．點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在射線上以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．當(dāng)時(shí)，判斷此時(shí)線段和線段的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展提高】如圖3，在【嘗試應(yīng)用】的基礎(chǔ)上，把“”改為“”，若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，其它條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)有與全等，求出相應(yīng)的x的值．【變式訓(xùn)練1】．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，①試說(shuō)明．②此時(shí)，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有和全等，求出此時(shí)的x，t的值．【變式訓(xùn)練2】．點(diǎn)是正方形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，連接，O為中點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接交于點(diǎn)，①試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；②若正方形邊長(zhǎng)為4，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，試探究線段，，的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若，連接，取的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），，，，．點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（1）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，判斷線段與滿足的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其它條件不變．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

類型四、動(dòng)點(diǎn)與面積 例．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B為x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊作，使，，且點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．(1)如圖1，若，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)B向x軸上方作，且，在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探究點(diǎn)C，D之間的距離是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)B向x軸下方作，且，連結(jié)交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的2倍時(shí)，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的邊在x軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)，且．已知點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示的面積；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使與全等？若存在，請(qǐng)求出t的值，并直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖①，在中，，．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2)如圖①，當(dāng)時(shí)，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好與全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝3cm，DC＝5cm．點(diǎn)P從D出發(fā)，以1cm/s的速度在射線DC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)t＝s時(shí)，DP＝AD；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APC的面積等于6cm2；(3)如圖2，當(dāng)P從D點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以xcm/s的速度在線段CB上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的x的值，使得△ADP與△PCQ全等？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點(diǎn)P在線段上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，①試說(shuō)明．②此時(shí)，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有和全等，求出此時(shí)的x，t的值．2．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，滿足，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，．（1）如圖1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)從出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，設(shè)的面積為，求與的關(guān)系，并寫出的取值范圍；（3）在（2）的條件下，如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求與的比值．3．如圖①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N是動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C出發(fā)，以相同的速度沿AC，CB邊上運(yùn)動(dòng)．（1）判斷DM與DN的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AC=BC=2，請(qǐng)直接寫出四邊形MCND的面積；（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后，將改變方向沿著CB運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上，過(guò)M作ME⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥DB交DB延長(zhǎng)線于F，求證：ME=NF．4．如圖1，在中，，，是過(guò)的一條直線，且，在的異側(cè)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，其余條件不變，問(wèn)與，的關(guān)系如何，請(qǐng)證明；(3)若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3時(shí)，其余條件不變，與，的關(guān)系怎樣？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不須證明．(4)歸納（1），（2），（3），請(qǐng)用簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言表述與，的關(guān)系．5．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過(guò)，兩點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)，兩點(diǎn)相遇時(shí)，求的值；(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求，的長(zhǎng)；（用含的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)與全等時(shí)，求的值．6．如圖所示，在中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)若點(diǎn)與點(diǎn)的速度都是，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)的速度比點(diǎn)的速度慢，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與全等？請(qǐng)求出此時(shí)兩點(diǎn)的速度．(3)若點(diǎn)、點(diǎn)分別以（2）中的速度同時(shí)從點(diǎn)，出發(fā)，都按逆時(shí)針?lè)较蜓厝呥\(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇？相遇點(diǎn)在的哪條邊上？請(qǐng)求出相遇點(diǎn)到點(diǎn)B的距離．7．如圖，已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)后，與是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？若點(diǎn)以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)與點(diǎn)第一次在的哪條邊上相遇？8．（動(dòng)點(diǎn)、全等）如圖，在中，，高、相交于點(diǎn)O，，且．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為S，請(qǐng)用含t的式子表示S，并直接寫出相應(yīng)的t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)F是直線上的一點(diǎn)且．是否存在t值，使以點(diǎn)B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過(guò)、兩點(diǎn)作垂直于過(guò)點(diǎn)的直線，垂足分別為點(diǎn)、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）：(1)當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時(shí)，求的值；(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)與全等時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．10．如圖1，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)_________（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的值，使得與全等？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

專題14全等三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的四種類型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、分類討論的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 1類型二、分動(dòng)點(diǎn)相遇問(wèn)題 11類型三、動(dòng)點(diǎn)中的線段關(guān)系 17類型四、動(dòng)點(diǎn)與面積 24壓軸能力測(cè)評(píng) 34全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)式表示線段的大小，從而尋找線段間的等量關(guān)系，建立方程，進(jìn)而快速解題。策略：①明晰點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度；②根據(jù)已知和求證的目標(biāo)，尋求線段或角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。注意：很多情況下，在不明確對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的時(shí)候，注意分類討論的問(wèn)題。類型一、分類討論的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例．如圖（1），，，，．點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)如圖（1）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，①與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；②判斷線段和線段的關(guān)系？(2)如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其他條件不變，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①全等，理由見(jiàn)解析；②與的關(guān)系是垂直且相等(2)存在或使得與全等【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想的滲透．（1）①當(dāng)時(shí)，，，即可證得；②利用，得出，，進(jìn)一步得出得出結(jié)論即可；（2）與全等，分兩種情況：①，，②，，建立方程組求得答案即可．【詳解】（1）①全等，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，又，在和中，．②由①得，，線段與線段垂直，因此、與的關(guān)系是垂直且相等；（2）由題意可得：，，，，①若，則，，∴，解得；②，則，，∴，解得，綜上所述，存在或使得與全等．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B分別為x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點(diǎn)，；(1)分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．點(diǎn)P在動(dòng)過(guò)程中，若，求此時(shí)t的值；(3)在（2）的條件下，連接，過(guò)點(diǎn)A作垂足為C，交y軸交于點(diǎn)M，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以B、A、M為頂點(diǎn)的三角形與全等（點(diǎn)N不與點(diǎn)M重合），若存在，請(qǐng)求出N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存，在請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，N點(diǎn)坐標(biāo)為或或【分析】（1）由及面積關(guān)系，即可求得；（2）由，得，由面積公式即可求得t的值；（3）當(dāng)時(shí)，得；證明，則得，從而得；分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)N在上，且時(shí)，有，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)A作軸于A，使得，連接，則可得從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；③過(guò)點(diǎn)B作軸于B，使得連接，與②同理得：，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；綜合起來(lái)即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)．【詳解】（1）解∶，，或（舍），；（2）解：由題意知：，，，，，，；（3）解：當(dāng)時(shí)，；軸⊥軸，，，，在中，，，，；在和中，，．，；①當(dāng)點(diǎn)N在上，且時(shí)，則，且，，；，，；②過(guò)點(diǎn)A作軸于A，使得連接，，，，，，，則軸，，，；③過(guò)點(diǎn)B作軸于B，使得連接，與②同理得：，軸，

，；綜上所述，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使以B、A、M為頂點(diǎn)的三角形與全等，N點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，注意分類討論．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)和點(diǎn)分別以和的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．在某時(shí)刻，分別過(guò)點(diǎn)和作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，①用含的式子分別表示和：________，________．②當(dāng)時(shí)，與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)時(shí)，與有沒(méi)有可能全等？若有可能，直接寫出符合條件的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①②全等，理由見(jiàn)解析(2)有可能，的值為1或3.5或12【分析】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．（1）①由題意得：：，，即可得出答案；②由證明即可；（2）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上時(shí)，則，，得；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，與全等，然后計(jì)算出t的值即可；③當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A時(shí)停止，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①由題意得：，，則，，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，與全等，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，∴，∵，∴，又∵于E，于F，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，與有可能全等，分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上時(shí)，，如圖1所示：

則，∴，解得：；②如圖2所示：

∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，∴與全等，∴，∴．解得：．③當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q到點(diǎn)A時(shí)，，如圖3所示：

則，∴，∴，即滿足條件的t值為或或．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），在中，，，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)如圖（1），當(dāng)________時(shí)，的面積等于面積的一半：(2)如圖（2），在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好全等于，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．【答案】(1)或(2)或或或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，清晰的分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)分兩種情況討論即可解答；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，然后分點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上；點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上；點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上；點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上四種情況，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列方程解答即可．【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)P在上，的面積等于面積的一半，

∴，∴，當(dāng)在上時(shí)，如圖，的面積等于面積的一半，

∴，∴，綜上所述，當(dāng)為或時(shí)，的面積等于面積的一半．（2）解：設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，①當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時(shí)，∴，

∴，解得；②當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時(shí)，∴，

∴，解得；③當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時(shí)，∴，

∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴，解得；④當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時(shí)，∴，

∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴，解得；∴Q運(yùn)動(dòng)的速度為或或或．類型二、分動(dòng)點(diǎn)相遇問(wèn)題例．如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)秒后，與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)__時(shí)，在某一時(shí)刻也能夠使與全等．(2)若點(diǎn)以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按逆時(shí)針?lè)较蜓氐娜呥\(yùn)動(dòng)．求經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，并寫出第一次相遇點(diǎn)在的哪條邊上？【答案】(1)①全等，理由見(jiàn)詳解；②(2)經(jīng)過(guò)后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇【分析】（1）①根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中的邊的長(zhǎng)，根據(jù)判定兩個(gè)三角形全等；②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)“路程速度時(shí)間”公式，先求得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)的速度快，且在點(diǎn)的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點(diǎn)多走等腰三角形的兩個(gè)邊長(zhǎng)．【詳解】（1）解：①全等，理由如下，∵，∴，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴；②假設(shè)，且，∴，∵，，∴，，∴點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，∴點(diǎn)的速度為：，∴當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，與全等，故答案為：．（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)后點(diǎn)相遇，∴，解得，，∴點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了，∵，∴點(diǎn)，點(diǎn)在邊上相遇，∴經(jīng)過(guò)后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用“路程速度時(shí)間”的公式，熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問(wèn)題中的路程關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2cm的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)．(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng)度；(2)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？(4)若點(diǎn)Q以（3）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【答案】(1)(2)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP全等，理由見(jiàn)詳解(3)當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等，理由見(jiàn)詳解(4)經(jīng)過(guò)9秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊BC上相遇【分析】（1）由題意易得，然后問(wèn)題可求解；（2）由題意易得，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（3）根據(jù)題意可分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，然后分類求解即可；（4）由（3）及題意可得方程，求出t的值，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】（1）解：由點(diǎn)P在線段BC上以每秒2cm的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)可得：，∵BC=6cm，∴；（2）解：若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD≌△CQP，理由如下：∴，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AB=AC=8cm，∴，由（1）可得：，∴，∵∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（3）解：由題意可分：①當(dāng)，即時(shí)，∴，解得：，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，故不符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，∴，解得：，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：，綜上所述：當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等；（4）解：由（3）可知點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，由題意得：，解得：，∴經(jīng)過(guò)9秒，點(diǎn)P、Q第一次相遇，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程為（cm），∵△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=22（cm），∴，∴經(jīng)過(guò)9秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為20cm，點(diǎn)E在AB邊上，．(1)如果點(diǎn)P在線段上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)在線段上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，與是否全等？并說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，？(2)如果點(diǎn)P，點(diǎn)Q不同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)1秒時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，兩點(diǎn)都沿正方形四邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度的1.2倍，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)96cm時(shí)與點(diǎn)Q相遇，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【答案】(1)①不全等，見(jiàn)解析，②(2)4cm/s【分析】（1）①由全等三角形的判定可得結(jié)論；②由全等三角形的性質(zhì)可得，可求t的值，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s,則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1.2xcm/s,由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)96cm時(shí)與點(diǎn)Q相遇，列出方程可求解．【詳解】（1）①與不全等，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴與不全等；②∵，∴，∴，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：；∴當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1.2xcm/s，由題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，答：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分式方程的應(yīng)用等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P在線段上以的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)后，與是否全等？說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，與全等？求出此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出：①經(jīng)過(guò)多少秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？②點(diǎn)P與點(diǎn)Q第2023次相遇在哪條邊上？【答案】(1)①全等，見(jiàn)解析；②7.5厘米/秒(2)①秒；②點(diǎn)P與點(diǎn)Q第2023次在AC邊上相遇【分析】（1）①先求得，，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求得，最后根據(jù)即可證明；②因?yàn)?，所以，又，要使與全等，只能，根據(jù)全等得出，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和的長(zhǎng)即可求得的運(yùn)動(dòng)速度；（2）①因?yàn)?，只能是點(diǎn)追上點(diǎn)，即點(diǎn)比點(diǎn)多走的路程，據(jù)此列出方程，解這個(gè)方程即可求得結(jié)果；②設(shè)第一次相遇經(jīng)過(guò)秒之后，第2023次相遇，據(jù)此列出方程，解這個(gè)方程即可求得結(jié)果.【詳解】（1）①全等，因?yàn)椋?，所以（厘米），（厘米），為中點(diǎn)，（厘米），（厘米），，，在與中，，；②因?yàn)?，所以，因?yàn)?，要使與全等，只能，即，故，所以點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：（秒，此時(shí)（厘米秒）；（2）①因?yàn)?，只能是點(diǎn)追上點(diǎn)，即點(diǎn)比點(diǎn)多走的路程，設(shè)經(jīng)過(guò)秒后與第一次相遇，依題意得，解得（秒，此時(shí)運(yùn)動(dòng)了（厘米），又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為56厘米，，所以點(diǎn)、在邊上相遇，即經(jīng)過(guò)了秒，點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇；②設(shè)第一次相遇經(jīng)過(guò)秒之后，第2023次相遇，，解得：，，，，，點(diǎn)在邊上．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、動(dòng)點(diǎn)中的線段關(guān)系例．【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，已知垂足分別為點(diǎn)A，B．若，，探究與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【嘗試應(yīng)用】如圖2，垂足分別為點(diǎn)A，B，．點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在射線上以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．當(dāng)時(shí)，判斷此時(shí)線段和線段的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展提高】如圖3，在【嘗試應(yīng)用】的基礎(chǔ)上，把“”改為“”，若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，其它條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)有與全等，求出相應(yīng)的x的值．【答案】基礎(chǔ)鞏固：，理由見(jiàn)解析；嘗試運(yùn)用：；拓展提高當(dāng)與全等時(shí)的x值為2或【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明，解決此題的是注意分類討論．基礎(chǔ)鞏固：根據(jù)證明，進(jìn)而解答即可；嘗試應(yīng)用：根據(jù)證明，進(jìn)而解答即可；拓展提高：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程解答即可，注意分類．【詳解】解：基礎(chǔ)鞏固：．理由：，，，，在與中，，，，，，，；嘗試運(yùn)用：．當(dāng)時(shí)，，，，，由基礎(chǔ)鞏固中的結(jié)論可知：；拓展提高①若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，則，可得：，，；②若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，則，可得：，，，，綜上所述，當(dāng)與全等時(shí)的x值為2或．【變式訓(xùn)練1】．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，①試說(shuō)明．②此時(shí)，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有和全等，求出此時(shí)的x，t的值．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②，；見(jiàn)解析(2)，或，【分析】（1）①由已知條件推出，，，即可根據(jù)“”證明全等；②結(jié)合①的結(jié)論，利用全等三角形的性質(zhì)證明，即可；（2）分別討論和時(shí)的情況，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，，．理由：①∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，②∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴；②若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴，綜上所述，當(dāng)與全等時(shí)，x和t的值分別為，或，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證明和全等解答，解決此題注意分類討論．【變式訓(xùn)練2】．點(diǎn)是正方形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，連接，O為中點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接交于點(diǎn)，①試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；②若正方形邊長(zhǎng)為4，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，試探究線段，，的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若，連接，取的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)理由見(jiàn)解析．(3)【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)P在線段上，利用三角形的全等判定可以得出問(wèn)題；②勾股定理得出，根據(jù)①的結(jié)論即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，分別求得，，即可求解；（3）根據(jù)題意得出點(diǎn)的起始點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）①是等腰直角三角形，理由如下：連接，如圖所示，

四邊形是正方形，，，，（），，，，，，，，由四邊形內(nèi)角和為，，，，且；∴是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析②若正方形邊長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，在中，，∵是等腰直角三角形，∴，故答案為：．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，設(shè)則∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，

∴當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，∵，∴,則∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），，，，．點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（1）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，判斷線段與滿足的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其它條件不變．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）PC=PQ且PC⊥PQ，證明見(jiàn)解析；（2）存在，①x=2，t=1，②x=3，t=2，詳情見(jiàn)解析；【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，可得PC=PQ，得出∠ACP=∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出PC⊥PQ；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可；【詳解】證明：（1）PC=PQ且PC⊥PQ；理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，當(dāng)時(shí)，AP=BQ=2，∴BP=AB-AP=8-2=6，∴BP=AC=6，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ，∴PC=PQ，∴∠C=∠QPB，∵∠APC+∠C=90°，∴∠APC+∠QPB=90°，即PC=PQ且PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP與△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，可得：6=8-2t，2t=xt，解得：x=2，t=1；②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，可得：6=xt，2t=8-2t，解得：x=3，t=2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.類型四、動(dòng)點(diǎn)與面積 例．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B為x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊作，使，，且點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．(1)如圖1，若，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)B向x軸上方作，且，在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探究點(diǎn)C，D之間的距離是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)B向x軸下方作，且，連結(jié)交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的2倍時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)點(diǎn)C，D之間的距離是為定值，定值為4，理由見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定及性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)，利用互余可證，進(jìn)而利用可證明，可得，，由，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連結(jié)，利用互余可證，進(jìn)而利用可證明，可得，即可得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F，由（1）可知，，得，結(jié)合題意可知，，再證，得，根據(jù)，，可得，即，得，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)，，，，，在和中，，，，．，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（2）點(diǎn)C，D之間的距離是為定值，理由如下：連結(jié)，，，在和中，，．，即：點(diǎn)C，D之間的距離是為定值；（3）過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F，由（1）可知，，，，，．，，，，，，由題可知，，．，．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的邊在x軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)，且．已知點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示的面積；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使與全等？若存在，請(qǐng)求出t的值，并直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，當(dāng)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是或，或當(dāng)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是或時(shí)，與全等【分析】（1）根據(jù)偶次方的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性，求出的值即可；（2）先表示出，再利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；（3）分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，即，∴，．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是0,4，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．（2）∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，，當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，如圖，∵，，∴．（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在y軸上存在點(diǎn)Q，使與全等，理由如下：∵，，∴，①當(dāng)，即，時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是0,3或．②當(dāng)，即，時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是0,4或．綜上，當(dāng)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是0,3或；或當(dāng)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是0,4或時(shí)，與全等．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)．正確的求出的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖①，在中，，．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2)如圖①，當(dāng)時(shí)，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好與全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．【答案】(1)(2)或(3)運(yùn)動(dòng)的速度為或或或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上，根據(jù)點(diǎn)P速度表示的長(zhǎng)即可；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上，根據(jù)點(diǎn)P速度表示的長(zhǎng)即可；（2）分兩種情況討論：①點(diǎn)P在上；②點(diǎn)P在上，利用三角形面積分別求解即可；（3）根據(jù)題意分四種情況進(jìn)行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)所走的路程，進(jìn)而可求出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再利用速度=路程÷時(shí)間求解即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上，∵點(diǎn)P速度為，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上，∵，∴，∴，故答案為：；（2）∵，，∴，∵的面積等于面積的一半，∴，①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，

，∴，；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，∵，，∴，∴，∵，∴，；故答案為：或；（3）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，①當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時(shí)，

，∴解得；②當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時(shí)，

，∴，解得；③當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)在上，時(shí)，

，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴解得；④當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時(shí)

，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴解得；∴運(yùn)動(dòng)的速度為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形面積，分類討論思想，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝3cm，DC＝5cm．點(diǎn)P從D出發(fā)，以1cm/s的速度在射線DC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)t＝s時(shí)，DP＝AD；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APC的面積等于6cm2；(3)如圖2，當(dāng)P從D點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以xcm/s的速度在線段CB上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的x的值，使得△ADP與△PCQ全等？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)3(2)1s或9s(3)存在，x＝1cm/s或x＝cm/s【分析】（1）由DP＝3cm，即可得t＝＝3（s）；（2）①當(dāng)P在線段DC上時(shí)，根據(jù)＝CP?AD＝﹣，△APC的面積等于6cm2，可列方程﹣＝6，即可解得t＝1（s）；②當(dāng)P在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（t﹣5）×3＝6，即可解得t＝9（s）；（3）分兩種情況：①AD＝CP且DP＝CQ，可列3＝5﹣t且t＝tx，即可解得x＝1cm/s；②AD＝CQ且DP＝CP，可列3＝tx且t＝5﹣t，解得【詳解】（1）∵AD＝3cm，DP＝AD，∴DP＝3cm，∵點(diǎn)P從D出發(fā)，以1cm/s的速度在射線DC上運(yùn)動(dòng)，∴t＝＝3，故答案為：3；（2）①當(dāng)P在線段DC上時(shí)，＝CP?AD＝（5﹣t）×3＝﹣，∵△APC的面積等于6cm2，∴﹣＝6，解得：t＝1，②當(dāng)P在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，＝CP?AD＝（t﹣5）×3，∴（t﹣5）×3＝6，解得t＝9，∴t為1s或9s時(shí)，△APC的面積等于6cm2；（3）存在，理由如下：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠D＝∠C，要使△ADP與△PCQ全等，分兩種情況：①AD＝CP且DP＝CQ，即3＝5﹣t且t＝tx，由3＝5﹣t得t＝2，將t＝2代入t＝tx得2＝2x，解得x＝1，∴x＝1cm/s時(shí)，②AD＝CQ且DP＝CP，即3＝tx且t＝5﹣t，由t＝5﹣t得t＝，把t＝代入3＝tx得3＝x，解得x＝，∴x＝cm/s時(shí)綜上所述，x＝1cm/s或x＝cm/s，△ADP與△PCQ全等．【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及三角形面積，三角形全等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度，根據(jù)題意列方程，本題還要注意分類．1．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點(diǎn)P在線段上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，①試說(shuō)明．②此時(shí)，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有和全等，求出此時(shí)的x，t的值．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②，(2)，或，．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，求出，利用證明和全等，可得，然后求出即可；（2）分和兩種情況，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程解答即可．【詳解】（1），，．理由：∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴∴，∵，∴，∴，∴；（2）①若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴；②若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴，綜上所述，當(dāng)與全等時(shí)，x和t的值分別為：，或，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證明和全等解答，解決此題注意分類討論．2．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，滿足，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，．（1）如圖1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)從出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，設(shè)的面積為，求與的關(guān)系，并寫出的取值范圍；（3）在（2）的條件下，如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求與的比值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）解出方程組可求出A，B的坐標(biāo)，在根據(jù)三角形的面積得出OC即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）過(guò)點(diǎn)作于，于，連接，證明,，，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）∵點(diǎn)從出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，，∴，．（3）過(guò)點(diǎn)作于，于，連接，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，設(shè)，又∵于，于，，∴，∴，∴平分，∴，∴，，，，∴與的比值是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的求解、位置與坐標(biāo)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．如圖①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N是動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C出發(fā)，以相同的速度沿AC，CB邊上運(yùn)動(dòng)．（1）判斷DM與DN的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AC=BC=2，請(qǐng)直接寫出四邊形MCND的面積；（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后，將改變方向沿著CB運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上，過(guò)M作ME⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥DB交DB延長(zhǎng)線于F，求證：ME=NF．【答案】（1）DM=DN，理由見(jiàn)解析；（2）S四邊形MCND=1；（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）連接CD，判定△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN；（2）依據(jù)△ADM≌△CDN，可得S△ADM=S△CDN，再根據(jù)S四邊形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD進(jìn)行計(jì)算即可；（3）依據(jù)CM=BN，∠CEM=∠F=90°，∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，即可得到△CME≌△BNF，進(jìn)而得出ME=NF．【詳解】（1）DM=DN．如圖1，連接CD，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，∴CD=AD，∠DCN=45°=∠A，又∵點(diǎn)M和點(diǎn)N的移動(dòng)速度相等，∴CN=AM，∴△ADM≌△CDN，∴DM=DN；（2）如圖1，∵△ADM≌△CDN，∴S△ADM=S△CDN，∴S四邊形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD=S△ABC=××2×2=1；（3）如圖2，∵點(diǎn)M和點(diǎn)N的移動(dòng)速度相等，∴AC+CM=BC+BN，而AC=BC，∴CM=BN，∵M(jìn)E⊥CD，NF⊥DB，∴∠CEM=∠F=90°，又∵∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，∴△CME≌△BNF，∴ME=NF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題時(shí)證明△ADM≌△CDN是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．4．如圖1，在中，，，是過(guò)的一條直線，且，在的異側(cè)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，其余條件不變，問(wèn)與，的關(guān)系如何，請(qǐng)證明；(3)若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3時(shí)，其余條件不變，與，的關(guān)系怎樣？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不須證明．(4)歸納（1），（2），（3），請(qǐng)用簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言表述與，的關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)，見(jiàn)詳解(3)，詳解(4)當(dāng)、在異側(cè)時(shí)，；當(dāng)、在同側(cè)時(shí)，．【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)證明，得；．根據(jù)代換即可；（2）顯然關(guān)系不成立．同理證明，得；．此時(shí)；（3）同（2）,顯然關(guān)系不成立．同理證明，得；．此時(shí)；（4）根據(jù)前面證明的結(jié)論分類歸納．【詳解】（1）證明：，，．又，，．，．又，，即．（2）證明：．證明如下：，．又，，．又，，．，．，，即．（3）解：：證明：．證明如下：，．又，，．又，，．，．，，即．（4）解：由（1）（2）（3）得出：當(dāng)、在異側(cè)時(shí)，；當(dāng)、在同側(cè)時(shí)，．5．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過(guò)，兩點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)，兩點(diǎn)相遇時(shí)，求的值；(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求，的長(zhǎng)；（用含的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)與全等時(shí)，求的值．【答案】(1)當(dāng)，兩點(diǎn)相遇時(shí)，的值為(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)當(dāng)與全等時(shí)，的值為或或【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及全等三角形的判定與性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，（1）根據(jù)題意列方程并解方程解決即可；（2）根據(jù)題意，分情況列代數(shù)式表示即可；（3）分情況根據(jù)兩三角形全等分別列方程并解方程即可解決；【詳解】（1）解：由題意，得，解得．∴當(dāng)，兩點(diǎn)相遇時(shí)，的值為．（2）由題意可知，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．由題意可知，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，∵，∴．∵，，∴．∴．∴．當(dāng)時(shí)，．∴，解得．當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，．∴．即，解得．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)到終點(diǎn)與點(diǎn)A重合，．∴．即，解得．綜上，當(dāng)與全等時(shí)，的值為或或．6．如圖所示，在中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)若點(diǎn)與點(diǎn)的速度都是，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)的速度比點(diǎn)的速度慢，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與全等？請(qǐng)求出此時(shí)兩點(diǎn)的速度．(3)若點(diǎn)、點(diǎn)分別以（2）中的速度同時(shí)從點(diǎn)，出發(fā)，都按逆時(shí)針?lè)较蜓厝呥\(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇？相遇點(diǎn)在的哪條邊上？請(qǐng)求出相遇點(diǎn)到點(diǎn)B的距離．【答案】(1)2s，理由見(jiàn)解答過(guò)程(2)經(jīng)過(guò)1s，點(diǎn)P的速度是9，則點(diǎn)Q的速度是12時(shí)，與全等(3)經(jīng)過(guò)16s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，在BC邊上相遇，相遇點(diǎn)到點(diǎn)B的距離為12【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出，由點(diǎn)、同速同時(shí)出發(fā)可得出，結(jié)合全等三角形的判定定理可得出當(dāng)時(shí)與全等，進(jìn)而即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)點(diǎn)的速度為，則點(diǎn)的速度為，由、結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得出、，進(jìn)而即可得出關(guān)于、的方程組，解之即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)路程速度時(shí)間結(jié)合點(diǎn)、相遇，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之可求出值，由點(diǎn)的路程點(diǎn)的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)間可求出點(diǎn)的路程，再結(jié)合、、的長(zhǎng)度，即可找出點(diǎn)、第一次相遇時(shí)的位置，此題得解．【詳解】（1）點(diǎn)與點(diǎn)的速度都是，，，，，要使與全等，則需，即，，即經(jīng)過(guò)的時(shí)間與全等；（2）設(shè)點(diǎn)的速度是，則點(diǎn)的速度是，，，，，要使與全等，則需，，，解得：，經(jīng)過(guò)，點(diǎn)的速度是，則點(diǎn)的速度是時(shí)，與全等；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，則，，的路程，，經(jīng)過(guò)